九師聯(lián)盟2024屆高三12月質(zhì)量檢測數(shù)學試卷及答案（新教材-L）

高三數(shù)學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前,考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題

目的卷案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)

作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命，范面;集客：常?用履%由鼠式'、1￡號數(shù):=角?函齷:?！唤切?、平面向量、復數(shù)、數(shù)

列、立體幾何、直線與圓、圓錐曲線。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合A={yk(十)1￡[-5,0)},8={必2|k1083工,尤4},則4|"|8=

A.{2,3}B.{1,2,3}

C.{y\l<y^log332}D.{yl0<y<log332}

2.已知復數(shù)z滿足河=2—i,則Z=

N—21

A73.o7.3.

「37.3,7.

c~~2~~2lD--T+71

3.已知直線Z1:az+2y-a+l=0,直線l2:工+(。一1下一2=0,則“a=2”是7〃?！钡?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知sin(6—金)=福?，貝I]sin(2e+gj=

A.4-B.乙C.—D.-J

olo10o

5.已知P為雙曲線C：z2一￥=i右支上的一個動點，若點P到直線y=2z+5的距離大于m恒成立，則

實數(shù)m的取值范圍為

A.(-8,5]B.(―8,痣]C.(—oo,2]D.(—oo,l]

6.在平面直角坐標系箱、中,4(1,0)1(0,3),以3,0),動點P滿足|守|=1,貝ij|市+次+。方|的最

大值是

A.710+1B.5C.2&+1D.6

7.已知棱長為4的正四面體A-BCD,用所有與點A,B,CD距離均相等的平面截該四面體，則所有截

面的面積和為

A.16+4-73B.12+4悟

C.85/3D.473

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學第1頁(共4頁)】新教材一L

8.若/Q)為R上的奇函數(shù)，/(z)為其導函數(shù)，當H>0時,+恒成立，則不等式

X3/(^)+(2X-1)3/(1-2J-)<0的解集為

A.佶,1)

B.(1,3)

C.(—00,1)U(3,+°0)

D.(-8,g)U(l，+8)

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知曲線E：/+zy+J=4,則

A.E關(guān)于原點對稱B.E關(guān)于直線對稱

C.E關(guān)于》軸對稱D.(2,—2)為E的一個頂點

10.已知函數(shù)/(1)=&sin(Mr+w),g(z)=&coscar,cd>0,^E［0,“)，它們的最小正周期均為n,/(x)

+g(H)的一個零點為一專，則

A.f(z)+g(*r)的最大值為2

B./(N)+g(z)的圖象關(guān)于點(一專,0)對稱

CJ(z)和g(z)在［與窄］上均單調(diào)遞增

D.將f3圖象向左平移點個單位長度可以得到g(z)的圖象

11.已知F為拋物線(：,=4工的焦點,A(皿，yl),B(z2，y2)是C上兩點,O為坐標原點,M為z軸正半

軸上一點，過B作C的準線的垂線，垂足為B,,AB的中點為E,則

A.若|AF|=3,則AAOP的面積為他

B.若|BBJ=21OF|,則四邊形OFBBi的周長為3+西

C.若|AB|=6,則E到y(tǒng)軸的最短距離為3

D.若直線AB過點M(2,0),則E為定值

12.如圖，已知正三棱臺ABC-AiBiG的上、下底面的邊長分別為4和6,側(cè)棱長為2,以點A為球心，

2次為半徑的球面與側(cè)面BCGB1的交線為曲線F,P為「上一點，則

A.CP的最小值為2"一2

B.存在點P,使得AP±BC//

C.存在點P及BC上一點Q,使得AP〃A】Q...\

D.所有線段AP所形成的曲面的面積為中

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.已知平面向量a,b滿足|a|=2|”=2,|a—b|=2/ijcos〈a,b〉=.

14.已知實數(shù)滿足(工-1)2+丁=1,則由的取值范圍為.

15.已知函數(shù)/(2)=1。&與?10&m，若對不相等的正數(shù)?，&，有/(?)=/(生)成立，則1+9的最小

04/X\JC2

值為.

16.已知橢圓C：￡+￡=l(a>6>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)?,以線段FIF2為直徑的圓與C在第一、

第三象限分別交于點A,B,若|AB|&4|BF||，則C的離心率的取值范圍是.

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學第2頁(共4頁)】［新教材一L

四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）

如圖，在△ABC中,AB=2,AC=1,過B,C分別作AB,AC的垂線交于點D.

⑴若BD=3,求cosAi

（2）若ND=60°,求CD.

18.（本小題滿分12分）

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝XazX…X%，且a“+n“=l.

