【2023小升初】質(zhì)數(shù)和合數(shù)（思維提高）-小升初數(shù)學(xué)思維拓展卷（通用版）

質(zhì)數(shù)和合數(shù)

解答題（共29小題）

1.如果一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)是彼此不等的三個(gè)質(zhì)數(shù)，這樣的三角形叫做“鵬程三角形”。

（1）試舉一個(gè)鵬程三角形的實(shí)例；

（2）證明：不存在周長(zhǎng)為2020的鵬程三角形；

（3）證明：鵬程三角形一定不是直角三角形。

2.請(qǐng)依次（從小到大）說出所有同時(shí)滿足如下要求的自然數(shù)：

（1）它的每一位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)；

（2）它的任意相鄰若干位數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)。

3.已知α,b,C是三個(gè)質(zhì)數(shù)，且“<6<c,a+b×c=93,求a,b,c.

4.1977除本身外有三個(gè)約數(shù)：1,3,659（注意：659是個(gè)質(zhì)數(shù)）.1977的數(shù)字和為1+9+7+7

=24,它除本身外所有約數(shù)的數(shù)字和也是1+3+（6+5+9）=24,我們把具有這種特點(diǎn)的

數(shù)叫鵬程數(shù)，以下是8000以內(nèi)的鵬程數(shù)：

6,33,87,,303,519,573,681,843,951,1059,1329,1383,1923,1977,

2463,2733,2787,2949,3057,3273,3327,3543,3651,3867,3921,4083,4353,

4677,5163,5433,5703,5919,6081,6243,6297,6621,6891,7053,7323,7377,

7647,7971.

（1）用一句話概括什么是鵬程數(shù)；

（2）寫出上述數(shù)表中遺漏的鵬程數(shù)；

（3）仔細(xì)研究上述的鵬程數(shù)，找出它們所具備的共同性質(zhì)，據(jù)此提出至少三個(gè)猜想.

5.在九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，至多有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？

6.三位數(shù)abc是質(zhì)數(shù)，a,h,C也是質(zhì)數(shù)，Cba是偶數(shù)，ab是5的倍數(shù)，求三位數(shù)abc.

7.用寫有2,3,5,7的四張紙片可以排成多少個(gè)小于1000的質(zhì)數(shù)？

8.小華把數(shù)字2~9分成4對(duì)，使得每對(duì)數(shù)的和為質(zhì)數(shù).問一共有多少種不同的分法？

9.只能被1與其自身整除的大于1的自然數(shù)稱為素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)，比如2,3,5,7,IL13

等.請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)表中用圓圈圈出所有的素?cái)?shù).

6S-64-6Λ-62-61-60-S9T8T7

II

M37-M-3634-33-31-3156

IIII

67M17-Ifc-IS-H-I3JO55

IIIIII

Ml3918β-4-31229M

IllTIlll

M40I*A1-2Il2XM

ITllIII

7?41107-8-9-10J752

71422∣-JJ-M-M-25-2*Sl

II?

724Λ-44-45-46-47-4β-49-SO

7j-74-75-76-77-11-?*-*#-?????

10.A、B、C為三個(gè)小于20的質(zhì)數(shù)，A+6+C=30,且AVBeC,求這三個(gè)質(zhì)數(shù).

11.用?,2,3,4,5,6,7,9這8個(gè)數(shù)碼組成4個(gè)兩位質(zhì)數(shù)（每一個(gè)數(shù)碼必須且只能用

一次），這4個(gè)質(zhì)數(shù)有多少種不同的可能？

12.把1到70的所有自然數(shù)平均分為兩組，將每組的35個(gè)數(shù)乘起來求積，然后：將所得的

兩個(gè)積相加，所得和數(shù)稱為一個(gè)“鵬程數(shù)”.

證明：

（1）“鵬程數(shù)”必是合數(shù)：

（2）若一個(gè)“鵬程數(shù)”不是2的倍數(shù)，則這個(gè)“鵬程數(shù)”是2015的倍數(shù).

13.一個(gè)質(zhì)數(shù)的2倍和另一個(gè)質(zhì)數(shù)的5倍的和是36,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少？

14.一個(gè)個(gè)位數(shù)A為質(zhì)數(shù)，并且4+14、A+18、A+36也是質(zhì)數(shù).那4的值的多少？

15.有7個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，它們的和是偶數(shù)，其中最小的質(zhì)數(shù)是幾？

16.三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是80,這三個(gè)數(shù)的積最大是多少？

17.請(qǐng)將1,2,3,…，99,100這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)排成一行，

使每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì)（若一行寫不下，可移至第二行接著寫，若第二行仍寫不下，

可移至第三行接著寫）.

18.在九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，至多有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？

19.著名的哥德巴赫猜想：“任意一個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”.如：6=

3+3,12=5+7等.那么，自然數(shù)100可以寫成多少種兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)和的形式？請(qǐng)分別寫

出來.（IoO=3+97和Ioo=97+3算作同一種形式）

20.已知P為50以內(nèi)的一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，且2p+l也是質(zhì)數(shù).若所有P的和是％,求k的值.

