中職高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識點

中職高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識點1.引言1.1函數(shù)在數(shù)學(xué)中的重要性在數(shù)學(xué)的眾多分支中，函數(shù)論占據(jù)了核心地位。函數(shù)作為一種基本的數(shù)學(xué)模型，不僅在理論研究中具有舉足輕重的地位，而且在解決實際問題中也發(fā)揮著關(guān)鍵作用。它將變量之間的依賴關(guān)系以簡潔明了的方式表達出來，為我們理解世界、解決實際問題提供了有力工具。1.2中職高三數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的要點與目標中職高三數(shù)學(xué)中的函數(shù)學(xué)習(xí)，旨在幫助學(xué)生建立扎實的函數(shù)基礎(chǔ)，掌握基本的函數(shù)概念和性質(zhì)，學(xué)會分析和解決實際問題。重點包括以下幾個方面：理解并掌握函數(shù)的定義和表示方法；熟悉函數(shù)的域、值域以及基本性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等；學(xué)會分析常見函數(shù)的圖像特點；掌握函數(shù)的運算和復(fù)合函數(shù)的相關(guān)知識；理解并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值解決實際問題。1.3函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用函數(shù)在生活中的應(yīng)用廣泛而深入，從簡單的物理運動規(guī)律到復(fù)雜的經(jīng)濟學(xué)模型，無不滲透著函數(shù)的影子。例如：在物理學(xué)中，速度、加速度與時間的關(guān)系可以通過函數(shù)描述；在經(jīng)濟學(xué)中，成本、收益與生產(chǎn)量的關(guān)系也可以用函數(shù)來表示；在地理學(xué)中，地球表面的溫度分布、降水量等都與地理位置有關(guān)，這些關(guān)系同樣可以用函數(shù)來建模。通過學(xué)習(xí)函數(shù)，我們可以更好地理解這些現(xiàn)象背后的規(guī)律，為實際問題的解決提供數(shù)學(xué)支持。2.函數(shù)的基本概念與性質(zhì)2.1函數(shù)的定義與表示方法函數(shù)是數(shù)學(xué)中描述兩個變量之間依賴關(guān)系的一種數(shù)學(xué)關(guān)系，通常表示為f(x)。其中，x是自變量，f(x)是因變量。當(dāng)x在某個范圍內(nèi)取值時，根據(jù)一定的法則，f(x)會有唯一的值與之對應(yīng)。這種關(guān)系可以是一一對應(yīng)的，也可以是多對一的。函數(shù)的表示方法有解析法、列表法和圖象法。解析法是通過公式來表示兩個變量之間的關(guān)系，如f(x)=ax+b。列表法是通過表格來列出自變量與因變量對應(yīng)的值。圖象法則是通過平面直角坐標系來表示函數(shù)的形狀。2.2函數(shù)的域與值域函數(shù)的域是指自變量x可以取的所有可能值的集合，記作D。值域是指函數(shù)在域D內(nèi)所有可能的輸出值的集合，記作R。確定函數(shù)的域與值域有助于我們更好地了解函數(shù)的性質(zhì)和特征。2.3函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性：函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)。單調(diào)遞增意味著當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值也增大；單調(diào)遞減則相反。奇偶性：當(dāng)函數(shù)滿足f(-x)=f(x)時，稱為偶函數(shù)；滿足f(-x)=-f(x)時，稱為奇函數(shù)。周期性：如果存在正數(shù)T，使得對于所有x，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)被稱為周期函數(shù)，T稱為它的周期。這些性質(zhì)有助于我們了解函數(shù)的走勢和特點，對于解決實際問題有著重要的指導(dǎo)意義。在中職高三的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握這些基本概念和性質(zhì)是理解更復(fù)雜函數(shù)問題的基礎(chǔ)。3.常見函數(shù)及其圖像3.1一次函數(shù)一次函數(shù)是最簡單的函數(shù)類型，通常表示為(y=ax+b)（(a)），其中(a)是斜率，表示函數(shù)圖像的傾斜程度，(b)是(y)軸截距，表示當(dāng)(x=0)時函數(shù)圖像與(y)軸的交點。一次函數(shù)的圖像是一條直線，其特點包括：-直線的斜率決定其傾斜方向和程度；-當(dāng)(a>0)時，直線向右上方傾斜；當(dāng)(a<0)時，直線向右下方傾斜；-直線總是穿過(y)軸于點((0,b))。