材料力學課件

材料力學(2013)第一章緒論材料力學的任務變形固體基本假設外力及其分類內(nèi)力、截面法桿件幾種基本變形形式材料力學的研究對象：工程結構往往由許多“構件”組成！材料力學研究的物體均為變形固體，簡稱“構件”；現(xiàn)實中的構件形狀大致可簡化為四類，即桿、板、殼和塊。桿---長度遠大于其他兩個方向尺寸的構件。桿的幾何形狀可用其軸線（截面形心的連線）和垂直于軸線的幾何圖形（橫截面）表示。軸線是直線的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。各橫截面相同的直桿，稱為等直桿；本教材的主要研究對象主要為等直桿。工程結構或機械結構實例：2、構件安全使用的性能指標強度：構件抵抗破壞的能力剛度：構件抵抗變形的能力穩(wěn)定性：構件維持其原有平衡狀態(tài)的能力

材料力學的任務

《材料力學》任務：在滿足強度、剛度與穩(wěn)定性要求的前提下,如何合理擇選和設計材料、形狀和尺寸，以符合安全和經(jīng)濟性的綜合要求。學習方法？教材選用？材料力學主要研究對象的幾何特征實體板桿件材料力學的主要研究對象橫截面軸線直桿變形固體的基本假設連續(xù)性假設假設在固體所占有的空間內(nèi)毫無空隙的充滿了物質(zhì)均勻性假設假設材料的力學性能在各處都是相同的。各向同性假設假設變形固體各個方向的力學性能都相同

2、內(nèi)力的概念構件在外力作用時，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內(nèi)部質(zhì)點之間的相互作用力也將隨之改變，這個因外力作用而引起構件各部分之間的相互作用的力，稱為內(nèi)力。

3、截面法(結合基本變形講解)

載荷和內(nèi)力

1、載荷種類(a)軸向拉伸(b)軸向壓縮PPPP剪切變形PP桿件的四種基本變形形式扭轉(zhuǎn)變形MeMegj彎曲變形MeMe

組合變形同時發(fā)生兩種或以上的基本變形第二章軸向拉伸和壓縮(及剪切)載荷特點：受軸向力作用變形特點：各橫截面沿軸向做平移§2-1工程實際中桿軸向拉壓問題§2-2軸向拉壓桿件的內(nèi)力定義以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉伸或壓縮內(nèi)力的計算截面法內(nèi)力的表示軸力圖----形象表示軸力沿軸線變化的情況內(nèi)力特點：內(nèi)力方向沿軸向，簡稱軸力FN軸力的符號規(guī)定：橫截面上內(nèi)力計算--截面法截面法求內(nèi)力步驟將桿件在欲求內(nèi)力的截面處假想的切開；取其中任一部分并在截面上畫出相應內(nèi)力；由平衡條件確定內(nèi)力大小。例如：左半部分：∑Fx=0FP=FN右半部分：∑Fx=0FP,=FN,150kN100kN50kNFN

+-例1：作圖示桿件的軸力圖，并指出|FN|maxIIIIII

|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN§2.3軸向拉、壓桿的應力應力和應變的概念桿件軸向拉壓時橫截面上的應力桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力

F

AMC點全應力（總應力）：應力的概念——截面上某點的內(nèi)力集度。C全應力分解為：p

M

垂直于截面的應力稱為“正應力”:位于截面內(nèi)的應力稱為“切（剪）應力”:應力說明：（1）必須明確截面及點的位置；（2）是矢量；（3）單位：Pa(帕)和MPa(兆帕)1MPa=106Pa應變的概念：xyMM’DxMLNM’L’N’Dx+

s線應變（應變）與切應變（角應變）DxMLNM’L’N’Dx+

s例2:求ab邊的平均應變和ab、ad兩邊夾角的變化250200adcba’0.025g250200adcba’0.025g平面假設桿件的橫截面在變形后仍保持為平面，且垂直于桿的軸線。由此可知：兩橫截面之間的縱向纖維伸長都相等，故橫截面上各點的正應變都相等；其正應力也相等，即橫截面上的正應力均勻分布。桿件軸向拉壓時橫截面上正應力計算公式：FN—軸力A---橫截面面積σ的正負號與FN相同；即拉伸為正壓縮為負2.3.1軸向拉伸或壓縮時橫截面上的正應力例3已知F1=2.5kN,F3=1.5kN,求桿件各段的軸力。例4一中段開槽的直桿如圖，受軸向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；試求桿內(nèi)的最大正應力解：求軸力FN;FN=-F=-20kN=-20x103N求橫截面面積：A1=bh=20x25=500mm2A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2求應力由于1-1，2-2截面軸力相同，所以最大應力應該在面積小的2-2截面上σ=FNA=-20X103300=-66.7MPa