（1）求｛a.｝的通項公式；

（2）若6.=&坦-1,｛乩｝的前〃項和為S“，證明

19.（本小題滿分12分）

已知動點p到點F（畬,0）的距離是到直線工=咯的距離的西倍，記動點P的軌跡為曲線r

（1）求r的方程；

（2）過點A（l,l）能否作一條直線/，使得，與「交于B,C兩點，且A是線段BC的中點？若存在，求

出直線I的方程;若不存在，說明理由.

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學第3頁（共4頁）】I新教材一L

20.(本小題滿分12分)

如圖，在三棱柱ABC-A出G中，6=CB=2,CAJ_CB,D,E分別是CB,CA的中點，GD=GE=2.

⑴若平面ACGA」平面BCGBi，求點C,到平面ABC的距離;

⑵若CG=&，求平面ACGAi與平面BCGBi夾角的余弦值.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(j-)=ln(x+l)—X2—l(aGR).

(1)當a=-2時，存在Ji[0,1],使得/(xi)—/(JC2)2M,求M的最大值；

(2)已知小，”是〃了)的兩個零點，記，(幻為/(z)的導函數(shù)，若m,〃e(O,+8),且

證明：/(么鏟)V0.

22.(本小題滿分12分)

已知橢圓r：￡+￡=l(a>6>0)的長軸長為2西，離心率為竿，斜率為A的直線/與橢圓「有兩個

不同的交點A,B.

(1)求「的方程；

(2)若直線I的方程為y=z+t,點關(guān)于直線I的對稱點N(與M不重合)在橢圓廠上,求t的值;

(3)設P(—3,0),直線PA與橢圓F的另一個交點為C,直線PB與橢圓F的另一個交點為D,若點

C,D和點Q(—'三點共線，求k的值.

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學第4頁(共4頁)】I新教材一【」

高三數(shù)學參考答案、提示及評分細則

1.A由題意知人=仃|1＜丁＜32},當1￡4時,0〈1083支忘1。8332￡（3,4）,所以B={1,2,3},所以Ap|B={2,3}.故

選A.

2.C由題意得z+i=（2—i）（2：—2i），所以（-l+i）z=-2—5i,所以之=，,故之=；_：W：_:—=-笠+

1~i,所以之=—-，i.故選C.

3.C若。=2,則3：22+2y—1=0"2:力+6―2=0,易知3〃。，所以％=2”是%〃心”的充分條件;若卜"h,則

a（a—1）—2=0,且一2若M—a,所以。=2,所以、=2”也是&〃/的必要條件，故％=2”是乜〃/的充要條件故

選C.

4.Dsin（2^H--）=sin「2（9—卷）H--y=cos2（夕——居）=1——2sin2（6——卷）—1——2乂4=—1-.故選D.

oI-J,乙乙_IJL乙,乙X0O

5.B雙曲線C的漸近線方程為，=±2z,直線y=2x+5與其中一條漸近線y=2z平行，二者之間的距離d=?5"°?=

V5

用，且直線，=2式+5在直線，=2z的左邊，由題意知點P到直線y=2z+5的距離大于西，所以以或1所以實數(shù)小的

取值范圍為（-3,西［.故選B.

6.DEh|CP|=1,得動點P的軌跡是以C〈3,0）為圓心，以1為半徑的圓，其方程為＜z—3〉2+，2=1,設「（處3,），則

|公+5§+殍|=，（z+l）2+（，+3）2,表示圓C上的點P到點＜—1.一3）的距離，所以I就+也+/1g=

V（3+1）2+32+1—6.故選D.

7.B與點A,B,C,D距離均相等的平面可分為兩類,一類是平面的一側(cè)是1個點，另外一側(cè)有3個點（如圖1）,此時截面

過棱的中點，且與一個面平行，故截面三角形與平行的面（三角形）相似，相似比為方，故其面積為/x}x4X4sin60"

=而，這樣的截面共有4個，故這類截面的面積和為4①,另外一類是平面的兩側(cè)各有2個頂點（如圖2）,因為正四面體

對棱垂直，易知四邊形PQMN是邊長為2的正方形，其面積為4,這樣的截面共有3個，故這類截面的面積和為12,故符

合條件的截面的面積和為12+473.故選B.