3.2二次函數(shù)二次函數(shù)的一般形式為(y=ax^2+bx+c)（(a)），其中(a)決定了拋物線的開口方向和寬度，(b)影響拋物線在(x)軸的位置，(c)是(y)軸截距。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，具有以下性質(zhì)：-當(dāng)(a>0)時，拋物線開口向上；當(dāng)(a<0)時，拋物線開口向下；-拋物線的對稱軸是(x=-)；-拋物線的頂點坐標是((-,))；-拋物線與(x)軸的交點由解方程(ax^2+bx+c=0)得到。3.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是相互反函數(shù)的兩種重要函數(shù)類型。3.3.1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式為(y=a^x)（(a>0)，(a)），其中(a)稱為底數(shù)。指數(shù)函數(shù)的圖像特點包括：-當(dāng)(a>1)時，函數(shù)圖像隨著(x)的增加而迅速增加；-當(dāng)(0<a<1)時，函數(shù)圖像隨著(x)的增加而迅速減少；-指數(shù)函數(shù)總是通過點((0,1))；-指數(shù)函數(shù)的值域為((0,+))。3.3.2對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的一般形式為(y=_a(x))（(a>0)，(a)），其中(a)同樣稱為底數(shù)。對數(shù)函數(shù)的圖像特點包括：-對數(shù)函數(shù)的圖像是指數(shù)函數(shù)圖像的反轉(zhuǎn)；-當(dāng)(a>1)時，對數(shù)函數(shù)隨(x)的增加而緩慢增加；-當(dāng)(0<a<1)時，對數(shù)函數(shù)隨(x)的增加而緩慢減少；-對數(shù)函數(shù)的定義域為((0,+))；-對數(shù)函數(shù)通過點((1,0))。這些常見函數(shù)及其圖像的學(xué)習(xí)，是中職高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識點的核心部分，對于理解更復(fù)雜的函數(shù)概念和問題解決至關(guān)重要。4.函數(shù)的運算與復(fù)合函數(shù)4.1函數(shù)的運算（和、差、積、商）在中職高三數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本運算，包括函數(shù)的和、差、積和商。這些運算基于已知的函數(shù)生成新的函數(shù)。和與差：兩個函數(shù)f(x)和g(x)的和記作(f+g)(x)=f(x)+g(x)，差記作(f-g)(x)=f(x)-g(x)。例如，一次函數(shù)f(x)=2x+1和g(x)=3x-2的和是(2x+1)+(3x-2)=5x-1。積：兩個函數(shù)的積記作(f*g)(x)=f(x)*g(x)。例如，f(x)=x和g(x)=x的積是x*x=x^2。商：當(dāng)g(x)≠0時，兩個函數(shù)的商記作(f/g)(x)=f(x)/g(x)。例如，f(x)=x和g(x)=x+1的商是x/(x+1)。4.2復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)復(fù)合函數(shù)是由兩個或更多函數(shù)構(gòu)成的，其中一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入。復(fù)合函數(shù)通常表示為(f°g)(x)=f(g(x))。定義：如果函數(shù)f的定義域包含函數(shù)g的值域，那么復(fù)合函數(shù)(f°g)(x)是有意義的。性質(zhì)：-復(fù)合函數(shù)的域是原函數(shù)g的域。-復(fù)合函數(shù)的值域取決于f和g的值域。-復(fù)合函數(shù)的奇偶性與f和g的奇偶性有關(guān)。-復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性取決于f和g的單調(diào)性。4.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與積分對于復(fù)合函數(shù)，我們經(jīng)常需要求導(dǎo)數(shù)和積分。求導(dǎo)：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以使用鏈式法則，即若y=f(u)和u=g(x)，則y關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)dy/dx=df/du*du/dx。積分：對于復(fù)合函數(shù)的不定積分，我們通常使用換元積分法，選擇適當(dāng)?shù)拇鷵Qu=g(x)，然后轉(zhuǎn)換為對u的積分。