第章 試題解析

PAGEPAGE10學(xué)案20萬有引力定律及其應(yīng)用一、概念規(guī)律題組1．對(duì)于質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)物體間的萬有引力的表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列說法中正確的是()A．公式中的G是引力常量，它不是由實(shí)驗(yàn)得出的，而是人為規(guī)定的B．當(dāng)兩物體間的距離r趨于零時(shí)，萬有引力趨于無窮大C．m1和m2所受引力大小總是相等的D．兩個(gè)物體間的引力總是大小相等、方向相反的，是一對(duì)平衡力2．已知萬有引力常量為G，現(xiàn)在給出下列各組數(shù)據(jù)，不可以計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期T和地球離太陽(yáng)中心的距離RB．月球繞地球運(yùn)行的周期T和月球離地球中心的距離RC．人造地球衛(wèi)星在地面附近運(yùn)行的速度v和運(yùn)動(dòng)周期TD．地球的自轉(zhuǎn)周期T、地球的自轉(zhuǎn)線速度和地球的平均密度ρ圖13．如圖1所示，a、b、c是地球大氣層外圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等且小于c的質(zhì)量，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．b所需向心力最小B．b、c的周期相同且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度二、思想方法題組4．如圖2所示，同步衛(wèi)星離地心距離為r，運(yùn)行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球的半徑為R，則下列比值正確的是()圖2A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)B.eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R)D.eq\f(v1,v2)＝5．宇宙飛船和空間站在同一軌道上運(yùn)動(dòng)，若飛船想與前面的空間站對(duì)接，飛船為了追上軌道空間站，可采取的方法是()A．飛船加速直到追上空間站，完成對(duì)接B．飛船從原軌道減速至一個(gè)較低軌道，再加速追上空間站完成對(duì)接C．飛船加速至一個(gè)較高軌道再減速追上空間站完成對(duì)接D．無論飛船采取何種措施，均不能與空間站對(duì)接一、萬有引力定律及其應(yīng)用重力與重力加速度1．關(guān)于重力(1)在地面上，忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)，認(rèn)為物體的向心力為零．各處位置均有mg＝eq\f(GMm,R2)(2)由于Fn＝mRω2非常小，所以對(duì)一般問題的研究認(rèn)為Fn＝0，mg＝eq\f(GMm,R2)2．重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面處，由于萬有引力近似等于重力，Geq\f(Mm,R2)＝mg，g＝eq\f(GM,R2).(R為星球半徑，M為星球質(zhì)量)(2)星球上空某一高度h處的重力加速度：Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg′，g′＝eq\f(GM,R＋h2)隨著高度的增加，重力加速度逐漸減小．【例1】英國(guó)《新科學(xué)家(NewScientist)》雜志評(píng)選出了2008年度世界8項(xiàng)科學(xué)之最，在XTEJ1650—500雙星系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數(shù)量級(jí)為()A．108m/s2B．10C．1012m/s2D．10[規(guī)范思維]二、天體質(zhì)量和密度的估算1．解決天體圓周運(yùn)動(dòng)問題的一般思路利用萬有引力定律解決天體運(yùn)動(dòng)的一般步驟(1)兩條線索①萬有引力提供向心力F＝Fn.②重力近似等于萬有引力提供向心力．(2)兩組公式①Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r②mgr＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r(gr為軌道所在處重力加速度)2．天體質(zhì)量和密度的計(jì)算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r進(jìn)行計(jì)算．①由萬有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．【例2】已知萬有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T1，地球的自轉(zhuǎn)周期T2，地球表面的重力加速度g.某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：同步衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，由Geq\f(Mm,h2)＝m(eq\f(2π,T2))2h得M＝eq\f(4π2h3,GT\o\al(2,2)).(1)請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由．如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果．(2)請(qǐng)根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果．三、對(duì)人造衛(wèi)星的認(rèn)識(shí)及變軌問題1．人造衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)特征萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝m(eq\f(2π,T))2r2．人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征(1)線速度v：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，隨著軌道半徑的增大，衛(wèi)星的線速度減?。?2)角速度ω：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，隨著軌道半徑的增大，衛(wèi)星的角速度減?。?3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，隨著軌道半徑的增大，衛(wèi)星的運(yùn)行周期增大．