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立體幾何第七章第七講立體幾何中的向量方法(理)立體幾何第七章第七講立體幾何中的向量方法(理)1知識梳理2考點突破3名師講壇4思想方法1知識梳理2考點突破3名師講壇4思想方法知識梳理知識梳理知識點一利用空間向量求空間角1.兩條異面直線所成的角(1)范圍:兩條異面直線所成的角θ的取值范圍是__________.(2)向量求法:設異面直線a,b的方向向量為a,b,直線a與b的夾角為θ,a與b的夾角為φ,則有cosθ=____________.|cosφ|知識點一利用空間向量求空間角|cosφ|2.直線與平面所成的角(1)范圍:直線和平面所成的角θ的取值范圍是__________.(2)向量求法:設直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為θ,a與u的夾角為φ,則有sinθ=____________或cosθ=sinφ.|cosφ|2.直線與平面所成的角|cosφ|3.二面角(1)二面角的取值范圍是____________.(2)向量求法:若AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個面內與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖①).[0,π]3.二面角[0,π]2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講BB(4)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為45°.A.0 B.1C.2 D.3[解析]
(1)(3)(4)不正確,(2)正確,故選B.2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講DD2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講AA2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講CCCC[解析]
如圖,過P作PO⊥平面ABCD,垂足為O,以O為原點,過O作DA的平行線為x軸,過O作AB的平行線為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.[解析]如圖,過P作PO⊥平面ABCD,垂足為O,以O為原2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講考點突破考點突破考點1利用向量求線線角例1C考點1利用向量求線線角例1C2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講向量法求異面直線所成的角的方法(1)基向量法:利用線性運算.(2)坐標法:利用坐標運算.注意:向量法求異面直線所成角與向量夾角的區(qū)別,尤其是取值范圍.2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講〔變式訓練1〕B〔變式訓練1〕B2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講考點2利用向量求線面角例2考點2利用向量求線面角例22019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講(1)向量法求線面角的兩大途徑①分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角).②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.提醒:在求平面的法向量時,若能找出平面的垂線,則垂線上取兩個點可構成一個法向量.2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講(2)利用平面的法向量求線面角時的注意點①求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角),取其余角即為所求.②若求線面角的余弦值,要注意利用平方關系sin2θ+cos2θ=1求出其值.不要誤以為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值為所求.(2)利用平面的法向量求線面角時的注意點〔變式訓練2〕〔變式訓練2〕2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講考點3利用向量求二面角例3考點3利用向量求二面角例32019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講(1)利用向量法確定二面角大小的常用方法①找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角的大?。谡遗c棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?2)向量法應用(二面角大小(范圍))的技巧建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,將兩平面的法向量用與待求相關的參數(shù)(字母)表示,利用兩向量的夾角公式構建方程或不等式或函數(shù),進而求解.2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講〔變式訓練3〕〔變式訓練3〕2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講考點4利用空間向量求距離例4考點4利用空間向量求距離例4[解析]
取CD中點O,連接OB,OM,則OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,則MO⊥平面BCD,從而OM⊥OB.取O為原點,直線OC,BO,OM為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.[解析]取CD中點O,連接OB,OM,則OB⊥CD,OM⊥2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講〔變式訓練4〕C〔變式訓練4〕C2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講[點撥]
空間中的距離問題一般都可以轉化成點到點的距離、點到線的距離和點到面的距離.其中點到點的距離、點到線的距離可用空間向量的模來求解,點到面的距離可借助于平面的法向量求解.[點撥]空間中的距離問題一般都可以轉化成點到點的距離、點到名師講壇名師講壇思考方法——巧用向量法解立體幾何中的探索問題(二)探索性問題的求解策略(1)對于存在判斷型問題的求解,應先假設存在,把要成立的結論當作條件,據(jù)此列方程或方程組,把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解,是否有規(guī)定范圍內的解”等.(2)對于位置探究型問題,通常借助向量,引進參數(shù),綜合已知和結論列出等式,解出參數(shù).思考方法——巧用向量法解立體幾何中的探索問題(二)例5例52019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講〔變式訓練5〕〔變式訓練5〕[解析]
方法一:(幾何法)(1)如圖1,連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知BC1∥AD1.當λ=1時,P是DD1的中點,又F是AD的中點,所以FP∥AD1.所以BC1∥EP.而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直線BC1∥平面EFPQ.2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講2019年高考數(shù)學一輪復習(文理通用)-第7章--立體幾何-第7講思想方法思想方法兩點注意:1.用向量來求空間角,都需將各類角轉化成對應向量的夾角來計算,問題的關鍵在于確定
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