21.小鳴用48元錢按零售價(jià)買了若干練習(xí)本.如果按批發(fā)價(jià)購買，每本便宜2元，恰好多

買4本.問：零售價(jià)每本多少元？

22.有2、3、4、5、6,7、8、9、10和11共10個(gè)自然數(shù)，

①從這10個(gè)數(shù)中選出7個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)中的任何3個(gè)數(shù)都不會(huì)兩兩互質(zhì)；

②說明從這10個(gè)數(shù)中最多可以選出多少個(gè)數(shù)，這些數(shù)兩兩互質(zhì).

23.下面是主試委員會(huì)為第六屆華杯賽寫的一首詩：

美少年華朋會(huì)友，幼長(zhǎng)相親同切磋；

杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；

九天九霄志凌云，九七共慶手相握；

聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌

請(qǐng)你將詩中56個(gè)字從第1行左邊第一字起逐行逐字編為1~56號(hào)，再將號(hào)碼中的質(zhì)數(shù)由

小到大找出來，將它們對(duì)應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話，請(qǐng)讀出這句話.

24.歌德巴赫猜想是說：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和.問：168是哪兩個(gè)

兩位的質(zhì)數(shù)的和，并且其中的一個(gè)質(zhì)數(shù)的個(gè)位是1?

25.將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串依次完成下列五項(xiàng)工作叫一次操作:

(1)將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；

(2)從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；

(3)劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；

(4)所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同的，保留左邊的一個(gè)，劃去多余的；

(5)所剩的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼順序又組成一個(gè)新的數(shù)字串.

問：經(jīng)過1997次操作，所得的數(shù)字串是什么？

26.將60折成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求最大的順數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少？

27.在大圓周上有16個(gè)小圓圈，小明將其中一些不相鄰的小圓圈涂成紅色，這時(shí)無論再將

哪個(gè)小圓圈涂成紅色，都會(huì)使圓周上出現(xiàn)兩個(gè)相鄰的紅色的小圓圈.問：小明最少涂紅

了幾個(gè)小圓圈？說明理由.

28.如圖中圓圈內(nèi)依次寫出了前25個(gè)質(zhì)數(shù)：甲順次計(jì)算相鄰二質(zhì)數(shù)之和填在上行方格中；

乙順次計(jì)算相鄰二質(zhì)數(shù)之積填在下行方格中.甲填“和數(shù)”質(zhì)數(shù)列乙填“積數(shù)”問：甲

填的數(shù)中有多少個(gè)與乙填的數(shù)相同？為什么？

(1)大于16,并且小于15；

(2)分子和分母都是質(zhì)數(shù)；

(3)分母是兩位數(shù).請(qǐng)列舉出所有滿足條件的分?jǐn)?shù).

質(zhì)數(shù)和合數(shù)

參考答案與試題解析

一.解答題（共29小題）

1.如果一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)是彼此不等的三個(gè)質(zhì)數(shù)，這樣的三角形叫做“鵬程三角形”。

（1）試舉一個(gè)鵬程三角形的實(shí)例；

（2）證明：不存在周長(zhǎng)為2020的鵬程三角形；

（3）證明：鵬程三角形一定不是直角三角形。

【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及質(zhì)數(shù)的定義列舉一例即可；

（2）根據(jù)奇偶性來求解即可證明；

（3）根據(jù)奇偶性求解即可。

【解答】解：（1）三邊長(zhǎng)為3,5,7的三角形；

（2）因?yàn)?020是偶數(shù)，

所以邊長(zhǎng)一定有偶質(zhì)數(shù)2,

即2020=2+奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)，

而任意兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之差都大于等于2,

不滿足三角形三邊關(guān)系，

所以不存在；

（3）設(shè)三邊長(zhǎng)分別為“，b,c,

根據(jù)勾股定理：α2+?2≈c2,

2

所以02=c-1=（b+c）Cc-?）,

所以b+c和c-〃必定同奇同偶，

而根據(jù)（2）可知，鵬程三角形不包含邊長(zhǎng)2,

所以，Hc和c-b必定為偶數(shù)，

即。2為偶數(shù)，那么C不是質(zhì)數(shù)，

所以鵬程三角形不可能是直角三角形。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了奇偶性問題，合理運(yùn)用三角形三邊關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵。

2.請(qǐng)依次（從小到大）說出所有同時(shí)滿足如下要求的自然數(shù)：

（1）它的每一位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)；

（2）它的任意相鄰若干位數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)。

【分析】本題分別從一位數(shù)，二位數(shù)和三位數(shù)三個(gè)方面討論質(zhì)數(shù)和合數(shù)，對(duì)質(zhì)數(shù)的概念

