2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年黑龍江省大慶市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

第I卷選擇題部分

一、單選題（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）

1.已知角a的終邊落在直線y=3x上，則Sin2a的值為（）

44

A.-B.---

55

33

C.——D.一

55

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正切值，再利用二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系

計(jì)算.

【詳解】設(shè)尸（xj）為角a終邊上一點(diǎn)，則y=3x,x*0,tana=^=3,

x

.-2sinacosa2tanfz2x33

sin2a=——------$—=——-----=-----=—，

sina+cosatana+\9+15

故選：D.

■2021

2.已知復(fù)數(shù)z=^!—,則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【正確答案】C

【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出共輾復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)z的共輪復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的

象限.

【詳解】由題意，

?2021

在復(fù)數(shù)Z=---------中，

3-i

_i2021_i202°.i(-l)，0，°-i_i_(3+i)i_3i+i2_3i-l_13.

3-i3-i3-i3-i(3-i)(3+i)9-i2101010

，復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，

故選：C.

3.如圖，6。是正方形Z8CD的對(duì)角線，80的圓心是/,半徑為48.正方形N3CO以

為軸旋轉(zhuǎn)一周，則圖中I,II,III三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是()

C.2：1：2D.2：2：1

【正確答案】A

【分析】確定旋轉(zhuǎn)體的形狀：I形成圓錐，1和H形成半球，I,H,III合起來(lái)形成圓柱，

然后由圓錐、球、圓柱的體積公式計(jì)算后得出三部分的體積，再求比值.

【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中I,II,III三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積

依次記為匕，V2,匕，

I形成圓錐，I和n形成半球，I,n,in合起來(lái)形成圓柱，

V.=-7rxAD2xAB^-7r,

133

匕—匕=工，

22313

匕=乃*/。2義/8—匕一%

故圖中I,II,III三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是1：1：I,

故選：A.

4.設(shè)非零向量而，％滿足|相|=2,|“=3,|〃2+"=3五,則而在7方向上的投影向量為

()

5-5-5-5-

A.------MB.—nC.——mD.—m

181888

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得前i，則按照而在5方向上的投影向量的定義求

解即可.

【詳解】因?yàn)閨加|=2,,|=3,所以

\m+M|=J(玩+=y1fn2+2m-n+n2=J4+2'?萬(wàn)+9=3近，

則13+2而?萬(wàn)=18,解得而?萬(wàn)=—,

2

5

而方

五

和25

亢

萬(wàn)

所以孟在［方向上的投影向量為同cos而，五--=-方

研忻29

18

故選：B.

5.給出下列說(shuō)法:

①有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

④一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)和平面的的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于①中，根據(jù)棱臺(tái)的定義，延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以有兩個(gè)面平行且

相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，所以①不正確；

對(duì)于②中，根據(jù)棱錐的定義，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何

體是棱錐，所以②不正確；

對(duì)于③中，根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)平面上，其余各

面都是四邊形的幾何體叫棱柱，所以③不正確：

對(duì)于④中，一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.

故選：A.

6.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到

使用（圖1）.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（圖2）.假定

在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心

7T

。到水面的距離〃為1.5m,筒車(chē)的半徑廠為2.5ml,筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。為一rad/s,如

12

圖3所示，盛水桶〃（視為質(zhì)點(diǎn)）的初始位置兄距水面的距離為3m,則3s后盛水桶〃到

水面的距離近似為（3=1.414,6h1.732）（)

圖1

A.4.0m

【正確答案】A

【分析】先求出初始位置時(shí)外對(duì)應(yīng)的角，再根據(jù)題意求出盛水桶M到水面的距離與時(shí)間/的

函數(shù)關(guān)系式，將，=3代入，即可求解.

【詳解】設(shè)初始位置時(shí)兄對(duì)應(yīng)的角為仰，則sin%=W=1,則COS%=一,

2.555

TT

因?yàn)橥曹?chē)轉(zhuǎn)到的角速度為一rad/s，

12

TT

所以水桶”到水面的距離d=2.5sin（石，+<%）+1.5,

當(dāng)/=3時(shí)，可得d=2.5sin（^x3+%）+L5=2.5x（￥x|+#x：）+1.5B3.974a4.0m.

故選:A.

