1.5平方差公式(1)課件 2023-2024學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第一章整式的乘除平方差公式(1)知識(shí)點(diǎn)一:平方差公式(1)平方差公式:(a+b)(a－b)＝a2－b2,即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的

,等于它們的

.

平方差

知識(shí)要點(diǎn)

積

(2)平方差公式的推導(dǎo)(代數(shù)方法):(3)公式結(jié)構(gòu)記憶口訣:兩項(xiàng)和乘兩項(xiàng)差,符號(hào)相反切記牢;結(jié)果就是平方差,基本形式要牢記;公式運(yùn)用可推廣,兩式類比兩數(shù)法.a2－ab+ab－b2＝a2－b2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.計(jì)算:(1)(x+1)(x－1);

(2)(1+2a)(1－2a);解:(1)原式＝x2－1.(2)原式＝1－(2a)2＝1－4a2.知識(shí)點(diǎn)二:平方差公式的常見(jiàn)變形(1)位置變化:(b+a)(－b+a)＝(a+b)(a－b)＝a2－b2.(2)符號(hào)變化:(－a－b)(－a+b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.(3)系數(shù)變化:(3a+2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2.(4)指數(shù)變化:(a2+b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.(5)連用公式變化:(a+b)(a－b)(a2+b2)＝(a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4.2.計(jì)算:(1)(2－ab)(ab+2);

(2)(x－2)(x+2)(x2+4).

解:原式＝(x2－4)(x2+4)＝x4－16.解:原式＝(2－ab)(2+ab)＝22－(ab)2＝4－a2b2.知識(shí)點(diǎn)三:巧用平方差公式計(jì)算當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)因式相乘時(shí),要仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn),看是不是符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征或根據(jù)題意“湊”出符合平方差公式結(jié)構(gòu)的形式,然后依次運(yùn)用公式,一直到不能運(yùn)用為止.解:原式＝m2－4－m2＝－4.4.【例1】計(jì)算(3a+b)(3a－b)的結(jié)果等于(

)A.9a2+b2

B.3a2－b2C.9a2－b2

D.3a2+b2精典范例

C變式練習(xí)C5.【例2】計(jì)算:(1)(a+3b)(a－3b); (2)(－m－n)(－m+n);解:(1)原式＝a2－(3b)2＝a2－9b2.(2)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.

(3)(x2+y)(x2－y); (4)(－m2n+2)(－m2n－2).解:(3)原式＝(x2)2－y2＝x4－y2.(4)原式＝(－m2n)2－22＝m4n2－4.9.計(jì)算:(1)(a+4)(a－4); (2)(4x+2y)(4x－2y);解:(1)原式＝a2－42＝a2－16.(2)原式＝(4x)2－(2y)2＝16x2－4y2.6.【例3】計(jì)算:x(x+4)－(x+2)(x－2).解:原式＝x2+4x－(x2－4)＝4x+4.10.計(jì)算:(2a－b)(b+2a)－(a+2b)(a－2b).解:原式＝4a2－b2－(a2－4b2)＝3a2+3b2.7.【例4】計(jì)算:(a－b)(a+b)(a2+b2)－(a4+b4).解:原式＝(a2－b2)(a2+b2)－(a4+b4)＝a4－b4－a4－b4＝－2b4.★11.計(jì)算:(x+2y)(x2+4y2)(x－2y).解:原式＝(x+2y)(x－2y)(x2+4y2)＝(x2－4y2)(x2+4y2)＝x4－16y4.在一次智力搶答賽中，主持人提供了兩道題：1．21×19=？2．103×97=？主持人話音剛落，就立刻有一個(gè)學(xué)生刷地站起來(lái)?yè)尨鹫f(shuō)：“第一題等于399，第二題等于9991.”其速度之快，簡(jiǎn)直就是脫口而出．同學(xué)們，你知道他是如何計(jì)算的嗎？問(wèn)題情境問(wèn)題1：如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形．a(chǎn)baba2-b2(a+b)(a-b)探究新知(a+b)(a-b)=a2-b2問(wèn)題2：相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積(1)計(jì)算下列各組算式，并觀察它們的特點(diǎn)

636414314463996400一個(gè)自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1探究新知是不是大于1的所有自然數(shù)都有這個(gè)特點(diǎn)呢？

你能用字母表示這一規(guī)律嗎？設(shè)這個(gè)自然數(shù)為a，與它相鄰的兩個(gè)自然數(shù)為a－1，a+1，則有(a+1)(a－1)=a2－1．探究新知例1．用平方差公式進(jìn)行計(jì)算：（1）103×97解：∵103=100+3，97=100－3，∴103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991典型例題（2）118×122解：∵118=120－2，122=120+2．∴118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396典型例題例2．計(jì)算：（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x-25典型例題例3.計(jì)算(1)704×696

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)(3)x(x－1)－(x－)(x+)=(700+4)(700－4)=490000－16=489984=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1=2x2－4y2－1=(x2－x)－［x2－()2］=x2－x－x2+=－x典型例題典型例題例4.（1）在下列多項(xiàng)式的乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A．(－a－b)(a－b)B．(c2－d2)(d2+c2)C．(x3－y3)(x3+y3)D．(m－n)(－m+n)（2）用平方差公式計(jì)算(x－1)(x+1)(x2+1)結(jié)果正確的是()A．x4－1 B．x4+1C．(x－1)4 D．(x+1)4

DA典型例題（3）下列各式中，結(jié)果是a2－36b2的是()A．(－6b+a)(－6b－a)B．(－6b+a)(6b－a)C．(a+4b)(a－4b)D．(－6b－a)(6b－a)例5．（1）(5x+3y)·()=25x2－9y2

（2）(－0.2－0.4y)()=0.16y2－0.04x2

（3）(－

x－11y)()=－x2+121y2（4）若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2，則A=

，B=

．D5x－3y0.2x－0.4y4n7m例6．公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242分析：逆用平方差公式可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便．解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49典型例題隨堂練習(xí)1．（1）對(duì)于任意整數(shù)n，能整除代數(shù)式

的整數(shù)是（

）．A．4B．3C．5D．2（2）在

的計(jì)算中，第一步正確的是（

）．A．B．

C．D．

CC隨堂練習(xí)（3）

，則（4）．4b3a0.9999隨堂練習(xí)2．計(jì)算：（1）

；（2）

；解：（1）1；（2）

；隨堂練習(xí)3．計(jì)算(1)(2x2+3y)(3y－2x2)．(2)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5)．(3)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3)．解．(1)9y2－4x4(2)p4－29p2+100(3)x2y－10隨堂練習(xí)4．已知x2－2x=2，將下式先化簡(jiǎn)，再求值.(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)解：原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15．解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12

x=2隨堂練習(xí)6．利用平方差公式計(jì)算：(1)20×19；(2)13.2×12.8．分析：(1)把20×19寫(xiě)成(20＋)×(20－)，然后