同濟(jì)線性代數(shù)第五版第一章第一節(jié)共七節(jié)

同濟(jì)線性代數(shù)第五版第一章第一節(jié)共七節(jié)緒論行列式矩陣向量線性方程組特征值與特征向量二次型目錄CONTENT緒論01線性代數(shù)的研究對(duì)象線性代數(shù)以向量為主要研究對(duì)象，向量是既有大小又有方向的量，可以表示空間中的點(diǎn)、線、面等幾何元素，也可以表示物理量如力、速度等。線性空間線性空間是向量所構(gòu)成的空間，滿足一定的運(yùn)算性質(zhì)，如加法、數(shù)乘等。線性空間中的元素可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或更一般的數(shù)學(xué)對(duì)象。線性變換線性變換是線性空間之間的映射，保持向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算性質(zhì)不變。常見的線性變換包括矩陣變換、微分變換等。向量矩陣方法01矩陣是線性代數(shù)的基本工具之一，可以表示線性變換、解線性方程組等。矩陣的運(yùn)算性質(zhì)如加法、乘法、轉(zhuǎn)置等在線性代數(shù)中起著重要作用。行列式方法02行列式是矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)，可以判斷線性方程組是否有解、求解矩陣的特征值等。行列式的計(jì)算方法和性質(zhì)也是線性代數(shù)的重要內(nèi)容。向量方法03向量方法以向量為研究對(duì)象，通過向量的運(yùn)算性質(zhì)如加法、數(shù)乘、內(nèi)積等研究線性代數(shù)中的問題，如求解向量組的極大無關(guān)組、判斷向量組的線性相關(guān)性等。線性代數(shù)的研究方法早期發(fā)展線性代數(shù)的起源可以追溯到古代中國和古代希臘的數(shù)學(xué)研究。在中國，《九章算術(shù)》中就有關(guān)于方程組的解法研究；在希臘，歐幾里得等數(shù)學(xué)家對(duì)幾何問題進(jìn)行了深入研究，其中涉及到了向量的概念。近代發(fā)展17世紀(jì)以后，隨著微積分學(xué)的發(fā)展，線性代數(shù)開始與解析幾何緊密結(jié)合，逐漸形成了一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。高斯、柯西等數(shù)學(xué)家在行列式理論、矩陣?yán)碚摰确矫孀龀隽酥匾暙I(xiàn)?，F(xiàn)代發(fā)展20世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。同時(shí)，線性代數(shù)的理論也在不斷完善和發(fā)展，如抽象代數(shù)、泛函分析等數(shù)學(xué)分支與線性代數(shù)的交叉研究為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展注入了新的活力。線性代數(shù)的發(fā)展歷史行列式02行列式的定義排列與逆序由1,2,...,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列，一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。n階行列式由n^2個(gè)數(shù)aij(i,j=1,2,...,n)排成的n行n列的數(shù)表稱為n階行列式，它代表一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值由n^2個(gè)數(shù)按一定規(guī)則計(jì)算得出。行列式的性質(zhì)01行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。02互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。03行列式的性質(zhì)01行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。02行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。03行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。04把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。ABCD行列式的計(jì)算直接計(jì)算法按照行列式的定義直接進(jìn)行計(jì)算，適用于低階行列式。降階法根據(jù)行列式的性質(zhì)，將高階行列式降為低階行列式進(jìn)行計(jì)算。三角形行列式將行列式化為上三角形或下三角形，然后計(jì)算對(duì)角線上的元素之積。遞推法根據(jù)行列式的特點(diǎn)，找出相鄰階數(shù)行列式之間的關(guān)系，從而用遞推的方法進(jìn)行計(jì)算。矩陣03由$mtimesn$個(gè)數(shù)按一定次序排成的$m$行$n$列的矩形數(shù)表稱為$mtimesn$矩陣。矩陣的概念通常用大寫字母表示矩陣，如$A,B,C,ldots$。矩陣的行數(shù)稱為矩陣的階數(shù)，列數(shù)稱為矩陣的維數(shù)。矩陣的表示如零矩陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣等。特殊矩陣矩陣的定義矩陣的加法兩個(gè)$mtimesn$矩陣相加，對(duì)應(yīng)元素相加。矩陣的數(shù)乘數(shù)與矩陣相乘，用該數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素。矩陣的乘法設(shè)$A=(a_{ij})$是一個(gè)$mtimess$矩陣，$B=(b_{ij})$是一個(gè)$stimesn$矩陣，那么規(guī)定矩陣$C=(c_{ij})$，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+a_{is}b_{sj}$。矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣$A$的行和列互換所得到的矩陣稱為$A$的轉(zhuǎn)置矩陣。01020304矩陣的運(yùn)算可逆矩陣的性質(zhì)若矩陣$A$可逆，則其逆矩陣唯一；若矩陣$A,B$都可逆，則$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。