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2022-2023年度河南省高三年級模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）

考生注意：

i.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試

時間120分鐘.

2.請將各題答案填寫在答題卡上.

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合厶={x'-9訓(xùn),8={x|x+2a?0},且AB={x|-3<x<2},則a/

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A,再利用一元一次不等式的性質(zhì)求出集

合8,然后利用交集的運算性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】因為集合4={幻/—940}={X|-34XW3},

集合3={X[X+2Q<0}={x\x<-2a},

又因為Ac3={x|—3<xK2},所以一2。=2,解得：a=-lf

故選：A.

2.若z=l—i,則|z?+3-2i|=（）

A.舊B.5C.3D.372

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算，復(fù)數(shù)的模計算即可解決.

【詳解】由題知，

|z2+3-2i|=|l-2i+i2+3-2i|=|3-4i|=79+16=5,

故選：B

3.已知向量@=(%+2,-3)出=(1一3%,2),若q〃厶，則彳=()

A.-2B.2C.1D.-I

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的共線定理可知，存在實數(shù)2使得a=/lb，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)

運算即可計算得出結(jié)果.

【詳解】由a〃〃，且都是非零向量，可知存在實數(shù)2使得a=4人

即滿足a=(x+2,—3)=之〃=2(1-3%,2)

x-1

x+2=X(l—3x)得日

所以《

-3=2A

故選：C.

4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是()

A./(x)=sinx-x2B./(%)=ln(2-x)-ln(%+2)C.

，/、e'+er八//、2r-1

f(x)=----------D.f(x)=-------

22'+1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)選取特殊值可排除AB,利用偶函數(shù)的定義可以排除C,根據(jù)奇函數(shù)和復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A選項，因為/(x)=sinx—f的定義域為(Y。,一)，

所以函數(shù)/(x)=sinx-/不是奇函數(shù)，不符合條件，A錯誤;

對于B選項，函數(shù)/(》)=111(2-》)一111(%+2)的定義域為(—2,2),

/(D=-ln3,/(-l)=ln3,/(-1)>/(!),

函數(shù)/(x)=ln(2—x)—ln(x+2)在(一2,2)不是增函數(shù)，不符合條件，B錯誤;

對于C選項，函數(shù)/(*)==11的定義域為(-00,+8),

6r+exex+e~x

f(-x)=—=函數(shù)/(元)二三二為偶函數(shù)，不符合條件，C錯誤;

2”-11-2,

D選項，因為函數(shù)的定義域為(F,倣)，〃—X)=17T==一/(x)，

1+2*

少—1

所以函數(shù)=為奇函數(shù)，

2

將函數(shù)式變?yōu)?(x)=i-5r］，因為函數(shù)y=2.'在(f,+⑹單調(diào)遞增，且2、>o，

所以函數(shù)y=2'+l在(YO,+CQ)單調(diào)遞增，且2*+1>1，

所以函數(shù)y=3匚1■在(-00,+8)單調(diào)遞減，且0<］<2，

9

所以隨著X增大，函數(shù)/(x)=l-5節(jié)的函數(shù)值也增大，即“X)是單調(diào)遞增函數(shù)，符合

條件.

故選：D.

5.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為3兀、12兀，高為6,則該圓臺的體積為()

A.36KB.40兀C.42KD.45K

【答案】C

【解析】

【分析】利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.

【詳解】由題意可知，該圓臺的體積為V=-x(3兀+12兀+丿37rxi2兀卜6=42兀.

故選：C.

6.丄］的展開式中常數(shù)項為()

IX)

A.-160B.60C.240D.-192

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得要得f（2x—丄）的展開式中常數(shù)，只需求出（2x—丄）的展式中匯2項,

根據(jù)二項定理求出出（2x-丄）的展式中%~2項即可得答案.

【詳解】解：因為（2x—丄）的展式為：

Ix丿

Tr+l=G（2X）6T.（-與=晨?26T.（_］＞.尸=-1y=q?26T.（?,尸,

X

要得—丄］的展開式中常數(shù)，只需求出（2x-丄）的展式中一項即可.

Ix丿Ix丿

所以令6—2r=—2,

解得r=4,

（1\6

所以2%-丄的展式中一項的系數(shù)為Cr26士（-1）4=15x4x1=60,

I%丿

所以尤2|"2x—丄］的展開式中常數(shù)項為60.

IX）

故選：B.

7.我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百

里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天

行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.

關(guān)于該問題，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.。=15B.此人第三天行走了一百二十里

C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人前八天共行走了一千零八十

里

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)此人第〃（〃wN*）天走%里，則數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，記數(shù)列｛4｝

的前〃項和為S“，由題意可得岀關(guān)于6、d方程組，解出d的值，可判斷A選項；利用等

差數(shù)列的通項公式可判斷B選項；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷CD選項.

【詳解】設(shè)此人第〃(〃eN*)天走%里，則數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，記數(shù)列｛q｝

的前〃項和為S.，

a}=100

由題意可得〈，解得d=10,A錯;

S9=9。]+36d=1260

%=q+2d=120,B*j；

AX7

S?=7q+^d=910,C對；

7xQ

s8=8^+-^J=1080,D對.

