一元一次不等式和不等式組

一元一次不等式和不等式組一元一次不等式和不等式組一元一次不等式和不等式組一、不等式的性質(zhì)1.性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向_____.即如果a>b，那么a±c__b±c.2.性質(zhì)2：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向_____.即如果a>b，并且c>0，那么ac__bc(或).3.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向_____.即如果a>b，并且c<0，那么ac__bc(或).不變不變改變>>><<書籍能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進(jìn)一元一次不等式和不等式組一元一次不等式和不等式組一元一次不等1一、不等式的性質(zhì)1.性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向_____.即如果a>b，那么a±c__b±c.2.性質(zhì)2：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向_____.即如果a>b，并且c>0，那么ac__bc(或).3.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向_____.即如果a>b，并且c<0，那么ac__bc(或).不變不變改變>>><<一、不等式的性質(zhì)不變不變改變>>><<二、一元一次不等式組的解集的四種類型(設(shè)a<b)x>bx<aa<x<b無解二、一元一次不等式組的解集的四種類型(設(shè)a<b)x>bx<a【思維診斷】(打“√”或“×”)1.如果a>b，c<0，則ac3>bc3.

()2.根據(jù)“y的2倍與1的和不小于y的”列不等式2y+1>y.()3.不等式2m-1≤7的正整數(shù)解是1，2，3，4.

()××√【思維診斷】(打“√”或“×”)××√4.解不等式

去分母后是3-x-1<3x-1.

()5.不等式組的解集在數(shù)軸上表示為

()×√4.解不等式去分母后是3-x-1熱點(diǎn)考向一不等式的性質(zhì)

【例1】(2014·汕尾中考)若x>y，則下列式子中錯(cuò)誤的是

(

)A.x-3>y-3

B.C.x+3>y+3 D.-3x>-3y【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐一作出判斷即可.熱點(diǎn)考向一不等式的性質(zhì)

【自主解答】選D.根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x-3>y-3，故A正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)2，可得

，故B正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x+3>y+3，故C正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得-3x<-3y，故D錯(cuò)誤.【自主解答】選D.根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x-3>y-3，【規(guī)律方法】1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號(hào)的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以(或除以)含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對(duì)字母是否大于0進(jìn)行分類討論.2.不等式的傳遞性：若a>b，b>c，則a>c.【規(guī)律方法】【真題專練】1.(2014·濱州中考)a，b都是實(shí)數(shù)，且a<b，則下列不等式的變形正確的是(

)A.a+x>b+x

B.-a+1<-b+1C.3a<3b D.【真題專練】【解析】選C.∵a<b，根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)加同一個(gè)數(shù)(或整式)，不等號(hào)方向不變，故A錯(cuò)；根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，故B錯(cuò)；根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，故C正確，D錯(cuò)誤.【解析】選C.∵a<b，根據(jù)不等式性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)加同一2.(2013·恩施中考)下列命題正確的是(

)A.若a>b，b<c，則a>c B.若a>b，則ac>bcC.若a>b，則ac2>bc2

D.若ac2>bc2，則a>b2.(2013·恩施中考)下列命題正確的是()【解析】選D.選項(xiàng)A，由a>b，b<c，不能根據(jù)不等式的性質(zhì)確定a>c；選項(xiàng)B，由a>b，當(dāng)c=0時(shí)，ac=bc，即也不能根據(jù)不等式的性質(zhì)確定ac>bc；選項(xiàng)C，由a>b，當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2，即不能根據(jù)不等式的性質(zhì)確定ac2>bc2；選項(xiàng)D，由ac2>bc2，則隱含c≠0，則可以根據(jù)不等式的性質(zhì)在不等式的兩邊同時(shí)除以不等于0的正數(shù)c2，從而確定a>b.因此，本題正確答案應(yīng)該選D.【解析】選D.選項(xiàng)A，由a>b，b<c，不能根據(jù)不等式的性質(zhì)3.(2013·樂山中考)若a>b，則下列不等式變形錯(cuò)誤的是