要掌握清楚。

一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。

【解答】解：分類討論：

（1）一位數(shù)：2,3,5,7均符合。

(2)二位數(shù)時(shí)，從4個(gè)一位數(shù)中選擇兩個(gè)任意組合，共有：

23,25,27,32,35,37,52,53,57,72,73,75這12種組合，

符合任意相鄰若干位數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)的有：23,25,32,52這4種組合；

(3)三位數(shù)時(shí)，從4個(gè)數(shù)中選擇三個(gè)任意組合，可分4類：

數(shù)字2,3,5組合的三位數(shù)，數(shù)字2,3,7組合的三位數(shù)，

數(shù)字2,5,7組合的三位數(shù)，數(shù)字3,5,7組合的三位數(shù)，

觀察發(fā)現(xiàn)，這4類組合都不符合條件“任意相鄰若干位數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)”，

所以全部排除，同理四位數(shù)及四位以上的所有數(shù)均可全部排除；

(4)有重復(fù)數(shù)字出現(xiàn)時(shí)，只有數(shù)字232符合所有條件，其余全部排除。

所以從小到大，滿足題目要求的數(shù)為：2,3,5,7,23,25,32,52,232。

答：滿足要求的數(shù)為：2,3,5,7,23,25,32,52,232。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，分類討論是解決本題的突破口。

3.已知α,b,C是三個(gè)質(zhì)數(shù)，且“<b<c,a+b×c-93,求4,b,c.

【分析】α+i>Xc=93,93是奇數(shù)，所以根據(jù)數(shù)的奇偶性可得α=2,則bXc=93-2=91

=13X7,據(jù)此進(jìn)一步解答即可.

【解答】解：因?yàn)?+b><c=93,93是奇數(shù)，

所以根據(jù)數(shù)的奇偶性可得〃、權(quán)C中必有偶數(shù)，因?yàn)椤白钚?，所?=2,

貝U人XC=93-2=91=13X7,

又因?yàn)閍<b<c,

所以b=7,c-13.

答：a=2,b=7,C=13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的奇偶性和質(zhì)數(shù)的意義的綜合應(yīng)用，解答的突破口是根據(jù)“奇數(shù)+

偶數(shù)=奇數(shù)”確定最小的偶質(zhì)數(shù)是2.

4.1977除本身外有三個(gè)約數(shù)：1,3,659(注意：659是個(gè)質(zhì)數(shù)).1977的數(shù)字和為1+9+7+7

=24,它除本身外所有約數(shù)的數(shù)字和也是1+3+(6+5+9)=24,我們把具有這種特點(diǎn)的

數(shù)叫鵬程數(shù)，以下是8000以內(nèi)的鵬程數(shù)：

6,33,87,249,303,519,573,681,843,951,1059,1329,1383,1923,1977,

2463,2733,2787,2949,3057,3273,3327,3543,3651,3867,3921,4083,4353,

4677,5163,5433,5703,5919,6081,6243,6297,6621,6891,7053,7323,7377,

7647,7971.

(1)用一句話概括什么是鵬程數(shù)：

(2)寫出上述數(shù)表中遺漏的鵬程數(shù)；

(3)仔細(xì)研究上述的鵬程數(shù)，找出它們所具備的共同性質(zhì)，據(jù)此提出至少三個(gè)猜想.

【分析】本題考查對(duì)數(shù)的規(guī)律進(jìn)行探討.結(jié)合題目所給例子，可以得出概括出鵬程數(shù)的

定義.（I）根據(jù)題意可知鵬程數(shù)是一個(gè)除本身外有三個(gè)約數(shù)，而且這個(gè)數(shù)的數(shù)字之和等

于除它本身外的另外的三個(gè)約數(shù)的數(shù)字之和.（2）觀察這些數(shù)字，可知這些書都是3的

倍數(shù)，6=3×2,33=3×11,87=3X29,…，可看出最后的約數(shù)差都是9的倍數(shù)，11-

2=9,29-11=18,…，所以要找的下一個(gè)約數(shù)必須和29差為9的倍數(shù)，同時(shí)，這個(gè)數(shù)

還需要是質(zhì)數(shù)，29是奇數(shù)，所以29加一個(gè)9的倍數(shù)同時(shí)是一個(gè)偶數(shù)，那么，可找到29+54

=83,所以3X83=249（3）由鵬程數(shù)的定義及觀察這些鵬程數(shù)可以猜想.

【解答】解：（1）一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和，恰好等于它的除本身外的所有約數(shù)（因數(shù)或因子）

的數(shù)字之和，這樣的數(shù)叫做鵬程數(shù)；

（2）由題可知6=3X2（質(zhì)數(shù)）

33=3X11（質(zhì)數(shù)）

87=3×29（質(zhì)數(shù)）

303=3X101（質(zhì)數(shù)）519=3×173（質(zhì)素）

由此可得到，11-2=9,29-11=18,173-101=72,這些差都是9的倍數(shù)，所以29+9

的倍數(shù)=一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么29+54=83,所以3X83=249

249的數(shù)位上的數(shù)字之和2+4+9=15,除它本身外的約數(shù)數(shù)字之和1+3+（8+3）=15,所

以應(yīng)寫249.