（負號表示為壓應力）2.3.2軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應力變形假設：平面假設仍成立。推論：斜截面上各點處軸向分布內(nèi)力的集度相同。FFF①全應力：②正應力：③切應力：1）

α=00時，σmax＝σ2）α＝450時，τmax=σ/2

FFF§2.4材料拉伸力學性能液壓萬能實驗機低碳鋼拉伸時的力學性能試件儀器應力應變曲線比例極限σp彈性極限σe屈服極限σs抗拉強度σb滑移線頸縮伸長率和斷面收縮率伸長率斷面收縮率塑性材料：δ≥5%脆性材料：δ＜5%鑄鐵拉伸鑄鐵等脆性材料在拉伸時，變形很小，應力應變曲線圖沒有明顯的直線部分，通常近似認為符合胡克定律。其抗拉強度σb是衡量自身強度的唯一指標。Ψ==也是衡量材料塑性的一個重要指標兩個材料塑性指標:§2.5材料壓縮時的力學性能低碳鋼壓縮鑄鐵壓縮失效：由于材料的力學行為使構件發(fā)生斷裂、塑性變形以及其它強度或剛度問題而使構件喪失正常功能的現(xiàn)象。脆性材料拉伸極限應力

b+塑性材料極限應力：

s拉壓構件材料的失效判據(jù)：脆性材料壓縮極限應力

b-§2-7失效、安全因素和強度計算構件實際工作應力應該要低于極限應力1.材料的許用應力（考慮加工、環(huán)境及保險程度等）塑性材料許用應力：脆性材料：許用拉應力

其中，ns——對應于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——脆性材料的安全因數(shù)

許用壓應力

2.拉(壓)桿的強度條件：其中：s——工作應力；[s]——材料拉伸(壓縮)時的許用應力。

結論：構件實際工作應力不能超過許用應力即：軸向拉、壓強度條件為：（2.12）3.

關于安全因數(shù)的選定（1）理論與實際差別：考慮極限應力(ss，s0.2，sb)、橫截面尺寸、荷載等的變異，以及計算簡圖與實際結構的差異。（2）足夠的安全儲備：使用壽命內(nèi)可能遇到意外事故或其它不利情況，也計及構件的重要性及破壞的后果。安全系數(shù)的取值：安全系數(shù)是由多種因素決定的。可從有關規(guī)范或設計手冊中查到。在一般靜載下，對于塑件材料通常取為1.5～2.2；對于脆性材料通常取為3.0～5.0，甚至更大。4.強度計算的三種類型問題

(3)

許可荷載的確定:FN,max=A[s]

(2)

截面選擇：

(1)

強度校核：某銑床工作臺的近給液壓缸如圖示，缸內(nèi)工作壓力p=2MPa，液壓缸內(nèi)徑D=75mm，活塞桿直徑d=18mm，已知活塞桿材料的許用應力[σ]=50MPa，試校核活塞桿的強度。解：求活塞桿的軸力：橫截面上的應力為：活塞桿強度足夠例題§2.8桿件軸向拉、壓時的變形設等截面直桿原長l0，截面面積A0，在軸力F作用下，其長度變?yōu)閘1，截面面積變?yōu)锳1；其軸向絕對變形（伸長）△l和軸向（相對變形）線應變ε分別為：△l=l1-l0直桿橫截面上的正應力：當應力不超過某一值時，正應力與線應變滿足胡克定律：σ=Eε由以上可以得到：式中：E稱為材料的彈性模量EA稱為桿件的抗拉拉剛度——此式稱為桿件拉壓（縱向）變形公式泊松比的概念如果等直桿在變形前后的橫向尺寸為：b0、b1；

