20192020學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市高一第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(A卷)一、選擇題(共12小題).1.已知集合,,則集合()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題可通過(guò)交集的定義直接求解.【詳解】因?yàn)榧?,,所以集?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,主要考查交集的相關(guān)性質(zhì),交集是指兩集合中都包含的元素所組成的集合,考查計(jì)算能力,是簡(jiǎn)單題.2.不等式的解集是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換為與之等價(jià)的一元二次不等式,從而求出它的解集.【詳解】不等式,即,即,求得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中,值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B.C D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,的值域,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,的值域.結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可知,的值域,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的值域可知,的值域.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)值域的求解,屬于基礎(chǔ)題.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則的公差為()A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式列出方程組,能求出的公差.【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,∴,解得,.∴的公差為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列公差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.5.在下面四個(gè)的函數(shù)圖象中,函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,可得函數(shù)在上為偶函數(shù),排除AC,再由函數(shù)值的符號(hào),排除D,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),,有,即函數(shù)在上為偶函數(shù),排除AC,在區(qū)間上,,,函數(shù)圖象在軸上方,在區(qū)間上,,,函數(shù)圖象在軸下方,軸上方和下方的部分各占區(qū)間的一半,排除D;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選擇圖象,會(huì)判斷函數(shù)的性質(zhì)是解決的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.在中,,,為邊上的中線,為的中點(diǎn),則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用向量加減運(yùn)算和向量中點(diǎn)的表示,計(jì)算可得所求向量.【詳解】在中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和基本定理,屬于基礎(chǔ)題.7.在中,且,則等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中,,再利用兩角和的余弦公式展開計(jì)算即可.【詳解】解:∵在中,,∴,又,,∴,,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.8.若,則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直接代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.9.已知設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,則()A.若,,則 B.若,,,則C.若,,則 D.若,,,則【答案】B【解析】【分析】在中,與相交或平行;在中,推導(dǎo)出,所以;在中,與相交、平行或異面;在中,與相交、平行或.【詳解】解:由,是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,知:在中,若,,,則與相交或平行,故錯(cuò)誤;在中,若,,,則,所以,故正確;在中,若,,,則與相交、平行或異面,故錯(cuò)誤;在中,若,,,則與相交、平行或,故錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,屬于中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.10.在三棱錐中,,,,分別是,,,中點(diǎn),若,且與所成的角為,則四邊形的面積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出圖形,可得四邊形為菱形,再由已知異面直線所成角求得,代入三角形面積公式計(jì)算.【詳解】解:如圖,∵,,,分別是,,,的中點(diǎn),∴,,∴四邊形為平行四邊形,又與所成的角為,∴(或).∵,∴,則四邊形為菱形.∴.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查異面直線所成的角的有關(guān)計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題11.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,其中有,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用整體思想的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)一步利用子集間的關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】解:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,整理得,故:,所以,解得,當(dāng)時(shí),,由于,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)單調(diào)性、初相的取值范圍,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.12.若函數(shù)的值域?yàn)?,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合分段函數(shù)性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得,單調(diào)遞增且,故,解可得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的值域,數(shù)形結(jié)合更直觀.二、填空題(共4小題).13.設(shè)函數(shù),則_____.【答案】【解析】【分析】結(jié)合已知分段函數(shù)的解析式代入即可求解.【詳解】∵,所以,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層燈數(shù)為_____________【答案】3【解析】分析:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈,則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果.詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈,則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列,∴S7==381,解得a1=3.故答案為3.點(diǎn)睛:本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力.15.已知點(diǎn),和向量,若,則實(shí)數(shù)_____.【答案】【解析】【分析】可以求出,然后根據(jù)即可得,進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可求出的值.【詳解】,,且,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16.如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且EF=,則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是_____.