了解和掌握這些運算和性質(zhì)對于解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題至關(guān)重要，它們是中職高三學(xué)生必須掌握的函數(shù)知識點。通過對這些概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠更深入地理解函數(shù)的本質(zhì)，以及它們在數(shù)學(xué)和實際問題中的應(yīng)用。函數(shù)的單調(diào)性與極值5.1函數(shù)的單調(diào)性及其判定方法函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在其定義域上的某種變化趨勢。在中職數(shù)學(xué)中，我們主要研究函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況。單調(diào)遞增如果一個函數(shù)f(x)在其定義域D上滿足：當(dāng)x1<x2時，有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增。單調(diào)遞減如果一個函數(shù)f(x)在其定義域D上滿足：當(dāng)x1<x2時，有f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞減。判定方法導(dǎo)數(shù)法：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)>0（或f’(x)<0），則f(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。圖像法：通過觀察函數(shù)的圖像，判斷函數(shù)的單調(diào)性。定義法：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，直接判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性。5.2函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值是指函數(shù)在其定義域上的局部最大值或最小值。極值的判定方法導(dǎo)數(shù)法：如果函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，且f’(x0)=0，則x0可能是f(x)的極值點。進一步判斷，如果f’(x)在x0左側(cè)為正，右側(cè)為負，則f(x)在x0處取得局部極大值；如果f’(x)在x0左側(cè)為負，右側(cè)為正，則f(x)在x0處取得局部極小值。二階導(dǎo)數(shù)法：如果函數(shù)f(x)在點x0處二階可導(dǎo)，且f’(x0)=0，f’‘(x0)≠0，則x0是f(x)的極值點。當(dāng)f’‘(x0)>0時，f(x)在x0處取得局部極小值；當(dāng)f’’(x0)<0時，f(x)在x0處取得局部極大值。極值的求法導(dǎo)數(shù)法求極值：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后找出導(dǎo)數(shù)為0的點，判斷這些點是否為極值點。頂點公式法：對于二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其極值（頂點）為(-b/2a,f(-b/2a))。5.3函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值是指函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值。最值的求法導(dǎo)數(shù)法：在函數(shù)的閉區(qū)間[a,b]上，首先求出導(dǎo)數(shù)，然后找出導(dǎo)數(shù)為0的點以及區(qū)間端點a、b處的函數(shù)值，比較這些點處的函數(shù)值，最大（?。┲导礊楹瘮?shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大（小）值。積分法：對于連續(xù)函數(shù)f(x)，可以在其定義域上求解定積分，利用積分中值定理求解最值。圖像法：通過觀察函數(shù)的圖像，判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的最值。在實際問題中，函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題具有重要的意義，如在物理、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。掌握這些知識點，有助于更好地解決實際問題。6.函數(shù)圖像的變換6.1圖像的平移與伸縮函數(shù)圖像的平移與伸縮是基本的圖像變換方式。平移變換是指將函數(shù)圖像沿著x軸或y軸的方向移動一定的單位，而伸縮變換則是改變圖像的形狀，使其變得更為“瘦長”或“扁平”。平移變換：-左加右減：對于函數(shù)fx，若將其圖像向左平移a個單位，得到的新函數(shù)為fx+a；若向右平移a個單位，則新函數(shù)為fx?a。