高考數(shù)學一輪復習精講必備 第30講 圓錐曲線的綜合應用（講義含解析）

第30講圓錐曲線的綜合應用

學校姓名班級

一、知識梳理

1與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線1的方程而+如+仁0(46不同時為0)代入

圓錐曲線C的方程F〈x,JT(或x)得到一個關于變量x(或力的方程a*+Z)x+c=0(或a/

+5y+c=0).

(1)當時，則4>0時，直線，與曲線C相交；4=0時，直線/與曲線C相切；4

V0時.，直線/與曲線C相離.

(2)當a=0時，即得到一個一次方程，則丿與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙

曲線，則直線/與雙曲線的漸近線平行；若。為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸平行

或重合.

2.對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點.

3.弦及弦中點問題的解決方法

⑴根與系數(shù)的關系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關系表示中

點；

(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構造中點、斜率間的關系.若已知

弦的中點坐標，可求弦所在直線的斜率.

4.弦長的求解方法

(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.

(2)當直線的斜率存在時，斜率為4的直線丿與橢圓或雙曲線相交于小汨，％),Kx2,%)

兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：

①|AB\=#1+\|x\~X21

=7(1+4)[(%+及)2-4xixJ：

②丨AB\=yll+-j21%一姪|(20)

="\^(1+目】(%+鹿)J4為先].

二、考點和典型例題

1、直線與圓錐曲線的位置關系

【典例1-11直線y=2x-l與橢圓片+片=1的位置關系是()

94

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】A

【詳解】

n2i2i

§+l=，.,.（。,一1）在橢圓內(nèi)，

.y=2x-l恒過點（0,-1）,.?.直線y=2x-l與橢圓片+]=1相交.

故選：A.

【典例1-2】過P（0,2）且與雙曲線2-—丁=1有且只有一個公共點的直線有

（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【詳解】

當斜率不存在時，過P的直線與雙曲線沒有公共點；

當斜率存在時，設直線為^=h+2,聯(lián)立]得僅-/）/-4厶-5=0①.

當2-*=0，即k=±0時，①式只有一個解；

當2-公片0時，則A=16&2+20（2-/）=0,解得％=±而：

綜上可知過P（O,2）且與雙曲線2f-y2=1有且只有一個公共點的直線有4條.

故選：D.

【典例1-3】斜率為6的直線過拋物線C：V=4x的焦點，且與。交于48兩點，則三

角形A08的面積是（。為坐標原點）（）

A.空B.逋C.BD.3

3333

【答案】B

【詳解】

拋物線C:丁=4x的焦點坐標為（1,0）,

則斜率為G的直線方程為：y=6（x-i），與拋物線方程聯(lián)立得：

3x2-10x+3=0,

設厶（公,）,3（X2，，2）,不妨設％=；，%=3,

則|A8|=&+3|石-x2|=y,

點0到直線的距離為d=上閩=3,

4+32

所以△?（如的面積為丄x3xYL延

2323

故選：B

22

【典例1-4】（多選）已知雙曲線。:^-當=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為巴、K，

左、右頂點分別為A、4,點戶是雙曲線C右支上異于頂點的一點，則

（）

A.若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線PA的斜率與直線戶&的斜率之積為1

B.若雙曲線c為等軸雙曲線，且NA%=3NPA4,則/小4寸

C.若〃為焦點片關于雙曲線C的漸近線的對稱點，則C的離心率為0

D.延長p8交雙曲線右支于點0,設△產(chǎn)￡外與的內(nèi)切圓半徑分別為4、4,則

2

rtr2=（c-a）

【答案】ABD

【詳解】

由題意知,4（-。，0），&（。，0），耳（f0），4（c，0），設尸（見”）,對于A,若雙曲線C為等軸

雙曲線，則C:x2-y2=a。

nnn

則m2-n2=a2>乂----用t人=-----則以A正

〃?+a&m-am+a

對于B,設NPA4=e,則幺尸&=38/尸4工=4，，由A選項知浮即

tan6tan4e=l,

又傷?0,萬），同吟｝故'+46=會解得吟木，即/尸44弋，B正確;

對于C,易得雙曲線的漸近線方程為y=-2x,若戶為焦點K關于雙曲線C的漸近線的對

a

Irl-22

解得，2ab，代入C：*?-%=1,>0，％>0）可得64-2。/2-3/=/。2,即

4a4+3aV-Z>4=0.

