2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)卷(新高考1卷)含答案解析(原卷版)

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新高考1卷)

數(shù)學(xué)

副標(biāo)題

學(xué)校：——姓名：一班級(jí)：——考號(hào)：一

題號(hào)一二三四總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題

目的一項(xiàng))

1.若集合M={x|?<4},N={x|3x21},則MnN=()

A.{x|0<x<2]B.{x||<x<2}

C.{x|3<x<16]D.{x||<x<16}

2.若i(l-z)=1,則z+2=

A.-2B.-1C.1D.2

3.在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2ZM.記刀=萬，而=元,則而=()

A.3m-2nB,-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水

庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0卜山2；水位為海拔

157.5m時(shí);相應(yīng)水面的面積為180.0卜62將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一

個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(6”

2.65)()

A.1.0x109/B.1.2x109nl3C.L4xl09nl3D.1.6x109nl3

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()

第1頁，共22頁

A.\B.TC.2D.,

6.記函數(shù)f(%)=sin(cox+?)+b@>0)的最小正周期為T.若稱vT<兀，且

y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)

潦,2)中心對(duì)稱,則/《)=()

A.1B.|C.|D.3

7.設(shè)b=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB,c<b<aC.c<a<bD,a<c<b

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為I,其各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若該球的體積為36TT,

且3W，S3g，則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18號(hào)]B.噂為C.4,金D.[18,27]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知正方體4BCD-4iBiQDi，則()

A.直線BQ與所成的角為90°

B,直線BCi與CAi所成的角為90°

C.直線BCi與平面BBiDi。所成的角為45°

D.直線BCi與平面4BCD所成的角為45°

10.已知函數(shù)/'(x)=爐一%+1,則()

A.f(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

11,已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(1,1)在拋物線C-.x2=2py(p>0)±,過點(diǎn)8(0,—1)

的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則()

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線ZB與C相切

C.\0P\■\0Q\>|。川2D.\BP\?\BQ\>\BA\2

12.已知函數(shù)/Q)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)镽,記g(x)=f'(x).若/"(I-2X),

9(2+工)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-；)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

第H卷(非選擇題)

第2頁，共22頁

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(1-2)Q+y"的展開式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

14.寫出與圓芯2+y2=1和(X_3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方

程.

15.若曲線y=Q+a)/有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是.

16.已知橢圓C5+3=l(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為4兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2>

離心率為看過％且垂直于上的直線與。交于。，E兩點(diǎn)，|陽=6,則△力DE

的周長是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟)

17.(本小題10.0分)

記S”為數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和，已知即=1,｛￡｝是公差為3的等差數(shù)列.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：/+*+…+*<2.

18.(本小題12.0分)

記△力BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知皆”叱

l+sin/4l+cos2B

(1)若。=季求8;

(2)求邛的最小值.

*

19.(本小題12.0分)

如圖，直三棱柱4BC—AiBiCi的體積為4,ZkaiBC的面積為2vL

(1)求A到平面&BC的距離；

(2)設(shè)D為&C的中點(diǎn),44i=4B,平面4BC1平面求二面角A-BD-C

第3頁，共22頁

的正弦值.??

OO

..

..

..

..

..

鄭

鄭

..

..

..

..

..

..

..

..

..

OO

.※.

.※.

..

.I※I.

.※.

體小題分).如.

20.12.0※

I※I

一支醫(yī)療團(tuán)隊(duì)研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良-I-

.-※￡.

好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例.※.

.鄭.

組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù):.※.

.※.

不夠良好良好氐

O※O

※

病例組

4060.摒.

.※.

對(duì)照組1090.※.

.祖.

※

能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？..

(1)99%※

媒

堞

從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示鄲

(2)4B.※.

.※.

..

事件“選到的人患有該疾病”，撰罌與黑"的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾長

..

.※.

.※.

..

病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.姻.

..

.派.

OO

⑴證明?R一°里⑼P(7E).※

..

..

3)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出PQ4|B),ppE)的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估..

..

計(jì)值...

..

附.K2=n(ad-bc)2

代

一(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)'氐

.

..

2.

P(K>k)0.0500.0100.001..

..

..

k.3.8416.63510.828..

..

..

..

OO

21.(本小題12.0分)..

..

..

第4頁，共22頁

.

.

.

.

.

O己知點(diǎn)4(2,1)在雙曲線礙一番=l(a>D上，直線，交C于P，Q兩點(diǎn)，直線

.