那么其橫向絕對變形和橫向線應變分別為△b和ε’;△b=b1-b0 ε’=△b/b0實驗表明：桿件軸向拉伸時，橫向尺寸減小，ε’為負；桿件軸向壓縮時，橫向尺寸增大，ε’為正；可見，軸向線應變ε和橫向線應變ε’彼此恒為異號實驗還表明：對于同一種材料，在彈性范圍內(nèi)，桿件的橫向線應變ε’與縱向線應變ε絕對值之比為一常數(shù)：比例系數(shù)ν稱為泊松比，是一個無量綱的量利用比例關系：例題

圖示等直桿的橫截面積為A、彈性模量為E，試計算D點的總位移。解：P3P-------——§2.10

拉、壓超靜定問題1.超靜定問題-----僅用平衡方程不能求出反力的問題。2.變形協(xié)調(diào)方程-----構件變形關聯(lián)點之間的幾何數(shù)量關系。3.解超靜定問題方法-----列靜力方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程。例

左端固定鉸支的剛性橫桿AB，用兩根材料相等、截面面積相同的鋼桿支撐使AB桿處于水平位置。右桿稍短D距離，現(xiàn)需要在AB桿右端加外載F多大，才能使右孔也鉚上。[解]

（板書）AB應力集中---由于桿件外形突然變化而引起的局部應力驟然增大的現(xiàn)象。(工件上切口、切槽、油孔、螺紋、軸肩等處）§2-12應力集中的概念理論應力集中因數(shù)：具有小孔的均勻受拉平板，K≈3?！?-13剪切和擠壓實用計算1、受力特征:2、變形特征：一、剪切的實用計算上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切實用計算中，假定剪切面上各點處的切應力相等，于是得剪切面上的名義切應力為：——剪切強度條件剪切面為圓形時，其剪切面積為：對于平鍵，其剪切面積為：例題

如圖所示沖床，F(xiàn)max=400kN，沖頭[σ]＝400MPa，沖剪鋼板τu=360MPa，設計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。解(1)按沖頭的壓縮強度計算d(2)按鋼板剪切強度計算

tPP剪切面擠壓面PP擠壓力擠壓面擠壓應力二、擠壓的實用計算PPabc三.剪切和擠壓強度條件材料許用切應力

材料許用擠壓應力§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實例§3-2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖§3-3純剪切§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形第三章扭轉(zhuǎn)§3-1

工程實例mm扭轉(zhuǎn)構件受力特點：兩端在垂直軸線的平面內(nèi)受大小相等，轉(zhuǎn)向相反的力偶作用。變形特點：各截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，即發(fā)生相對角位移-----扭轉(zhuǎn)角

本章主要內(nèi)容：圓軸的扭轉(zhuǎn)問題AB§3-2二、按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算電機每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P

千瓦求：力偶矩Me扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力稱為扭矩，截面上的扭矩與作用在軸上的外力偶矩組成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法扭矩正負規(guī)定：右手法則三、扭矩、扭矩圖扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律，反映扭轉(zhuǎn)變形形式；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT

例題3.1

傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：計算外力偶矩扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律，反映扭轉(zhuǎn)變形形式；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT

例題

計算例3.1中所示軸各段的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBCADMD解：已知:477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩圖如左圖示?！?-3純剪切薄壁圓筒：壁厚（r：為平均半徑）實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。一、薄壁圓筒的純剪切

變形后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3．扭轉(zhuǎn)實驗結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③矩形網(wǎng)格(可視為單元體）均歪斜成同樣大小的平行四邊形。二、切應力互等定理：

上式稱為：切應力互等（雙生）定理。

該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

三、剪切胡克定律

單元體的四個側(cè)面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，

因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。材料三個彈性常數(shù)之間存在下列關系：1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍彼此平行。平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞自身軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度?！?-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力：1.變形幾何關系：距圓心為

任一點處的

與到圓心的距離

成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。Ttmaxtmax2.物理關系：剪切胡克定律：代入上式得：但這里的dф/dx尚未知！3.靜力學關系：令再代入物理關系式得：—切應力計算公式。4.關于公式的討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量。單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。關于Ip的計算公式:對于實心圓截面：D

d

O④切應力分布tmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。⑤確定截面上最大剪應力：由知：當Wt—

抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：

三、扭轉(zhuǎn)強度條件強度條件：，[t]—材料許用切應力；對于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]對于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σ+]

式中，[σ+]代表許用拉應力。例題3.3某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，試校核軸的強度。

解：計算截面參數(shù)：由強度條件：故軸的強度滿足要求。同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故空心軸較實心軸合理。