3．衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行與變軌運(yùn)行分析(1)什么情況下衛(wèi)星穩(wěn)定運(yùn)行？衛(wèi)星所受萬有引力恰等于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí)，將保持勻速圓周運(yùn)動(dòng)．滿足的公式：Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r).(2)變軌運(yùn)行分析：當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí)(開啟或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或空氣阻力作用)，萬有引力就不再等于所需的向心力，衛(wèi)星將做變軌運(yùn)行．①當(dāng)v增大時(shí)，所需向心力eq\f(mv2,r)增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進(jìn)入新的軌道運(yùn)行，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其運(yùn)行速度要減小，但重力勢(shì)能、機(jī)械能均增加．②當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，向心力eq\f(mv2,r)減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運(yùn)動(dòng)，同樣會(huì)脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))知其運(yùn)行速度將增大，但重力勢(shì)能、機(jī)械能均減少(衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理)．圖3【例3】2009年5月，航天飛機(jī)在完成對(duì)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后，在A點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點(diǎn)，如圖3所示．關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)，下列說法中不正確的有()A．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的速度小于經(jīng)過B的速度B．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的動(dòng)能C．在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期D．在軌道Ⅱ上經(jīng)過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過A的加速度[規(guī)范思維]四、環(huán)繞速度與發(fā)射速度的比較及地球同步衛(wèi)星1．環(huán)繞速度與發(fā)射速度的比較近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度v＝eq\r(G\f(M,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s，通常稱為第一宇宙速度，它是地球周圍所有衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，是在地面上發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．不同高度處的人造衛(wèi)星在圓軌道上的運(yùn)行速度v＝eq\r(G\f(M,r))，其大小隨半徑的增大而減?。牵捎谠谌嗽斓厍蛐l(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大．2．地球同步衛(wèi)星特點(diǎn)(1)地球同步衛(wèi)星只能在赤道上空．(2)地球同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)具有相同的角速度和周期．(3)地球同步衛(wèi)星相對(duì)地面靜止．(4)同步衛(wèi)星的高度是一定的．【例4】我國(guó)成功發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”．設(shè)該衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,81)，月球的半徑約為地球半徑的eq\f(1,4)，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為()A．0.4km/sB．1.8km/sC．11km/s五、雙星問題【例5】月球與地球質(zhì)量之比約為1∶80.有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個(gè)由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．據(jù)此觀點(diǎn)，可知月球與地球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比約為()A．1∶6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1[規(guī)范思維]六、萬有引力定律與拋體運(yùn)動(dòng)的結(jié)合【例6】在太陽(yáng)系中有一顆行星的半徑為R，若在該星球表面以初速度v0豎直上拋一物體，則該物體上升的最大高度為H.已知該物體所受的其他力與行星對(duì)它的萬有引力相比較可忽略不計(jì)(萬有引力常量G未知)．則根據(jù)這些條件，可以求出的物理量是()A.該行星的密度B.該行星的自轉(zhuǎn)周期C.該星球的第一宇宙速度D.該行星附近運(yùn)行的衛(wèi)星的最小周期【基礎(chǔ)演練】1．2008年9月25日至28日，我國(guó)成功實(shí)施了“神舟”七號(hào)載人航天飛行并實(shí)現(xiàn)了航天員首次出艙．飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠(yuǎn)地點(diǎn)343千米處點(diǎn)火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為90分鐘．