7.若sinlO。=（GtanlO°-l}sin（a-20）,則sin（2a+50）=（）

1177

A.-B.—C.——D.-

8888

【正確答案】D

【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系以及輔助角公式，可化簡(jiǎn)原式得到sin(a-20°)=-；，再

利用輔助角公式可得sin(2a+50")=cos12(a-20。)],由余弦的二倍角公式可得解

【詳解】sinl00=(V3tanlO°-lj-sin(?-20j,,

底ini00-coslCT

/.sinl00.sin（a-20。）

cos10"

Ai

2（^sinl0°-1cosl0°）

-in（所2。。）=也也sin（a-20。）

cosl0°'）cos10

?，.sinl0°cosl0°=-2sin20°?sin（a-20）

—sin200

sinlOccos10°

sin（a-20。）=_2______.L

一2sin20°-2sin2004

則sin（2a+50。）=sin（2a-40。+9CT）=cos12（a-20。）］

=l-2sin2（a-20°）=

故選：D

8.在銳角Z8C中，角48,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=三,b=6，則Z8C面積

3

的取值范圍是（）

A，茁2辿；4]）,[也2,37431_|、,

’3百3疔

丁丁

X」

【正確答案】C

上=①，求得。=立.（二^1_+1）,

【分析】設(shè)N8C的外接圓的半徑為R,得到2火

sinBsin52tanB

結(jié)合三角形面積公式得到Z8C的面積為5=生叵-（?-+1），由Z8C為銳角三角形,

8tan5

求得勺IT＜8＜T巴T，進(jìn)而求得面積的范圍.

62

【詳解】設(shè)/3C的外接圓的半徑為R,可得2R=」_=芭-

sinBsinB

因?yàn)閆=g,由正弦定理得

CD.V3-sinCV3.2K

c=2Rsinc=--------=-----xsin（----B）

sinBsin53

=^x（與os5+kin8）=&正+1），

sin5222tanB

所以ABC的面積為S——/?csinA=Lx布3立.（一+i）,

222tan5228tan5

TT

0<5<-

77T冗

又因?yàn)閆8C為銳角三角形，可得《\,解得一〈8（一，

八2兀n兀62

0<----B<—

[32

則tan8>正，所以41-+1€（1,4）,所以豆l.（WL+l）e（迪，當(dāng)8）,

3tan58tanB82

所以Z8C的面積的取值范圍為（乎,卓）.

故選：C.

二、多選題（在每小題有多項(xiàng)符合題目要求，漏選得2分，錯(cuò)選得0分.每小題5

分，共20分）

9.如圖所示，Z'8'C'是水平放置的/8C的斜二測(cè)直觀圖，其中。'。'=。'@=2。'6'=2,

則以下說(shuō)法正確的是（）

A.45c是鈍角三角形

B.Z6C的面積是H6'C'的面積的2倍

C.48。是等腰直角三角形

D.Z8C的周長(zhǎng)是4+4行

【正確答案】CD

【分析】求出Z8C的邊長(zhǎng)，計(jì)算出三角形的形狀和周長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

在斜二測(cè)視圖中，O'C'=O'A'=2OE=2,

/.O'B'=1,/8C的面積是N'6'C'的面積相同，B錯(cuò)誤.

...在/8C中，OC=OA=2QB=2O'B'=2,

:.BO是ZBC的中線,J（2,0）,5（0,2）,C（-2,0）,AC=AO+CO=2+2=4,

?*-AB=BC=yl22+22=2A/2,

-JAB2+BC2=J(2五『+(2間i=4,

，Z8C是等腰直角三角形，A錯(cuò)誤，C正確，

CABC=AB+BC+AC=242+241+4=442+4,D正確,

10.已知i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是()

A.z-z=|z|2=|z|

B.若meR,則2=〃?+1+(/-2加-3尸不可能是純虛數(shù)

C.若則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形面積為2萬(wàn)

D.2=2+31是關(guān)于*的方程%2一4*+13=0的一個(gè)根

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、求模公式，可判斷A的正誤；根據(jù)純虛數(shù)的

概念，可判斷B的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可判斷C的正誤；將z=2+3i代入方程，

計(jì)算檢驗(yàn)，即可判斷D的正誤，即可得答案.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)z=a+bi(a,beR),則1=?！猙i，