對于D設△尸石鳥的內(nèi)切圓與P0P%片《分別切于5,口,7三點,由切線長定理知

閥=同|,網(wǎng)=|耳刀眄刀=向可，

則國刀一伝刀=|胡卜寓身=|畢|+|冏一（內(nèi)3+1尸身）=1尸耳卜1尸國=2%又

忻刀+怛刀=2c,可得即=c-a,

則7（a,0）和4重合，即△尸耳鳥的內(nèi)切圓圓心G的橫坐標為。，同理可得.倘G的內(nèi)切圓

圓心C,橫坐標也為。，

則GG丄X軸，且|cc卜厶+2，作G2丄PQ于2,則&即為切點，作GG丄CQ于

G,則62|=缶

|Gq=|GA|-|GDj=4-4，|GG|=BM=|2/|+|A段=2|項|=2（c-a）,在應C2G

中，

可得|GG「=|GG『+|C2Gf,即?+4）2=?-幻2+[2.一”）]2,整理得｛/=（°一4）2,口

正確.

故選：ABD.

2

【典例1-5】（多選）已知拋物線「：x=2P>-（p>0）,過其準線上的點7&-1）作的兩條

切線，切點分別為A,B,下列說法正確的是（）

A.p=2B.當1=1時，TAA.TB

C.當t=l時，直線AB的斜率為2D.△7MB面積的最小值為4

【答案】ABD

【詳解】

對A,易知準線方程為》=-1,???。=2,C：f=4y,故選項A正確.

22

對B,設直線y+l=&（x-l）,代入y=亍，得:一依+k+1=0,當直線與C相切時，有

A=0,即22-％-1=0,設辦，7B斜率分別為匕，k2,易知勺，心是上述方程兩根，故

明=-1,故Z4丄7B.故選項B正確.

0）?>

對C設A&M，3（孫力），其中K吟，>2嚀.則?。杭?/p>

y=5x-W代入點（1，T），得玉-2必+2=0,同理可得%-2）3+2=0,

故A8：x-2y+2-0,故殯p=g.故選項C不正確.

對D,同C,切線方程9：y=^x-yl；TB：y=^-x-y2,代入點,-1）有

故直線A3的方程為T=,-y,即y=gx+l,聯(lián)立/=今

有爐一2択一4=0，則%[+￡=2厶中2=T，故|西一百=J(X|+工2廠一4芭%2=2，產(chǎn)+4,又

產(chǎn)+4I----

(r,-l)到tx-2y+2=0的距離d=-===+4,故

Vr+4

iIx213i3

2

SAnB=-Jl+^-|x,-x2|J=-(r+4)2,故當f=0時△力48的面積小值為5x42=4,故D

正確；

故選:ABD

2、中點弦及弦長問題

22

【典例2-1】（2022?江蘇?高二）已知橢圓C:*■+方=1（a>6>0）的左焦點為F,過F

作一條傾斜角為45的直線與橢圓C交于A8兩點，若M（-3,2）為線段AB的中點，則橢

圓C的離心率是（）

A.&B.；C.-D.—

3255

【答案】A

【詳解】

設點厶（玉,必）,B（X2,%）,依題意，,，，丁'？；一I]，

hx^+a=crb-

相減得〃（斗+々）（玉-X2）+22（扌+%）（弘一%）=0，因直線的傾斜角為45,即直線46

的斜率為五也=1,

占一芻

又M（—3,2）為線段4?的中點，貝iJ%+%=-6,乂+必=4,因此有4/_6必=0,即

b-2

--=一.

a23

所以橢圓C的離心率e=二優(yōu)=flZ=B.

aY/3

故選：A

【典例2-2]（2022?內(nèi)蒙古?赤峰二中高二階段練習（文））已知雙曲線C的中心在坐標

原點，其中一個焦點為尸（-2,0）,過尸的直線/與雙曲線C交于4、6兩點，且46的中點

為N（-3,-l）,則C的離心率為（）

A.aB.—C.亜~D.G

32

【答案】B

【詳解】

由F、、兩點的坐標得直線1的斜率&=1.

?.?雙曲線一個焦點為（-2,0）,：.c=2.

22

設雙曲線C的方程為*?-點"=1（。>0,6>0）,則"+/=4.

設厶（與,乂），8（芻,%）,則%+々=-6,%+%=-2,=1.

X—“2

丄貨=1少（N+X2）（X「X2）_（）1+/）（）「》）

不一戸?P-

噂+亳=8a2=3b2?易得〃*=3,Z?2=1,c2=4?

雙曲線「的離心率e=￡=2&.

a3

故選：B.

