新人教版第4章《幾何圖形初步》知識(shí)及測(cè)試題

第4章《幾何圖形初步》知識(shí)與測(cè)試總結(jié)日期：2015年3月13日講解日期：2015年3月14日幾何圖形認(rèn)識(shí)立體圖形〔1〕幾何圖形：從實(shí)物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形．幾何圖形分為立體圖形和平面圖形．

〔2〕立體圖形：有些幾何圖形〔如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等〕的各局部不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這就是立體圖形．

〔3〕重點(diǎn)和難點(diǎn)突破：

結(jié)合實(shí)物，認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的立體圖形，如：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等．能區(qū)分立體圖形與平面圖形，立體圖形占有一定空間，各局部不都在同一平面內(nèi)．點(diǎn)、線、面、體1〕體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點(diǎn)．

〔2〕從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．點(diǎn)、線、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界．

〔3〕從幾何的觀點(diǎn)來(lái)看點(diǎn)是組成圖形的根本元素，線、面、體都是點(diǎn)的集合．

〔4〕長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡(jiǎn)稱體．

〔5〕面有平面和曲面之分，如長(zhǎng)方體由6個(gè)平面組成，球由一個(gè)曲面組成．歐拉公式〔1〕簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間的關(guān)系為：V+F-E=2．這個(gè)公式叫歐拉公式．公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律．

〔2〕V+F-E=X〔P〕，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X〔P〕是多面體P的歐拉示性數(shù)．幾何體的外表積幾何體的外表積=側(cè)面積+底面積〔上、下底的面積和〕常見(jiàn)的幾種幾何體的外表積的計(jì)算公式

①圓柱體外表積：2πR2+2πRh〔R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高〕

②圓錐體外表積：πr2+nπ〔h2+r2〕360〔r為圓錐體低圓半徑，h為其高，n為圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的圓心角〕

③長(zhǎng)方體外表積：2〔ab+ah+bh〕〔a為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，b為長(zhǎng)方體的寬，h為長(zhǎng)方體的高〕

④正方體外表積：6a2〔a為正方體棱長(zhǎng)認(rèn)識(shí)平面圖形〔1〕平面圖形：一個(gè)圖形的各局部都在同一個(gè)平面內(nèi)，如：線段、角、三角形、正方形、圓等．

〔2〕重點(diǎn)難點(diǎn)突破：

通過(guò)以前學(xué)過(guò)的平面圖形：三角形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形、圓，了解它們的共性是在同一平面內(nèi)．幾何體的展開(kāi)圖〔1〕多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍成的．沿著棱剪開(kāi)就得到平面圖形，這樣的平面圖形就是相應(yīng)立體圖形的展開(kāi)圖．同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開(kāi)，得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的，同時(shí)也可看出，立體圖形的展開(kāi)圖是平面圖形．

〔2〕常見(jiàn)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖：

①圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形．②圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形．③正方體的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形．④三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形．

〔3〕立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖，表達(dá)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系．立體圖形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題解決．

從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．展開(kāi)圖折疊成幾何提體通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開(kāi)圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再?gòu)慕o定的圖形中識(shí)別它們能否折疊成給定的立體圖形正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字〔1〕對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是在對(duì)展開(kāi)圖理解的根底上直接想象．

〔2〕從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

〔3〕正方體的展開(kāi)圖有11種情況，分析平面展開(kāi)圖的各種情況后再認(rèn)真確定哪兩個(gè)面的對(duì)面．截一個(gè)幾何體截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出的面叫做截面．截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規(guī)那么圖形，一般的截面與幾何體的幾個(gè)面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，因此，假設(shè)一個(gè)幾何體有幾個(gè)面，那么截面最多為幾邊形直線射線線段直線射線線段的表示直線、射線、線段的表示方法

①直線：用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如：直線l，或用兩個(gè)大些字母〔直線上的〕表示，如直線AB．

②射線：是直線的一局部，用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如：射線l；用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，端點(diǎn)在前，如：射線OA．注意：用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊．