所以Z-Z=(4+好?(4一砌="+〃，忖2『十/,

所以z-z=|z『=口，故A正確；

/7、[m+1=0

對(duì)于B：若2=用+1+(加~一2加一3)i為純虛數(shù)，則《2人，

''[〃?2一2m一3彳0

上式無(wú)解，所以Z=〃Z+1+(/M2-2加-3)i不可能是純虛數(shù)，故B正確；

對(duì)于C：若忖＜1,則目=不不＜1,整理得

所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形是以(0,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)

部，

所以面積為萬(wàn)X12=萬(wàn)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：(2+3i)2-4(2+3i)+13=4+9i2+12i-8-12i+13=0,

所以z=2+3i是關(guān)于x的方程x2-4x+13=0的一個(gè)根，故D正確.

故選：ABD

11.在給出的下列命題中，正確的是()

A.設(shè)0、4B、C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若況=〃??赤+(1-%)?反(zweR),則點(diǎn)

4B、C必共線

B,若向量￡,坂是平面a上的兩個(gè)向量，則平面a上的任一向量"都可以表示為

0=+2G/?),且表示方法是唯一的

___________________(ABACy

C.已知平面向量方、麗、反滿足。4-。臺(tái)=。4。。,/。=4+-則A48c為

\AC\)

等腰三角形

D.已知平面向量出、而、反滿足|萬(wàn)|=|歷|=|反|=r(r>0),&OA+OB+OC=b'則

A48c是等邊三角形

【正確答案】ACD

【分析】

對(duì)于從根據(jù)共線定理判斷N、8、C三點(diǎn)共線即可；對(duì)于8,根據(jù)平面向量的基本定理，

判斷命題錯(cuò)誤：對(duì)于C,根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可得0/為8c的垂線且。/在N8NC的角平

分線上，從而可判斷C；對(duì)于。，根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算得出命題正確；

【詳解】對(duì)于Z，0A=m-0B+{{-m)-0C(m6R),

：.OA-OC=m^OB-OC^,：.CA=mCB^且有公共點(diǎn)C,

，則點(diǎn)/、B、C共線，命題/正確；

對(duì)于8,根據(jù)平面向量的基本定理缺少條件G石不共線，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于刃.礪=以.反，即》?(歷-面)=0,OACB=Q,

得a_L而,即。/為8c的垂線，

_.(~7B7r}

又由于Z0=/l+,可得。在NA4C的角平分線上，

(|/例\AC\J

綜合得A48c為等腰三角形，故C正確；

對(duì)于￡),平面向量次、礪、反滿足|O4|=|O5|=|0C|=r(r>0),S.QA+OB+0C,

?*-OA+OB^-OC>O42+2OAOB+OB~OC>

即r2+2r2-cos(04,OB^+r2=r2,：.cos研=一；，

：.OA.礪的夾角為120。，同理方、成的夾角也為120°,

36C是等邊三角形，故。正確；

故選ACD.

本題主要考查利用命題真假的判斷考查了平面向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題.

12.已知ABC,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列條件一定能夠使ABC為

等腰三角形的是()

A.acosB=bcosAB.

(a?+6,sin(4-8)=(〃2一力2)sm(4+8)

_八〃1-cosAb<2c

C.cosBcosC=-------D.----+-----

2sinBsinA

【正確答案】ACD

【分析】利用余弦定理和題給條件即可得到/8C為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)A；利用

余弦定理兩角差的正弦公式和題給條件即可得到Z8C為等腰三角形或直角三角形，進(jìn)而

否定選項(xiàng)B；利用兩角和與差的余弦公式及題給條件即可得到N8C為等腰三角形，進(jìn)而

肯定選項(xiàng)C；利用正弦定理均值定理和題給條件即可得到Z8C為等腰三角形，進(jìn)而肯定

選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：由acosB=6cosZ,可得a.巴士~匕=?二^——

2ac2hc

整理得則。=b，貝I」/8C為等腰三角形.判斷正確；

選項(xiàng)B：由+b)sin(4-8)=(/—〃卜in(4+8)

可得(a2+6,(sin力cosB-cos/sin8)=(/-〃卜inC

222>

n|/2k2\(/+/一82Z)+C-a|/2入八

則(a+/r)a------------b-----------=Q~b~]c

'\2ac2bc),)