【典例2-3】（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學文科試題）已知拋物線

2

C：x=6yf直線/與C交于4夕兩點，若弦A4的中點為（1,4）,則直線/的斜率為

）

丄

AB.3C.D.—3

-43

【答案】c

【詳解】

玉2=6M

解:設4（x，x）,3（孫丫2），則所以x；-*=6x-6%,整理得

x；=6y2

）'|一'

x}-x26

因為弦AB的中點為（1,4）,所以黃=k=即直線/的斜率為;.

XX1-3

故選：C

【典例2-4】（多選）（2022?全國?高三專題練習）已知橢圓C:〃>+,/=1與直線

y=x+l交于A、B兩點,且卜3|=半，為AB的中點，若P是直線A3上的

點，則()

A.橢圓C的離心率為立B.橢圓C的短軸長為白

2

C.OAOB=-3D.P到C的兩焦點距離之差的最大值為2正

【答案】ACD

【詳解】

令A(x”X)、3(9,必)，則上叫J"”：，

[mx2+佻=1

則?+共

則加儲T)+”(y：一組=0,=0,

n-%2

m弘一必凹+必=o則會算"。,所以‘rixHr-

則一+

nXj—x2x}+x2

所以，~=\,則m<〃，丄>丄，橢圓的標準方程為1十二

n2mn

mn

1

所以，橢圓C的焦點在x軸上，即”=拳='=：,

a2J_n2

m

ea2-b2,b2丄，即°=正，A對:

22

x1+2y2=2b2

橢圓C的方程為丁+2丁=2〃，聯(lián)立

y=x+\

△（）

消y可得3爐+4。+2-汨=0,=16-122-勸2=24。2-8>0,可得匕工,

4

+%2=----I----------I—

貝小2-2b29,?』A8|=&J（F+X2）2_4xB2'

所以，h2=31則b=,所以，橢圓。的短軸長為2b=2\/^,B錯；

4

OA-OB=xix2+y[y2=x1x2+（玉+l）（x24-1）=lx{x2+（玉+/）+1=--x3+l=-3,C對;

橢圓。的方程為/+2丁=6,其標準方程為《+?=1,C=V6^3=A/3,

63

橢圓C的左焦點為4卜6,0）,右焦點為月（6,0）,如下圖所示：

nm-\/3.

—=---------+1m=-l

22,解得，

設點E關于直線AB的對稱點為點￡（〃，,“），則■

n=1—A/3

m+y/3

即點貝-1,1-白卜

易知|PK|=|P￡|,則忸閭_|p3==2夜,

當且僅當點尸、E、B三點共線時，等號成立，D對.

故選：ACD.

【典例2-5】（多選）（2021?江蘇省灌云高級中學高二階段練習）過"（1,1）作斜率為2

的直線與雙曲線｝13?！┫嘟挥趶?兩點，若“是46的中點，則下列表述正

確的是（)

A.KaB.漸近線方程為尸土2x

C.離心率e=bD.b>a

【答案】CD

【詳解】

解：設厶（再,兇）,8（0力），

2城

1?-戸=1

，

爺

!^-=1

2_22_2

兩式相減得百二占_=0,

a-b-

化簡得??，

%一々a%+%

因為4（1,1）是46的中點，

所以9=2,即2=夜，

所以人。，漸近線方程為y=離心率為e=￡=吟=6

故選：CD

3、圓錐曲線的綜合應用

【典例3-1】（2022?北京?北大附中三模）已知橢圓C：5■+￥=1（。＞人＞0）經(jīng)過點

A（-2,0）,B（0,-l）.

（1）求橢圓C的方程及其離心率；

（2）若尸為橢圓C上第一象限的點，直線融交）'軸于點直線PB交x軸于點N,且有

MNHAB,求點P的坐標.

【答案】⑴=離心率為￥：（2）（?貝

【解析】（1）

依題知：a=2,b=\,所以c=J/—）?=冃

所以橢圓方程為三+丁=1,離心率e=￡=蟲.

4a2

（2）

如圖：

設第一象限有機,"＞0,—+n2=1?；

\PM\_\PN\

由MV〃A8得:

\MA\~|NB|

\PM\=^=mM=2>n

\MA\xA2'M為T="'

因此萬=〃②,

m=5/2

,故p（立當.

聯(lián)立①②解得V2

n=—i2丿

2

【典例3-2】（2022?陜西咸陽?二模（文））已知拋物線匚丁二？0^。）。），過焦點?作

x軸的垂線與拋物線。相交于M、N兩點，Sm=2.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）若4、夕兩點在拋物線，上，且|AF|+忸尸|=10,求證：直線A3的垂直平分線，恒過定

點.