下列判斷正確的是()A．飛船變軌前后的機(jī)械能相等B．飛船在圓軌道上時(shí)航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)C．飛船在此圓軌道上運(yùn)動(dòng)的角速度小于同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的角速度D．飛船變軌前通過橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的加速度大于變軌后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的加速度2．某同學(xué)通過Internet查詢到“神舟”六號(hào)飛船在圓形軌道上運(yùn)行一周的時(shí)間約為90分鐘，他將這一信息與地球同步衛(wèi)星進(jìn)行比較，由此可知()A．“神舟”六號(hào)在圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的向心加速度比地球同步衛(wèi)星小B．“神舟”六號(hào)在圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的速率比地球同步衛(wèi)星小C．“神舟”六號(hào)在圓形軌道上運(yùn)行時(shí)離地面的高度比地球同步衛(wèi)星低D．“神舟”六號(hào)在圓形軌道上運(yùn)行時(shí)的角速度比地球同步衛(wèi)星小3．“嫦娥一號(hào)”探月飛船繞月球做“近月”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，則月球的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個(gè)常數(shù))()A．ρ＝eq\f(k,T)B．ρ＝kTC．ρ＝eq\f(k,T2)D．ρ＝kT2圖44．如圖4所示，假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)．則()A．飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速度為eq\r(g0R)B．飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)，動(dòng)能增加C．飛船在軌道Ⅰ上運(yùn)行時(shí)通過A點(diǎn)的加速度大于在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)通過A點(diǎn)的加速度D．飛船在軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為2πeq\r(\f(R,g0))5．隨著“神七”飛船發(fā)射的圓滿成功，中國(guó)航天事業(yè)下一步的進(jìn)展備受關(guān)注．“神八”發(fā)射前，將首先發(fā)射試驗(yàn)性質(zhì)的小型空間站“天宮一號(hào)”，然后才發(fā)射“神八”飛船，兩個(gè)航天器將在太空實(shí)現(xiàn)空間交會(huì)對(duì)接．空間交會(huì)對(duì)接技術(shù)包括兩部分相互銜接的空間操作，即空間交會(huì)和空間對(duì)接．所謂交會(huì)是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的航天器在軌道上按預(yù)定位置和時(shí)間相會(huì)，而對(duì)接則為兩個(gè)航天器相會(huì)后在結(jié)構(gòu)上連成一個(gè)整體．關(guān)于“天宮一號(hào)”和“神八”交會(huì)時(shí)的情景，以下判斷正確的是()A．“神八”加速可追上在同一軌道的“天宮一號(hào)”B．“神八”減速方可與在同一軌道的“天宮一號(hào)”交會(huì)C．“天宮一號(hào)”和“神八”交會(huì)時(shí)它們具有相同的向心加速度D．“天宮一號(hào)”和“神八”交會(huì)時(shí)它們具有相同的向心力6．1970年4月24日，我國(guó)自行設(shè)計(jì)、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”發(fā)射成功，開創(chuàng)了我國(guó)航天事業(yè)的新紀(jì)元．如圖5所示，“東方紅一號(hào)”的運(yùn)行軌道為橢圓軌道，其近地點(diǎn)M和遠(yuǎn)地點(diǎn)N的高度分別為439km和2384圖5A．衛(wèi)星在M點(diǎn)的勢(shì)能大于N點(diǎn)的勢(shì)能B．衛(wèi)星在M點(diǎn)的角速度大于N點(diǎn)的角速度C．衛(wèi)星在M點(diǎn)的加速度小于N點(diǎn)的加速度D．衛(wèi)星在N點(diǎn)的速度大于7.9km7．為了對(duì)火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國(guó)預(yù)計(jì)于2011年10月發(fā)射第一顆火星探測(cè)器“螢火一號(hào)”．假設(shè)探測(cè)器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T1和T2.火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，引力常量為G.僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出()A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的質(zhì)量和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力C．火星的半徑和“螢火一號(hào)”的質(zhì)量D．火星表面的重力加速度和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力【能力提升】8．2009年6月19日凌晨5點(diǎn)32分(美國(guó)東部時(shí)間2009年6月18日下午5點(diǎn)32分)，美國(guó)航空航天局在佛羅里達(dá)州卡納維拉爾角空軍基地41號(hào)發(fā)射場(chǎng)用“宇宙神-5”運(yùn)載火箭將月球勘測(cè)軌道飛行器(LRO)送入一條距離月表31英里(約合50km)的圓形極地軌道，LRO每天在50km的高度穿越月球兩極上空10次．