線性變換的矩陣

關(guān)于線性變換的矩陣一.線性變換的矩陣表示1)V的任一線性變換σ，由它在基{α1，α2，…，αn}上的作用惟一確定，即如果σ(αi)＝τ(αi)(τ∈L(V),i=1,2,…,n),

則σ=τ;定理6.3.1設(shè)V是數(shù)域F上的一個n維線性空間，{α1，α2，…，αn}是V的一個基．1.線性變換對基的作用的重要性第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證只須證2）．設(shè)ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn是V的任意向量，規(guī)定V的一個變換σ:σ(ξ)=x1β1+x2β2,…,xnβn.這時，有σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.以下我們證明σ是V的線性變換．2)任給β1，β2，…，βn∈V，必存在V的惟一線性變換σ，使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n).第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天設(shè)η=y1α1+y2α2+…+ynαn∈V,

ξ+η=(x1+y1)α1+(x2+y2)α2+…+(xn+yn)αn.于是σ(ξ+η)=(x1+y1)β1+(x2+y2)β2+…+(xn+yn)βn=(x1β1+x2β2+…+xnβn)+(y1β1+y2β2+…+ynβn)=σ(ξ)+σ(η),σ(kξ)=kx1β1+kx2β2+…+kxnβn=kσ(ξ).

所以，σ是V的滿足定理所要求的條件和的線性變換．第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天如果τ∈L(V),且τ(αi)=βi,i=1,2,…,n,ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn∈V,則τ(ξ)=x1τ(α1)+x2τ(α2)+…+xnτ(αn)=x1β1+x2β2+…+xnβn=σ(ξ).所以，σ＝τ．第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天定義1設(shè){α1，α2，…，αn}是數(shù)域F上的n維線性空間V的一個基，σ∈L(V)．基向量的象可由基線性表示：2.線性變換矩陣的定義第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天我們把（1）寫成矩陣等式的形式(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A(2)其中矩陣A稱為線性變換σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩陣．第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例1求F3[x]的線性變換σ：σ(f(x))=2f(x)-f′(x)在基{1,x,x2,x3}下的矩陣．解因為σ(1)=2=2+0x+0x2+0x3,σ(x)=2x-1=-1+2x+0x2+0x3σ(x2)=2x2-2x=0-2x+2x2+0x3σ(x3)=2x3-3x2=0+0x

-3x2+2x3,所以σ在基{1,x,x2,x3}下的矩陣是3.幾個例子第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天采用矩陣形式的寫法為(σ(1),σ(x),σ(x2),σ(x3))=(1,x,x2,x3)A例2求M2(F)的線性變換σ：σ(X)=第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天解因為σ(E11)=aE11+0E12+c

E21+0E22,σ(E12)=0E11+aE12+0E21+c

E22,σ(E21)=b

E11+0E12+d

E21+0E22,σ(E22)=0E11+b

E12+0E21+d

E22,在基｛E11,E12,E21,E22｝下的矩陣．故σ在基｛E11,E12,E21,E22｝下的矩陣是第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例3設(shè)σ是F3的一個線性變換，ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0），ε3＝（0，0，1），σ(ε1)＝（2，-1，3），σ(ε2)＝（-1，0，4），σ(ε3)＝（0，-5，5）．求σ在標(biāo)準(zhǔn)基｛ε1，ε2，ε3｝下的矩陣．解由于σ(ε1)=2ε1-ε2+3ε3,

σ(ε2)=-ε1+0ε2+4ε3,σ(ε3)=0ε1-5ε2+5ε3,第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天有（σ(ε1)，σ(ε2)，σ(ε3)）＝（ε1，ε2，ε3）即σ在基{ε1，ε2，ε3}下的矩陣是第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天一般地，F(xiàn)n的一個線性變換σ在標(biāo)準(zhǔn)基{ε1，ε2，…，εn}下的矩陣A

就是把σ(εi)的分量作列排成的n階方陣.例4單位變換ι在任何基下的矩陣都是單位矩陣I．?dāng)?shù)乘變換kι在任何基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kI．第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天在V中取定一個基后，通過（2）式，我們在L(V)與Mn(F)之間建立了一個映射Φ，它把每個σ∈L(V)映成σ在該基下的矩陣A∈Mn(F)．Φ：σA定理6.3.1的2）說明Φ是雙射．這個映射的重要性還在于它能保持加法、數(shù)乘和乘法運算．二.L(V)與Mn(F)之間的密切關(guān)系1.Φ的性質(zhì)第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天定理6.3.2

L(V)到Mn(F)的上述映射Φ具有以下性質(zhì)：1)對任意的σ，τ∈L(V)，有

Φ（σ+τ）＝Φ（σ）+Φ（τ）；2)對任意的σ∈L(V),k∈F,有Φ(kσ)=kΦ(σ);3）對任意的σ，τ∈L(V)，，有

Φ（στ）＝Φ（σ）Φ（τ）；第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天4)若σ∈L(V)，σ可逆，則

Φ（σ）＝A是可逆矩陣，且Φ（σ-1）＝A-1．反之，若A可逆，則σ也可逆．證令Φ(σ)=A=(aij)nn，Φ(τ)=B=(bij)nn,即(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)A,(τ(α1),τ(α2)),…,σ(αn))=(α1,α2,…,αn)B.第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1)(σ+τ)(αi)=σ(αi)+τ(αi)=(a1i+b1i)α1+(a2i+b2i)α2+…+(ani+bni)αn,i=1,2,…,n.由此可得((σ+τ)(α1),(σ+τ)(α2),…,(σ+τ)(αn))=(α1,α2,…,αn)(A+B),即Φ(σ+τ)=A+B=Φ(σ)+Φ(τ).