AA

/Ax/Ax

B乙———------------C,B△~NMc

圖1圖2

8.D令g（i）=］"（］），則g'（］〉=3冗2/（%）+^3//（1）=/\_xf'（%）+3/（%）］,由題意知當i＞0時,g，（久）＞0,故

g（l）在（0,+8）上單調(diào)遞增.因為/（1）為奇函數(shù)，所以g（—%）=（―%）3/（一力）=一久3?匚―#］）］=￡3/（彳）=

g（支），即g（￡）為偶函數(shù)，所以原不等式變?yōu)?）,所以g（|支|）＜g（|2^-l|），所以I尤IV

|2%—1|，解得竟＜《■，或1〉1,故原不等式的解集為（一8,十）U（1,+8）.故選D.

9.ABD用一”和一y替換方程中的1和y,化簡后方程不變,故曲線E關(guān)于原點對稱，故A正確;用y替換方程中的了，

同時用1替換方程中的、，方程不變，故E關(guān)于直線丁=1對稱，故B正確;用一支替換方程中的1,方程變?yōu)閤2-xy+

V=4,與原方程不同，故E不關(guān)于了軸對稱，故C錯誤;用一比替換），同時用一v替換元，方程不變，故E關(guān)于直線了=

（%=2,（%=—2,

一尤對稱，聯(lián)立，解得或由頂點的定義知，（2,—2）為E的一個頂點，故D正確.故

屋2+%y+y29=4,1'=-21）=2,

選ABD.

【高三12月質(zhì)量檢測-數(shù)學參考答案第1頁（共6頁）】|新教材一L|

10.BCD因為的最小正周期為冗，故孑=兀，所以3=2,所以/（1）+8（￡）=&淪（2￡+中）+氏OS2上又

/（力）+g（z）的一個零點為■，所以V^sin（—f'+e）+用cos（—）=0,即sin（中—）=—，又96匚0,江），故

（P———，所以少=/，所以f（x）=J2sin（2x~\-）,g（i）=4^cos2z,所以/（z）+g（z）=42,sm（^2x~\~~）+

72cos2i=西（-^-sin2%+與cos2%）=痣sin（2%+g），故匚/（久）+g（l）Umax=乃，又/（一冷）+g（一當）=。,故

/8+g9的圖象關(guān)于點（一學,0）對稱，故A錯誤，B正確；易求/9的單調(diào)遞增區(qū)間為

[/+垢,禍■+上?（：]（氏ez）,g（l）的單調(diào)遞增區(qū)間為[—全+〃兀,改冗]（〃ez）,二者的交集為[+加冗，相兀]

（mGZ）,又[箏果][[一++加兀,小]（機-），故C正確；將八1）的圖象向左平移/個單位長度，得y=

A/2-sin^2（I++）H-]=4^sin（2rr+）=4^cos2x=g（j：），故D正確.故選BCD.

11.AD對于A,|AF|=l+li=3,則=2,所以|2|—2^/2"，所以S^AOF=~^~IOF|T2|=十X1X2A/2^—A/2^，故A

正確;對于B,由題意知|OF|=1,且BFXz軸，由拋物線的定義知|BR|=\BB,\=2,故|第I=2,所以B1（一1,北），

所以|OB|，所以四邊形OFBBi的周長為西+1+2義2=5+"，故B錯誤;對于C,過A,E

分別作C的準線的垂線，垂足分別為A,Ei,則|班|=方（|AAi|+|BB]|）=母（|AF|十|BF|）>y|AB|=

3,當且僅當直線AB過點F時等號成立,所以點E到y(tǒng)軸的最小距離為3—1=2,故C錯誤;對于D,設直線AB的方

3=4工，

程為工=沖十2,聯(lián)立方程，得消去z并整理，得力一4切一8=0,則△=16/+32>0,且北十北=七,22=

廢=切+2,

f卅]4]=],]=],]=—十一=

8,收|A4A|2十|MB|2—（乃一2）2+尤+（論—2〉？+丘一（1+—）乂+（1+〃）%一<1+/）乂必"

2

（"A號:MF=HT，即吊甲+小為定值，故D正確?故選AD.