空心軸與實心軸的截面面積比(重量比)為：由上式解出：d=46.9mm。若將空心軸改成實心軸，仍使，則§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形由前面的公式：知：長為

l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角

為二、單位長扭轉(zhuǎn)角

：或三、剛度條件GIp—抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強弱。[

]稱為許用單位長扭轉(zhuǎn)角。例題3.4：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,

AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此軸的最大切應力2、AB段和BC段單位長扭轉(zhuǎn)角解：1、求最大切應力扭矩圖如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根據(jù)切應力計算公式2、單位長扭轉(zhuǎn)角為：§4-1彎曲的概念和實例§4-2受彎構件的簡化§4-3剪力和彎矩§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關系*第四章彎曲內(nèi)力4-1彎曲的概念

一、彎曲變形

在外力作用下，桿件軸線由直線變?yōu)榍€，稱為彎曲變形。以彎曲為主的桿件，常稱之為梁（橫梁）。彎曲實例對稱彎曲：1）梁有包含軸線的縱向?qū)ΨQ面；

2）載荷分布在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。

梁彎曲變形后其軸線將成為位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條曲線。以下常見的橫截面都具有縱向?qū)ΨQ軸：

圓形截面、矩形截面、工字鋼、T型鋼等?！?-2受彎構件的簡化一、梁支座的簡化a)滑動鉸支座b)固定鉸支座c)固定端

二、載荷的簡化(a)集中荷載F1集中力M集中力偶(b)分布荷載q均布荷載靜定梁——僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁。(a)懸臂梁(b)簡支梁(c)外伸梁

三、靜定梁的基本形式超靜定梁——僅用靜力平衡方程不能求得所有反力的梁?！?-3剪力和彎矩3）一般情況下，第一步需要確定梁宏觀上的所有載荷：由靜力學平衡方程求約束反力1）彎曲內(nèi)力素：剪力和彎矩2）基本確定方法------截面法（另外，口訣法）MMMMFSFSFSFS

（2）彎矩：繞截面軸轉(zhuǎn)動的內(nèi)力素。符號規(guī)定：剪力為正剪力為負彎矩為正彎矩為負（1）剪力：平行于橫截面的內(nèi)力素。符號規(guī)定：例4.1如圖所示的簡支梁，試求1－1截面及C處左右截面上的內(nèi)力。解：1.求支座反力得:2.求截面1－1上的內(nèi)力對于C左截面：對于C右截面：注意到：在集中力作用處，左右截面上剪力和彎矩變化。§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖1）剪力、彎矩方程：2）剪力圖、彎矩圖：剪力和彎矩的方程所對應的幾何圖形，其橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例4.2

作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。xFSFFlMFlAB例4.3

試畫出圖示簡支梁AB的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力，由得2.列剪力和彎矩方程在AC段內(nèi)，在BC段內(nèi)，2）集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小；彎矩圖上無突變，但斜率發(fā)生突變。1）在某一段梁上若無載荷作用，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。初步由此剪力圖和彎矩圖可知：例4.4懸臂梁作用均布載荷q，畫梁的剪力圖和彎矩圖解：寫出剪力方程和彎矩方程剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在B點：BAlFAYqFBY解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/22．寫出剪力和彎矩方程（畫圖）yxCxFSxMx例4-5簡支梁受均布載荷q，畫出剪力圖和彎矩圖?！?-5載荷集度、剪力和彎矩間的關系*

剪力、彎矩和分布載荷間的微分關系假設：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負；yxMF1q(x)ABxdxdxO（3）集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小;彎矩圖上無突變，但斜率發(fā)生突變，彎矩圖上為折角點。（1）在某一段上若無載荷作用，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。（2）在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。（4）在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小而剪力圖無改變。由以上各剪力圖和彎矩圖可知：例4-6外伸梁AB承受荷載如圖所示，作梁的剪力和彎矩圖。DABC+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFBFS一、純彎曲時的正應力

二、彎曲切應力

三、提高彎曲強度的措施

第五章彎曲應力一、彎曲正應力

簡支梁CD段剪力為零，只有彎矩為常量，該段梁的變形稱為純彎曲。AC、BD段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力，稱為橫力彎曲。（一）純彎曲和橫力彎曲

