2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習知識梳理與題型歸納第30講平面向量的數(shù)量積教師版

第30講平面向量的數(shù)量積思維導(dǎo)圖知識梳理1．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．2．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積3.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0題型歸納題型1平面向量數(shù)量積的運算【例1-1】已知向量，滿足，，則A．0 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則即可得解．【解答】解：．故選：．【例1-2】在中，為線段的中點，，，則A． B． C．3 D．4【分析】以，為基底，分別表示，，即可求解．【解答】解：為線段的中點，，，又，，則，．．故選：．【跟蹤訓練1-1】平行四邊形中，，，，是線段的中點，則A．0 B．2 C．4 D．【分析】根據(jù)條件即可得出，，從而得出，然后進行數(shù)量積的運算即可．【解答】解：如圖，根據(jù)題意：，，且，，，．故選：．【跟蹤訓練1-2】已知，滿足，，的夾角為，則．【分析】直接利用向量的數(shù)量積公式化簡求解即可．【解答】解：，滿足，，的夾角為，．故答案為：．【名師指導(dǎo)】求非零向量a，b的數(shù)量積的3種方法方法適用范圍定義法已知或可求兩個向量的模和夾角基底法直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表示出來，進而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解坐標法①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積題型2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【例2-1】已知向量，的夾角為，，，則A．1 B． C．3 D．2【分析】利用向量的數(shù)量積公式求將求出的值代入代數(shù)式即得．【解答】解：向量，的夾角為，，．則，故選：．【例2-2】已知平面向量，，，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件可求出，，然后即可求出的值，從而得出與的夾角．【解答】解：，，，且，．故選：．【例2-3】已知是兩個非零向量，其夾角為，若，且，則A． B． C． D．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的夾角公式，求得的值．【解答】解：是兩個非零向量，其夾角為，若，則，．，，．則，故選：．【跟蹤訓練2-1】已知向量，滿足，，，，則A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則即可得解．【解答】解：因為，，所以．故選：．【跟蹤訓練2-2】已知，是單位向量，若，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】由題意利用兩個向量數(shù)量積公式，求出與的夾角的余弦值，可得它的與的夾角．【解答】解：已知，是單位向量，若，設(shè)與的夾角為，，即，求得，，故選：．【跟蹤訓練2-3】已知向量、滿足，，向量，的夾角為，則的值為A．4 B．3 C．2 D．【分析】根據(jù)條件可求出，從而根據(jù)即可求出答案．【解答】解：，且，．故選：．【跟蹤訓練2-4】已知，，若，則．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積公式求出的值，可得的值．【解答】解：已知，，若，則，，則，故答案為：．【跟蹤訓練2-5】已知向量，，且，則A． B． C．6 D．8【分析】利用平面向量坐標運算法則求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出的值．【解答】解：向量，，，，，解得．故選：．【跟蹤訓練2-6】已知向量，，向量在向量方向上的投影為．若，則實數(shù)的值為A． B． C． D．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，求得實數(shù)的值．【解答】解：向量，，向量在向量方向上的投影為，，若，則，，故選：．【跟蹤訓練2-7】已知向量，，若，則實數(shù)的值為A． B．1 C． D．2【分析】利用平面向量坐標運算法則，求出，再由，能求出實數(shù)的值．【解答】解：向量，，，，，解得實數(shù)．故選：．【跟蹤訓練2-8】已知向量與的夾角為，，，當時，實數(shù)為A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積為0，列方程求出的值．【解答】解：向量與的夾角為，，，由知，，，，解得．故選：．【跟蹤訓練2-9】已知，，且，則．【分析】推導(dǎo)出，，由此能求出結(jié)果．【解答】解：，，且，，，．故答案為：．【跟蹤訓練2-10】已知，，若，則實數(shù)的值為．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得的值．【解答】解：已知，，．若，，，，則實數(shù)，故答案為：5．【跟蹤訓練2-11】在中，，若角的最大值為，則實數(shù)的值是．【分析】由得出，設(shè)三角所對的邊分別為、、，求出，再利用角的最大值得出方程求出的值．【解答】解：中，，所以，即，所以，設(shè)三角所對的邊分別為、、，則，所以，若角的最大值為，則，令，解得．故答案為：3．【名師指導(dǎo)】1.求平面向量模的2種方法公式法利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夾角的2種方法定義法當a，b是非坐標形式，求a與b的夾角θ時，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得坐標法若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．4．已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)．題型3平面向量與三角函數(shù)的綜合問題【例3-1】已知向量，，向量，，函數(shù)．（1）求的最大值；（2）若，是關(guān)于的方程的兩根，且，求及的值．【分析】（1）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可．（2）利用方程的根，推出三角函數(shù)關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化求解表達式的值即可．【解答】解：（1）向量，，向量，，函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為2．（2），是關(guān)于的方程的兩根，即與，，是關(guān)于的方程的兩根，所以，，因為，所以，解得．所以．【例3-2】已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，時，求函數(shù)的最值．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解即可．（2）通過的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解即可．【解答】解：（1）．由，，可得，，單調(diào)遞增區(qū)間為：，．（2）若．當，時，，即，則，所以函數(shù)的最大值、最小值分別為：，．【跟蹤訓練3-1】已知向量，，，．（1）若，求的值；（2）若，則函數(shù)的值域．【分析】（1）根據(jù)平面向量平行的坐標運算以及二倍角公式進行求解即可；（2）先結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算和輔助角公式將函數(shù)化簡為，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1），，，即，，，．（2），，，．函數(shù)的值域為．【跟蹤訓練3-2】已知，．（1）若，求向量在向量方向的投影的數(shù)量．（2）若，且，求向量的坐標．【分析】（1）先將等式的左邊展開化簡運算可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求解即可；（2）把代入的坐標中可得向量，設(shè)，根據(jù)平面向量的模長和數(shù)量積的運算法則可列出關(guān)于和的方程組，解之即可．【解答】解：（1），，向量在向量方向的投影的數(shù)量為．（2），，，，設(shè)，則①，，②，由①②解得，或．故向量的坐標為或．【名師指導(dǎo)】向量與三角函數(shù)綜合問題