求逆矩陣的方法如伴隨矩陣法、初等變換法等。逆矩陣的概念對(duì)于$n$階矩陣$A$，如果存在一個(gè)$n$階矩陣$B$，使得$AB=BA=I$（其中$I$是單位矩陣），則稱$B$是$A$的逆矩陣。矩陣的逆向量04向量的表示方法向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量的模向量的模是一個(gè)標(biāo)量，表示向量的大小，記作||v||。向量是既有大小又有方向的量向量是數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)等多個(gè)學(xué)科中的基本概念，指具有大?。╩agnitude）和方向的量。向量的定義向量的運(yùn)算兩個(gè)向量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，等于這兩個(gè)向量的模的乘積與它們之間夾角的余弦的乘積。點(diǎn)積可以判斷兩個(gè)向量的夾角以及一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長度。向量的點(diǎn)積向量的加法滿足平行四邊形法則或三角形法則，即兩個(gè)向量相加等于以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線就是這兩個(gè)向量的和。向量的加法一個(gè)向量與一個(gè)標(biāo)量相乘，得到的結(jié)果是一個(gè)與原向量方向相同或相反，大小等于原向量大小與標(biāo)量絕對(duì)值的乘積的向量。向量的數(shù)乘線性組合若干個(gè)向量按照一定系數(shù)相加所得到的向量稱為這些向量的線性組合。線性相關(guān)與線性無關(guān)如果一組向量中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性組合得到，則這組向量稱為線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān)。極大線性無關(guān)組在一個(gè)向量組中，如果存在一個(gè)部分組，它本身線性無關(guān)，且包含向量組中任意一個(gè)向量后都變?yōu)榫€性相關(guān)，則稱該部分組為原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。010203向量的線性相關(guān)性線性方程組05定義線性方程組是由一個(gè)或幾個(gè)包含未知數(shù)的一次方程所組成的一組整式方程，主要探討未知數(shù)（包括一個(gè)或多個(gè)）的取值范圍及解的個(gè)數(shù)性質(zhì)等問題。一般形式Ax=b，其中A為系數(shù)矩陣，x為未知數(shù)向量，b為常數(shù)向量。線性方程組的定義123通過對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，進(jìn)而求解未知數(shù)的值。高斯消元法利用行列式的性質(zhì)，直接求解線性方程組的解?？死▌t通過矩陣的逆或廣義逆來求解線性方程組。矩陣方法線性方程組的解法在電路分析、力學(xué)分析等領(lǐng)域，經(jīng)常需要建立線性方程組來求解未知量。工程問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，線性方程組被廣泛應(yīng)用于投入產(chǎn)出分析、最優(yōu)化問題等。經(jīng)濟(jì)問題在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，線性方程組用于描述三維變換、光照模型等。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)線性方程組的應(yīng)用特征值與特征向量06設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量x滿足Ax=λx，即(A-λE)x=0，其中E是單位矩陣。特征值與特征向量的定義特征向量特征值設(shè)A是n階方陣，則|A-λE|稱為A的特征多項(xiàng)式，記為f(λ)。特征多項(xiàng)式|A-λE|=0稱為A的特征方程，其根稱為A的特征值。特征方程首先求出特征多項(xiàng)式f(λ)，然后解特征方程求出特征值λ，最后代入(A-λE)x=0求出對(duì)應(yīng)的特征向量x。求解步驟010203特征值與特征向量的求解矩陣的相似對(duì)角化如果n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP為對(duì)角矩陣。矩陣的冪運(yùn)算對(duì)于某些矩陣，可以通過求解其特征值和特征向量來快速計(jì)算矩陣的冪。求解微分方程對(duì)于某些線性微分方程，可以通過求解其特征值和特征向量來得到方程的通解。判斷矩陣是否可對(duì)角化如果n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化。特征值與特征向量的應(yīng)用二次型0703變量與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系二次型中的變量$x_1,x_2,...,x_n$與對(duì)稱矩陣A中的元素有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。01二次齊次多項(xiàng)式二次型是n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$。02對(duì)稱矩陣二次型的系數(shù)$a_{ij}$可以組成一個(gè)n階對(duì)稱矩陣A，即$A=(a_{ij})$。二次型的定義標(biāo)準(zhǔn)形規(guī)范形化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形通過正交變換，二次型可以化為標(biāo)準(zhǔn)形$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是矩陣A的特征值。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)$lambda_i$只取1，-1，0三種值時(shí)，稱該標(biāo)準(zhǔn)形為規(guī)范形。規(guī)范形是