第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天2)(kσ)(αi)=ka1iα1+ka2iα2+…+kan

iαn,i=1,2,…,n.由此可得((kσ)(α1),(kσ)(α2),…,(kσ)(αn))=(α1,α2,…,αn)(kA),即Φ(kσ)=kA=kΦ(σ).第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天3)στ(αj)=σ(τ(αj))j=1,2,…,n.由此可得(στ(α1),στ(α2),…,στ(αn))=(σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))B=(α1,α2,…,αn)(AB),

即Φ(στ)=AB=Φ(σ)Φ(τ).=σ()=第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天4）σ可逆時，σ-1∈L(V),σσ-1=ι.Φ(σσ-1)=Φ(σ)Φ(σ-1)=AΦ(σ-1)=Φ(ι)=In,所以，A可逆，且A-1=Φ(σ-1).若A可逆，有AA-1=In

．設(shè)Φ(τ)=A-1,Φ(ι)=In=AA-1=Φ(σ)Φ(τ)=Φ(στ)=A-1A=Φ(τ)Φ(σ)=Φ(τσ).于是有ι=στ=τσ，即σ可逆．□第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天定理6.3.2說明，雙射Φ除了是F上的兩個線性空間L(V)和Mn(F)之間的一個同構(gòu)映射外，還保持乘法運算和可逆性．這樣，我們在L(V)與Mn(F)之間建立了十分密切的聯(lián)系．利用線性變換的矩陣可以直接計算向量的象．2.線性變換矩陣的一個應(yīng)用第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天定理6.3.3設(shè)V是數(shù)域F上的一個n維線性空間，σ∈L(V)，σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩陣是A，如果V中的向量ξ在這個基下的坐標(biāo)是（x1,x2，…，xn），而σ(ξ)在該基下的坐標(biāo)是（y1,y2,…，yn）．那么第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證由假設(shè)（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））

=(α1，α2，…，αn)A

ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn=(α1，α2，…，αn)第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天σ是V的線性變換，所以σ(ξ)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+…+xnσ(αn)=(σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αn))=(α1，α2，…，αn)A第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天另方面，由假設(shè)知σ（ξ）=(α1，α2，…，αn)

比較（4）與（5）兩式，有.□第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天定理6.3.4線性空間V的線性變換σ在V的兩個基｛α1，α2，…，αn｝（6）｛β1，β2，…，βn｝（7）線性變換的矩陣顯然依賴于基的選擇．同一線性變換在不同基下的矩陣一般是不同的．我們來看線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系．三.矩陣的相似1.同一線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證因為（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））

=(α1，α2，…，αn)A,（σ（β1），σ（β2），…，σ（βn））

=(β1，β2，…，βn)B,(β1，β2，…，βn)

=(α1，α2，…，αn)T,

下的矩陣分別是A和B，從（6）到（7）的過渡矩陣是T，那么B=T-1AT.第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天所以

(β1，β2，…，βn)B=（σ（β1），σ（β2），…，σ（βn））=（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））T=(α1，α2，…，αn)AT=(β1，β2，…，βn)T-1AT

故B=T-1AT.□第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天定義2設(shè)A,B是數(shù)域F上的兩個n階方陣．如果存在F上的一個n階可逆矩陣T，使B=T-1AT，則稱B與A相似或A相似于B，記為A~B.根據(jù)這個定義，定理6.3.4說的是，n維線性空間V的同一線性變換在兩個基下的矩陣是相似的．2.相似矩陣及其性質(zhì)第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天矩陣的相似關(guān)系具有如下性質(zhì)：1)自反性．A~A．因為A=I-1AI;2)對稱性．如果A~B,那么B~A,這是因為當(dāng)

B=T-1AT時，A=(T-1)-1BT-1;3)傳遞性．如果A~B,B~C,那么A~C．這是因為當(dāng)B=T1-1AT1，且

C=T2-1BT2時，有

C=T2-1(T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天由于上述性質(zhì)，我們可以把集合Mn(F)中的元素按相似關(guān)系分類，凡是彼此相似的矩陣屬于同一類，不同的相似類之間沒有公共元素．下面的定理闡明了相似類的實際意義．定理6.3.5設(shè)A,B∈Mn(F),A~B的充分必要條件是，它們是某個σ∈L(V)在兩個基下的矩陣．3.相似類的實際意義第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證充分性已由定理6.3.4證明．由定理6.3.1知,存在F上的n維線性空間V的一個線性變換σ,使它在V的基{α1,α2,…,αn｝下的矩陣為A．因為A～B,存在可逆矩陣T使B=T-1AT.令(β1，β2，…，βn)＝（α1，α2，…，αn）T，｛β1，β2，…，βn｝也是V的一個基．由定理6.3.4，σ在這個基下的矩陣就是T-1AT＝B．□第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天從上面的討論可以知道，L(V)中的一個線性變換在不同基下的矩陣組成一個Mn(F)中的相似類與該線性變換對應(yīng)；不同的線性變換與不同的相似矩陣類對應(yīng)．第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天我們自然要問，對于線性變換σ能否找到一個基，使σ在這個基下的矩陣具有最簡單的形式？換句話說，在Mn(F)的每個相似類中，能否找到一個形式最簡單的矩陣？這就是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的問題．在后面