①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③△AEF的面積與△BEF的面積相等.④三棱錐A﹣BEF的體積為定值【答案】①②④【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷①正確,利用線面平行的判定定理判斷②正確,利用同底不同高判斷③錯(cuò)誤,利用等底等高證明④正確.【詳解】由于,故平面,所以,所以①正確.由于,所以平面,故②正確.由于三角形和三角形的底邊都是,而高前者是到的距離,后者是到的距離,這兩個(gè)距離不相等,故③錯(cuò)誤.由于三棱錐的底面三角形的面積為定值.高是點(diǎn)到平面也即點(diǎn)到平面的距離也是定值,故三棱錐的體積為定值.故④正確.綜上所述,正確的時(shí)①②④.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間兩條直線垂直關(guān)系的判斷,考查空間線面平行的判斷,考查平面圖形的面積和空間立體圖形的體積的判斷,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題(共6小題).17.已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),且圖像上與點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求函數(shù)解析式;(2)若將此函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像,求在上的值域.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)本題首先可根據(jù)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為得出,然后根據(jù)得出,最后將點(diǎn)帶入中,即可求出的值,得出結(jié)果;(2)本題首先可根據(jù)圖像變換得出,然后根據(jù)得出,最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【詳解】(1)因?yàn)橐粋€(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,,因?yàn)?,所以最小正周期,,,將點(diǎn)帶入中,可得,解得,因?yàn)?,所以?(2)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù),再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,因,所以,,,故函數(shù)在上的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)解析式的求法、三角函數(shù)圖像變換以及三角函數(shù)的值域,可根據(jù)最值、周期、三角函數(shù)上的點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求出三角函數(shù)解析式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),考查推理能力與計(jì)算能力,是中檔題.18.已知中,,,.(1)求邊的長(zhǎng);(2)若邊的中點(diǎn)為,求中線的長(zhǎng).【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知求得,再求出,然后利用正弦定理求出;(2)由已知結(jié)合正弦定理求,然后得到,再由余弦定理求出.【詳解】(1)∵,,∴.∴.由正弦定理,可得,即;(2)由已知及正弦定理,得,∴.由余弦定理,可得,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與余弦定理,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.19.已知數(shù)列滿足,,.(1)設(shè),證明數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】【分析】(1)直接利用構(gòu)造關(guān)系求出數(shù)列為等比數(shù)列.(2)直接利用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.【詳解】(1)數(shù)列滿足,,整理得,由于,所以,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得,所以①,②,①﹣②得,.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明,考查錯(cuò)位相減法求和,屬于基礎(chǔ)題.20.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的年收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元(如圖).(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式;(2)該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎么分配資金能使投資獲得最大年收益,其最大年收益是多少萬(wàn)元?【答案】(1);(2)投資債券類產(chǎn)品16萬(wàn)元,股票類投資為4萬(wàn)元;最大年收益為3萬(wàn)元.【解析】【分析】(1)依題意可設(shè),根據(jù)已知求出即得解;(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬(wàn)元,則股票類投資為萬(wàn)元,年收益為萬(wàn)元,得到,再換元求出函數(shù)的最值即可.【詳解】解:(1)依題意可設(shè).(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬(wàn)元,則股票類投資為萬(wàn)元,年收益為萬(wàn)元依題意得即令則則即當(dāng)即時(shí),收益最大,最大值為3萬(wàn)元,所以投資債券類產(chǎn)品16萬(wàn)元,股票類投資為4萬(wàn)元,收益最大,最大值為3萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用,考查函數(shù)最值的求法,考查二次函數(shù)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和應(yīng)用能力.21.如圖,中,,是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面底面,若,分別是,的中點(diǎn).(1)求證:底面;(2)求證:平面;(3)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).【解析】【分析】(1)連接,由為正方形,可得是的中點(diǎn),再由是的中點(diǎn),得到,由直線與平面平行的判定可得平面;(2)由為正方形,可得,由平面平面,結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)可得平面,得到,求解三角形證明,再由直線與平面垂直的判定可得平面,進(jìn)一步得到平面;(3)由已知可得三角形的面積,再由棱錐體積公式求解.【詳解】(1)證明:連接,∵為正方形,∴,且是的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),∴.又平面,平面,∴平面;(2)證明:∵為正方形,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,,∴平面,又∵平面,∴.∵,∴,得.又∵,∴平面.∵,∴平面;(3)∵,∴,.∴.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直的證明,考查三棱錐體積的計(jì)算,屬于中檔題.22.已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)是否存在實(shí)數(shù),,當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是.若存在,求出實(shí)數(shù),;若不存在,說(shuō)明理由;(3)令函數(shù),當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值.【答案】(1)1;(2)存在實(shí)數(shù),;(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得有,即,解可得:,結(jié)合對(duì)數(shù)的定義驗(yàn)證即可得答案;(2)分類討論,利用當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,可得結(jié)論;(3)化簡(jiǎn)得,且,,分類討論,求出函數(shù)的最大值.【詳解】(1)根據(jù)題意,函數(shù)是奇函數(shù),則有恒成立,即恒成立,即恒成立,即恒成立,所以,解可得:,當(dāng)時(shí),,不合題意,舍去;∴
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