（3）猜想1：鵬程數(shù)有無窮多個(gè)；

猜想2：鵬程數(shù)是3的倍數(shù)；

猜想3：鵬程數(shù)一定是3p的形式，其中P是質(zhì)數(shù)；

猜想4：鵬程數(shù)被9除余數(shù)是6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查內(nèi)容為：探討數(shù)的規(guī)律，質(zhì)數(shù)、約數(shù).補(bǔ)充題干中遺漏的鵬程數(shù)需要

學(xué)生找到規(guī)律，才能減少計(jì)算量.

5.在九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，至多有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？

【分析】本題考查質(zhì)數(shù)與合數(shù).

【解答】解：9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)有4奇5偶或者4偶5奇，

①若是4奇5偶，為了使得質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)多，則偶數(shù)要有2,

易得從2~10中有2、3、5、7四個(gè)質(zhì)數(shù)；

②若是4偶5奇，則5個(gè)奇數(shù)必有一個(gè)以5結(jié)尾，為了要有5,

則有5~13中有5、7、11、13四個(gè)質(zhì)數(shù)，

或者3~11中有3、5、7、11四個(gè)質(zhì)數(shù)，

綜上，9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵在于進(jìn)行分類討論.

6.三位數(shù)abc是質(zhì)數(shù)，α,b,C也是質(zhì)數(shù)，cba是偶數(shù)，ab是5的倍數(shù)，求三位數(shù)abc.

【分析】Cba是偶數(shù)，且“是質(zhì)數(shù)，可得α=2,ab是5的倍數(shù)，且匕也是質(zhì)數(shù)，b=5,

利用abc是質(zhì)數(shù)，C也是質(zhì)數(shù)，C不可能是2和5.只能3或7,即可得出結(jié)論.

【解答】解：Cba是偶數(shù)，且α是質(zhì)數(shù)，那么。=2,

ab是5的倍數(shù)，且6也是質(zhì)數(shù)，那么只有6=5,

abc是質(zhì)數(shù)，C也是質(zhì)數(shù)，C不可能是2和5.只能3或7,

如果c=3,那么abc=253=23X11不符合質(zhì)數(shù)要求，

c=l,abc=257質(zhì)數(shù).

即三位數(shù)abc是257.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查質(zhì)數(shù)與合數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確確定”

與b的值.

7.用寫有2,3,5,7的四張紙片可以排成多少個(gè)小于IOOO的質(zhì)數(shù)？

【分析】利用列舉法，即可得出結(jié)論.

【解答】解：一位數(shù)：2,3,5,7；

二位數(shù)：23,37,53,73；

三位數(shù)：257,523,一共10個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查質(zhì)數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

8.小華把數(shù)字2~9分成4對(duì)，使得每對(duì)數(shù)的和為質(zhì)數(shù).問一共有多少種不同的分法？

【分析】按一定的順序去列舉.

【解答】解：

23；47；56；89

23；49；58；67

25；34；67；89

25；38；49；67

29；34；58；67

29；38；47；56

一共有上面6種.

【點(diǎn)評(píng)】在列舉的時(shí)候要注意一定的順序，防止遺漏.

9.只能被1與其自身整除的大于1的自然數(shù)稱為素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)，比如2,3,5,7,11,13

等.請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)表中用圓圈圈出所有的素?cái)?shù).

65-64-6‰6A6I-60—-5*→7

II

6637-36-35-M-3‰32-3156

IIII

67ΛM17-1?-IS-H-IJΛ0”

IIIIII

(Λ3918$-4-3∏29M

IllTTill

6940”61-2Il2?SJ

ITIIIII

7041ZO7-8-9-102752

IIIII

714221-n-23-24∏6Sl

iII

【分析】找出IOO以內(nèi)的質(zhì)數(shù)即可.

【解答】解：100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,

43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

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【點(diǎn)評(píng)】100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)是考察的重點(diǎn)內(nèi)容.共25個(gè).

10.A、B、C為三個(gè)小于20的質(zhì)數(shù)，A+8+C=30,且A<B<C,求這三個(gè)質(zhì)數(shù).

【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義，一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做

質(zhì)數(shù).小于20的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19,據(jù)此即可找出符合條件的三個(gè)

質(zhì)數(shù).

【解答】解：小于20的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19,

其中2+11+17=30,

所以A、B、C這三個(gè)質(zhì)數(shù)是2、II、和17.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解質(zhì)數(shù)的意義，熟記100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表是解答此題的關(guān)鍵.

11.用1,2,3,4,5,6,7,9這8個(gè)數(shù)碼組成4個(gè)兩位質(zhì)數(shù)（每一個(gè)數(shù)碼必須且只能用

一次），這4個(gè)質(zhì)數(shù)有多少種不同的可能？

【分析】由題意，兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是：1、3、7、9,所以，2、4、5、6在

十位上.23、29、41、43、47、53、59、61、67,一共有9個(gè)質(zhì)數(shù).其中43必須舍棄.即

可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意，兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是：1、3、7、9,所以，2、4、5、

6在十位上.

