職高數(shù)學(xué)均值定理

關(guān)于職高數(shù)學(xué)均值定理（1）若a>0，則_____（2）若a>0且b>0,則______（3）用作差法證明不等式的步驟：

知識(shí)準(zhǔn)備1、作差2、變形（與0比較)3、定號(hào)第2頁,共19頁，2024年2月25日，星期天

一個(gè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，畫兩個(gè)正方形，要求第一個(gè)正方形的面積與矩形的面積相同，第二個(gè)正方形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)相同.問哪個(gè)正方形的面積大？S=abC=2(a+b)(1)(2)探究新知第3頁,共19頁，2024年2月25日，星期天第一個(gè)正方形的面積是ab,可得邊長(zhǎng)為

.第二個(gè)正方形的周長(zhǎng)為2(a+b)，邊長(zhǎng)為

.我們要比較兩個(gè)正方形面積的大小，只需要比較兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？第4頁,共19頁，2024年2月25日，星期天對(duì)任意正實(shí)數(shù)a、b,有因此≥等號(hào)成立？第5頁,共19頁，2024年2月25日，星期天

對(duì)于兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，我們把叫做a與b的

，把

叫做a與b的

.算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)講授新課第6頁,共19頁，2024年2月25日，星期天

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)，即對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，有≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.這個(gè)結(jié)論稱為均值定理第7頁,共19頁，2024年2月25日，星期天變式（2）≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.由a>0、b>0時(shí)，得變式（1）（積定和?。ê投ǚe大）第8頁,共19頁，2024年2月25日，星期天例1.已知a>0,b>0，且ab=16，求a+b的最小值.解：由a>0,b>0根據(jù)均值定理，得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=4時(shí)，等號(hào)成立所以a+b的最小值為8.一正二定三相等結(jié)論應(yīng)用舉例第9頁,共19頁，2024年2月25日，星期天例2.已知a>0,b>0，且a+b=6，求ab的最大值.解：由a>0,b>0根據(jù)均值定理，得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即所以ab的最大值為9.a=3時(shí)等號(hào)成立一正二定三相等第10頁,共19頁，2024年2月25日，星期天一正：函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);二定：函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是

定值；三相等：等號(hào)成立條件必須存在.均值定理必須滿足的條件：總結(jié)第11頁,共19頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)鞏固1、已知a>0,b>0，且ab=49，求a+b的最小值。2、已知a>0,b>0，且a+b=10，求ab的最大值。第12頁,共19頁，2024年2月25日，星期天拓展延伸1、求證：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.2、求的最小值，并求出相應(yīng)

的值.第13頁,共19頁，2024年2月25日，星期天1、用一根長(zhǎng)為20cm的鐵絲，圍成一個(gè)矩形小框，長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，面積最大？思考題2、為了圍成一個(gè)面積為49的矩形小框，至少要用多長(zhǎng)的鐵絲？第14頁,共19頁，2024年2月25日，星期天1、解：設(shè)圍成的矩形的長(zhǎng)與寬分別為xcm、ycm.

答：矩形的長(zhǎng)與寬都等于5cm時(shí)，面積最大，達(dá)到25.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),由已知條件得，x+y=.據(jù)均值定理得

取最大值25.第15頁,共19頁，2024年2月25日，星期天2、解：設(shè)圍成的矩形的長(zhǎng)與寬分別為xcm、ycm.答：至少要用28cm長(zhǎng)的鐵絲.

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y==7,由已知條件得，xy=49.據(jù)均值定理得

此時(shí)x+y達(dá)到最小值14，從而2(x+y)達(dá)到最小值2×14=28.第16頁,共19頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)1、對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b,稱為算術(shù)平均數(shù)，稱為幾何平均數(shù)

，且

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.3、均值定理必須滿足：一正：函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);二定：函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是定值；三相等：等號(hào)成立條件必須存在.2、變式應(yīng)用：第17頁,共19頁，2024年2月25日，星期天1、已知a>0,b>0，且ab=25，求a+b的最小值.2、已知a>0,b>0，且a+b=8，求