整理得(^一⑹⑷+從一。2)=0,gpa2+b2=02或q=b

則Z8C為等腰三角形或直角三角形.判斷錯(cuò)誤；

|—cos/I

選項(xiàng)C：由cosBcosC=-------,可得2cosBcosC=l+cos(5+C)

2

則2cos8cosc=1+cosBcosC-sin5sinC,則cos(8-C)=l

又—冗<6—C(兀，則8=C,則/BC為等腰三角形.判斷正確；

3gb,、sinAsinB'c.「

選項(xiàng)D：由-----4------<2c,可得------F----<2sinC,

sinBsinAsinBsinA

由吧且+吧022（當(dāng)且僅當(dāng)N=8時(shí)等號(hào)成立），可得242sinC

sinBsinA

TT7T

則sinC=l,又0<C<TT,則。=—,則Z=8=—.判斷正確.

24

故選：ACD

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.N8C內(nèi)角43,C的對(duì)邊分別為8c,若Z8C的面積為礦+“一C，,則

4

C=________

【正確答案】一

4

【分析】由余弦定理可得/+/一。2=2abcosC，根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可得

sinC=cosC,從而可得答案.

,,2>2_2

【詳解】由余弦定理可得cosC==^――,所以/+/—c2=2abcosC

lab

,ccgRHEAi-c1,.?a~+b~—c22abeosC

ABC的面積為S=-absmC=---------=---------

244

所以sinC=cosC,即tanC=l,由0<。<乃

71

所以c=—

4

71

故一

4

14.已知萬(wàn)=（一2,-1）,5=（%,1）,若￡與坂的夾角a為鈍角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為

【正確答案】f-1,2ju（2,+co）

【分析】由題意得出且］與否不共線，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)；I的取值范

圍.

【詳解】由于［與g的夾角a為鈍角，則二B<0且［與B不共線,

1-/—24—1<01

Q4=（—2,—1）,6=（41）,，解得力>--且2^2,

—AW—22

因此，實(shí)數(shù)九的取值范圍是1—；,2）D（2，+8），故答案為.（一；,2）u（2,+8）

本題考查利用向量的夾角求參數(shù)，解題時(shí)要找到其轉(zhuǎn)化條件，設(shè)兩個(gè)非零向量々與B的夾角

a^b>0ab<0

為氏8為銳角。為鈍角?！?/p>

1與5不共線，與5不共線

15.由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，其側(cè)面三角

形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為且土1,則以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積

4

與該四棱錐的側(cè)面積之比為.

【正確答案】-

4

【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，斜高為“，分別用。表示出以該四棱錐的高

為邊長(zhǎng)的正方形面積和該四棱錐側(cè)面積，即可得出答案.

【詳解】如圖，

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，斜高為“，E為CO的中點(diǎn),

則由題意得：2=1±1,所以'=苴土L。，

a44

則設(shè)以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積為E,

V5+1V5+12

設(shè)該四棱錐側(cè)面積為S2=-------a=--------a，

42

1

S-1

28

所

以----

S-wn4-

1

2-

1

故-

4

16.在45。中，已知而.就=9，sinB=cos/sinC,SABC=6,夕為線段上的一

CACB11

點(diǎn)，且C°=x?冏+y?西，則一+一的最小值為.

\CA\|CS|xy--------

【正確答案】工+立

123

【分析】設(shè)/8=c,BC=a,AC-b,由sin5=coS-sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和

角的正弦公式化簡(jiǎn)可求。=90°,再由方=9，S球=6,可求得c=5,6=3,a=4,

考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)人使得

一一，、一,、,、CA-CB-

CP=2G4+（1-2）C5=（32,4-42）（O<2<1）,設(shè)出單位向量同=，，同=,2,

1=（1,0）,^=（0,1）推出x=32,y=4—42則4x+3y=12,而利用5+J,利用基

本不等式求解最小值.

【詳解】解：46c中設(shè)Z6=c,BC=a,4C=b

vsiaff=cos/?sin。??.sin（Z+C）=sinCcos/

即sin?icosC+sinCcos^=sinCcos/

???sirL4cosc=0sirt4w0cosC=0,C=90°

?.AB,AC—9?S詆=6

???bccosA=9,-bcsiM=6

2

443

tarU=—,根據(jù)直角三角形可得sia4=—,cosA=",be=15

355

c=5?6=3,a=4

以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0,0）,4（3,0）,

8（0,4）.