若以T表示LRO在離月球表面高度h處的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期A.LRO運(yùn)行的向心加速度為eq\f(4π2R,T2)B.LRO運(yùn)行的向心加速度為eq\f(4π2R＋h,T2)C.月球表面的重力加速度為eq\f(4π2R,T2)D.月球表面的重力加速度為eq\f(4π2R＋h3,T2R2)題號(hào)12345678答案9.已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．(1)推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式；(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T的表達(dá)式．10．圖6如圖6所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間的距離為L(zhǎng).已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)．引力常數(shù)為G.(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1.但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2學(xué)案20萬有引力定律及其應(yīng)用【課前雙基回扣】1．AC2.BC3.ABD4.AD5.B思維提升1．如果對(duì)萬有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)這一條件缺乏深刻理解(或根本不注意適用條件)，往往不能認(rèn)識(shí)到當(dāng)兩物體間的距離r趨于零時(shí)，這兩個(gè)物體不能看做質(zhì)點(diǎn)，萬有引力定律不適用于此種情況．2．要弄清楚公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的各物理量的含義．當(dāng)兩物體可以看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，r是指兩質(zhì)點(diǎn)間距離；對(duì)質(zhì)量分布均勻的球體，r是指兩球心間距離．3．對(duì)于繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星，應(yīng)利用Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)來分析衛(wèi)星的向心加速度、線速度、角速度、周期的大小比較及變化，其中r是衛(wèi)星的軌道半徑．4．赤道上的物體的向心加速度a＝ω2R0≈0.034m/s2，遠(yuǎn)小于地面上物體的重力加速度g＝9.8m/s2，故近似計(jì)算中忽略自轉(zhuǎn)影響，而認(rèn)為地面上物體的重力和該物體受到的萬有引力相等，衛(wèi)星上的物體處于完全失重狀態(tài)，故F引＝mg′＝ma.衛(wèi)星的向心加速度a等于衛(wèi)星所在處的重力加速度g′，對(duì)近地衛(wèi)星來講g′＝g＝9.85．赤道上的物體與地球同步衛(wèi)星的相同之處是：二者具有與地球自轉(zhuǎn)相同的運(yùn)轉(zhuǎn)周期和運(yùn)轉(zhuǎn)角速度，始終與地球保持相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，共同繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．【核心考點(diǎn)突破】例1C[可認(rèn)為黑洞表面物體的重力等于萬有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，即g＝eq\f(GM,R2)，將eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)代入上式得g＝eq\f(c2,2R)＝eq\f(3×1082,2×45×103)m/s2＝1×1012m/s2.][規(guī)范思維]在星球表面，由mg＝Geq\f(Mm,R2)，得①GM＝gR2，若知星球表面重力加速度g和星球半徑R，可替換GM，稱為黃金代換；②g＝eq\f(GM,R2)，由重力加速度g可將萬有引力定律和其它規(guī)律相聯(lián)系，如運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，機(jī)械能守恒定律等，實(shí)現(xiàn)綜合解題．例2見解析解析(1)上面的結(jié)果是錯(cuò)誤的，地球的半徑R在計(jì)算過程中不能忽略．正確的解法和結(jié)果：Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(eq\f(2π,T2))2(R＋h)得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)).(2)解法一在地面上的物體所受的萬有引力近似等于重力，由eq\f(GMm,R2)＝mg，解得M＝eq\f(gR2,G).解法二對(duì)月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T1))2r，得M＝eq\f(4π2r3,GT\o\al(2,1)).[規(guī)范思維]本題給出了兩種常用的求星球質(zhì)量的方法：(1)已知衛(wèi)星的軌道半徑r和周期T求質(zhì)量(注意r為衛(wèi)星到天體球心的距離)；(2)已知星球表面重力加速度g、星球半徑R和引力常量G，由M＝eq\f(gR2,G)，求星球質(zhì)量．例3ABC[在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)的速度最大，遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度最小，A選項(xiàng)正確．由萬有引力定律可知飛機(jī)在A點(diǎn)受到的引力是個(gè)定值，由此結(jié)合牛頓第二定律可知飛機(jī)在A點(diǎn)的加速度是個(gè)定值，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．飛機(jī)從A點(diǎn)進(jìn)入軌道Ⅱ相對(duì)于軌道Ⅰ可看成向心運(yùn)動(dòng)，則可知飛機(jī)在軌道Ⅱ上A點(diǎn)速度小于軌道Ⅰ上A點(diǎn)速度，再結(jié)合動(dòng)能定義式可知B選項(xiàng)正確．根據(jù)低軌道衛(wèi)星的周期小，高軌道衛(wèi)星周期大可知C選項(xiàng)正確．