23、29、41、43、47、53、59、61、67,一共有9個(gè)質(zhì)數(shù).其中43必須舍棄.

有四種組合：23、41、59、67；23、47、59、61；29、41、53、67；29、47、53、61.

答：這4個(gè)質(zhì)數(shù)有4種不同的可能.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查質(zhì)數(shù)與合數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是得出23、

29、41、43、47、53、59、61、67,一共有9個(gè)質(zhì)數(shù).其中43必須舍棄.

12.把1到70的所有自然數(shù)平均分為兩組，將每組的35個(gè)數(shù)乘起來求積，然后：將所得的

兩個(gè)積相加，所得和數(shù)稱為一個(gè)“鵬程數(shù)”.

證明：

(1)“鵬程數(shù)”必是合數(shù)；

(2)若一個(gè)“鵬程數(shù)”不是2的倍數(shù)，則這個(gè)“鵬程數(shù)”是2015的倍數(shù).

【分析】本題考查質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念.證明一個(gè)數(shù)是合數(shù)，只需要證明它除了1和本身

以外還有其他因數(shù)即可，因此分“鵬程數(shù)”為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；證明“鵬

程數(shù)”是2015的倍數(shù)，則先把2015分解質(zhì)因數(shù)，找出鵬程數(shù)含有與2015相同的質(zhì)因數(shù)

即可.

【解答】解：(1)證明：這70個(gè)數(shù)中恰有35個(gè)偶數(shù)，所以，如果全部偶數(shù)沒有都在一

組，則每組的乘積都是偶數(shù)，這兩個(gè)乘積的和被2整除；

如果一組的35個(gè)數(shù)全是偶數(shù)，則另一組的35個(gè)數(shù)全是奇數(shù).在前一組包含偶數(shù)6,后一

組包含奇數(shù)3,兩組的乘積都是3的倍數(shù)，其和被3整除.

由于2、3都大于1,且小于和數(shù)本身，所以兩個(gè)積相加的和必是合數(shù).

(2)設(shè)1到70的所有自然數(shù)中的一組35個(gè)數(shù)的乘積為a,另一組35個(gè)數(shù)的乘積為b,

記p=a+b,則P即為一個(gè)“鵬程數(shù)”.

若一個(gè)“鵬程數(shù)”不是2的倍數(shù)，則P為奇數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m人一個(gè)奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù).

不妨設(shè)。為奇數(shù)，則這一組的數(shù)只能是1,3,5,……,69這35個(gè)奇數(shù)，所以“含有因

數(shù)5,13,31,

因?yàn)?X13X31=2015,故20為∣α,

另一組數(shù)只能由2,4,……，70這35個(gè)偶數(shù)組成，因此6含有因數(shù)10,26,62,同理

2015∣?,

因此2015∣α+'所以當(dāng)一個(gè)“鵬程數(shù)”不是2的倍數(shù)時(shí)，則這個(gè)“鵬程數(shù)”必是2015的

倍數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查內(nèi)容有：合數(shù)概念、分類討論、奇偶分析、簡(jiǎn)單推理.

13.一個(gè)質(zhì)數(shù)的2倍和另一個(gè)質(zhì)數(shù)的5倍的和是36,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少？

【分析】一個(gè)質(zhì)數(shù)的2倍一定是偶數(shù)，

一個(gè)質(zhì)數(shù)的5倍一定是5的倍數(shù)，

而36要拆成兩個(gè)數(shù)的和，要么都是偶數(shù)，要么都是奇數(shù)，

本題中2的倍數(shù)一定是偶數(shù)，所以只能拆成兩個(gè)偶數(shù)，故此5的倍數(shù)只能是個(gè)位上帶0

的數(shù)，

當(dāng)是10時(shí)，36-10=26,26÷2=13

當(dāng)是20時(shí)，4X5=20,4不是質(zhì)數(shù)

當(dāng)是30時(shí)，5×6=30,6不是質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答.

【解答】解：根據(jù)分析可得：

符合題意的5的倍數(shù)只能是10,20,30

5X2=10,

5×4=20,

5X6=30,

4和6不是質(zhì)數(shù)，

所以只能是2,

所以另一個(gè)質(zhì)數(shù)為：

36-10=26,

26÷2=13,

所以這兩個(gè)數(shù)的乘積為：

2×13=26。

答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是26.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了質(zhì)數(shù)的定義及其奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì).

14.一個(gè)個(gè)位數(shù)A為質(zhì)數(shù)，并且A+14、A+18、A+36也是質(zhì)數(shù).那A的值的多少？

【分析】根據(jù)題意，14除以5余4,18除以5余3,36除以5余1,4是質(zhì)數(shù)，所以，A、

4+14、4+18、A+36中必有一個(gè)是5的倍數(shù)，又是質(zhì)數(shù)，所以只能是5,據(jù)此解答.

