2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(人教版)大一輪復習 高效演練分層突破

［基礎(chǔ)題組練］

1.(多選)下列4個命題錯誤的是()

A.對立事件一定是互斥事件

B.若A,8為兩個事件，則P(4+B)=P(A)+P(8)

C.若事件A,B,C彼此互斥，則P(A)+P(8)+P(C)=1

D.若事件A,B滿足尸(4)+P(B)=l,則A,8是對立事件

解析：選BCD.在A中，對立事件一定是互斥事件，故A正確；在B中，若4,B為

兩個互斥事件，則P(A+B)=尸(A)+P(B),若A,8不是互斥事件，則P(A+8)=尸(A)+P(B)

-P(A8),故B錯誤；在C中，若事件4,B,C彼此互斥，則P(4)+P(B)+P(C)W1,故C

錯誤；在D中，若事件A,8滿足P(A)+P(B)=1,則A,B有可能不是對立事件.

2.(2019?高考全國卷川)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文

學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機

調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓

夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱

讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為()

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

解析：選C.根據(jù)題意閱讀過《紅樓夢》《西游記》的人數(shù)用韋思圖表示如下:

所以該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為佐=0.7.

3.現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不

放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完結(jié)束

的概率為（）

11

-

A.B.5

10

c3-2

C-WD"5

解析：選C.將5張獎票不放回地依次取出共有A§=120種不同的取法，若活動恰好在

第四次抽獎結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎票，第四次抽到最后一張中獎票，共有3A衿嶼］

=36種取法，所以2=卷=需故選C.

4.（多選）某展會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨

機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計了兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車,

若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直

接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為4，P2,則（）

A.P,?P=lB,P=P=［

C.P,+P=|D,Pi>P2

解析：選ACD.三輛車的出車順序可能為123,132,213,231,312,321,共6種.方

31

案一坐到“3號”車可能為132,213,231,共3種，所以P|=%=］；方案二坐到“3號”

2115

車可能為312,321,共2種，所以￡=1§，所以尸/尸2,Px+P=.,故選

ACD.

2

5.（2020?武漢市調(diào)研測試）大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙

3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概

率為（）

A,擊B?；

C.D.J

解析：選C.依題意，小明與另外3名大學生分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學的分

配方法是1個學校2人，另外2個學校各1人，共有C3Ag=36（種）分配方法，若小明必分配

至“甲村小學，有CgA3+QA3=12（種）分配方法，根據(jù)古典概型的概率計算公式得所求的概率

121

為文=不，故選C.

3。3

6.（2019?高考全國卷H）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列

車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率

為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

解析：經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為

10X0.97+20X0.98+10XQ,99_

10+20+10=098.

答案：0.98

7.連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.“恰好3枚正面都朝

上”的概率是;“至少有2枚反面朝上”的概率是.

解析：列舉基本事件如下：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），

（正，反,反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8個，“恰好3枚正面都朝

上”包含1個基本事件，概率“至少有2枚反面朝上”包含4個基本事件，概率P,

=一4^一1

82,

a11

答案：82

8.已知lplW3,0IW3,當p,q《Z,則方程m+2px—42+1=0有兩個相異實數(shù)根的概

率是.

3

解析：由方程k+2px一夕2+1=0有兩個相異實數(shù)根，可得4=(2p)2—4(一42+1)>0,

即p2+q2>1.

當p,q￡Z時，設(shè)點Af(p,q),如圖，直線p=-3,—2,—1,0,1,2,3和直線q

=-3,-2,-1,0,1,2,3的交點，即為點M,共有49個，其中在圓上和圓內(nèi)的點共

有5個(圖中黑點).當點M(p,q)落在圓〃2+42=1外時，方程X2+2/ZT—0+1=0有兩個相

49—544

異實數(shù)根，所以方程4+2/汽一/+1=0有兩個相異實數(shù)根的概率尸=^一=而.

44

答案:49

9.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠

付結(jié)果統(tǒng)計如下：

賠付金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)(輛)500130100150120

(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主

是新司機的占20%,估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.

解：(1)設(shè)4表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，

以頻率估計概率得

150120

尸(4)=麗=。/5,^)-7000-0-12.

由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3000元和

4000元，所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新

司機的有0.1X1000=100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2X120

4

=24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為而=0.24,由頻率估計

概率得尸(0=0.24.

10.在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A,B,C,D四個不同的崗

位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；

(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；

(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率.

解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件居，那么尸(三)=侖高即

甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是會.

(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E,那么「(&=去7=白，所以甲、

IgA?U

—9

乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(E)=1-尸(E)=而

(3)有兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的

2C雙4,

,*3

概率尸1=［一尸2=不

［綜合題組練］

1.已知甲、乙、丙各有一張自己的身份證，現(xiàn)把三張身份證收起來后，再隨機分給甲、

乙、丙每人一張，則恰有一人取到自己身份證的概率為()

1I

A.2B.

