風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章

風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章2024/3/29風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章保險(xiǎn)費(fèi)又稱為總保費(fèi)或毛保費(fèi)，可以分為凈保費(fèi)（純保費(fèi)）和附加保費(fèi)。凈保費(fèi)是補(bǔ)償保單所承諾的賠付和給付責(zé)任必需的繳費(fèi)部分，附加保費(fèi)是補(bǔ)償保險(xiǎn)公司因出售和管理保單發(fā)生的費(fèi)用需要的繳費(fèi)部分。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章本節(jié)考慮如下險(xiǎn)種的精算現(xiàn)值：●

終身壽險(xiǎn)Wholelifeinsurance●

定期壽險(xiǎn)Termlifeinsurance●生存保險(xiǎn)Pureendowmentinsurance●兩全保險(xiǎn)Endowmentinsurance●

延期保險(xiǎn)Deferredinsurance●

變額保險(xiǎn)Varyinginsurance風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章4.1死亡年末賠付的人壽保險(xiǎn)死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加1。

風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章記為歲投保人的整值剩余壽命，下面計(jì)算1.終身壽險(xiǎn)

對(duì)的1單位元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，其精算現(xiàn)值以表示。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章死亡年末1單位元賠付在投保時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量為，它的期望就是其精算現(xiàn)值.因?yàn)樗燥L(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章●賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差：相當(dāng)于以計(jì)算躉繳凈保費(fèi)利息力的兩倍計(jì)算的躉繳凈保費(fèi)。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章記有賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差反映賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量的變動(dòng)幅度，用于衡量保險(xiǎn)公司承擔(dān)的賠付風(fēng)險(xiǎn)程度。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章2.定期壽險(xiǎn)對(duì)(x)的1單位元死亡年末賠付n年定期壽險(xiǎn)，其現(xiàn)值隨機(jī)變量為精算現(xiàn)值以表示，有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章Z的方差為其中風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章

例1:某40歲的人投保了5年10000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末給付，根據(jù)中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000-2003）（男性表）計(jì)算躉繳純保費(fèi)（利率5%）。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例2:

某人在50歲時(shí)購(gòu)買(mǎi)了保險(xiǎn)金額為10萬(wàn)元的終身壽險(xiǎn)，假設(shè)生存函數(shù)為

保險(xiǎn)金在死亡年末給付，i=10%，求這一保單的精算現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章

注:

在符號(hào)中，令n=1，即得，在人壽保險(xiǎn)中又稱為自然保費(fèi)，它是根據(jù)每一保險(xiǎn)年度、每一被保險(xiǎn)人當(dāng)年年齡的預(yù)定死亡率計(jì)算出來(lái)的該年度的死亡純保費(fèi)，用符號(hào)cx表示，即風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章3.兩全保險(xiǎn)：定期壽險(xiǎn)與生存保險(xiǎn)的合險(xiǎn)。對(duì)(x)的1單位元n年兩全保險(xiǎn)，死亡年末1單位元賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章(x)的1單位元n年兩全保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為其中表示1單位元給付純生存險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章設(shè)Z為兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量，Z1為n年定期現(xiàn)值隨機(jī)變量，Z2為n年純生存保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量，則Z1和Z2不會(huì)同時(shí)發(fā)生，我們有☆兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章Z2的方差為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章

例3:

設(shè)（35）投保5年兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬(wàn)元，保險(xiǎn)金死亡年末給付，按附表1示例生命表計(jì)算其躉繳純保費(fèi)。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章4.延期m年終身壽險(xiǎn)對(duì)(x)的1單位元死亡年末賠付m年延期終身壽險(xiǎn)，現(xiàn)值隨機(jī)變量為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章其精算現(xiàn)值以表示，有顯然有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章5.延期m年的n年定期壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)是指從x+m歲起的n年定期壽險(xiǎn)。對(duì)(x)的1單位元延期m年n年定期壽險(xiǎn)，其賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章其精算現(xiàn)值以或表示，有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章6.標(biāo)準(zhǔn)變額壽險(xiǎn)如果保險(xiǎn)契約規(guī)定的賠付數(shù)額隨著死亡時(shí)間的變動(dòng)而不同，這樣的壽險(xiǎn)稱為變額壽險(xiǎn)。如果賠付額，K是從投保開(kāi)始到死亡時(shí)存活的整數(shù)年數(shù)，這時(shí)的變額壽險(xiǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)遞增的變額壽險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章xx+1x+2…x+n-1x+n1111…1…11111……………標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章其精算現(xiàn)值以表示，有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章標(biāo)準(zhǔn)遞減的定期壽險(xiǎn)xx+1x+2…x+n-1x+n1111…1…11111風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章以表示標(biāo)準(zhǔn)遞減的定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值，有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：設(shè)計(jì)算。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)延期m年的n年定期壽險(xiǎn)延期m年的終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納延期m年的n年期兩全保險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減n年定期壽險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：計(jì)算保險(xiǎn)金額為10000元的下列保單，在30歲簽發(fā)時(shí)的躉繳凈保費(fèi)。假設(shè)死亡給付發(fā)生在保單年度末，利率為6%。（1）終身壽險(xiǎn)（2）30年定期壽險(xiǎn)（3）30年兩全保險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：現(xiàn)年35歲的人購(gòu)買(mǎi)了一張終身壽險(xiǎn)保單。該保單規(guī)定，被保險(xiǎn)人在第1年內(nèi)死亡，給付1000元，以后每年的死亡賠付額以6%的增長(zhǎng)率遞增。假設(shè)死亡給付發(fā)生在保單年度末，利率為6%。試求其躉繳純保費(fèi)。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章4.2死亡即付的人壽保險(xiǎn)死亡即付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章1.終身壽險(xiǎn)對(duì)(x)的1單位元終身壽險(xiǎn)，死亡即付現(xiàn)值隨機(jī)變量為T(mén)的概率密度為，其精算現(xiàn)值為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章直接被估計(jì)出來(lái)。但實(shí)際中，通常只有生命表注:面的積分進(jìn)行變換。提供的整數(shù)年齡上的死亡概率，因此需要對(duì)上被保險(xiǎn)人存活函數(shù)給出時(shí)該精算現(xiàn)值才能風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章①在死亡均勻分布假設(shè)下，有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章②假設(shè)死亡集中發(fā)生在每個(gè)年齡的中間，這時(shí)死亡時(shí)賠付平均來(lái)說(shuō)比死亡年末賠付早半年。復(fù)利計(jì)息時(shí)單利計(jì)息時(shí)風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章Z的方差為其中風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：設(shè)(x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元，保險(xiǎn)金在死亡即刻賠付，利息力為0.03，簽單時(shí)，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為計(jì)算(1)；(2)；(3)滿足的。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：設(shè)(x)投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1萬(wàn)元，保險(xiǎn)金在死亡時(shí)立即給付，利息力為，。試求（1）其精算現(xiàn)值;（2）；（3）中位數(shù).風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章解：已知（萬(wàn)元）風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章2.定期壽險(xiǎn)1單位元死亡即付n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章①在死亡均勻分布假設(shè)下，有②假設(shè)死亡集中發(fā)生在每個(gè)年齡的中間復(fù)利計(jì)息時(shí)單利計(jì)息時(shí)風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：設(shè)計(jì)算和.解：風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章3.兩全保險(xiǎn)1單位元死亡時(shí)賠付的精算現(xiàn)值在死亡均勻分布假設(shè)下，有風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：某30歲的人投保了30年兩全保險(xiǎn)。如果契約規(guī)定在投保的前10年死亡賠付10000元，后20年死亡賠付30000元，滿期存活給付20000元，假設(shè)賠付在死亡時(shí)發(fā)生，利率為6%。求這一保單的躉繳純保費(fèi)。風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：設(shè)利息力和存活人數(shù)分別為求風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章4.標(biāo)準(zhǔn)變額壽險(xiǎn)對(duì)于死亡即時(shí)賠付的壽險(xiǎn)，如果賠付額，稱為標(biāo)準(zhǔn)遞增的變額壽險(xiǎn)。（1）標(biāo)準(zhǔn)遞增終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章死亡均勻分布假設(shè)下，有▲如果賠付額標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)遞增，即，則風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：設(shè)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章（2）標(biāo)準(zhǔn)遞增n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為在死亡均勻分布假設(shè)下，風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章（3）標(biāo)準(zhǔn)遞減n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為死亡均勻分布假設(shè)下，為風(fēng)險(xiǎn)管理與精算第4章例：對(duì)（50）歲的人第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險(xiǎn)，根據(jù)附表1生命表