新人教九下數(shù)第28章《銳角三角函數(shù)》知識(shí)點(diǎn)與典型例題

新人教版初三數(shù)學(xué)第28章《銳角三角函數(shù)》輔導(dǎo)資料：知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義：銳角三角函數(shù)定義：在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，那么∠A的正弦可表示為：sinA=，∠A的余弦可表示為cosA=∠A的正切：tanA=，它們弦稱為∠A的銳角三角函數(shù)【特別提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一個(gè)整體，是兩條線段的比，沒有，這些比值只與有關(guān)，與直角三角形的無關(guān)2、取值范圍<sinA<cosA<tanA>】例1．如下圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．第1題圖①＝______， ＝______；②＝______， ＝______；③＝______， ＝______．例2.銳角三角函數(shù)求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設(shè)a＝9，b＝12，那么c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R點(diǎn)，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例題：類型一：直角三角形求值1．Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．2．：如圖，⊙O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點(diǎn)，求：AB及OC的長(zhǎng)．3．：⊙O中，OC⊥AB于C點(diǎn)，AB＝16cm，(1)求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．是銳角，，求，的值對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設(shè)BC＝1，AB=，那么tanA的值為A．B．C．D．25．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于〔〕.A．B.C.D.類型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：1．：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，那么cos∠OBC的值為〔〕A．B．C．D．3.如圖，角的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點(diǎn)P〔3，4〕，那么．4.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，DE⊥AB，，那么這個(gè)菱形的面積=cm2．5.如圖，是的外接圓，是的直徑，假設(shè)的半徑為，，那么的值是〔〕A．B．C．D．6.如圖4，沿折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．，，AB=8,那么的值為()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如圖6，在等腰直角三角形中，，，為上一點(diǎn)，假設(shè)，那么的長(zhǎng)為()A．B．C．D．8.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分線AD=求∠B的度數(shù)及邊BC、AB的長(zhǎng).圖6類型三.化斜三角形為直角三角形例1〔2012?安徽〕如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的長(zhǎng)．例2．：如圖，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，(1)求AB邊上的高CD；(2)求△ABC的面積S；(3)求tanB．例3．：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．假設(shè)AB=2，求△ABC的周長(zhǎng)．〔結(jié)果保存根號(hào)〕2．：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB．3.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，那么△ABC的面積是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例1〔2012?內(nèi)江〕如下圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，那么sinA的值為〔〕A．B．C．D．對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，那么sinA=_______.2．如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點(diǎn)處，假設(shè)將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，那么的值為A.B.C. D.3．正方形網(wǎng)格中，如圖放置，那么tan的值是〔〕A．EQ\F(EQ\R(,5),5) B.EQ\F(2EQ\R(,5),5)C.EQ\F(1,2)D.2特殊角的三角函數(shù)值銳角30°45°60°sincostan 當(dāng)時(shí)，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例1．求以下各式的值．1〕.計(jì)算：．2〕計(jì)算：.計(jì)算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°4．計(jì)算：．5．計(jì)算：；例2．求適合以下條件的銳角．(1) 2)(3) (4)〔5〕為銳角，且，求的值〔〕在中，假設(shè)，都是銳角，求的度數(shù)例3.三角函數(shù)的增減性1．∠A為銳角，且sinA<，那么∠A的取值范圍是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°A為銳角，且，那么〔〕A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用1．：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周長(zhǎng)．2．：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D點(diǎn)，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，點(diǎn)D在BC邊上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．5.〔本小題5分〕如圖，△ABC中，∠A=30°，，．求AB的長(zhǎng).解直角三角形：1．在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如下圖)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三邊之間的等量關(guān)系：________________________________．②兩銳角之間的關(guān)系：__________________________________．③邊與角之間的關(guān)系：______；_______；_____；______．④直角三角形中成比例的線段(如下圖)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．類型一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)：a＝35，，求∠A、∠B，b；(2)：，，求∠A、∠B，c；(3)：，，求a、b；(4)：求a、c；(5)：∠A＝60°，△ABC的面積求a、b、c及∠B．例2．：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的長(zhǎng)．例3．：如圖，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的長(zhǎng)．例4．：如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的長(zhǎng)．類型二：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用仰角與俯角：例1．如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，那么AB兩點(diǎn)的距離是〔〕A．200米B．200米C．220米D．100〔〕米例2．