2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

L設(shè)集合A={R尤=3Z+1,AeZ},8={x∣x=3人+2,左∈Z},U為整數(shù)集，?(^Uδ)=(

A.(x?x-3k,k≡Z}B.{Λ∣x=3k-l,kwZ}

C.{J<?x=3k-2,k.eZ}D.0

2.若復(fù)數(shù)（。+。（1一曲）=2,?！陞^(qū)，則α=（）

3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的3=（）

（開始）

n=?,A=],B=2

工是

A=A+B

B=A+B

n=n+↑

/輸出〃

I?

（結(jié)束）

4.向置44?=l,∣c∣=\/2,且a+》+。=。，則CoS〈a-c,。一c〉=()

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)歹∣J｛〃〃｝中，M=LS為｛〃〃｝前〃項(xiàng)和，55=553-4,則S4=（）

6.有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球

俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（）

A.0.8B.O.4C.0.2D.0.1

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7.“sin2α+si∏2華1”是“sina+cos任0”的()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

其中一條漸近線與圓（22=交于

8.已知雙曲線frImo,h0）的離心率為7,x—+—4,

A廬=>>J52）（y3）1

8兩點(diǎn)，則IA3∣=（）

A1B.?C.孳D,”

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連

續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

10.已知/（X）為函數(shù)y=cos∣2x+6I向左平移6個(gè)單位所得函數(shù)，則y=∕（χ）與y=2%-2的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱錐PTIBCo中，底面ABC。為正方形，AB=4,PC=PO=3,NPCA=45。，則4PBC的面

積為（）

A.B.3√2C.4、傷D.5d

2v,2

22_3

己知橢圓X+yF,F為兩個(gè)焦點(diǎn),。為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，cosZFPF

12.P=則IPoI=

I12I

9625

)

2?37

A.c.2D.左

552

二、填空題

(?

13.若y=(x-l>+αx+sin'x+π'為偶函數(shù)，則α=

[2J------------

-2x+3y≤3

14.設(shè)X,y滿足約束條件■3x-2y≤3,設(shè)z=3x+2y,則Z的最大值為

χ+y≥1

15.在正方體ABa）—A∣8G。中，E,F分別為CD,AbBl的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條

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棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

16.在AABC中，AB=2,ABAC=60o,BC=√6.。為BC上一點(diǎn)，AO為NBAC的平分線，則

AD=.

三、解答題

17.已知數(shù)列｛〃”｝中，。2=1,設(shè)S為｛呢｝前"項(xiàng)和，2S“=na”.

（1）求｛&｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列J""+"'的前〃項(xiàng)和7.

IIn

1J

18.在三棱柱ABC-A8G中，AAi=2,ACj_底面ABC,NACB=90。，Al到平面BCGBI的距離為L(zhǎng)

Bl

（1）求證：AC=AiC；

（2）若直線AA與BBl距離為2,求ABl與平面BCG瓦所成角的正弦值.

19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組

（加藥物）.

（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)m,并完成下面2x2列聯(lián)表：

<m≥m

對(duì)照組

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實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作

用.參考數(shù)據(jù)：

0.100.050.010

pg≥k)2.7063.8416.635

20.已知直線％-2)，+1=0與拋物線(：：V=2庶(0>0)交于4,3兩點(diǎn)，且IABI=4｛話.

(1)求P；

(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F,M,N為C上兩點(diǎn)，MF?NF=0,求面積的最小值.

21.已知/(X)=依-Sin/(

cos：eu,2

(1)若a=8,討論/(χ)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2尤恒成立，求。的取值范圍.

四、選做題

IX=2+/cosa

22.己知P(2,l),直線/：〈,.C為參數(shù))，α為/的傾斜角，/與X軸，y軸正半軸交于A,B兩

[y=l+rsιnα

點(diǎn)，IPAI?∣P8∣=4.

(1)求α的值；

(2)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求/的極坐標(biāo)方程.

23.已知f(x)=2?c-a?-a,a>0.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲線y=∕(x)與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為2,求0.