（二）純彎曲梁橫截面上正應力

研究梁純彎曲時橫截面上正應力的基本方法：實驗觀察；提出假設；通過變形幾何、物理、靜力平衡關系1、變形幾何規(guī)律實驗觀察：（1）各縱向線變成彼此平行的弧線，頂面縱向線縮短，靠底面的縱向線伸長。（2）各橫向線依然為直線，只是發(fā)生相對轉(zhuǎn)動bboo

obobMM①梁彎曲的平面假設縱向纖維之間無牽拉和擠壓作用，而只受拉伸和壓縮作用，（各條纖維彼此平行的弧線，僅發(fā)生拉伸長和壓縮短）彎曲變形后原來的橫截面仍為平面，只是繞自身平面內(nèi)某一軸旋轉(zhuǎn)一個角度，且仍垂直于梁變形后的軸線。由此可得，梁內(nèi)部的變形和受力情況的假設：②縱向纖維單向拉壓假設彎曲變形后，橫截面上既有拉應力，又有壓應力。由此假設，可進一步推斷：①中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，是梁中受拉區(qū)和受壓區(qū)的分界面，此層纖維稱中性層。②中性軸：中性層與橫截面的交線（z軸）。下面，具體分析變形幾何關系取一微段梁dx分析：現(xiàn)計算：距中性層為y的縱向纖維b′-b′的變形：由此可知：在一定彎矩M下，中性層的曲率是常數(shù)，故縱向纖維的變形應變與y成正比。

此公式反映出正應力線性分布規(guī)律！中性軸處為0,最遠處出現(xiàn)最大值！2、物理關系（胡克定律)具體的正應力大小尚不可求?。ㄇ始皔？）由假設：每條纖維受單向拉、壓，有：3、靜力關系即：中性軸通過截面形心1）確定中性軸位置：2）確定中性層曲率：其中：Iz—橫截面對中性軸的慣性矩

EI-梁的抗彎剛度正應力沿高度線性分布！最后得到：純彎曲梁彎曲正應力計算公式：

1）明確公式各符號的意義；2）判斷拉壓應力及正負號：3）公式使用條件：線彈性范圍、平面彎曲（三）關于公式（3）的幾點說明4）

橫力彎曲時正應力純彎曲正應力公式：研究表明，當跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲具有足夠的精確度。梁截面的上、下邊緣處，彎曲正應力取得最大值：-----抗彎截面系數(shù)

（四）最大正應力計算矩形截面：幾種典型截面對中性軸的慣性矩等實心圓截面：截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

解：例5-1：已知P=1.5KN,求梁C截面上a、b點的正應力。FAYFBYMxBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kN（1）求支反力和彎矩：解：例5-2：求圖示矩形截面梁（1）C截面上K點正應力；（2）C截面上最大正應力；（3）全梁上最大正應力；（4）已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ（3）

C截面上最大正應力C截面彎矩C截面慣性矩（壓應力）（2）C截面K點的正應力（5）C截面曲率半徑ρ（4）

整梁上最大正應力整梁中的最大彎矩：M=90*1.5—60*1.5*1.5/2=67.5（KNm）(五)彎曲正應力強度條件1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮

與

根據(jù)強度條件可進行三類計算：強度校核:截面設計:確定梁的許可荷載:例5-3：某車間計劃安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重，起重量，跨度，材料的許用應力。試選擇工字鋼的型號。（4）選擇工字鋼型號（3）根據(jù)計算（2）繪彎矩圖

（1）計算簡圖解：36c工字鋼§5-4

彎曲切應力（一）矩形梁橫截面上的切應力1、公式推導：n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AM(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪應力互等t方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。（二）其它截面梁橫截面上的剪應力其中Fs為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b為y點處截面寬度。1、研究方法與矩形截面同；切應力的計算公式亦為：2、常見截面最大切應力近似計算公式：§5-6提高彎曲強度的措施控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應力，即以作為梁設計的主要依據(jù)。因此應使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。一、合理安排梁的受力情況二、梁的合理截面合理的截面形狀使截面積較?。ɑ蚝愣〞r）而抗彎截面系數(shù)較大。盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。梁的各橫截面上的最大正應力都等于材料的許用應力［σ］時，稱為等強度梁。三、采用變截面梁汽車板簧、階梯軸、魚腹梁等§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓曲線的微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形§6-5簡單超靜定梁§6-6提高彎曲剛度的一些措施第六章彎曲變形§6-1工程中的彎曲變形問題