：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)．∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC．例3〔昌平〕19.如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高BD=30m．從水平面上一點(diǎn)C測(cè)得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°，測(cè)得山頂B的仰角∠DCB=30°，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高AB的長(zhǎng)．例4.如圖，小聰用一塊有一個(gè)銳角為的直角三角板測(cè)量樹高，小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.例5．：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(zhǎng)(答案可帶根號(hào))．例5．〔2012?泰安〕如圖，為測(cè)量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，那么物體AB的高度為〔〕A．10米B．10米C．20米D．米例6．〔2012?益陽(yáng)〕超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速．如圖，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在A處，離益陽(yáng)大道的距離〔AC〕為30米．這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測(cè)得此車從B處行駛到C處所用的時(shí)間為8秒，∠BAC=75°．〔1〕求B、C兩點(diǎn)的距離；〔2〕請(qǐng)判斷此車是否超過了益陽(yáng)大道60千米/小時(shí)的限制速度？〔計(jì)算時(shí)距離精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小時(shí)≈16.7米/秒〕類型四.坡度與坡角例．〔2012?廣安〕如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，那么應(yīng)水坡面AB的長(zhǎng)度是〔〕A．100mB．100mC．150mD．50m類型五.方位角1．：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行，1小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)2．〔2012?恩施州〕新聞鏈接，據(jù)[僑報(bào)網(wǎng)訊]外國(guó)炮艇在南海追襲中國(guó)漁船被中國(guó)漁政逼退2012年5月18日，某國(guó)3艘炮艇追襲5條中國(guó)漁船．剛剛完成黃巖島護(hù)漁任務(wù)的“中國(guó)漁政310”船人船未歇立即追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分附近海域護(hù)漁，保護(hù)100多名中國(guó)漁民免受財(cái)產(chǎn)損失和人身傷害．某國(guó)炮艇發(fā)現(xiàn)中國(guó)目前最先進(jìn)的漁政船正在疾速馳救中國(guó)漁船，立即掉頭離去．〔見圖1〕解決問題如圖2，“中國(guó)漁政310”船〔A〕接到陸地指揮中心〔B〕命令時(shí)，漁船〔C〕位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國(guó)漁政310”船西南方向，“中國(guó)漁政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB=海里，“中國(guó)漁政310”船最大航速20海里/時(shí)．根據(jù)以上信息，請(qǐng)你求出“中國(guó)漁政310”船趕往出事地點(diǎn)需要多少時(shí)間．綜合題：三角函數(shù)與四邊形：1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=eq\f(\r(,6),3)．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求AD的長(zhǎng)．2．如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．〔1〕求證：∠BAE=∠DAF；〔2〕假設(shè)AE=4，AF=，，求CF的長(zhǎng)．三角函數(shù)與圓：1．如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸的正半軸交于點(diǎn)D，B是y軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn)，那么cos∠OBC的值為〔〕A．B．C．D．2.：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,求證：∠AOD=2∠C假設(shè)AD=8，tanC=，求⊙O的半徑。3.如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點(diǎn).連接CD交⊙O于點(diǎn)B，在EC上取一個(gè)點(diǎn)F，使EF=BF.〔1〕求證:BF是⊙O的切線;〔2〕假設(shè),DE=9，求BF的長(zhǎng)．作業(yè)：1．，那么銳角A的度數(shù)是A．B． C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假設(shè)BC＝1，AB=，那么tanA的值為A．B．C．D．23．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于〔〕.A．B.C.D.4.假設(shè)，那么銳角＝.5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，那么tanB的值是A． B． C． D．6．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中，位置如下圖，那么tanα的值是A．B．2C．D．7.△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如下圖，那么的值是A. B. C. D.8．如圖，在直角三角形中，斜邊的長(zhǎng)為，，那么直角邊的長(zhǎng)是〔〕A． B． C． D．9．如圖，P是射線OB上的任意一點(diǎn)，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，那么cosα的值等于〔〕A．B．C．D．10．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，假設(shè)OB長(zhǎng)為10，，那么AB的長(zhǎng)是A.20B.16C.12D.811.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是A．B．C．D．12．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，假設(shè)sinA=，那么cos∠BCD的值為．計(jì)算：計(jì)算.計(jì)算：．14.如圖，小聰用一塊有一個(gè)銳角為的直角三角板測(cè)量樹高，小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解這個(gè)直角三角形16.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=，求的值．17.：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,求證：∠AOD=2∠C假設(shè)AD=8，tanC=，求⊙O的半徑。18．如圖，某同學(xué)在樓房的處測(cè)得荷塘的一端處的俯角為，荷塘另一端處、在同一條直線上，米，米，求荷塘寬為多少米？〔結(jié)果保存根號(hào)〕19如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，2∠A+∠B=〔1〕求證：BC是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)OA=6，BC=8，求BD的長(zhǎng)〔1〕證明：〔2〕解：20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC邊上．假設(shè)DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的長(zhǎng)和tanA的值．21．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它方案沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.〔1〕B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？〔2〕圓形暗