(

)A.a+1>b+1 B.C.3a-4>3b-4 D.4-3a>4-3b3.(2013·樂山中考)若a>b，則下列不等式變形錯(cuò)誤的是【解析】選D.A選項(xiàng)，不等式兩邊同時(shí)加1，不等號(hào)的方向不變，故a+1>b+1成立；B選項(xiàng)，不等式兩邊同時(shí)除以2，不等號(hào)的方向不變，故

成立；C選項(xiàng)，不等式的兩邊同時(shí)乘以3，再減去4，不等號(hào)的方向不變；D選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊同時(shí)乘以-3，不等號(hào)的方向要改變，得-3a<-3b，在此不等式的兩邊同時(shí)加上4，不等號(hào)的方向不變，得4-3a<-3b+4，故D選項(xiàng)不正確.【解析】選D.A選項(xiàng)，不等式兩邊同時(shí)加1，不等號(hào)的方向不4.(2013·濟(jì)寧中考)已知ab=4，若-2≤b≤-1，則a的取值范圍是(

)A.a≥-4

B.a≥-2C.-4≤a≤-1

D.-4≤a≤-24.(2013·濟(jì)寧中考)已知ab=4，若-2≤b≤-1，則【解析】選D.由ab=4，得b=，∵-2≤b≤-1，∴a<0，把b=代入-2≤b≤-1，得-2≤≤-1，解不等式組得-4≤a≤-2.【解析】選D.由ab=4，得b=，【一題多解】選D.∵ab=4，∴a=，當(dāng)b<0時(shí)，a隨著b的增大而減小，當(dāng)b=-2時(shí)，a=-2，當(dāng)b=-1時(shí)，a=-4，∴a的取值范圍是-4≤a≤-2，故選D.【一題多解】選D.∵ab=4，∴a=，當(dāng)b<0時(shí)，a隨熱點(diǎn)考向二一元一次不等式的解法

【例2】(2014·連云港中考)解不等式2(x-1)+5<3x，并把解集在數(shù)軸上表示出來.【思路點(diǎn)撥】按照解一元一次不等式的步驟解不等式，求出解集后在數(shù)軸上把解集表示出來.熱點(diǎn)考向二一元一次不等式的解法

【自主解答】整理得2x-2+5<3x，-x<-3，x>3.解集在數(shù)軸上表示為：【自主解答】整理得2x-2+5<3x，-x<-3，【易錯(cuò)提醒】在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)的注意事項(xiàng)在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向，邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓點(diǎn)，無等號(hào)的是空心圓圈.方向：大于向右，小于向左.【易錯(cuò)提醒】在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)的注意事項(xiàng)【規(guī)律方法】不等式解集的驗(yàn)證方法某不等式求得的解集為x>a，其驗(yàn)證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x>a的范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)代入原不等式，則原不等式成立.【規(guī)律方法】不等式解集的驗(yàn)證方法【真題專練】1.(2013·汕頭中考)不等式5x-1>2x+5的解集在數(shù)軸上表示正確的是(

)【解析】選A.不等式移項(xiàng)，得5x-2x>5+1，合并同類項(xiàng)，得3x>6，系數(shù)化為1，得x>2.根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法，即可在數(shù)軸上表示出x>2.【真題專練】2.(2013·鎮(zhèn)江中考)已知關(guān)于x的方程2x+4=m-x的解為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是(

)A.

B.

C.m<4

D.m>4【解析】選C.∵關(guān)于x的方程2x+4=m-x的解x=

是負(fù)數(shù)，∴<0，解得m<4.2.(2013·鎮(zhèn)江中考)已知關(guān)于x的方程2x+4=m-x的【互動(dòng)探究】若將題干中“解為負(fù)數(shù)”改為“解為非負(fù)數(shù)”，則m的取值范圍是什么？【解析】∵關(guān)于x的方程2x+4=m-x的解x=是非負(fù)數(shù)，∴≥0，解得m≥4.【互動(dòng)探究】若將題干中“解為負(fù)數(shù)”改為“解為非負(fù)數(shù)”，則m的3.(2013·白銀中考)不等式2x+9≥3(x+2)的正整數(shù)解是