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2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

L設(shè)集合A={Rx=3A+l,Z∈Z},8={XlX=3A+2,A∈Z},U為整數(shù)集，?(^UB)=()

A.{x∣x=3Z,Z∈Z}B.[x?X=3k-l,keZ}

C.x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集Z={x|x=3Z,ZeZ}U{x|x=3A:+l,左∈Z}U{x∣x=3Z+2,keZ},U=Z,所

以，?(AU3)={x∣x=3女,Z∈Z}.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)(4+i)(l-αi)=2,αeR,則α=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【詳解】因?yàn)?α+i)(l-0i)=α—α勺+i+α=2。+(1-ɑ?i=2,

f2α=2

所以彳，，八，解得：a=↑.

[l-a^=0

故選：C.

3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B=()

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（開始）

w=l,∕4=l,5=2

A=A+B

B=A+B

（

-----n=n+}

/輸出〃

（3E）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行，即可解出.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=l+2=3,8=3+2=5,〃=1+1=2；

當(dāng)"=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8,8=8+5=13,?=2+1=3；

當(dāng)〃=3時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21,3=21+13=34,〃=3+1=4；

當(dāng)〃=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B=34.

故選：B.

_一____

4.向≡j4=|∕τ∣=l,∣c∣=J2,且a+〃+c=O，則COS〈a=（）

224

A__1B.——C._D.一

5555

【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)?-,所以「r,

6z+?+c=0a+b=-C

即-22--2,即r,所以一.

Cl+b+2a?b=c1+1+2。?A=2a?b=0

如圖,設(shè)QA=a,03=力,OC=2,

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C

由題知,Q4=08=?,0C=v2,?0ΛB是等腰直角三角形,

AB邊上的高Oo=WLA。=顯，

22

所以Co=CO+oo=√∑+貝

22

AD1..〃八?

tanZACD=___=,cosZACD=

CD3√Tθ

cos｛d-c,b-c)-cosZACB=cosIZACD-2cos2ZACD-I

故選:D.

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛呢｝中，αι=l,S,為｛m｝前〃項(xiàng)和，S5=5S?3-4,貝∣JS4=()

A7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于9的方程,計(jì)算出名即可求出54.

【詳解】由題知l+q+q2+q3+q4=5（^+q+c^^.4,

即qi+q4=4q+4/,即q3+q2-4q-4=O,即（夕-2）（、+l）（q+2）=O.

由題知4>0,所以4=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球

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俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【解析】

【分析】先算出報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù),從而得出某人報(bào)足球俱樂部的概率和報(bào)兩個(gè)俱樂部的概率,利用條件概

率的知識(shí)求解.

【詳解】報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù)為50+60-70?40,

記“某人報(bào)足球俱樂部”為事件A,記“某人報(bào)兵乓球俱樂部”為事件B,

,505404

則P(A~)=_=_,P(AB)=_=_,

707707

4

所以P(BlA)=PS?=L=0.8.

P(A)5

7

故選:A.

7.“522+0也2代1”是“5吊￡+85隹0”的()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

TT

【詳解】當(dāng)sii?。+sin2住1時(shí)，例如gQo但SinCIH?cos∕?0,

2

即sin2α+sin2β=1推不出Sina+cosβ=0；

當(dāng)Sin跺COSP=O時(shí)，sin2o÷sin2β=(-cos+sin2∕?=1,

即sinα+COSβ=0能推出sin2α+sin2β=1.

綜上可知，sin2α+sin2β=1是Sina+cosβ=0成立的必要不充分條件.

故選：B

8,已知雙曲線工_丈=1("0力＞0)的離心率為石，其中一條漸近線與圓(X—2；+([3；=不于4

B兩點(diǎn),貝IllABl=()

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A.1B.2C.學(xué)D.竽

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).

