最值導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

最值導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用復(fù)習(xí)1、若在內(nèi)，則在內(nèi)單調(diào)增加2、若在內(nèi)，則在內(nèi)單調(diào)減少3、如果在點(diǎn)處取得極值且可導(dǎo)，則4、如果在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；則是極小值；5、如果在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、極值點(diǎn)解：令，得：，的單調(diào)增加區(qū)間是單調(diào)減少區(qū)間是極大值極小值極大值為；極大值點(diǎn)為極小值為；極小值點(diǎn)為6、觀察下面函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象,回答:(1)在哪一點(diǎn)處函數(shù)y=

f(x)有極大值和極小值?(2)函數(shù)y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值嗎?如果有,最大值和最小值分別是什么?極大:x=x1x=x2x=x3x=x5極小:x=x43.4.2函數(shù)的最大值與最小值觀察下面函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象,回答:(1)在哪一點(diǎn)處函數(shù)y=

f(x)有極大值和極小值?(2)函數(shù)y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值嗎?如果有,最大值和最小值分別是什么?極大:x=x1x=x2x=x3極小:abxyx1Ox2x3問(wèn)題question1、函數(shù)的最值在哪些點(diǎn)處取得？極值點(diǎn)端點(diǎn)2、怎樣求函數(shù)的最值？求出極值，求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較其大小3、求最值的簡(jiǎn)化方法：求出所有可能極值點(diǎn)處的函數(shù)值，再求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較其大小即可駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)①求出在內(nèi)的所有駐點(diǎn)和一階②求出端點(diǎn)的函數(shù)值和；求最大值和最小值的步驟如下：③比較前面求出的所有函數(shù)值，其中最大的就是在上的最大值,最小的就是在上的最小值.導(dǎo)數(shù)不存在的連續(xù)點(diǎn)，并計(jì)算各點(diǎn)的函數(shù)值；求函數(shù)在上的最大值與最小值.令，解得：解：又例4，，則，，，所以最大值為最小值為特別地：如果在一個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)當(dāng)是極大值時(shí)，就是該區(qū)間上的最大值當(dāng)是極小值時(shí)，就是該區(qū)間上的最小值在應(yīng)用問(wèn)題中往往遇到這樣的情形，此時(shí)可以當(dāng)作極值問(wèn)題來(lái)解決，不必與區(qū)間的端點(diǎn)值相比較設(shè)窗框的寬為，欲用長(zhǎng)的鋁合金料加工一日字形窗框，問(wèn)它的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)，才能使窗戶(hù)面積最大，最大面積是多少？于是窗戶(hù)的面積解：則長(zhǎng)為例7所以是極大值點(diǎn)由于在區(qū)間(0，2)內(nèi)有唯一的極大值，所以當(dāng)窗戶(hù)的寬為，長(zhǎng)為時(shí)，令，最大面積為則這個(gè)極大值就是最大值.窗戶(hù)的面積最大，則顯然時(shí)，；時(shí)，；求得駐點(diǎn)觀察下列圖形的特點(diǎn)：3.6.1函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)１、曲線(xiàn)凹凸性的定義如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線(xiàn)弧位于其上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的上方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線(xiàn)弧位于其上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的下方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是凸的；xyoθ1θ2θ3ab???x1x2x3切線(xiàn)斜率k↗凹曲線(xiàn)2、曲線(xiàn)凹凸性的判定xyoθ1θ2θ3ab???x1x2x3凸曲線(xiàn)

切線(xiàn)斜率k↘定理3.8設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)存在(1)若在(a,b)內(nèi)f

(x)>0,則曲線(xiàn)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凹的；(2)若在(a,b)內(nèi)f

(x)<0,則曲線(xiàn)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是凸的。即為則是凹的為則是凸的曲線(xiàn)凹與凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).求拐點(diǎn)的一般步驟：②令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；①求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；③對(duì)步驟②求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的的符號(hào)，如果異號(hào)則該點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)；如果同號(hào)則該點(diǎn)不是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)．拐點(diǎn)的概念拐點(diǎn)的求法例1求曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解：拐點(diǎn)拐點(diǎn)令，得：，的凹區(qū)間是凸區(qū)間是；拐點(diǎn)是和3.6利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)我們學(xué)過(guò)用“描點(diǎn)法”來(lái)畫(huà)函數(shù)的圖形。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，但“描點(diǎn)法”有著固有的局限性，不能準(zhǔn)確地畫(huà)出函數(shù)的圖形。在高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)會(huì)了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；學(xué)會(huì)了利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)……知道了這些知識(shí)后，我們就能較準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖形。為了更準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形，我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念——漸近線(xiàn)，然后，再來(lái)研究函數(shù)圖形描繪的基本步驟和技巧！3.6.2曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)1.水平漸近線(xiàn)例如有兩條水平漸近線(xiàn):xy(平行于x軸的漸近線(xiàn))則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)如果或或例如有兩條鉛垂?jié)u近線(xiàn):2.鉛垂?jié)u近線(xiàn)(垂直于x軸的漸近線(xiàn))則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)如果或或求曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)和鉛垂?jié)u近線(xiàn)解：是曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)是曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)例43.6.3函數(shù)作圖步驟：1、確定函數(shù)的定義域(值域)2、討論函數(shù)的奇偶性圖像的范圍圖像的對(duì)稱(chēng)性3、求出曲線(xiàn)的特殊點(diǎn)曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)4、判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求極值5、確定函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)6、求出曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)7、列表討論，并描繪函數(shù)的圖像求求使曲線(xiàn)的趨勢(shì)更精確解:例7（1）定義域：（2）非奇非偶函數(shù)（3）特殊點(diǎn)：令，得：解得：故曲線(xiàn)與軸交點(diǎn)（4）是曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)是曲線(xiàn)的鉛垂?jié)u近線(xiàn)令，得：（5）令，得：（6）極值點(diǎn)間斷點(diǎn)列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