.AP.AQ的斜率之和為0.

.

.(1)求I的斜率；

.

.(2)若tantPAQ=2近，求APAQ的面積.

鄭

.

.

.22.(本小題12.0分)

.

.

.已知函數(shù)/(x)=ex-ax和gQ)=ax-Inx有相同的最小值.

.

.

O(1)求a;

.(2)證明：存在y=b直線，其與兩條曲線y=/(%)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交

.

.點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

.

.

.

“

af中

-*

.

.

.

.

.s

O

.

.

.

.

.S

堞

.

.

.

.=

.輅

.料

.

O

.

.

.

.

.

.

氐

.

.

.

.

.

.

.

O

.

.

.

.

.第5頁，共22頁

.

答案和解析

O

1.【答案】D

【解析】

【分析】

郢

本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

先求出集合M,N,再由交集的運(yùn)算可得.

【解答】

解：因?yàn)镸={x[O16},/V={x|x>|),O

故MnN=16}.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算及共輒復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

OO

【解答】

解：z=1+i,z+2=1+i+1-i=2.

3.【答案】B堞

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】OO

解：CD=^CA+^CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

4.【答案】C

■E氐

【解析】

【分析】

本題考查了棱臺(tái)的體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

談懂題意，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式即可求解.OO

【解答】

第6頁，共22頁

解：依據(jù)棱臺(tái)的體積公式

]

K=--(S++yfsS^-h

1.-----------------------------------

=可?(140000000+180000000+V140000000x180000000)x9

*1.4X1()97n3.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型及其計(jì)算，涉及組合數(shù)公式、對(duì)立事件的概率公式，屬基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由題可知，總的取法有

(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(6,8)(7,8)

，共6+5+4+3+2+1=21種，互質(zhì)的數(shù)對(duì)情況有

(2,3)(2,5)(2,7)(3,4)(3,5)(3,7)(3,8)(4,5)(4,7)(5,6)(5,7)(5,8)(6,7)(7,8)共14個(gè)，所以兩

個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為P=”=|.

6.【答案】4

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，屬于中檔題.

【解答】

解：由題可知：T=G,所以6(2,3).

又因?yàn)閥=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)寫,2)中心對(duì)稱,所以6=2,且〃^XsinQx與+

"b=2.

所以3=|(/c—/)，keZ,所以3=|.所以f(x)=sin(?x+今)+2.所以/(])=1.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

第7頁，共22頁

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)比較大小，關(guān)鍵是構(gòu)造合適的函數(shù)，考查了運(yùn)算能力，屬于較難題.

先構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ln(l-x),x€(0,0.1],利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較a,b,再構(gòu)造

函數(shù)g(%)=+ln(l-6(0,0.1],利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較a,c即可.

【解答】

解：a=O.le01,b=,c=-ln(l—0.1),

i—u.i

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

則八x)=l-±=言<°，

故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，

可得/'(0.1)</'(())=0,即lna-lnb<0,所以a<b；

(2)a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令9(x)=xex4-ln(l—x),xE(0,0.1],

則g'(x)=xex+ex--^-=(1+*-秘—,

u、'l—xl—x

令fc(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以令(%)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(乃在(0。1]上單調(diào)遞增,可得/%)>々(0)=0,即g'(%)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0,l)>g(0)=0,即Q-C>0,所以Q>C.

故c<aVb.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了球的切接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，屬較難題.

有正四棱錐的外接球的性質(zhì)，可得U=ga2八=|(6九一層加，利用求導(dǎo)求最值，即可解

答.

【解答】

解：方法(1):設(shè)正四棱錐P-4BC0的高為POi=h,底面邊長為a,球心為。，由已知

易得球半徑為R=3,

2I

V2+-

所

以n6h=I2

V22+22

/I2-a-2(6h—h)

因?yàn)?W143gn946/1W27=|W/i嚀,

第8頁，共22頁

故所以v=la2h=1(6h-九2)九，求導(dǎo)片=2(4-h)h,

所以V=家6-h)層在&4］上單調(diào)遞增，在［4或］上單調(diào)遞減，

所以%ax=Y)=y1=min{嗚),*)}=V(|)=條

故該正四棱錐體積的取值范圍是俘，算

方法(2):

由方法(1)中知V=：(6-/I)/I2,1</i<|,求導(dǎo)片=2(4—九)九，所以V20

在［|,4］上單調(diào)遞增，在［4弓］上單調(diào)遞減，所以匕皿=〃(4)=箏%m=

min{y(|)y(|)}=Y)=?>故該正四棱錐體積的取值范圍是件探］.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題主要考查直線與直線所成角及直線與平面所成角，屬于中檔題.