7c2a2+b2,,b1S

【詳解】由e=J5,則r=—―=1+—=5,

a2Ora

解得*=2,

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,

∣2×2-3∣5

則圓心(2,3)到漸近線的距離d=,=≤±

√277Γ5

所以弦長(zhǎng)IABI=2√r2-J2=2

故選：D

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有I人連

續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【解析】

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A>12

種方法，

同理："C,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

10.已知f(χ)為函數(shù)y=cosf2x+向左平移π個(gè)單位所得函數(shù)，則y=/(*)與y=18—1的交點(diǎn)個(gè)

<τ622

數(shù)為()

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A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得/(x)=-sin2x,再作出/(χ)與y=lχ-1的部分大致圖像,

22

二的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

考慮特殊點(diǎn)處/(X)與y三IX?

,22

吟TT

【詳解】因?yàn)閥=co12x+向左平移個(gè)單位所得函數(shù)為

「'兀、π]

y=

COSI2Ix+氣I=COjl2x+I=-sinIx,所以/(X)=-sinIx,

LI1

而y=，x—』顯然過「0,成In與(1,0)兩點(diǎn),

作出/(X)與y三IX=I的部分大致圖像如下,

3π3兀,X三7π處/(X)與」Lv-1的大小關(guān)系,

,x三

22244422

兀、

=-加時(shí)，C3π1./3兀、1/313π+41

當(dāng)Xf—=—sin—=-1,y=×--=-<-1；

422428

3π.J.3?ιJ13π1×3π?4

當(dāng)X=4時(shí)，=-Sin2I，y=2泡2=8<1I；

7π,.7兀17兀17兀-41

當(dāng)X=4時(shí)，二-sin2=1，y=2M-1=8>1；

所以由圖可知，/(X)與y三1九二I的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

22

故選：C.

11.在四棱錐PTlBCZ)中，底面ABCo為正方形，AB=4,PC=PD=3,NPCA=45°,則APBC的面

積為()

A.2√2B.?j?C.4\5D.5√2

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【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得APoo=APC。，APDB*PCA,從而彳尊IJPA=PB,

再在△/?C中利用余弦定理求得PA=Jvi,從而求得PB=J萬，由此在APBC中利用余弦定理與三角形

面積公式即可得解；

法二：先在4P4C中利用余弦定理求得PA=FoSNPCB=?,從而求得PA-PC=-3，再利用空

間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于PB,NBPD的方程組，從而求得PB=JU由此在APBC中利用余

弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,8。交于0,連結(jié)PO,則。為AC,B。的中點(diǎn)，如圖，

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，45=4,所以AC=8。=G，則DO=CO=X?'2，

又PC=PD=3,PO=OP,所以APD0三APC0,則NPQ0=NPC0,

又PC=PD=3,ACBD4/2，所以APOBHAPCA,則PA=PB,

在4R4C中，PC=3,AC=4j?NPC4=45。，

則由余弦定理可得PA2?AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA?32+9-2×43×3x土=17,

2

故PA=JT7,則P8=√T7,

故在APBC中，PC=3,PBjf7BC=4，

所以c。SNPCB=?七絲1="H=1，

IPCBC2×3×43

又0<∕PCB<π,所以SinZPCB=√l-cos2ZPCB=?-,

第11頁/共28頁

I1?δ"

所以APBC的面積為S=-PC?BCSinNPCB=_x3x4x_^=4、，.

223

法二：

連結(jié)AC,8。交于O,連結(jié)PO,則。為AC,BO的中點(diǎn)，如圖，

因?yàn)榈酌鍭Bef）為正方形，AB=4,所以AC=Bo=42，

在aPAC中，PC=3,NPG4=45°,

則由余弦定理可得242=4。2+尸。2一24。?「。（305/2。4=32+9-2*4273乂正=17，故

2

PA=UT7，

一，PA1+PC2-AC217+9-32

所以cosZAPC=---------------------

2PAPC2×xjf7×317

PA-^PC=∣Λ4∣jpCFOSZAPC=Ia3χ∣-g（?-3

不妨記PB=m,ZBPD=θ,

.?--..?..，.2..2

因?yàn)镻o=3（PA+PC）=］（PB+P0）,所以（PA+PC）=（PB+PD）,

即PA+PC+IPAPC=PB+PD+2PB-PD'

