專題11余弦定理（6大考點(diǎn)知識(shí)串講熱考題型專題訓(xùn)練）（原卷版）

專題11余弦定理知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)1余弦定理1、公式表達(dá)：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC2、語(yǔ)言敘述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍【注意】余弦定理的特點(diǎn)（1）適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．（2）揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量．3、余弦定理推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)4、余弦定理的推導(dǎo)示例：在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c如圖，因?yàn)锳C=∴AC2即AC從而b2同理，根據(jù)AB=AC+可以得到c2=知識(shí)點(diǎn)2解三角形1、解三角形定義：一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和她們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.2、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用（1）類型1：已知兩邊及一角，解三角形方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對(duì)角)求解；（2）類型2：已知三邊解三角形法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一法二：若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解3、判斷三角形形狀時(shí)常用到的結(jié)論（1）為直角三角形或或（2）為銳角三角形，且，且（3）為鈍角三角形，且，且（4）若，則或考點(diǎn)剖析考點(diǎn)1已知兩邊及一角解三角形【例1】（2023·陜西西安·高一階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是，已知，，，則等于（）A．1B．2C．D．【變式11】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則邊（）A．1B．2C．1或2D．【變式12】（2023·寧夏固原·高一?？计谥校┰谥?，，則（）A．9B．C．D．3【變式13】（2023·山東青島·高一校聯(lián)考期中）在中，，則（）A．B．C．D．考點(diǎn)2已知三邊解三角形【例2】（2023·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）在中，，，，則（）A．B．C．D．【變式21】（2023·吉林通化·高一?？茧A段練習(xí)）在中，已知，則角為（）A．B．C．D．【變式22】（2023·江西·高一校聯(lián)考期末）已知中角所對(duì)的邊分別為，若，則.【變式23】（2023·海南·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，，，則最大角的余弦值為.考點(diǎn)3求邊或角的取值范圍【例3】（2023·四川成都·高一樹德中學(xué)校考期末）已知鈍角的角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式31】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則最大邊的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式32】（2023·吉林通化·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則角B的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式33】（2023·安徽滁州·高一校考階段練習(xí)）若鈍角的內(nèi)角，，滿足，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)4判斷三角形形狀【例4】（2023·甘肅定西·高一臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則是（）A．等邊三角形B．鈍角三角形C．等腰不等邊三角形D．直角三角形【變式41】（2023·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）在已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【變式42】（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則為（）A．等腰三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【變式43】（2023·河南鄭州·高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形考點(diǎn)5余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【例5】（2023·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）宜昌奧林匹克體育中心為了迎接4月12日湖北省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式，將中心內(nèi)一塊平面四邊形區(qū)域設(shè)計(jì)燈帶．已知燈帶米，米，米，且，則（）A．B．C．D．【變式51】（2023·河南開封·高一統(tǒng)考期中）曲柄連桿結(jié)構(gòu)的示意圖如圖所示，當(dāng)曲柄OA在水平位置OB時(shí)，連桿端點(diǎn)P在Q的位置，當(dāng)OA自O(shè)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角時(shí)，P和Q之間的距離是cm，若cm，cm，，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的角的值.【變式52】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，梯形頂點(diǎn)在以為直徑的半圓上，米，若電熱絲由三條線段這三部分組成，在上每米可輻射單位熱量，在上每米可輻射2單位熱量，當(dāng)電熱絲輻射的總熱量最大時(shí)，的長(zhǎng)度為（）A．B．C．D．【變式53】（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）如圖，半圓的直徑為，為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，，為半圓上任意一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角形．設(shè)．（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值；（2）克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求．考點(diǎn)6余弦定理與平面圖形相結(jié)合【例6】（2023·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若邊上的中線，則的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【變式61】（2023·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，，，，，則（）A．B．C．D．【變式62】（2023·四川成都·高一石室中學(xué)校考期末）在平面四邊形中，，，，則的最大值為.【變式63】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，．（1）求；（2）若，且的平分線上的點(diǎn)滿足，求．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中校考期末）在中，，，，則最長(zhǎng)邊（）A．B．C．或D．2．（2023·北京大興·高一統(tǒng)考期中）在中，，，，則（）A．B．C．D．3．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角等于（）A．B．C．D．4．（2023·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）已知，在鈍角中，，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．5．（2023·四川達(dá)州·高一統(tǒng)考期末）在中，若，則的最小值是（）A．1B．C．D．－16．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．（2023·河南周口·高一統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，M為上的動(dòng)點(diǎn)，，，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．（）B．（）C．（）D．（）8．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥爾摩的愛立信球形體育館（瑞典語(yǔ)：），在世界上最大的瑞典太陽(yáng)系模型中，由該體育館代表太陽(yáng)的位置，其外形像一個(gè)大高爾夫球，可容納16000名觀眾觀看表演和演唱會(huì)，或14119名觀眾觀看冰上曲棍球比賽．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)得愛立信體育館的直徑，在體育館外圍測(cè)得，，，（其中，，，四點(diǎn)共面），據(jù)此可估計(jì)該體育館的直徑大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．B．C．D．二、多選題9．（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考期中）鈍角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，且，則的值可能為（）A．B．C．D．10．（2023·四川達(dá)州·高一萬(wàn)源中學(xué)校考期中）已知分別是的內(nèi)角的對(duì)邊，且，，則（）A．B．C．面積的最大值為D．面積的最大值為11．（2023·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為邊上的中線，則下列說法正確的有（）A．B．C．D．的最大值為12．（2023·廣東云浮·高一?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，D在AC上，BD為∠ABC的角平分線，E為BC中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．的面積為B．C．D．三、填空題13．（2023·北京朝陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則；．14．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則當(dāng)有唯一解時(shí)，的取值范圍是．15．（2023·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A是等邊外一點(diǎn)，且，，，則的周長(zhǎng)為．16．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為為的中點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為．四、解答題17．（2023·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.（1）若，，求的值；（2）若，求角B，C的大小.18．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求A；（2）若，求證：.19．（2023·吉林遼源·高一?？茧A段練