③線段：線段是直線的一局部，用一個(gè)小寫(xiě)字母表示，如線段a；用兩個(gè)表示端點(diǎn)的字母表示，如：線段AB〔或線段BA〕．點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過(guò)直線，說(shuō)明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過(guò)直線，說(shuō)明點(diǎn)在直線外直線的性質(zhì)〔1〕直線公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線．

〔2〕經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)就唯一確定，過(guò)三點(diǎn)就不一定了．線段的性質(zhì)線段公理兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．

簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短．兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離．平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，學(xué)習(xí)此概念時(shí)，注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長(zhǎng)度”，也就是說(shuō)，它是一個(gè)量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長(zhǎng)度才是兩點(diǎn)的距離．可以說(shuō)畫(huà)線段，但不能說(shuō)畫(huà)距離比擬線段的長(zhǎng)短〔1〕比擬兩條線段長(zhǎng)短的方法有兩種：度量比擬法、重合比擬法．

就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．

〔2〕線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)．

〔3〕線段的和、差、倍、分及計(jì)算

做一條線段等于線段，可以通過(guò)度量的方法，先量出線段的長(zhǎng)度，再利用刻度尺畫(huà)條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于線段．

如圖，AC=BC，C為AB中點(diǎn)，AC=12AB，AB=2AC，D為CB中點(diǎn)，那么CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，這就是線段的和、差、倍、分．第三節(jié)角一：角〔1〕角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．

〔2〕角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否那么分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母〔如∠α，∠β，∠γ、…〕表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字〔∠1，∠2…〕表示．

〔3〕平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．

〔4〕角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．鐘面角〔1〕鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時(shí)間間隔是1分鐘，時(shí)針1分鐘走112格，分針1分鐘走1格．鐘面上每一格的度數(shù)為360°÷12=30°．

〔2〕計(jì)算鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，一般先從鐘面上找出某一時(shí)刻分針與時(shí)針?biāo)幍奈恢?，確定其夾角，再根據(jù)外表上每一格30°的規(guī)律，計(jì)算出分針與時(shí)針的夾角的度數(shù)．

〔3〕鐘面上的路程問(wèn)題分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°÷60=6°

時(shí)針：12小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：360°÷12÷60=0.5°．方向角〔1〕方位角是表示方向的角；以正北，正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，來(lái)描述物體所處的方向．

〔2〕用方位角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以?duì)象所處的射線為終邊，故描述方位角時(shí)，一般先表達(dá)北或南，再表達(dá)偏東或偏西．〔注意幾個(gè)方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．〕

〔3〕畫(huà)方位角以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊那么表示對(duì)象所處的方向的射線．二：角的比擬與運(yùn)算度分秒的換〔1〕度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

〔2〕具體換算可類(lèi)比時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒來(lái)說(shuō)明角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制，將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí)，乘以60，反之，將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60．同時(shí)，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．角平分線的定義〔1〕角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．

〔2〕性質(zhì)：假設(shè)OC是∠AOB的平分線那么∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

〔3〕平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．角的計(jì)算〔1〕角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②假設(shè)射線OC是∠AOB的三等分線，那么∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

〔2〕度、分、秒的加減運(yùn)算．在進(jìn)行度分秒的加減時(shí)，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時(shí)，要借1化60．

〔3〕度、分、秒的乘除運(yùn)算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級(jí)單位進(jìn)一步去除．計(jì)算器---角的換算科學(xué)型計(jì)算器

計(jì)算器上面的函數(shù)區(qū)，三行二列的鍵〔．，，，〕就是度分秒轉(zhuǎn)換的鍵．

輸入數(shù)值，如輸入30.5，先按=，再按〔．，，，〕鍵，就顯示出30°30′0″．

如果要輸入30°30′0″，先輸入30在“度”的位置按一下，再輸入30在“分”的位置再按一下，最后輸入0，在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30′0″．假設(shè)要轉(zhuǎn)化為度，那么按=，再按〔．，，，〕鍵，就顯示出30.5°．三：余角和補(bǔ)角〔1〕余角：如果兩個(gè)角的和等于90°〔直角〕，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．

〔2〕補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°〔平角〕，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．