P為線段AB上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)入使得麗=20+（1—4）。=（3/1,4-4；1）（0<；1<1）

CA-CB

設(shè)同e?則同=同=1,q=(l,O),e2=(O,l)

CACB

???x=3%,y=4-4A,

則4x+3y=12.

（也可以直接利用P為線段AB上的一點(diǎn)，三點(diǎn)共線，可得：-+^=1,）

—I—=

xy12(xy)

故所求的最小值為工+走.

123

本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基

本不等式求解最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的向量關(guān)系，建立x,y與人的關(guān)系，

解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3/1,y=4-4/l發(fā)現(xiàn)4x+3歹=12為定值，從而考慮

利用基本不等式求解最小值.

四、解答題：（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，也是在勾股定理的基礎(chǔ)上，增加了角度要

素而成.而對(duì)三角形的邊賦予方向，這些邊就成了向量，向量與三角形的知識(shí)有著高度的結(jié)

合.已知a,b,c分別為N8C內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊：

（1）請(qǐng)用向量方法證明余弦定理/-h2+c2-2bccosA；

（2）若6=2,c=l,4=120°,其中。為8c邊上的中線，求/。的長(zhǎng)度.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)T

【分析】（1）如圖，設(shè)方="，前=2刀=3，由三角形法則有Z=—（B+。，利用數(shù)量

-2/--\2-2-2一一

積的性質(zhì)展開(kāi)可得a=（b+c）=b+c+2b-c,即可得出結(jié)論.

（2）如圖，由（1）求出a的值，兩次在不同三角形中利用cos8即可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，設(shè)方=2就=￡,0=加

則有￡+5+"=6，可得a=-0+c),

/=0+1=片+/+2森，

a~=b2+c2+2bccos(兀-/)

=b2+c2-2bccosA.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，

a2=b2+c2-2bccos/=4+l-2x2xlxcosl20°=7，

如圖，則8C=J7，5￡>=-1

2

222

na+c-b7+1-42幣

2ac2xV7xl7

在△804中，

0BD2+C2-AD2：+1-必2不

cosB=-------------------=------―一=----,

2c?BDV77

2x1x--

2

解得/。=且.

2

18.鱉脯是我國(guó)古代對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的稱(chēng)呼.如圖，三棱錐4-8C0是

一鱉膈，其中ABLBD，BCYCD,ACLCD,且高48=38，

BC=42CD=y/6.

（1）求三棱錐/一8c。的體積和表面積；

（2）求三棱錐/-8C0外接球體積和內(nèi)切球的半徑.

【正確答案】（1）鼠BCD=3,表面積為9亞+3

（2）外接球體積為二叵，內(nèi)切球半徑為3后一6

25

【分析】（1）利用公式可求體積及表面積.

（2）利用補(bǔ)體法可求外接球的半徑，從而可求外接球的體積，利用等積法可求內(nèi)切球的半

徑.

【小問(wèn)1詳解】

由題設(shè)可得CD=Ji，而三棱錐的高為48=3加，

三棱錐A—BCD的體積叱-Be=--5nBC-AB=—x—x>/3x3-72=3,

332

又4c=J18+6=2?，

三棱錐A-BCD的表面積S=SBCD+SABC+SACD+SABD

=逑+36+3&+述=90+3g.

22

【小問(wèn)2詳解】

由條件知，可將三棱錐/-BCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)也為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),

因此長(zhǎng)方體的外接球也為三棱徘的外接球.即為三棱錐外接球的直徑.

L4

因?yàn)榱Α?36,所以三棱錐N—8CQ外接球體積為§乃

記內(nèi)切球的球心為。，連結(jié)。/,OB,OC,0D,得到四個(gè)等高的三棱錐,

且該局為內(nèi)切球的半徑r,則VA_BCD—VO_ABD+VO_ACD+VO_ABC+^O-BCD,

得％"=；Sr=；x（9后+36卜=3,

所以逑*,

5

故三棱錐A-BCD內(nèi)切球的半徑為3近一百.