在工程實踐中，對某些受彎構件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構件有足夠的剛度，以保證結構或機器正常工作。如：

搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。

起重機橫梁的變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。

但有些情況下，有時卻要求構件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。汽車平衡懸架的結構微結構及微機電系統(tǒng)（MEMS）的微梁構件微梁構件§6-2撓曲線的微分方程1.梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。B1Fxqwyx

2.梁位移的度量：(1)撓度：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正(2)轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度q，逆時針轉(zhuǎn)動為正

撓曲線方程：撓度作為軸線坐標的函數(shù)—w=f(x)

轉(zhuǎn)角方程(小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關系—3.計算變形的目的：剛度校核、解超靜定梁、施工工藝等4.撓曲線的近似微分方程的推導：忽略剪力對變形的影響,對于橫力彎曲,有:推導純彎曲正應力時，得到：（1）由高等數(shù)學可知：略去高階小量，得所以（2）

考慮到彎矩的正負號規(guī)定，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，也即上式等號得左右項始終同號！結合(1)和(2)式,得到撓曲線的近似微分方程為：對上述二次微分方程進行積分，再利用邊界條件和連續(xù)條件

確定積分常數(shù)。就可以求出梁橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角。（6.5）近似：1）忽略剪力影響；2）小變形（彎曲）①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構件的平面彎曲。②可應用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的邊界條件或連續(xù)條件確定。優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；關于上述公式的討論：§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形例6-1求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次：再積分一次：ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF例6-2已知梁的抗彎剛度為EI。試求在均布載荷q作用下梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。解：（1）梁的彎矩方程：（3）梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：（4）最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θAθB（2）由邊界條件：得：設梁上有n

個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為

，撓度為y，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為Mi(x)

，轉(zhuǎn)角為

i，撓度為yi，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，§6-4用疊加法求彎曲變形故由于梁的邊界條件不變，因此：重要結論：小變形情況下，梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。例題6-3

按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度。qqPP=+AAABBBCaa例6-4已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC；B截面的轉(zhuǎn)角

B。yC1yC2yC3例6-5懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角

C。

梁的剛度校核對彎曲構件的剛度要求是：其最大撓度或轉(zhuǎn)角（或指定某截面上值）不得超過某一規(guī)定的許用限度：§6-5簡單超靜定梁例6-6試求圖示系統(tǒng)的求全部未知力。解：

建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結構——靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——變形與力的關系

補充方程

求解其它問題（反力、應力、變形等）

幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：

建立靜定基=例6-7

結構如圖，求B點反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0ABxf=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB

物理方程——變形與力的關系

補充方程

求解其它問題（反力、應力、變形等）xf§6-6提高彎曲剛度的一些措施一、改善結構形式，減少彎矩數(shù)值改變支座形式：改變載荷類型：二、選擇合理的截面形狀三、選用高強度材料，提高許用應力值

同類材料，“E”值相差不多，“

b”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。

不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其原料費用也會隨之發(fā)生很大的改變！§7-1應力狀態(tài)概述§7-2二向和三向應力狀態(tài)的實例§7-3二向應力狀態(tài)分析——解析法§7-5三向應力狀態(tài)§7-8廣義胡克定律§7-10強度理論概論§7-11四種常用強度理論

第七章應力和應變分析強度理論§7-1應力狀態(tài)概述問題的提出:

為什么塑性材料拉伸時會出現(xiàn)滑移線？為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？一、基本概念：應力狀態(tài)32回顧：彎曲梁橫截面上應力情況可得出結論:1)應力:不同橫截面應力不同;同一橫截面上不同點處應力不同;2)不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；3)同一點不同方位的截面,應力是不是變化?