11

-D-

46

解析：選A.甲、乙、丙各有一張自己的身份證，

現(xiàn)把三張身份證收起來后，再隨機分給甲、乙、丙每人一張，

基本事件總數(shù)〃=Aj=6,

恰有一人取到自己身份證包含的基本事件個數(shù)巾=C‘C|C|=3,

所以恰有一人取到自己身份證的槪率為p=^=7=］.故選A.

2.如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個2X2X3的長方體框架，一個建筑

工人欲從A處沿腳手架攀登至8處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為()

5

A.；2

B.

7

C.14

D.

7

解析：選B.根據(jù)題意，最近路線就是不能走回頭路，不能走重復的路，所以一共要走

3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路線共有A:j=5040（種）.因為不

能連續(xù)向上，所以先把不向上的次數(shù)排列起來，也就是2次向右和2次向前全排列為A+接

下來，就是把3次向上插到4次不向上之間的空隙中，5個位置排3個元素，也就是Ag,

則最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的路線共有A?Ag=l440（種），所以其最近的行走路線

14402

中不連續(xù)向上攀登的概率2=謡=今故選B.

3.連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，記第i次得到的向上一面的點數(shù)為叩若存在正整數(shù)七

使％+&+…+為=6,則稱人為幸運數(shù)字，則幸運數(shù)字為3的概率是.

解析：連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子3次，所含基本事件總數(shù)”=6X6X6,要使%+4

+%=6,則4,a2,%可取1，2,3或1,1,4或2,2,2三種情況，其所含的基本事件

個數(shù)w=A^+C^+1=10.

故幸運數(shù)字為3的概率為一==爲

O-丿XO，XOlUo

口殺.108

4.如圖的三行三列的方陣中有九個數(shù)%（i=l,2,3；丿=1,2,3）,從中任取三個數(shù)，

則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為.

a\\a\2〃I3

a2\a22a23

6

9X8X7

解析：從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有CJ=J^Q=84種，取出的三個數(shù)分別

位于不同的行與列的取法共有C「C「C|=6種，所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率

u.613

為|-84=14-

答案：H13

5.某電子商務(wù)公司隨機抽取1000名網(wǎng)絡(luò)購物者進行調(diào)查.這1000名購物者2017年

網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間［0.3,0.9］內(nèi)，樣本分組為：［0.3,0.4),［0.4,0.5),［0.5,

0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],購物金額的頻率分布直方圖如下:

電子商務(wù)公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關(guān)系如下:

購物金額分組[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]

發(fā)放金額50100150200

⑴力之這1000名購物？?獲得優(yōu)惠券金二額的平均數(shù)；

(2)以這1000名購物者購物金額落在相應區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優(yōu)惠

券金額不少于150元的概率.

解：(1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：

X0.34V0.50.54V0.60.64V0.80.8WxW0.9

y50100150200

頻率0.40.30.280.02

這1)00名購。勿者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為

X400+100X300+150X280+200X20)=96.

(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對應關(guān)系及(1)知,

產(chǎn)。=150)=P(0.6WxV0.8)=0.28,

7

P(y=200)=P(0.8WxW0.9)=0.02,

從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為「。，2150)=2&=150)+尸。，=200)=0.28

+0.02=0.3.

6.(2020?太原一模)某快遞公司收取快遞費用的標準如下：質(zhì)量不超過1kg的包裹收費

10元；質(zhì)量超過1kg的包裹，除1kg收費10元之外，超過1kg的部分，每1kg(不足1kg,

按1kg計算)需再收5元.

該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：

包裹件數(shù)范圍0-100101-200201-300301?400401-500

包裹件數(shù)(近似處理)50150250350450

天數(shù)6630126

(1)某人打算將40.3kg),8(1.8kg),C(1.5kg)三件禮物隨機分成兩個包裹寄出，求該人

支付的快遞費不超過30,無的概率；

(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，

剩余的作為其他費用.前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有

工作人員3人，那么公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？

解：(1)由題意，寄出方式有以下三種可能：

第一個包裹第二個包裹甲支付的

情況

禮物質(zhì)量(kg)快遞費(元)禮物質(zhì)量(kg)快遞費(元)總快遞費

140.310B,C3.32535

2B1.815A,C1.81530

3C1.5154,B2.12035

所有3種可能中，有1手中可能快遞費未超過30元,，根據(jù)古3a概型概率計算公式，所求

概率為g.

(2)由題目中的天數(shù)得出頻率，如下:

包裹件數(shù)范圍0~100101?200201?300301—400401—500

包裹件數(shù)(近似處理)5