12.ACD延長正二棱臺的三條側(cè)棱交于點O,取BC的中點D,連接OD交3G于E,則

E為BC的中點，由題意得了篝杯=衰=得，所以04=4,所以AO=6,所以OD

=AD=3乃,OE=2DE=2痣，所以cos/AOD=^^^^=§，所以AE=

?AO2+OE2—2AO?OEcos/AOD=2痣，所以AD2=A￡?+DE2,所以AE_LDE,易

證BC_L平面ADE,又AEU平面ADE,所以BC_LAE,又DEnBC=D,BC,DEU平面

BCGBj，所以AE，平面BCGBL又球A的半徑為2斤，故在側(cè)面BCG5上的截面圓的半徑r=

萬產(chǎn)二互而^=2,故曲線r是以點E為圓心，以2為半徑的兩段圓弧0和命（如圖所示，其中F,G為BC

上到點E距離為2的點）.CE=，32十（點?=2偌,故CP的最小值為2偌一2,故A正確；因為AE_L平面BCC.B,,

要使AP_LBC,則P在線段DE上，又P在羲1和傘上，由圖知,二者無公共點，故不存在點P,使得AP±BC,故B錯

誤;當點P在點G處時,AP〃平面ABiG,過點A,P,A]作平面必與場G有公共點Q,故存在P以及SC上的點

Q”使得AP〃AiQ,故C正確;易求得NBiEF=/GEG=-1，所以羨'和晶的長均為學，所有線段AP所形成的曲面

的展開圖為兩個扇形，其面積和為2xjx專X2〃=生歙，故D正確.故選ACD.

13.3因為|a-b\=2,所以a2—2a?b+/=4,又|a|=2|6|=2,所以a?卜=得,所以cos<a.Z>>=-i―：：，，?=：.

14.[—與，專]設尤.=K則y=k（i+l）,由題意知，直線y=k（i+l）與圓（i—I*+y=1有公共點，故

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學參考答案第2頁（共6頁）】I新教材一口

國蕓寺"wi，解得一名W叔與，故品的取值范圍為［—與，釗.

15.y"工)=log3-y-logs=Clog3^-1)Clog3^-3)=(logsz)？-41og3z+3,因為f3〉=f5)，則logs?+

10年，當且僅當小=：，即

噫處=4，所以1*5=4,即冗皿=81.又為56（0,+oo），所以需+高》2

解得0＞考；當2a2匕2c2Wf時，解得50c2W34",即,即,所以彳＜忘^^.

17.解：（1）由題意，得/ACD=/ABD=90°,

所以A+D=180°,/D

由AB2+BD2=CD2+AC2得CD=2^3.................................................................................1分

在AABC中，

由余弦定理，得BG=AB：'+AC2—2AB?ACcosA,

即BG=5—4cosA,...................................................................................................................2分

在ADBC中，由余弦定理，得BGuBD+CD，—2BD?CDcos(180°—A)，\

_A'-----------------

即BG=21+129cosA,..............................................................................................................................................................3分

兩式聯(lián)立消去BG,得(4+12西)cosA=—16,所以cos4=之薩&.....................................5分

(2)因為A+D=180°*D=60",所以A=120°,

由余弦定理，得BC2=5—4cos120°=7,所以BC=77...........................................................................................................6分

在^ABC中，由正弦定理，得馬或二焉,

所以sin/ABC=4，..................................................................................................................................................................7分

又NABD=NABC+/CBD=90°,所以cos/CBD=sinNABC=

2次'

所以smSD=Jl—（系）=號,...............................................................

五八nn，、巾CDBC由［“廠nBC,sin^/CBD5痣iczv

在△DBC中，./—)/=十而，所以C0=--------------------=="?.............................................................................1°分

sin^CBDsinUsmD3

18.(1)解:因為④+H〃=l,

當n=1時,+H1=1,由Iln—6Z1Xil2XXtz?知III—￡Z1，所以III—<21=4................................................................1分

當7222時代入(2"+n〃=l,得Y^-+IL=1,......................................................................................................2分

lln1U〃1

兩邊同除以n〃，得—=i,.................................................................................................................................................3分

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學參考答案第3頁（共6頁）】|新教材一口

所以｛』｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列*.....................................................4分

所以看=2+（%—1）Xl=%+1,所以.....................................................5分

又<2"+n”=1,所以aa=1—IL=1-工]......................................................6分

⑵證明：由⑴得"言T=“"L）=U_w.........................................7分

當G3時,S=母（1—母）+1（十一5）+/（母一1）+???+/（占一等）+言（看一上）

=.（1—.+.—0+：—:+…+!—也）

=方（1+3—上一土）二十（停一告一W），...................................9分

而當％=1,2時,Si=1■,Sz=費也滿足上式，所以S〃=1■（1—）?.........................10分

11Q

因為％+]>?！?2>。,所以S“<N,

易知數(shù)列｛S｝單調(diào)遞增，所以S〃>S]=等,

所以V-|-..............................................................................12分

19.解：（1）設P（z,y）,因為F（右,o）,所以|PF|=，（]—同）2十?2,.................................1分

點P到直線工=恪的距離”=工一電，...........................................................2分

J5

由題意知\PF\=kd,即，（％—而）？+已=后x—他，

5

化簡,得興一千=1,即r的方程為/—￡=i......................................................4分

（2）假設存在直線I滿足條件，設B（乃小），C（l2，2），則

這一號=1,忌一疊=1,.........................................................................5分