.【解析】去括號(hào)，得2x+9≥3x+6，移項(xiàng)，得2x-3x≥6-9，合并同類項(xiàng)，得-x≥-3，兩邊同時(shí)除以-1，得x≤3.x≤3的正整數(shù)解是1，2，3.答案：1，2，33.(2013·白銀中考)不等式2x+9≥3(x+2)的正整4.(2014·溫州中考)不等式3x-2>4的解是

.【解析】3x-2>4，移項(xiàng)得3x>6，∴x>2.答案：x>24.(2014·溫州中考)不等式3x-2>4的解是.5.(2014·廣州中考)解不等式：5x-2≤3x，并在數(shù)軸上表示解集.【解析】移項(xiàng)得：5x-3x≤2，合并同類項(xiàng)得：2x≤2，系數(shù)化為1得，x≤1，在數(shù)軸上表示為：

5.(2014·廣州中考)解不等式：5x-2≤3x，并在數(shù)軸熱點(diǎn)考向三一元一次不等式組的解法

【例3】(2014·株洲中考)一元一次不等式組的解集中，整數(shù)解的個(gè)數(shù)是(

)A.4

B.5

C.6

D.7熱點(diǎn)考向三一元一次不等式組的解法

【思路點(diǎn)撥】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再畫數(shù)軸找到兩個(gè)不等式解集的公共部分(即不等式組的解集)，最后求出符合要求的整數(shù)解.【思路點(diǎn)撥】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再畫數(shù)軸找到【自主解答】選C.一元一次不等式組解①得，x>，解②得x≤5，所以不等式組的解集為<x≤5，整數(shù)解為0，1，2，3，4，5，共6個(gè)

【自主解答】選C.一元一次不等式組【規(guī)律方法】確定不等式組的解集的兩種方法1.口訣法：求不等式組的解集時(shí)，可記住以下規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找.2.數(shù)軸法：運(yùn)用數(shù)軸法確定不等式組的解集，就是將不等式組中的每一個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，然后找出它們的公共部分，這個(gè)公共部分就是此不等式組的解集.如果沒有公共部分，則這個(gè)不等式組無解.【規(guī)律方法】確定不等式組的解集的兩種方法【真題專練】1.(2014·長沙中考)一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式組在數(shù)軸上的解集如圖所示，則此不等式組的解集是(

)A.x>1 B.x≥1C.x>3 D.x≥3【真題專練】【解析】選C.空心表示不包括，由圖可知不等式組的解集為x>3.【解析】選C.空心表示不包括，由圖可知不等式組的解集為x>32.(2014·德州中考)不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為(

)2.(2014·德州中考)不等式組的解集【解析】選D.解不等式+1>0，得x>-3，解不等式2-x≥0得x≤2，所以原不等式組的解為-3<x≤2.【解析】選D.解不等式+1>0，得x>-3，解不等式3.(2014·臺(tái)州中考)解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來.3.(2014·臺(tái)州中考)解不等式組【解析】解不等式2x-1>x+1，得x>2.解不等式x+8>4x-1，得x<3.所以原不等式組的解集是2<x<3，把解集表示在數(shù)軸上，得【解析】解不等式2x-1>x+1，得x>2.4.(2014·菏澤中考)解不等式并判斷是否為該不等式組的解.【解析】由①得，x>-3，由②得，x≤1，故此不等式組的解集為：-3<x≤1，∵>1，∴x=不是該不等式組的解.4.(2014·菏澤中考)解不等式【知識(shí)拓展】一元一次不等式組的特殊解一元一次不等式組的特殊解主要是指整數(shù)解、非負(fù)整數(shù)解、負(fù)整數(shù)解等.不等式組的特殊解，是在一元一次不等式組的解集中滿足某個(gè)條件的部分解，它一定包含在一元一次不等式組的解集中.【知識(shí)拓展】一元一次不等式組的特殊解熱點(diǎn)考向四一元一次不等式的應(yīng)用