〔3〕性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．

〔4〕余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．

注意：余角〔補(bǔ)角〕與這兩個(gè)角的位置沒(méi)有關(guān)系．不管這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，那么它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．網(wǎng)第一卷〔選擇題〕一、選擇題〔本大題共14題，每題3分，共42分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合要求的〕1、如圖是一個(gè)小正方體的展開(kāi)圖，把展開(kāi)圖折疊成小正方體后，有“建”字一面的相對(duì)面上的字是……...…〔〕A.和B.諧C.社D.會(huì)2、下面左邊是用八塊完全相同的小正方體搭成的幾何體，從上面看該幾何體得到的圖是.〔〕3、如圖，四個(gè)圖形是由立體圖形展開(kāi)得到的，相應(yīng)的立體圖形順次是.………….………〔〕A.正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C.正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐4、如圖，對(duì)于直線AB，線段CD，射線EF，其中能相交的是…………...…〔〕5、以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是………………...…〔〕A.畫(huà)一條3厘米長(zhǎng)的射線B.畫(huà)一條3厘米長(zhǎng)的直線C.畫(huà)一條5厘米長(zhǎng)的線段D.在線段、射線、直線中直線最長(zhǎng)6、如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中∠與∠互余的是…………...〔〕7、點(diǎn)E在線段CD上，下面四個(gè)等式①CE＝DE；②DE＝CD；③CD＝2CE；④CD＝DE.其中能說(shuō)明E是線段CD中點(diǎn)的有………….…〔〕A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8、C是線段AB上一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，假設(shè)AB＝12cm，AC＝2cm，那么BD的長(zhǎng)為…….〔〕A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9、如圖是一正方體的平面展開(kāi)圖，假設(shè)AB＝4，那么該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為………..〔〕A.1B.2C.3D.410、用度、分、秒表示91.34°為.……….….〔〕A.91°20/24//B.91°34/C.91°20/4//D.91°3/4//11、以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是….〔〕A.假設(shè)∠AOB＝2∠AOC，那么OC平分∠AOBB.延長(zhǎng)∠AOB的平分線OCC.假設(shè)射線OC、OD三等份∠AOB，那么∠AOC＝∠DOCD.假設(shè)OC平分∠AOB，那么∠AOC＝∠BOC12、如圖,小華的家在A處，書(shū)店在B處，星期日小華到書(shū)店去買(mǎi)書(shū)，他想盡快的趕到書(shū)店，請(qǐng)你幫助他選擇一條最近的路線…………...〔〕A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B13、同一平面內(nèi)有四點(diǎn)，過(guò)每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線，那么直線的條數(shù)是……..…….〔〕A.1條B.4條C.6條D.1條或4條或6條14、甲、乙兩人各用一張正方形的紙片ABCD折出一個(gè)45°的角〔如圖〕，兩人做法如下：甲：將紙片沿對(duì)角線AC折疊，使B點(diǎn)落在D點(diǎn)上，那么∠1＝45°；乙：將紙片沿AM、AN折疊，分別使B、D落在對(duì)角線AC上的一點(diǎn)P，那么∠MAN＝45°對(duì)于兩人的做法，以下判斷正確的選項(xiàng)是…………...〔〕A.甲乙都對(duì)B.甲對(duì)乙錯(cuò)C.甲錯(cuò)乙對(duì)D.甲乙都錯(cuò)Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題〔本大題共6題，每題3分，共18分〕15、我們?cè)谟猛婢邩屆闇?zhǔn)時(shí)，總是用一只眼對(duì)準(zhǔn)準(zhǔn)星和目標(biāo)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為16、上午8:30時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為17、線段AB=10,直線AB上有一點(diǎn)C,且BC=4,M是線段AC的中點(diǎn),那么AM的長(zhǎng)為18、在同一平面內(nèi)，n〔n＞1〕條直線最多可有__________條交點(diǎn)．〔用含有n的代數(shù)式表示19、如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于O，那么∠AOC＋∠DOB＝20、如下圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)，沿東北方向航行至點(diǎn)B，再?gòu)腂點(diǎn)出發(fā)沿南偏東15°方向航行至點(diǎn)C，那