-上加下減：若將圖像向上平移b伸縮變換：-水平伸縮：設(shè)k>1，將fx圖像沿x軸方向伸長到原來的k倍，得到fxk；若0<k<1，則圖像沿x軸方向縮短到原來的k倍。-垂直伸縮：設(shè)k6.2圖像的翻折與旋轉(zhuǎn)圖像的翻折與旋轉(zhuǎn)是另一種重要的圖像變換，它們通過改變圖像的方向來形成新的函數(shù)圖像。翻折變換：-關(guān)于x軸翻折：若函數(shù)為fx，則關(guān)于x軸翻折后的函數(shù)為?fx。-關(guān)于y軸翻折：若函數(shù)為f旋轉(zhuǎn)變換：-函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)通常涉及到坐標系的變化，不是簡單的代數(shù)表達式變換。旋轉(zhuǎn)不改變函數(shù)的解析式，但會改變圖像在坐標系中的位置。6.3函數(shù)圖像變換的實際應(yīng)用圖像變換在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，例如在信號處理、圖形設(shè)計、物理運動分析等領(lǐng)域。在信號處理中，圖像的水平或垂直伸縮可以模擬信號的延時或加速。在圖形設(shè)計里，圖像的平移、翻折和旋轉(zhuǎn)可以幫助設(shè)計出復(fù)雜且美觀的圖案。在物理運動分析中，通過函數(shù)圖像的變換分析物體在不同時間或條件下的運動狀態(tài)。了解和掌握這些圖像變換的方法，不僅有助于中職學(xué)生理解數(shù)學(xué)函數(shù)的抽象概念，而且為將來解決實際應(yīng)用問題打下堅實的基礎(chǔ)。7.函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用7.1函數(shù)在物理問題中的應(yīng)用在物理學(xué)中，函數(shù)是描述物體運動狀態(tài)和變化規(guī)律的重要工具。例如，位移、速度、加速度等物理量都可以用函數(shù)來表示。當(dāng)物體做直線運動時，其位移與時間的關(guān)系通常是一次函數(shù)或二次函數(shù)。通過對這些函數(shù)的分析，可以了解物體的運動規(guī)律，預(yù)測物體的未來位置。例子假設(shè)一個物體從靜止開始做勻加速直線運動，其加速度為a，時間t內(nèi)的位移s可以表示為：s這是一個二次函數(shù)，通過該函數(shù)，我們可以計算出物體在任何時刻的位移。7.2函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)問題中的應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)常用于描述經(jīng)濟變量之間的關(guān)系。例如，市場需求量與價格之間的關(guān)系可以用需求函數(shù)表示。通過對這些函數(shù)的研究，可以分析市場變化，制定合理的經(jīng)濟政策。例子假設(shè)某商品的需求量Q與價格P之間的關(guān)系為：Q其中，a和b為常數(shù)。這是一個一次函數(shù)，表示需求量與價格呈負相關(guān)。通過分析該函數(shù)，可以找出價格對需求量的影響程度。7.3函數(shù)在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用除了物理和經(jīng)濟學(xué)，函數(shù)在其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。例如：在生物學(xué)中，函數(shù)可以描述生物種群的數(shù)量變化規(guī)律；在地理學(xué)中，函數(shù)可以描述地形的高低變化；在計算機科學(xué)中，函數(shù)是編程語言的核心概念，用于實現(xiàn)各種算法。通過這些實例，我們可以看到函數(shù)在實際問題中的重要性和廣泛應(yīng)用。學(xué)會運用函數(shù)分析問題，有助于提高我們的邏輯思維能力和解決問題的能力。8結(jié)論8.1函數(shù)學(xué)習(xí)的重要意義在中職高三數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)作為一個核心知識點，其重要性不言而喻。通過學(xué)習(xí)函數(shù)，我們不僅能夠理解和掌握數(shù)學(xué)的基本概念和方法，還能夠培養(yǎng)邏輯思維、抽象思維和創(chuàng)新能力。函數(shù)學(xué)習(xí)為我們提供了一個解決實際問題的有力工具，使我們能夠更好地認識世界、分析問題和改進生活。8.2面對函數(shù)學(xué)習(xí)中的困難與挑戰(zhàn)在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，我們不可避免地會遇到各種困難和挑戰(zhàn)。例如，函數(shù)的定義和性質(zhì)較為抽象，初學(xué)者往往難以理解；函數(shù)圖像的變換和復(fù)合函數(shù)的求解也容易讓人感到困惑。然而，正是這些困難和挑戰(zhàn)，鍛煉了我們的意志力，提高了我們的解決問題的能力。面對這些困難，我們應(yīng)該保持積極的態(tài)