【例4】(2013·舟山中考)某鎮(zhèn)水庫的可用水量為12000萬立方米，假設(shè)年降水量不變，能維持該鎮(zhèn)16萬人20年的用水量.為實(shí)施城鎮(zhèn)化建設(shè)，新遷入4萬人后，水庫只夠維持居民15年的用水量.(1)問：年降水量為多少萬立方米？每人平均用水量為多少立方米？(2)政府號(hào)召節(jié)約用水，希望將水庫的使用年限提高到25年，則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)？熱點(diǎn)考向四一元一次不等式的應(yīng)用

(3)某企業(yè)投入1000萬元設(shè)備，每天能淡化5000立方米海水，淡化率為70%.每淡化1立方米海水所需的費(fèi)用為1.5元，政府補(bǔ)貼0.3元.企業(yè)淡化水以3.2元/立方米的價(jià)格出售，每年還需各項(xiàng)支出40萬元.按每年實(shí)際生產(chǎn)300天計(jì)算，該企業(yè)至少幾年后能收回成本？(結(jié)果精確到個(gè)位)(3)某企業(yè)投入1000萬元設(shè)備，每天能淡化5000立方米海【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)年降水量為x萬立方米，每人年平均用水量為y立方米，根據(jù)題意中的等量關(guān)系可得出方程組，解出即可.(2)設(shè)該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約z立方米水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，由等量關(guān)系得出方程，解出即可.(3)設(shè)該企業(yè)n年后能收回成本，根據(jù)投入1000萬元設(shè)備，可得出不等式，解出即可.【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)年降水量為x萬立方米，每人年平均用水量為【自主解答】(1)設(shè)年降水量為x萬立方米，每人年平均用水量為y立方米，由題意得解得答：年降水量為200萬立方米，每人年平均用水量為50立方米.【自主解答】(1)設(shè)年降水量為x萬立方米，每人年平均用水量(2)設(shè)該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約z立方米水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，由題意得，12000+25×200=20×25×(50-z)，解得：z=16(立方米).答：該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約16立方米水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo).(2)設(shè)該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約z立方米水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，(3)設(shè)該企業(yè)n年后能收回成本，由題意得：[3.2×5000×70%-(1.5-0.3)×5000]×-40n≥1000，解得：.答：至少9年后企業(yè)能收回成本.(3)設(shè)該企業(yè)n年后能收回成本，由題意得：【規(guī)律方法】用不等式解決應(yīng)用題需注意的兩點(diǎn)1.設(shè)未知數(shù)時(shí)，表示不等關(guān)系的文字如“至少”等不能出現(xiàn)，即應(yīng)給出肯定的未知數(shù)的設(shè)法.2.在最后寫答時(shí)，應(yīng)把表示不等關(guān)系的文字補(bǔ)上.【規(guī)律方法】用不等式解決應(yīng)用題需注意的兩點(diǎn)【真題專練】1.(2013·烏魯木齊中考)某次知識(shí)競賽共有20道題，每一題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分.娜娜得分要超過90分，設(shè)她答對(duì)了x道題，則根據(jù)題意可列不等式

.【真題專練】【解析】∵每一題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分，∴答對(duì)了x道題的得分為10x分，答錯(cuò)或不答的題目共有(20-x)道題，共扣5(20-x)分，從而由娜娜得分要超過90分可列不等式為10x-5(20-x)>90.答案：10x-5(20-x)>90【解析】∵每一題答對(duì)得10分，答錯(cuò)或不答都扣5分，2.(2013·廈門中考)某采石場爆破時(shí)，點(diǎn)燃導(dǎo)火線的甲工人要在爆破前轉(zhuǎn)移到400m以外的安全區(qū)域.甲工人在轉(zhuǎn)移過程中，前40m只能步行，之后騎自行車.已知導(dǎo)火線燃燒的速度為0.01m/s，步行的速度為1m/s，騎車的速度為4m/s.為了確保甲工人的安全，則導(dǎo)火線的長要大于