【解答】解：14÷5=2…4；

18÷5=3…3；

36÷5=7???1;

因?yàn)锳是質(zhì)數(shù)，所以，A、A+14、A+18、A+36中必有一個(gè)是5的倍數(shù)，又是質(zhì)數(shù)，所以

只能是5,即A=5.

答：A的值是5.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義、以及奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)解決問題.

15.有7個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，它們的和是偶數(shù)，其中最小的質(zhì)數(shù)是兒？

【分析】最小的質(zhì)數(shù)是2,2也是偶數(shù)，其它質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，根據(jù)偶數(shù)與奇數(shù)的性質(zhì)：奇

數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù).由于7個(gè)質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，由此

可知這7個(gè)質(zhì)數(shù)中必須有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，2是唯一一個(gè)是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)，所以最小的質(zhì)數(shù)是

2.

【解答】解：根據(jù)偶數(shù)與奇數(shù)的性質(zhì)可知：由于7個(gè)質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，由此可知這7個(gè)

質(zhì)數(shù)中必須有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，2是唯一一個(gè)是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)，所以最小的質(zhì)數(shù)是2.

答：其中最小的質(zhì)數(shù)是2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解質(zhì)數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的意義，掌握偶數(shù)與奇數(shù)的性質(zhì).

16.三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是80,這三個(gè)數(shù)的積最大是多少？

【分析】三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，因此，必有一個(gè)質(zhì)數(shù)是偶數(shù)，即至少有一個(gè)2；然后根據(jù)

兩個(gè)質(zhì)數(shù)越接近則乘積越大，求出其它兩個(gè)質(zhì)數(shù)，進(jìn)而求出這三個(gè)質(zhì)數(shù)的積最大是多少

即可.

【解答】解：因?yàn)橘|(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是一個(gè)偶數(shù)，

必定有一個(gè)質(zhì)數(shù)是2,剩下兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是78,

要使這兩個(gè)數(shù)的乘積最大，必須它們的差最小.

所以是37和41.

那么這三個(gè)數(shù)的乘積是：2X37X41=3034.

答：這三個(gè)數(shù)的積最大是3034.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是質(zhì)數(shù)的概念，熟知2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.

17.請(qǐng)將1,2,3,…，99,100這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)排成一行，

使每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì)(若一行寫不下，可移至第二行接著寫，若第二行仍寫不下，

可移至第三行接著寫).

【分析】先找出1，2,3,99,100這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)分

別有哪些，再將它們排成一行，使每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì).

【解答】解：既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)有公約數(shù)3：9、15、21、27、33、39、45、51、

57、63、69、75、81、87、93、99；

有公約數(shù)為5：25、35、55、65、85、95；

有公約數(shù)為7：49、77、91；

每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì)排列如下：25、35、55、65、85、95、15、9、21、27、33、39、

45、51、57、63、69>75、81、87、93、99、77、91、49.

故答案為：25、35、55、65、85、95、15、9、21、27、33、39、45、51、57、63、69、

75、81、87、93、99、77、91、49.

【點(diǎn)評(píng)】解決此題關(guān)鍵是找出1,2,3,99,100這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合

數(shù)的自然數(shù)，再按要求排列這些數(shù).

18.在九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，至多有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？

【分析】由題意，例如：在2、3、4、5、6、7、8、9、10這9個(gè)數(shù)中，有4個(gè)質(zhì)數(shù)，這

也是最多的，因?yàn)槿我膺B續(xù)9個(gè)自然數(shù)中至少有4個(gè)偶數(shù)，剩下的五個(gè)奇數(shù)中至少有一

個(gè)是3的倍數(shù).

【解答】解：這個(gè)問題依據(jù)兩個(gè)事實(shí)：

(1)除2之外，偶數(shù)都是合數(shù)；

(2)九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，一定含有5的倍數(shù).以下分兩種情況討論：

①九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的大于5,這時(shí)其中至多有5個(gè)奇數(shù)，而這5個(gè)奇數(shù)中一定有一

個(gè)是5的倍數(shù)，即其中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過4個(gè)；

②九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中最小的數(shù)不超過5,有下面幾種情況:

1,2,3,4,5,6,7,8,9；

2,3,4,5,6,7,8,9,10；

3,4,5,6,7,8,9.10,11；

4,5,6,7,8,9,10,11,12：

5,6,7,8,9,10,11,12,13；

這幾種情況中，其中質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)均不超過4.

綜上所述，在九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，至多有4個(gè)質(zhì)數(shù).

答：九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，至多有4個(gè)質(zhì)數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了質(zhì)數(shù)的意義以及對(duì)數(shù)的列舉能力，分析判斷能力等.