5

19.已知/（x）=Zsin（60x+e）（Z>0,/>0,一無(wú)<夕<兀）的部分圖象如圖所示

(1)求出/(x)的解析式；

7T

(2)若g(x)=/(x)cos2x,求g(x)在0,-上的值域.

【正確答案】(1)/(x)=2sin(2x+gj

(2)0,1+—.

2

【分析】(1)由〃x)的部分圖象直接可求得A,T,。和夕的值即可；

7T

(2)由八x)求得g(x)的解析式，化為正弦型函數(shù)，再利用整體法求g(x)在0,-上的值域.

_4_

【小問(wèn)1詳解】

由/'("uZsiMox+e)的部分圖象知，

157t兀7T.?2兀

A=2＞一T-..........=—,解得Tm=兀，所以/=——2,

2632T

兀71

又2x—+*=兀+24兀,左￡Z,即0=—+2E,攵GZ,

71

因?yàn)橐回＃?＜兀，所以"二

所以/(X)的解析式為/(x)=2sin12x+g

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知，f(x)=2sinI2x+yJ=sin2x+6cos2x；

所以g(x)=sin2xcos2x+6cos?2x=gsin4x+曹。]以)=sin[4x+g

當(dāng)xe0,—時(shí)，—<4x+-<—,所以一立Wsin(4x+4]41,

L4」3332I3)

所以04g⑺0+亭，即函數(shù)g(x)在O.?上的值域?yàn)?』+日

20.已知向量，a—(cosa,sina),6=(cos夕,—sin,),c=(2,1),Q//c,a.b=V5

/八十sin2a+2cos2a任

(1)求---------------的1v值l;

1+tana

(2)若a,夕均為銳角，求tan(a—A)的值.

14

【正確答案】(1)—

15

⑵年

【分析】(1)由向量平行得到tana=L,利用二倍角降基公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系

2

“5sima+2cos2a1門(mén)口―r

化間---------------，把4mtana=一代入y即可；

1+tana2

(2)根據(jù)題意可求出cos(a+。)的值，由tana=g可求出tan2a的值，由a,0均為

銳角可得sin(a+￡)與tan(a+0的值，再根據(jù)tan(a-￡)=tan[2a-(&+/)]即可求

出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

?/a=(cos。,sin。)，5=(2,1),5//c,:.cosa=2sina,1.tana=g,

sin%+2cos2a_2cos%-sin2a_2-tan2a_14

1+tana(cos12cr+sin2a)(l+tanor)(l+tan26z)(l+tana)15'

【小問(wèn)2詳解】

a=(cosa,sin二=(cos四一sin/),2?B=^~,

COSMOS/?-sinasin尸=cos(a+￡)=，

因?yàn)閠ana=±a為銳角，所以tan2a=2tan,=1,因?yàn)樵戮鶠殇J角，

21—tan2a3

1?0<a+/?<兀,

2^^

?「cos(a+/Qsin(a+/)——,tan(a+乃)=2,?，.tan(a-/7)=tan[2a-(a+1)]

tan2a-tan(a+p)3-2

l+tan2atan(a+/?)\-^—x2"

3

21.如圖，在平面四邊形NBC。中，/BCD*,AB=l,ZABC=y.

(1)當(dāng)8C=J5，CZ)=J7時(shí)，求NCD的面積:

TT

(2)當(dāng)/4DC=—,/。=2時(shí)，求cos/ACO.

6

【正確答案】(1)-V14；

4

(2)cosZACD=-.

3

【分析】（1）利用余弦定理求出/C,cosZACB,再利用誘導(dǎo)公式、三角形面積公式計(jì)

算作答.

（2）在ABC^NCZ）中用正弦定理求出ZC,再借助同角公式求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)=時(shí)，在4BC中，由余弦定理得工。2=482+8。2—245?8Ccos48C，

222

即AC?=3—2&cos—=5,解得=石，cos4c3=AC+BC-AB=35/10；

42AC-BC10

因?yàn)镹8CO=：，RiJsinZACD=cosZACB=-又CD=#i，

210

所以ACD的面積是SArn^-ACCDsinNACD='J?xJ7x獨(dú)?=3JIZ.

ACD22104

【小問(wèn)2詳解】

4B^Ssin-n

在Z6。中，由正弦定理得即Hn4C=4=12

sinZACBsinZABC