m.2.(2013·廈門中考)某采石場爆破時(shí)，點(diǎn)燃導(dǎo)火線的甲工人【解析】設(shè)導(dǎo)火線的長為xm，依題意得

，解得x>1.3.答案：1.3【解析】設(shè)導(dǎo)火線的長為xm，依題意得【知識(shí)拓展】不等關(guān)系常用詞語的符號(hào)表示(1)至少“≥”；(2)最多“≤”；(3)不低于“≥”；(4)不大于“≤”；(5)高于“>”.【知識(shí)拓展】不等關(guān)系常用詞語的符號(hào)表示3.(2014·安徽中考)2013年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費(fèi)25元/噸，建筑垃圾處理費(fèi)16元/噸標(biāo)準(zhǔn)，共支付餐廚和建筑垃圾處理費(fèi)5200元，從2014年元月起，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)上調(diào)為：餐廚垃圾處理費(fèi)100元/噸，建筑垃圾處理費(fèi)30元/噸，若該企業(yè)2014年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2013年相比沒有變化，就要多支付垃圾處理費(fèi)8800元.3.(2014·安徽中考)2013年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費(fèi)2(1)該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸？(2)該企業(yè)計(jì)劃2014年將上述兩種垃圾處理量減少到240噸，且建筑垃圾處理量不超過餐廚垃圾處理量的3倍，則2014年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費(fèi)共多少元？(1)該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸？【解析】(1)設(shè)該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾為x噸，建筑垃圾為y噸，根據(jù)題意，得解得即該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾為80噸，建筑垃圾為120噸.【解析】(1)設(shè)該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾為x噸，建筑垃(2)設(shè)該企業(yè)2014年處理的餐廚垃圾為a噸，建筑垃圾b噸，需要支付的這兩種垃圾處理費(fèi)是z元，根據(jù)題意，得a+b=240且b≤3a，解得a≥60.z=100a+30b=100a+30(240-a)=70a+7200.由于z的值隨著a的增大而增大，所以當(dāng)a=60時(shí)，z最小.最小值=70×60+7200=11400元，即2014年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費(fèi)共11400元.(2)設(shè)該企業(yè)2014年處理的餐廚垃圾為a噸，建筑垃圾b噸，命題新視角確定不等式(組)參數(shù)的取值范圍(值)【例】(2013·南通中考)若關(guān)于x的不等式組①

②恰有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.命題新視角確定不等式(組)參數(shù)的取值范圍(值)【審題視點(diǎn)】【審題視點(diǎn)】【自主解答】由不等式

，解得

，由不等式3x+5a+4>4(x+1)+3a，解得x<2a.∵不等式組恰有三個(gè)整數(shù)解，所以2<2a≤3.∴1<a≤.【自主解答】由不等式，解得【規(guī)律方法】1.已知不等式組中含有參數(shù)m，可以先進(jìn)行化簡，求出不等式組的解集，然后再與已知解集比較，求出m的取值范圍，2.當(dāng)一元一次不等式組化簡后解集中含有參數(shù)時(shí)，可以通過比較已知解集，列不等式(組)或列方程(組)來確定參數(shù)的取值范圍或值.【規(guī)律方法】【真題專練】1.(2013·荊門中考)若關(guān)于x的一元一次不等式組有解，則m的取值范圍為(

)A. B.C. D.【真題專練】【解析】選C.解不等式x-2m<0，得x<2m；解不等式x+m>2，得x>2-m.∵關(guān)于x的一元一次不等式組有解，∴2-m<2m，解得m>.【解析】選C.解不等式x-2m<0，得x<2m；2.(2014·濰坊中考)若不等式組無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a≥1 B.a<1C.a≤1 D.a≤-12.(2014·濰坊中考)若不等式組無【解析】選D.解x+a≥0，得x≥-a，解不等式1-2x>x-2，得x<1.∵不等式組無解，∴-a≥1，解得a≤-1.【解析】選D.解x+a≥0，得x≥-a，解不等式1-2x>x3.(2014·泰安中考)若不等式組有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.a<-36 B.a≤-36C.a>-36