則17+9+2X（-3）=m2+9+2×3×mcosθ,整理得nr+6mCoSe-Il=O①,

又在APBO中，BD?=PB;PD?-2PBpDCOSNBPD，即32=加?+9—6mcos。，則

m2-6mcos23=0②，

兩式相加得2，層-34=0，故PB=tn=E，

故在APBC中，PC=3,PB^V7^,BC=4,

第12頁/共28頁

所以c。SNPCB=PC一P4=9+1677=1

IPC-BC2×3x43

_________95"

又0<ZPCB<π,所以SinNPcB=√l-cos2ZPCB=-

3

119fΓ

所以^PBC的面積為S=-PCBCSinZPCB=-×3×4×_2_=4,2

223

故選：C.

27

己知橢圓廠+y3

12.尸，尸為兩個(gè)焦點(diǎn)，0為原點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，cosZFPF=',則IPoI=

I2

965

()

2B.a3

A.C._D?

525'F

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，從而得HlOP的

值;

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出甲J產(chǎn)，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積

即可求出;

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出∣P<1+f尸J0，即可根據(jù)中線定理求出?

Tt/FPF

【詳解】方法一：設(shè)NFPb=2。0<&,所以Sb1tan12=b1tanθ,

'22,FA2

cos2^-sin2^1-tan2θ31

由CoSZF1PF2=cos2θ=----------------≡-------,--解--得--:tan0——,

cos2sin21+tan2。52

由橢圓方程可知,a2=9,h2=6,c2=a-h2=3，

)χ2Bχ∣y∣=6χ∣

所以，SK白牛，,解得:ν=3,

△Pg2P2P

39,_7τ.3∩

即?=9×(1-,因此OP=--------3+"L=≥{2-

6.12II

故選：B.

方法二：因?yàn)镮為+「叫2”6①，:2產(chǎn)P~∕f?

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而不d=；(麗+麗)所以,P口而卜;玩+港I

1I--------3-?30-

即而|=；|羸+港阿西.麗+行；『=_/21+2×-X—=

IgYf+22V522

故選：B.

2

方法三：因?yàn)镮Pq+產(chǎn)"。=6①，F(xiàn)2f∕γ∣—2FFnFP仁Fg

BIJIPFI2I^∣2-∣華卡『12②，聯(lián)立①②，解得：儼］+儼∣-=21,

由中線定理可知，(2「「『+『尸j=24尸;/+產(chǎn)j)=42,易矢,邙=2、后，解得:oq=^-

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難

度不是很大.

二、填空題

(πλ

13.若y=(x-l)2+&v+sin'x+'為偶函數(shù)，貝IJa=

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到,從而求得α=2,再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】囚為丁一/(X)=(X-Iy+αχ+sin［x+兀］=(無一I?+&x+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

2

，兀、(兀Yππ

12八2J22

=2兀，故。=2,

此時(shí)/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+l+Cosx，

第14頁/共28頁

所以/(T)-(T)2+l+cos(-x)=x2+1+COSX=/(X),

又定義域?yàn)镽,故/(尢)為偶函數(shù)，

所以4=2.

故答案為：2.

一2X+3y≤3

14.設(shè)JGy滿足約束條件b%-2y≤3,設(shè)z=3%+2y,則Z的最大值為____________.

?χ+y≥i

【答案】15

【解析】

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.

【詳解】作出可行域，如圖，

斗、、3x]y=3

3Z

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=4x「過點(diǎn)A時(shí)，Z有最大值，

22

f-2x+3y=3CX=3

由;可得，即A(3,3),

[3x-2γ=31y=3

所以Zmax=3×3+2×3=15.

