2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理與題型歸納第36講數(shù)列求和學(xué)生版

第36講數(shù)列求和思維導(dǎo)圖知識梳理1．公式法(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).推導(dǎo)方法：倒序相加法．(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．(3)一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.2．幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．[常用結(jié)論]常見的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).題型歸納題型1分組轉(zhuǎn)化求和【例1-1】已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知數(shù)列、滿足：，為等比數(shù)列，且，，．（1）試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知等差數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【名師指導(dǎo)】1．分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型2裂項(xiàng)相消法求和【例2-1】已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，對于函數(shù)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則A．1 B． C． D．【名師指導(dǎo)】1.基本步驟2.裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.3.消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).題型3錯(cuò)位相減法求和【例3-1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知數(shù)列滿足，，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【名師指導(dǎo)】錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和(1)適用條件若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的