高中數(shù)學(xué)直線與方程題型總結(jié)

(1)直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸

平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°a<180。

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常

用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)°,90時(shí)，k0;當(dāng)9(),18()時(shí)，k0；當(dāng)90時(shí)，k不存在。

yy

k21.(Xx)

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：\X,'2

所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率

概念考查

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1、已知經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線與經(jīng)過點(diǎn)P(0,-1)和點(diǎn)Q(a,

2/6

3/6

-2a）的直線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值。

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2、直線yaxb與ybxa在同一坐標(biāo)系下可能的圖是（）

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ABCD

3、直線yk(x2)3必過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)D.(2,3)

4,如果直線axbyc0(其中a,b,c均不為())不通過第一象限，那么a,b,c應(yīng)滿足的關(guān)系是

()

A.abc0B.ac0C.ab0D.ab,c同號(hào)

5、若點(diǎn)A(2,3),B(3,2),直線1過點(diǎn)P(1,1),且與線段AB相交，貝山的斜

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率k的取值范圍是（）

a2144

A.k或k4B.k或kC.4kD.3k4

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A(x,y)B(x,y)

(3)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)1122是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),

則|AB|眄平.邛

Px,y1:AxByC0_

(4)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)00到直線l的距曷

|ABCl

dJu!

JAB?

概念考查

(1)求兩平行線1：3x+4y=10和1:3x+4y=15的距離。

12

(2)求過點(diǎn)M(-2,1)且與A(-1,2),B(3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線方程。

(3)直線1經(jīng)過點(diǎn)P(2,-5),且與點(diǎn)A(3,-2)和點(diǎn)B(-1,6)的距離之比為1:2,求直

線1的方程

(4)直線1過點(diǎn)A(0,1),1過點(diǎn)(5,0),如果1〃\且41的距離為5,求1、1的方程2

(5)已知點(diǎn)P(2,-1)

a、求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線1的方程

b、求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線1的方程，最大距離是多少

(5)、求關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱問題的方法。

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(1)求已知點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。(距離相等，三點(diǎn)同線)

(2)求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線。(平行，點(diǎn)到線距離相等)

(3)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。(在垂直線上，距離相等)

(4)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線。(平行：距離相等；相交：過交點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)稱)

概念考查

已知直線1：y=3x+3,求:

(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直線y=x-2關(guān)于1的對(duì)稱直線的方程；

(3)直線1關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線的方程。

(6)直線上動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)距離的最大最小值

a.在直線1上求一點(diǎn)P使PAI+IPB取得最小值時(shí)，若點(diǎn)A、B位于直線1的同側(cè)，則作點(diǎn)A

(或點(diǎn)B)關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)A(或點(diǎn)B),連接AB(或AB)交汗點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求。

若點(diǎn)A、B位于直線1的異側(cè)，直接連接AB交1于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求?？珊?jiǎn)記“同側(cè)對(duì)稱異

側(cè)連”。即兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)，作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；兩點(diǎn)位于直線的異側(cè)時(shí)，直接連

接兩點(diǎn)即可。

b.在直線1上求一點(diǎn)P使||PAHPB||取得最大值時(shí)，方法與a恰好相反，即“異側(cè)對(duì)稱同側(cè)

連，。

概念考查

(1)已知兩點(diǎn)A(3,-3),B(5,1),直線l:yX,在直線1上求一點(diǎn)P,使|PA|+|PB|最小。

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(2)求一點(diǎn)P,使［PAHPBI最大

(7)直線夾角公式

設(shè)兩條直線方程分別是1：ykxb,1:ykxb(k,k均存在)，1至［|1的

1112221212

角

如果kk1,那么=90。

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如果kk1,設(shè)1和1的傾斜角分別是和,貝業(yè)=tg,k=tg

I2I2121122

不論或()，

2121

一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考慮

vk

不大于直角的角(叫做兩條直線的夾角)，那么有tg(90)

1kk

21

當(dāng)兩條直線平行或重合時(shí)，則它們的夾角是零度角，此時(shí)公式仍適用。

概念考查

求下列直線1至”的角與1到1的角。

1221

(1)1:x+2y-5=0,1:2x-3y+l=0;

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(2)1:x-3y-2=0,1:2y+3=0;

(3)1:x-5=0,1:2x+4y+3=0;

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求經(jīng)過點(diǎn)(-5,6)且與直線2x+y-5=0的夾角為45的直線方程。

課后練習(xí)

(1)已知直線1經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且被兩平行直線1:x+y+l=O和］:x+y+6=0截得的線

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段長(zhǎng)為5,求直線1的方程？

(2)已知直線1：2x-3y+l=0,點(diǎn)A(-1,-2),求:

a.點(diǎn)A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)

b.3m:3x-2y-6=()關(guān)于直線1的對(duì)稱直線m的方程

c.直線1關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)對(duì)稱的直線1的方程

(3)已知點(diǎn)M(3,5),在直線1：x-2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q,是三角形MPQ周長(zhǎng)

最小

(4)兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(-3,-1),并且各自繞著點(diǎn)A、B旋轉(zhuǎn),

如果兩條平行直線間的距離為d,求(1)d的變化