故答案為：15

15.在正方體ABCO-48Gn中，E,F分別為CD,A8的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條

棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,EF中點(diǎn)為。，取43,中點(diǎn)G,M,側(cè)面仍IGC的中心為N,連

接FG,EGQM,ON,MN,如圖，

第15頁/共28頁

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF?√FG2+EG2?√22+22=2√2>

即R=G，

則球心。到BBl的距離為OM=SN2+MN2=『=J2,

所以球。與棱Bg相切，球面與棱BBI只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在A4BC中，AB=2,ZBAC=60o,BC=√6,D為BC上一點(diǎn),AO為NBAC的平分線，則

AO=.

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)等面積法求出AO；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出B,C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

如圖所示：記AB=C,AC=A,BC=。，

方法一：由余弦定理可得，2?+/?2-2×2×∕7×cos600=6，

因?yàn)閎>o,解得：人=1+、，3，

由SAABC=SqRBD+SAAeD可得,

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_x2x〃×sin60°=_×2×AD×sin30°+_×AD×h×sin30',

222

02式1+力

解得：AD=v=---?=-=2.

1+23+3

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，2?+〃-2χ2χ"xcos60°=6,因?yàn)閎>0,解得：匕=1+、石，

由正弦定理可得，\二一—2解得:SinB=叵匕0，SinC=0，

sin600sinBsinC42

因?yàn)?+J5>√7>應(yīng)，所以C=45°,8=180°—60—45°=75°，

又NBAO=30"，所以NAoB=75°，即Az）=AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī).

三、解答題

17.已知數(shù)列｛④｝中，42=1,設(shè)S為｛或｝前"項(xiàng)和，2Sn=nan.

（1）求｛。"｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列J"""'的前"項(xiàng)和T.

IIn

【答案】（1）an=n-I

/、門Y

2-（2+）『J

⑵Tlt

【解析】

［分析］(I)1≡α=∫S,"=1即可求出;

2,Fz≥2

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出.

【小問1詳解】

因?yàn)?S“=na”,

當(dāng)〃=1時(shí)，2αι="ι,即α∣=0；

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當(dāng)〃=3時(shí)，2(1+。3)=3。3，即?3=2,

當(dāng)〃≥2時(shí)，2S,ι=("l)α,ι,所以2(S“-Si)="%-(〃T)%=2%，

化簡(jiǎn)得：(n-2)a=(n-l)a,當(dāng)〃23時(shí)，上=%_=…=2=1,即a=〃—1,

"1o≡Fn≡22n

當(dāng)〃=1,2,3時(shí)都滿足上式，所以4=〃一1(〃GN*).

【小問2詳解】

1(?、2∏γπτ

產(chǎn)=bV+2X.+...+(K"+叫小

√

兩式相減得,

Z1λzlλ11(IY1

J］、2,,

HI叫

+_?+田f∣-43y=2?1--√1/I?⑶?

1^2

18.在三棱柱ABC-ABG中，AAi=2,ACj_底面48(7,NACB=90。，AI到平面BeGBl的距離為1.

（2）若直線M1與BB1距離為2,求ABI與平面BCC1B1所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）、

13

【解析】

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【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得AO，平面8CC∣q,再由勾股定理求出。為

中點(diǎn)，即可得證；

（2）利用直角三角形求出ABl的長(zhǎng)及點(diǎn)A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【小問1詳解】