如果變化,又以怎樣的規(guī)律變化?應力狀態(tài)分析：研究一點處各個不同方向截面上的應力及其變化規(guī)律。應力狀態(tài):

過一點所有不同方向截面上的應力情況的集合.拉中有剪（為什么塑性材料拉伸時會出現(xiàn)滑移線？）前面失效問題的根源----某方向截面上應力的作用剪中有拉（為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？）二、應力狀態(tài)研究方法——采用單元體PABCD單元體：圍繞受力構件內(nèi)任意點切取的微元體。主平面——單元體的三個相互垂直的面上都無切應力。主應力——主平面上的正應力對應的有三個主應力，相應的用、、來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即

應力狀態(tài)分類：單向應力狀態(tài)：

只有一個主應力不等于零。二向（平面）應力狀態(tài)：

有兩個主應力不等于零，其余一個主應力等于零。三向（空間）應力狀態(tài)：

三個主應力都不等于零。§7-2二向和三向應力狀態(tài)的實例滾珠軸承外圈§7-3二向應力狀態(tài)分析——解析法平面應力狀態(tài)的普遍形式：在常見的受力構件中，在兩對平面上既有正應力σ又有切應力τ?？蓪⒃搯卧w用平面圖形來表示。σ、τ正負號規(guī)定：σ——拉為正，壓為負；τ——以對微單元體內(nèi)任意一點取矩為順時針者為正，反之為負；

x

xy

yxyO

x

xy

yn

y

xy

x

tn一、任意斜截面上的應力二、極值應力1、極值正應力例題1分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體

求極值應力

xyC

yxMCxyO

xy

yxxysxtxysyO

max在切應力相對的項限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。2、極值切應力例題2圖示應力狀態(tài)（單位：Mpa），求：（1）斜截面上的應力；（2）主應力的大小；（3）最大切應力解：（1）已知，（2）主應力大?。?）最大切應力xyzxyz應力狀態(tài)的定義（單、二、三向）一般應力狀態(tài)都有：§7-5三向應力狀態(tài)xyz

xyz

例題3：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力。（應力單位為MPa）。解：例題4：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力（應力單位為MPa）。解：一、單拉下的應力--應變關系二、純剪的應力--應變關系xyzxyzxy§7-8廣義胡克定律三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關系依疊加原理,得:xyz

szsytxysx§7-8廣義胡克定律當單元體三個平面皆為主平面時，

分別為x,y,z方向的主應變，與主應力的方向一致，，三主平面內(nèi)的切應變等于零。特例：對平面應力狀態(tài)例題5

圖示一直徑d=20mm的實心受扭圓軸，已知材料的彈性模量E＝200Gpa，泊松比v＝0.3，并且測得圓軸表面與母線成45度方向a-a的線應變ε45＝5.2×10-4,試求扭矩Te

的大小。例題6

已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應變值為ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。構件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。試求該點處的主應力數(shù)值，并求該點處另一主應變ε2的數(shù)值和方向。解：由題意可知，該點處于平面應力狀態(tài)且由廣義胡克定律可得：

是縮短的主應變。其方向沿構件表面的法線方向?！?-10強度理論概述強度條件的建立材料因強度不足而引起失效現(xiàn)象是不同的，它取決于：1.材料本身的性質(zhì)，包括塑性材料和脆性材料：單向拉伸試驗塑性材料出現(xiàn)屈服，脆性材料突然斷裂2.材料的受力狀態(tài)，包括簡單應力狀態(tài)，復雜應力狀態(tài)一、最大拉應力（第一強度）理論：

認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。二、最大伸長線應變（第二強度）理論：

認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。三、最大剪應力（第三強度）理論：

認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。2、強度準則：4.畸變能密度理論（第四強度理論）基本假設：畸變能密度是引起材料塑性屈服的 主要因素屈服準則：強度條件：四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：稱為相當應力§8-1組合變形和疊加原理§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合§8-3偏心壓縮和截面核心*§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合

第八章組合變形§8-1

組合變形和疊加原理組合變形——實際構件由外力所引起的變形包含兩種或兩種以上的基本變形。前提條件：①線彈性材料，加載在彈性范圍內(nèi)，即服從胡克定律；②必須是小變形，保證能按構件初始形狀或尺寸進行分解與疊加計算，且能保證與加載次序無關。疊加原理——如果內(nèi)力、應力、變形等與外力成線性關系，則在小變形條件下，復雜受力情況下組合變形構件的內(nèi)力，應力，變形等力學響應可以分成幾個基本變形單獨受力情況下相應力學響應的疊加.組合變形工程實例§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合一、拉(壓)彎組合變形：桿件同時受橫向力和軸向力的 作用而產(chǎn)生的變形。二、應力計算方法----線性疊加例1：已知許用拉應力試設計鋼立柱直徑d。解：將力P向立柱軸線簡化，立柱承受拉伸和彎曲兩種基本變形，任意橫截面上的軸力和彎矩為：橫截面上與對應的拉應力均勻分布，橫截面上與M對應的彎曲正應力按線性分布，兩種應力疊加后應滿足強度條件:例2圖a所示起重機的最大吊重F=12kN，許用應力，試為橫梁AB選擇工字鋼型號。解：根據(jù)橫梁AB的受力圖，由平衡方程可得：做彎矩圖和軸力圖，危險截面為C點左側(cè)截面。注意：求工字鋼截面幾何尺寸時，因為A、W不可能同時獲得，所以不能同時考慮彎矩與軸力條件，可先按彎曲強度條件試算，再按彎壓組合進行強度校核。查型鋼表，可選用16號鋼，，按彎壓組合強度條件，可知C點左側(cè)截面下邊緣各點壓應力最大：說明所選工字鋼合適。按彎曲強度條件可得：AB