所以宕一必一例J2=0,即5+?2）（1]-+62[（M212,...............................6分

因為A為線段BC的中點，所以以產(chǎn)=1,"尹=1,即見+及=2,紈+2=2,

所以2（7]—及）="叼貯，所以地口=4,即/的斜率為4,.......................................8分

411一22

所以直線/的方程為V—1=4（1—1）,即）=4]—3..................................................9分

—武=1

聯(lián)立方程，得彳4'消去了并整理得12/-24久+13=0,

〔,=4%-3,

△=（-24）2—4X12X13=-48V0,.............................................................11分

所以直線/與r無公共點，這與直線/與r交于B,c兩點矛盾，

故不存在過點A的直線滿足條件................................................................12分

20.解：以C為坐標原點,CA,CB所在的直線分別為支軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（2,0,0），B（0,2,0），D（0,l,0），E（l,0,0）,...................................................1分

設G（城,6,c），因為CiZynaZ+e—l）2+c2,GE2=（a—1）2+62+C2,GD=GE,

所以（2=6,則G（a,a,c）,CA=（2,0,0）,

CB=（0,2,0）,CCi=（<2,<2,c）....................................................................2分

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學參考答案第4頁（共6頁）】|新教材一U

?n-CB=O,（22=0,

設平面BCGBi的一個法向量n=（g小，軟），則《一即

（n?CCi=0,1ali+a）i+CNI=0,

令=c，則加=0,2i=-a,所以〃=（c,0,la）,...................................................3分

Im-CA=0,（2x2=0，

設平面ACGA1的一個法向量”=（也，Z，22）,則＜一即

m?CCi=0,1aiz+ayz+c22=0，

令？2=c，則1=0,22=—a,所以帆=（0,c,—a）......................................................4分

因為平面ACC1Al_L平面BCC1B1,所以n±m(xù),

所以"機=0,即（一々）2=0,所以a=0,

所以G（0,0,c）,所以點G在之軸上，即CGJ_平面ABC,.................5分

因為CAU平面ABC,所以CGXCA,

又GE=2,CE=1,所以CGn/GE2—CE2=偌,

故G到平面ABC的距離為偌..........................................6分

（2）由（1）知G（a,a,c）,由CG=Q,則+笳+.N=。,

因為GE=2,所以y（a-l）2-ka2+c2=2,

所以a——坐，所以Ci（—三,一方堂）..........................8分

由（1）知平面BCC出的一個法向量”=（啰,0,1），平面ACGA1的一個法向量m=（0,呼,3），..........10分

設平面ACGAi與平面BCC13的夾角為出

則cos9=Icos<m,n>|=|,L7?ll,T=

即平面ACCAi與平面BCC出的夾角的余弦值為.............................................12分

21.(1)解：當a=—2時,/(工)=島(￡+1〉一工2+2工一1,

則/(了)的定義域為(一1,+8)，且/<a：)=告一2z+2=5W，.....................................1分

當zC匚0,121時"'0)>0,所以/<工)在匚0,11上單調(diào)遞增，

所以/〈工)在［0,121上的最大值為/(l)=ln2,最小值為/(0)=—1,...................................3分

由題意知)—fCx2)Zlmax=/(l)max—/(力)min=畝2+1,

故M的最大值為In2+1........................................................................4分

2

(2)證明：由題意知—m—am—1=0"(〃)=ln(/?+l)—/—an—1=0,

所以/Cm)—/(n)=In7H-(加+〃)Cm—n)—adm—n)—0,

所以Q=---In'"士'一(加+")..................................................................6分

m—n%十1

因為/(%)=/；］-2%-二,

所以f)=-2—(徵+〃)-a=-?I-<m+/2)------In"亡心+(m+n)

\N7租十〃十N"?十〃十N9m-nX十】

yzz+1

=—2_______1—in..........................................................8分

m+n+2m-n〃+1'

所以要證/（嗎N）＜0,只要證+2——Lin茨異＜0,

\乙）加十〃十Nm—n〃十1

因為所以只要證駕彗十ln唁〈0,.....................................................9分

m-rn~r^n~\~1.

令%=；：；，則0＜力＜1，即證：+：+lnt＜ZO，

【高三12月質(zhì)量檢測?數(shù)學參考答案第5頁（共6頁）】|新教材一口

人/、_2—2^11/八/—1、mrl'z、_—2(%+1)—2(1—Z)I1_(t—1)21八人

令€”)==+必*0<t<1)，則8?〉=^T+7P+7=”，+I〉2'.....................10分

因為所以g'")>0,

所以g〈力在〈0.1)上單調(diào)遞