【解析】⑴

因為MN過焦點且與x軸垂直，故|MM=2p,

故S△刎=g|MN|.|OF|=g.2夕］=2,

解得：P=2,從而拋物線。的方程為V=4x.

（2）

設線段A8中點為。（%,%）,4（%,y），B（x,,y2）,

由題知，直線AB的垂直平分線斜率存在,設為才,則：|厶尸|+|"|=4+%+2=10,

/.Xj+x2=8,/./=4.

#=4為

若直線A8不與X軸垂直，由<得,（乂+必）（乂一%）=4（%一天），

員=4x?

y-必442

即總------=-------=--------

玉一々yt+y22y0y0

則直線/斜率為人=-豈，

從而直線/的方程為y-%=-，（x-4）,

整理得：y=-￡（x-6）恒過點（6,0）.

若直線與“軸垂直，則/為直線y=0,顯然也滿足恒過點（6,0）.

綜上所述，直線/恒過點（6,0）.

【典例3-3】（2021?湖南?模擬預測）已知雙曲線C：5-/=l（a>0/>0）的其中一個焦點

為（石,0）,一條漸近線方程為2x-y=0

（1）求雙曲線C的標準方程;

（2）已知傾斜角為了的直線/與雙曲線C交于兩點，且線段A8的中點的縱坐標為

4,求直線/的方程.

（）

【答案】1/一上=1(2)x+y-3=0

4

（1）由焦點可知c=JL

又一條漸近線方程為2x-y=0

所以纟=2,

a

由/=儲+力2可得5=/+4/，解得片=1，力2=4,

故雙曲線。的標準方程為犬-21=1

4

（2）設厶（西,%）,8（々,必），仍中點的坐標為（％,4）

則斤-豈=1①，x,2_&t=i②，

44

②-①得：xj2=五_強，

~44

即憶=/^=-^=入0,又k=tan與=-1,

%44

所以%=7，

所以直線/的方程為y-4=-（x+l）,即x+y—3=0

【典例3-4]（2020?山東?高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點。，橢圓二+丁=1

4-

的頂點分別為4，4，B-B”其中點外為拋物線的焦點，如圖所示.

（1）求拋物線的標準方程;

（2）若過點A的直線/與拋物線交于M，N兩點，且（OM+ON）//g人,求直線/的方

程.

【答案】（1）/=8x；（2）（V6-2）x-y-4+2x/6=0.

【詳解】

解：（1）由橢圓上+），=1可知儲=4，b2=\,

4-

所以4=2,b=},則4（2,。），

因為拋物線的焦點為4,可設拋物線方程為y2=2Px（p>0）,

所以5=2,即p=4.

所以拋物線的標準方程為/=8x.

5,(0,-1),

若直線/無斜率，則其方程為x=-2,經(jīng)檢驗，不符合要求.

所以直線/的斜率存在，設為3直線/過點4（-2,0）,

則直線/的方程為y=Z（x+2）,

設點加（占,乂），"（吃,月）,

[y=k（x+2）

聯(lián)立方程組匕O，

[y=8x

消去得公￡+（4-一8）x+4公=0.①

因為直線/與拋物線有兩個交點，

k2工0k00

所以八，即。2\222，

A>0[（4%2一8）x4k2>0

解得一1<女<1,且女W0.

由①可知％+/=~~y—，

K

*一4"2?

所以y+%=火(％+2)+%(9+2)=女(％+/)+4R=---------+4k=—,

kk

8-妹28]

貝iJOM+ON=(X\+々，乂+%)=丁丁可

因為(OM+ON)〃44,且44=(2,0)—(0,—1)=(21)，

8-4公

所以2x

k2-r°

解得A=-2+>/6或％=—2—\/6,

因為且ZwO,

所以攵=-2-而不符合題意，舍去，

所以直線/的方程為尸卜2+網(wǎng)（x+2）,

即（遙-2）x-y-4+2#=0.

【典例3-5］（2022?全國?高考真題）已知點42,1）在雙曲線J=上，

aa

直線，交。于80兩點，直線ARA。的斜率之和為0.

（1）求，的斜率；

（2）若tanNPAQ=2VI,求△抬。的面積.

【答案】（1）-1;（2）電I.

9

【解析】

（1）

2241

因為點A（2,l）在雙曲線c：二r--上，所以r-Y—=1,解得片=2,即雙曲

a2a-