作彎矩圖和扭矩圖，可知危險截面為固定端截面：§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合危險截面上的1點和2點有最大彎曲正應力和最大扭轉(zhuǎn)切應力：

圍繞1點取單元體，可見1點處于平面應力狀態(tài)，其三個主應力為：由第三強度理論建立強度條件：由第四強度理論建立強度條件：將(3)代入(1)、（2）式得：（1）（2）對于圓軸有（3）（4）例3一傘形水塔,受力如圖,其中P為滿水時的重力,Q為地震時引起的水平載荷,立柱的外徑D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的許用應力[σ]=8MPa，試校核其強度。例4如圖,電動機帶動一膠帶輪軸,軸直徑d=40mrn,膠帶輪直徑D=30Omm,輪重G=6OON。若電動機功率N=14KW,轉(zhuǎn)速n=980r/min,膠帶緊邊與松邊拉力之比T/t=2,軸的[σ]=12OMPa。試按最大切應力理論校核軸的強度?！?-1壓桿穩(wěn)定的概念§9-2兩端鉸支細長桿的臨界壓力§9-3其他支座條件下細長桿的臨界壓力§9-4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式§9-5壓桿的穩(wěn)定校核§9-6提高壓桿穩(wěn)定的措施第九章壓桿穩(wěn)定實例：一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm。鋼的許用應力為[]=196MPa。按強度條件計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為：[P]=A[]=3.92KN實際上，當壓力不到40N時，鋼尺就被壓彎?？梢姡摮叩某休d能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與受壓時變彎有關。§9-1壓桿穩(wěn)定的概念一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的概念

對于一般的壓桿：

當壓力F小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力Q(微擾）后，桿的軸線將恢復其原來的直線平衡形態(tài)，稱壓桿原有直線形態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。

FF(a)Q(b)當壓力F增大到一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復其原來的直線平衡形態(tài)，此時稱壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是不穩(wěn)定平衡。失穩(wěn)：這種不能保持原有平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。臨界載荷（Fcr)：使壓桿原直線的平衡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的軸向壓力值，稱為壓桿的臨界載荷。兩端鉸支，長為L的受壓直桿?！?-2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力承受臨界壓力的公式推導：即得這就是兩端絞支細長壓桿臨界力的計算公式。（歐拉公式）例題1===

P294§9-3其它支座條件下細長壓桿的臨界壓力兩端絞支一端固定另絞支端兩端固定一端固定另端自由支承情況臨界力的歐拉公式長度系數(shù)

=1=0.7=0.5=2歐拉公式的統(tǒng)一形式:為壓桿的長度系數(shù);l

為相當長度。注意：相當長度l

的物理意義一、歐拉公式的應用范圍(1)壓桿的臨界應力公式（臨界應力歐拉公式）壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時，橫截面上的壓應力可按

=P/A計算?！?-4歐拉公式的應用范圍

經(jīng)驗公式按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應力為：為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑稱為壓桿的柔度（長細比）。集中地反映了壓桿的長度，桿端約束，截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。

越大，相應的

cr越小，壓桿越容易失穩(wěn)。若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應力

cr。(2)歐拉公式的應用范圍只有在

cr

P的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界力Fcr（臨界應力

cr）。或1、

當

1（大柔度壓桿或細長壓桿）時，才能應用歐拉公式。2、當

<

1（中柔度壓桿）時，不能應用歐拉公式。

而要用經(jīng)驗公式：如16錳

鋼

1的大小取決于壓桿的力學性能。例如，對于Q235鋼，可取E=20