19.著名的哥德巴赫猜想：”任意一個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”.如：6=

3+3,12=5+7等.那么，自然數(shù)100可以寫成多少種兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)和的形式？請(qǐng)分別寫

出來.（100=3+97和100=97+3算作同一種形式）

【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義和100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，100以內(nèi)一共有25個(gè)質(zhì)數(shù)，由此解答即

可.

【解答】解：100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53；

答：可以寫6種不同質(zhì)數(shù)和.

【點(diǎn)評(píng)】解答本題要明確自然數(shù)，質(zhì)數(shù)，合數(shù)的概念，熟記100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表.

20.己知P為50以內(nèi)的一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，且2p+l也是質(zhì)數(shù).若所有P的和是左，求Z的值.

【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義，一個(gè)自然數(shù)，如果只有I和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做

質(zhì)數(shù).50以內(nèi)的兩位質(zhì)數(shù)有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47,已知P為

50以內(nèi)的一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，且2p+l也是質(zhì)數(shù)，求出符合條件的質(zhì)數(shù)，進(jìn)而求出它們的和.

【解答】解：11X2+1=23

23X2+1=47

29X2+1=59

41X2+1=83

所以P=I1、23、29、41

所以Jt=11+23+29+41=104

答：k的值是104.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解質(zhì)數(shù)的意義，熟記100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)是解答關(guān)鍵.

21.小鳴用48元錢按零售價(jià)買了若干練習(xí)本.如果按批發(fā)價(jià)購買，每本便宜2元，恰好多

買4本.問：零售價(jià)每本多少元？

【分析】先將48分解質(zhì)因數(shù)：48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8,因數(shù)全寫出來，

再找出里面相差分別是2和4的，那么這兩個(gè)算式就分別為零售價(jià)和批發(fā)價(jià).

【解答】解：48=48=1X48=2X24=3X16=4X12=6X8,找出里面相差分別是2和4

的，那么這兩個(gè)算式就分別為零售價(jià)和批發(fā)價(jià)；只有4X12和6X8,12比8多4,4比6

少2,則零售價(jià)為6元，批發(fā)價(jià)為4元；

答：零售價(jià)為6元.

【點(diǎn)評(píng)】解答此題應(yīng)結(jié)合合數(shù)和質(zhì)數(shù)的含義進(jìn)行分析，通過分解質(zhì)因數(shù)，找出符合題意

的答案即可.

22.有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10個(gè)自然數(shù)，

①從這10個(gè)數(shù)中選出7個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)中的任何3個(gè)數(shù)都不會(huì)兩兩互質(zhì)；

②說明從這10個(gè)數(shù)中最多可以選出多少個(gè)數(shù)，這些數(shù)兩兩互質(zhì).

【分析】①根據(jù)互質(zhì)數(shù)的概念，此題很好解決，即2,3,4,6,8,9,10；

②將這10個(gè)自然數(shù)分為三組：偶數(shù)為第一組，9為第二組；5,7,11為第三組.然后根

據(jù)各組中的數(shù)字特點(diǎn)，看看各組能選出幾個(gè)數(shù)，解決問題.

【解答】解：①這7個(gè)數(shù)是2,3,4,6,8,9,10；

②將這10個(gè)自然數(shù)分為三組：偶數(shù)2,4,6,8,10為第一組；3,9為第二組；5,7,

11為第三組.顯然，第一和第二組每組至多只能選出1個(gè)數(shù)，第三組的3個(gè)自然數(shù)兩兩

互質(zhì)，最多能選3個(gè).例如：2、3、5、7、11就兩兩互質(zhì).所以從2、3、4、5、6、7、

8,9、10和11最多可以選出5個(gè)數(shù)，這5個(gè)自然數(shù)兩兩互質(zhì).

【點(diǎn)評(píng)】此題根據(jù)互質(zhì)數(shù)的概念以及運(yùn)用分類的方法，根據(jù)每組數(shù)的特點(diǎn)，解決問題.

23.下面是主試委員會(huì)為第六屆華杯賽寫的一首詩：

美少年華朋會(huì)友，幼長(zhǎng)相親同切磋；

杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；

九天九霄志凌云，九七共慶手相握；

聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌

請(qǐng)你將詩中56個(gè)字從第1行左邊第一字起逐行逐字編為1~56號(hào)，再將號(hào)碼中的質(zhì)數(shù)由

小到大找出來，將它們對(duì)應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話，請(qǐng)讀出這句話.

【分析】先根據(jù)題意將詩中56個(gè)字從第1行左邊第一字起逐行逐字用列表格的方法編號(hào)，

再將號(hào)碼中的質(zhì)數(shù)由小到大找出來，將它們對(duì)應(yīng)的字依次排成一行，組成一句話即可解

答.

【解答】解：將56個(gè)字編號(hào)為（其中加括號(hào)的為質(zhì)數(shù)）：

1(2)(3)4(5)6(7)

美少年華朋會(huì)友，

8910(11)12(13)14

幼長(zhǎng)相親同切磋；

1516(17)18(19)2021

杯賽聯(lián)誼歡聲響，

22(23)2425262728

念—`笑慰來者多；

(29)303132333435

九天九霄志凌云，

36(37)383940(41)42

九七共慶相握；

43444546474849

聚起華夏中興力，

50515253545556

同唱移山壯麗歌.