如圖，

Bl

VA1Cl底面ABC,BC<z≡ABC,

.?.ACLBC,又3CLAC,AC,ACu平面ACG4，AlCnAC?C,

.?.Be，平面ACC1A1,又BCT面BCCtBl,

平面ACClAl_L平面BCCiBi,

過AI作A0_LCG交CG于0,又平面AcGAln平面BCGBl=CG,AloU平面ACG4,

.?.Aloj.平面BCGBl

???A到平面BCGBl的距離為1,ΛA1O=I,

在RtZ?4Cel中，AlCj_AG,CCι=A4ι=2,

設(shè)C0=x,則C∣0=2-x,

???△AOC,^AOG,aACG為直角三角形，且CG=2,

CO2+AO2=AC2,AO2+OC2=CA2,AC2+AC1=CC1,

1??I1111?I

Λl+x2+l+(2-x)2=4,解得X=I,

AC—A1C=AIG=<2,

AC=A1C

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【小問2詳解】

.?ACAιC?,BC1A↑C,BCLAC,

：.Rt?ACB^Rt?ACB

：.BA=BAi,

過8作BO?LA4∣,交A4∣于。，則。為A4∣中點(diǎn)，

由直線AA1與BBl距離為2,所以BQ=2

'?'A1D=1,BD=2,A1B-AB='5,

在Rt?ABC,.?.BC=AB2-AC2=J3，

延長(zhǎng)AC,使AC=CM,連接GM,

由CM〃劣GCM=A∣G知四邊形AlCMG為平行四邊形，

CtM/∕AlC,.?.ClM1平面ABC，又AMU平面ABC,

.?.C1MIAM

22

則在RtZXAGM中，AM=2AC,GM=AC,.?,AC1?y∣(,2AC)+AiC.

22

在RtAABC中，AG=λ∕(2AC)+AC,B1C1=BC-=J3，

5

AB}=7(2J)+(2√+(?)?≈B,

又A到平面BCGg距離也為I.

所以AB與平面BCCB所成角的正弦值為1_7函

'''√13^^13^'

19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將4（）只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組

（加藥物）.

（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對(duì)照組：17,318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

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(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)〃i,并完成下面2x2列聯(lián)表:

<m≥m

對(duì)照組

實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作

用.參考數(shù)據(jù)：

?0.100.050.010

Pgk)2.7063.8416.635

【答案】(D分布列見解析，E(X)=I

(2)(i)m=23.4；列聯(lián)表見解析，(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4,從而求得列聯(lián)表；

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【小問1詳解】

依題意，X的可能取值為0,1,2,

C0,C?19C1C,'20C?19

則P(X=O)=2"°=,P(X=I)=92g0=,p(χ=2)=2>°=,

第。78C；39178

所以X的分布列為：

X012

192019

P

783978

1o201Q

故E(X)=OJ+1—+2x=1.

783978

【小問2詳解】

(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)

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的平均數(shù)，

由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，

可得第11位數(shù)據(jù)為14.4，后續(xù)依次為17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6”，

所以m-=23.4,

2

故列聯(lián)表為：

<m≥m合計(jì)

對(duì)照組61420

實(shí)驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

40×(6×6-14×14)2

(ii)由G)可得，K=------------------------=6.400>3.841.

20×20×20X20

所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

20.已知直線x-2y+l=0與拋物線Uy2=2pχ（p>0）交于A,8兩點(diǎn)，且IABl=4、記.

（1）求P；

（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F,M,N為C上兩點(diǎn)，MF?NF=O,求面積的最小值.

【答案】（1）P=I

（2）12-8

【解析】

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出P；

（2）設(shè)直線MN:X=my+n,M（x∣,y）,N（九2,必），利用MF?Nf=0，找到加，〃的關(guān)系，以及^MNF

的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.

【小問1詳解】

設(shè)A（XA,w）,B（xβ,yβ）,

[x-2y+l-0

由可得，V-4py+2p=0,所以y+y=4p,yy=2p,

]2?ABAB

Iy=2pχ

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所以同=八-%)+,24、記，

IAJ(Z-XB)2+(>2=^\yA-yβ∣=^×√(Λ>B)-X^=4

即2fΓ-p-6=0,因?yàn)镻>O,解得：P=2.

【小問2詳解】

因?yàn)槭?1,0),顯然直線MN的斜率不可能為零，

設(shè)直線MN：x=my+n,M(xl,γ1),jV(x2,γ2),

fy2-4x

由<可得，y2-4my-4H=0.所以，y?+y2=Am,y?yι=-An,

?x=my÷n

Δ=16m2+16π>0=>m2+>0，

因?yàn)镸F-NF=Q,所以(XIT)(X2—l)+yi”=0,

即(myι+n-l'?(my2+"T)+y1y2=0,

亦即(機(jī)2i+