2023年高考數(shù)學(xué)強基計劃模擬試卷19（含答案）

2023年高考數(shù)學(xué)強基計劃模擬題（十九）

（滿分100分，測試時間：60分鐘）

選擇題（每題10分）

1.設(shè)有復(fù)數(shù)31=-：+號3O）2=COS，+isin（7T,令3=31“2，則復(fù)數(shù)3+小+

Zzn>

a）3+-+co2011=.（）

A.o）B.a）2C.a）3D.a）4

2.△力BC為等邊三角形，邊長為3,P為平面外一點,P滿足|PA|=3,\PB\=4,|PC|=5,

則%-4BC為?（）

A.VilB.VlOC.yD.y

3.一個盒子里裝有紅、白、藍(lán)、綠四種顏色的玻璃球，每種顏色的玻璃球至少有一個.

從中隨機拿出4個玻璃球，這4個球都是紅色的概率為P1，恰好有3個紅色和1個白色的

概率為P2,恰好有2個紅色、1個白色和1個藍(lán)色的概率為P3,四種顏色各1個的概率為P4,

若恰好有Pl=P2=P3=P4,則這個盒子里玻璃球的個數(shù)的最小值等于.（）

A.17B.19C.21D.以上選項都不正確

4.已知多項式--2x3+（m+2）x2—（4m+2）x+4m+1>0恒成立，則m的取值范

圍為.（）

A.[0,+8）B.（-8期C.[1,1]D.眩，+8）

5.如圖所示，已知正方體ABCD-&B1GD1的棱長為4,點H在棱上，且=1.

在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGCi，P是側(cè)面BCG為內(nèi)一動點，且點P到平面

CDDiG的距離等于線段PF的長.當(dāng)點P運動時，|"P|2的最小值是.（）

A.21B.22C.23D.25

6.已知拋物線y2=4x的焦點為尸，過點P（2,0）的直線交拋物線于4,B兩點，直線4F,

BF分別與拋物線交于點C,D.設(shè)直線AB,CD的斜率分別為七，&，則各等于.（）

A.gB.；C.1D.2

二、解答題（每小題20分）

7、已知a是給定一正實數(shù)，考慮滿足下列條件的數(shù)列：x0=0,xn=xn_x+a,或4=

-xn-i—a,n=1,2,-??,2008.試求表達(dá)式%+%24---FX2008I的最小值.

8、稱自然數(shù)m覆蓋2987;如果數(shù)字2,9,8,7依次序2,9,8,7出現(xiàn)在m的十進(jìn)制表

示數(shù)碼中，用版n）表示覆蓋2987的由非零數(shù)碼構(gòu)成的n位數(shù)的個數(shù).求k（n）除以8所得的

余數(shù).

答案

LA【解析】根據(jù)題意有&)=COS(|TT4-|TT)+is\n(^n+|TT)=cosy|zi4-isin^n.

因此315=1,于是

+2j_i20113(1-0)2011)s(l-d)134xl5+l)

3十3/H-----FQ/3=—---------=———：------------=0)?

1一31-3

2.A【解析】ZkPBC為直角三角形，外心為PC的中點，取PC的中點為M,由于|4B|=|4C|=

\AP\=3,因此4點在平面PBC的射影就是點M,則4M就是高苧，所以體積為VTL

3.C【解析】不妨設(shè)紅、白、藍(lán)、綠四種顏色的玻璃球個數(shù)分別為n2,n3>n4?由題意

2

可以得到C4nl=髭1九2=Cnin2n3=九述2九3九4，所以九1=2n4+1,九1=3n3+2,%=

4n2+3,故九i+電+&+n4=2S；i123.注意到場,九2，九3,幾4均為整數(shù)，所以幾1的最小值

為11,幾]+九2+九3+九4=25：,23千2].

4.A【解析】配方得到—I)2+m(x-2)2+(%-I)2>0,取x=1代入，得到mN0,為

必要條件;反之，若m>0,則原式N0.

5.B【解析】在BBi上取點K,使得181Kl=1,則HK，面BCC/i,連接PK,則|HP/=\HK\2+

\PK\2=16+|PK『.

在平面BCCiB]上，以CCi所在直線為%軸，以GF所在直線為y軸,由題意可知，P點軌跡為拋

物線，其方程為/=2y—l,K點坐標(biāo)為(0,4).設(shè)P(%y),則/=2y-1(其中xE[—3,1],

"[6；])?

故|PK|2=X2+(y-4)2=2y-1+y2-8y+16=y2-6y+15.

當(dāng)y=36[—另]時，|PK|3n=6.故|"P|3n=16+6=22.本題考查正方體和拋物線的綜

合應(yīng)用.

聯(lián)立［；2一=2:2、得k4_4y_8kl=o.

6.B【解析】設(shè)直線AB的方程為丫=七。一2),

設(shè)4(xi，%),B(x2,y2),直線AC的方程為y=S、Q-l),聯(lián)立|y=含得

1(y2=4x,

力2yi

—y—=o,

則yi"=-4,故Vc=1?同理XD-1?故

k4_4

k2-

~xD-xc-yD+yc-"，

32

可得知=/本題考查直線與拋物線相交問題?

7.【答案】設(shè)第n=yn?a(n=1,2,…,2008),則y。=案y^+i=yn+1.或yn-1(九=0,1,…，

2007),總有魔=9_1+2yn_i+1,所以2%1T=端一以t-1.于是2(yi+為+…+

y2008)=72009-y1-2008.

顯見%iWZ，由僅20091=ly2008+1|，y；=1，可知丫2009為奇數(shù)，旦1%+…+丫20081=

||yioo9-20091.

因為最接近2009的奇數(shù)方數(shù)是452,所以M+…+%00812；|452-20091=8,故

|%i+-??+x2008|>8a.又當(dāng)/=x3=-?-=x1963=a,x2=x4=—=x1964=-2a,x1965=a,

X1966=2a，…，*2009=45a時，％0----1■*2008l可取到8a，從而表達(dá)式的最小值為8a.

8.【答案】設(shè)的表示函數(shù)中2第一次出現(xiàn)的位數(shù)(從左至右數(shù))，a2表示上面的2后面出現(xiàn)的第

一個9的位數(shù)，表示上面的9后面出現(xiàn)的第一個8的位數(shù)，表示上面的8后面出現(xiàn)的第一

個7的位數(shù),則這樣的一個覆蓋數(shù)為(當(dāng)n>4時)8%-1.8a2-即-1.8a.9"-。，，

于是所有的律位覆蓋數(shù)(非零數(shù)碼)為

21—丹詼68aLi-8a2f-l.8a3f-l.8人』-1?gn-a.

在上述求和符號中，僅當(dāng)即—1=0=&2—%—1=-&2—1=。4—&3-1，即=1.

a2=2,a3