將質(zhì)數(shù)對(duì)應(yīng)的漢字依次寫出就是：少年朋友親切聯(lián)歡，一九九七相聚中山.

答：這句話是：少年朋友親切聯(lián)歡，一九九七相聚中山.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意編號(hào)，找出質(zhì)數(shù)對(duì)應(yīng)的漢字.

24.歌德巴赫猜想是說：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和.問：168是哪兩個(gè)

兩位的質(zhì)數(shù)的和，并且其中的一個(gè)質(zhì)數(shù)的個(gè)位是1?

【分析】因數(shù)只有1和它本身數(shù)為質(zhì)數(shù)，在本題中，可先確定個(gè)位數(shù)為1的兩位數(shù)質(zhì)數(shù)

是幾，然后再據(jù)此求出另一個(gè)兩位數(shù)質(zhì)數(shù).

【解答】解：求168是哪兩個(gè)兩位的質(zhì)數(shù)的和，則其中較小的兩數(shù)一定大于68,

大于68的個(gè)位數(shù)為1的兩位數(shù)只有71,

所168-71=97,97為質(zhì)數(shù)，

所以，168是71和97個(gè)兩位的質(zhì)數(shù)的和.

【點(diǎn)評(píng)】168可以是多對(duì)質(zhì)數(shù)的和，所以完成本題要細(xì)心審題，明確“兩位數(shù)”及“其中

一個(gè)質(zhì)數(shù)個(gè)位為1”這兩個(gè)條件.

25.將IOO以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串依次完成下列五項(xiàng)工作叫一次操作：

(1)將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；

(2)從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；

(3)劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；

(4)所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同的，保留左邊的一個(gè)，劃去多余的；

(5)所剩的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼順序又組成一個(gè)新的數(shù)字串.

問：經(jīng)過1997次操作，所得的數(shù)字串是什么？

【分析】此題找出IOO以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，排列并按題干要求一次操作，在從第五次操作

時(shí)，就出現(xiàn)了周期變化的規(guī)律，由此即可解決問題.

【解答】解：第一次操作：(1)2357111317192329313741434753596167717379838997,(2)

35,71,IL31,71,92,32,93,13,74,14,34,75,35,96,16,7717,37,98,

38,99,72,

(3)71,11,31,71,13,17,37,

(4)71,11,31,13,17,37,

(5)711131131737,

根據(jù)第一次操作的步驟依次完成第二次操作、第三次操作…

第二次操作:111311317377,

11,13,11,31,73,77,

11,13,31,73,

1133173,

第三次：11,33,17,31

111731

第四次：11,73,11

1173

第五次1731

六次：7311

七次：3117

八次：1173

循環(huán)…

從以上操作可以得出：從第5次操作開始，數(shù)字1173就有這樣的規(guī)律：4此操作為一變

化周期，變化規(guī)律為：第一個(gè)數(shù)字是下一組的最后一個(gè)數(shù)字.(1997-4)÷4=498-l,

所以1997次操作是第499周期的第一次操作，應(yīng)該和第一周期的第一次即：上述中第五

次操作的操作結(jié)果相同是：1731.

答：經(jīng)過1997次操作，所得的數(shù)字串是1731.

【點(diǎn)評(píng)】此題關(guān)鍵是通過依次操作得出數(shù)字的變化周期的規(guī)律.

26.將60折成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么其中最大的質(zhì)數(shù)是多少？

【分析】由于60÷10=6,即這十個(gè)質(zhì)數(shù)的平均數(shù)是6,則這個(gè)最大的質(zhì)數(shù)至少要大于6.大

于6的最小的質(zhì)數(shù)是7,則這個(gè)質(zhì)數(shù)如果是7的話，通過試算可得：十個(gè)質(zhì)數(shù)的和是

7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=60或7+7+7+7+7+7+7+7+2+2=60.

【解答】解：由于60÷10=6,

則這個(gè)最大的質(zhì)數(shù)至少要大于6,大于6的最小的質(zhì)數(shù)是7,

如果是7,則十個(gè)質(zhì)數(shù)的和是7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=60或7+7+7+7+7+7+7+7+2+2=60.

即最大的質(zhì)數(shù)是7.

【點(diǎn)評(píng)】首先根據(jù)除法的意義求出這十個(gè)質(zhì)數(shù)的平均數(shù)是完成本題的關(guān)鍵.

27.在大圓周上有16個(gè)小圓圈，小明將其中一些不相鄰的小圓圈涂成紅色，這時(shí)無論再將

哪個(gè)小圓圈涂成紅色，都會(huì)使圓周上出現(xiàn)兩個(gè)相鄰的紅色的小圓圈.問：小明最少涂紅

了幾個(gè)小圓圈？說明理由.

【分析】無