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷分析，即可得解.

【解答】

解：如圖，因?yàn)锽CilBiC,B［C〃DA］，所以BGJ.ZM1，故N正確;

對(duì)于選項(xiàng)8:因?yàn)?Bi，平面BB&C,BQu平面BB￡C,

所以BCI141%,

又BC［.LB［C,且nB［C=B］,力1Bi，B道u'F面CDA^B,

所以BQ1平面CDAB1，且CAAu平面CDAXBX,

所以直線BC】J.C4,故8正確；

第9頁，共22頁

.

.

.

.

.

對(duì)于選項(xiàng)C:連接為C1與％D1交于點(diǎn)。1，O

因?yàn)?平面&B1QD1，41clu平面&B1C1D1，O.

.

所以8iB_L&Ci，.

.

又41C].LB]Z)i，且Bi。[nB]B=Bi,B1D-y?Bu平面BBiD〔D,.

.

所以A。1平面BBiDiD,鄭

鄭.

則NOiBg即為直線BQ與平面BBiDiD所成的角，.

.

.

sin4BG=黑所以乙。鳳1=30。，故C錯(cuò)誤；.

.

.

.

對(duì)于選項(xiàng)。:直線BCi與平面ABCD所成的角即為ZC1BC=45",所以。正確.O

O※.

※.

10.【答案】AC.

I※I.

※

【解析】.

如.

※

【分析】※

I

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與零點(diǎn)以及曲線上一點(diǎn)的切線問題，函數(shù)的對(duì)稱性,-※￡.

※.

考查了運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.鄭.

※.

【解答】※.

氐

32※O

解：/(x)=X—x+1f'(x)=3x—1?令/''(x)=0得：x=土冬※

摒.

※.

f'(x)>0=X<-導(dǎo)或X>y：f'(x)<0=_y<X<※.

祖.

※

所以人%)在(-8,-苧)上單調(diào)遞增，在(—苧馬上單調(diào)遞減，在(冬+8)上單調(diào)遞.

※

媒

鄲

增，※.

※.

.

長.

所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)(％=-苧為極大值點(diǎn)，久=/為極小值點(diǎn))，故/正確；※.

※.

.

姻.

vV3,V3.,.[上26百V3V3,.12V3.

乂/'(一7)=一丁'一(一彳)+1=1+-5->0，/(y)=y-y+1=1-->0>派.

※O

所以f(x)僅有1個(gè)零點(diǎn)(如圖所示)，故B錯(cuò);O.

.

.

.

.

.

氐

*E.

.

.

.

.

.

.

O

.

Xf(-x)=—%3+x+1=?/(-x)+f(x)=2,所以/(%)關(guān)于(0,1)對(duì)稱，故C正確;.

.

第10頁，共22頁

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)P3),yo),在p處的切線為y-(/一々+1)=(3說1)("Xo),

即y=(3%Q-l)x-2x^4-1,

3%2-1=2

,八，方程組無解，所以。錯(cuò).

{-2%+1=0

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查了拋物線的方程，性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬較難題.

先求出拋物線的方程，然后再對(duì)選項(xiàng)ABCD一一進(jìn)行分析判斷即可得.

【解答】

解：點(diǎn)4(1,1)在拋物線CW=2py(p>0)上,

即l=2pnC:/=y,所以準(zhǔn)線為所以4錯(cuò)；

直線AB:y=2x-1代入/=y,

得：/-2%+1=0=(%—1)2=o=%=1,A=0,

所以AB與C相切，故8正確.

由題知直線PQ的斜率一定存在，

則可設(shè)直線PQ：y=kx-1,P(xi，yi)，。(電段),

?,fy=fcx—13

則|2=>x2o-kx+1=0,A=Ho-4>o=kv-2或々>2,

ly=xL

此時(shí)停

01+丫2=￥+%=01+X2)2-2%1%2=k2-2

[y32=%鴻=1

第11頁，共22頁

..

..

..

..

\0P\■\0Q\=+2)(22)=J(+y2)(y+y2)

yix+yyi2OO

..

=J(y/2)2+Si%)?1+%)+y/2..

..

=y/2+(/c2-2)=VF>