綜上知正確答案為A、B、C.][規(guī)范思維]衛(wèi)星的變軌問題注意區(qū)分這兩種情況(1)制動(dòng)變軌：衛(wèi)星的速率減小，衛(wèi)星做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑變小，需開動(dòng)反沖發(fā)動(dòng)機(jī)使衛(wèi)星做減速運(yùn)動(dòng)；(2)加速變軌：衛(wèi)星的速率增大，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑變大，需開動(dòng)反沖發(fā)動(dòng)機(jī)使衛(wèi)星做加速運(yùn)動(dòng)．例4B[設(shè)地球的質(zhì)量、半徑分別為M、R，月球的質(zhì)量、半徑分別為M′、r，則M′＝eq\f(M,81)，r＝eq\f(1,4)R.在星體表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質(zhì)量為m0，則：eq\f(GMm0,R2)＝m0g，即GM＝gR2；在月球表面，滿足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝eq\f(M′R2,Mr2)g＝eq\f(16,81)g，地球表面的第一宇宙速度v1＝eq\r(gR)＝7.9km/s，在月球表面，有v′＝eq\r(g′r)＝eq\r(\f(16,81)g×\f(1,4)R)＝eq\f(2,9)eq\r(gR)＝eq\f(2,9)×7.9km/s≈1.8km/s.][規(guī)范思維](1)解決此類題的關(guān)鍵：要明確衛(wèi)星的第一宇宙速度等于最大環(huán)繞速度．(2)解決萬有引力定律的應(yīng)用問題，盡管題目很多，但基本方法是不變的，即把天體的運(yùn)動(dòng)看成圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力．例5C[設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M、m，地月球心間距為r，地球和月球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑分別為r1、r2，由題意知ω1＝ω2＝ω，則Geq\f(Mm,r2)＝Mω2r1，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r2，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(m,M)＝eq\f(1,80).二者轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同，可知地球和月球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比為eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m,M)＝eq\f(1,80)，即月球與地球繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比為80∶1，本題只有選項(xiàng)C正確．][規(guī)范思維]本題就是經(jīng)典的雙星模型．所謂雙星模型，就是有一些天體的運(yùn)動(dòng)并非是一顆星以另一顆星為中心做圓周運(yùn)動(dòng)，而是兩顆星都不是運(yùn)動(dòng)的中心，它們繞二者連線上的某一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，好像“被穿在一根桿上的兩個(gè)小球”，以兩個(gè)小球之間桿上的某一點(diǎn)為中心做圓周運(yùn)動(dòng)．解決這類問題的關(guān)鍵是挖掘出雙星問題的根本特點(diǎn)——角速度相同，并以此列向心力方程．例6CD[由豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得g＝eq\f(v\o\al(2,0),2H)Geq\f(Mm,R2)＝mgM＝eq\f(gR2,G)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3v\o\al(2,0),8πGRH)，G未知，故A錯(cuò)；根據(jù)已知條件不能分析行星的自轉(zhuǎn)情況，B錯(cuò)；根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)R,2H))＝v0eq\r(\f(R,2H))，C正確；由Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R＝mg得T＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(R·2H,v\o\al(2,0)))＝eq\f(2π,v0)eq\r(2RH)，D正確．][規(guī)范思維]天體表面的拋體運(yùn)動(dòng)經(jīng)常與萬有引力定律結(jié)合來求解圍繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的有關(guān)物理量，解決問題的辦法是通過拋體運(yùn)動(dòng)求天體表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力定律求T、ω、天體質(zhì)量或密度．也可以先根據(jù)萬有引力定律求重力加速度，再分析拋體運(yùn)動(dòng)．【課時(shí)效果檢測(cè)】1．BC2.C3.C4.AD5.C6.BC7.A8.BD9．(1)v1＝eq\r(gR)(2)T＝eq\f(2π,R)eq\r(\f(R＋h3,g))解析(1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，地球表面處的某物體質(zhì)量為m′不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面附近滿足Geq\f(Mm′,R2)＝m′g則GM＝R2g①衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力則meq\f(v\o\al(2,1),R)＝Geq\f(Mm,R2)②將①式代入②式，得到v1＝eq\r(Rg)(2)由①式可知，衛(wèi)星受到的萬有引力為F＝Geq\f(Mm,R＋h2)＝eq\f(mgR2,R＋h2)③由牛頓第二定律得F＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)④③④式聯(lián)立解得T＝eq\f(2π,R)eq\r(\f(R＋h3,g))10．(1)2πeq\r(\f(L3,GM＋m))(2)1.012解析(1)設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，