故選：A.

8.已知函數(shù)/(%)=3(2%+9)(一乃494乃)的圖象向右平移看個單位長度后，與函數(shù)

g(x)=sin2x的圖象重合，則〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

,71,5萬TTTT

A.k7lH---,K7TH-----(k€Z)B.krc----,k/r+—(kGZ)

3663_

,71,2萬TTTT

C.K.714---,K7Vd-----(keZ)D,kn:----,k7r-\——(keZ)

63_36J

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求出平移之后的解析式，令其等于sin2x,利

用誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的周期性求出。的值，即可得“X)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單

調(diào)減區(qū)間即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=cos(2x+。)(一〃W0W乃)的圖象向右平移三個單位長度后

可得y=cos2x-----+(p=cos2x——+0

_l12丿」I6

因為所得的圖象與g(x)=sin2x的圖象重合，

所以cos(2x-巳+°)=sin2x=cos一]

■rrjr

可得：——+。=——+2厶萬(&GZ),

62

rr

所以°=—g+2br(&wZ),

-JT

因為一萬《夕〈萬，所以左=0,9=-§，

所以/(x)=cos(2x-《)，

JT

令2kn<2x-—<2k兀+兀*GZ),

TT27r

解得k7i-\-—<x<k7r-\-----(Z￡Z),

63

TT27r

即/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為kTt+-,kTt+—(ZreZ).

63J

故選：c.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是平移之后的圖象與g(x)=sin2x圖象重合，需

要將兩個解析式化為同名的，求出fM再利用整體代入的方法求單調(diào)區(qū)間.

9.若P是一個質(zhì)數(shù)，則像2，-1這樣的正整數(shù)被稱為梅森數(shù).從50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)中任取

兩個數(shù)，則這兩個數(shù)都為梅森數(shù)的概率為()

133

A.B.C.D.

3535255

【答案】A

【解析】

【分析】找出50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)和梅森數(shù)，利用組合數(shù)公式和古典概型概率計算公式可得

答案.

【詳解】50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,13,17/9,23,29,31,37,41,43,47共15個,

梅森數(shù)有2?-1=3，23-1=7.25-1=31三個，

從50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)有C2=105種情況，

,31

兩個數(shù)都為梅森數(shù)有c；=3種情況，所以兩個數(shù)都為梅森數(shù)的概率為亠=—.

10535

故選：A.

10.已知拋物線C:y2=-I2x的焦點為凡動點M在C上，圓M的半徑為1,過點尸的直

線與圓M相切于點N,則FM-RN的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由題作圖，由圖可得/=|801-1,根據(jù)拋物線定義可得等于點M

到準(zhǔn)線x=3的距離，根據(jù)圖形可得最小值情況，從而可得FM-FN的最小值.

【詳解】因為拋物線C：y2=-12x,所以焦點坐標(biāo)為尸(-3,0),如下圖所示：連接MN,

過M作MQ垂直準(zhǔn)線x=3于Q，

FN

則在直角厶NFM中，cosNNFM=-------,

FM

所以

FN

=\FN

FM

由拋物線的定義得：,A1|=|MQ|,

則由圖可得|畫的最小值即拋物線頂點。到準(zhǔn)線x=3的距離，即=3,

所以(FA7-FNI=8

min

故選：D.

11.已知數(shù)列｛〃“｝滿足生“一生"T=3"—1,外,川+a2tl=3"+5(〃wN*),則數(shù)歹ij｛4｝的前

40項和S&0=()

3"+397034|+397「34|+197

AA.-----------B.-----------C.-----------

222

321+197

2

【答案】D

【解析】

【分析】由已知，根據(jù)題意由%一%1=3"-1,%用+%=3"+5(〃6曰)可得：

?2?+1+。2〃-1=6(〃GN*),從而計算

(4+/)+(%+%)+(為+4i)++(%7+/9)=10*6=60,由

%一%-1=3"T(〃eN*)遞推可得：%+2-4"+1=3""—l(〃eN),結(jié)合

%用+%=3"+5(〃GN")可得：的“+2+4”=4?(3"+1)(〃GN*),從而計算

(a2+a4)+(a6+^)+(al0+al2)++(0；8H-a^),將兩組和合并即可完成求解.

【詳解】由已知，數(shù)列｛6,｝滿足%=3"—1(“e川心，4用+4”=3"+5(〃GN*)

②，

②一①得；見用+。2,1=6(〃eN*),

所以(q+%)+(%+%)+(%+41)+，+(47+/9)=l°x6=60,

由=3"_l(〃eN*)遞推可得：a2ll+2-a2n+]=3向-1(“eN*)③，

③+②得；a2n+2+a2n=4?(3"+I)(〃eN*),

所以

§40=(。1+/)+(%+%)+(%+4l)++(%+%)+(%+。4)+(。6+%)+(。10+知)++(電8+

_3^+197

—2--

故選：D.

12.已知加>0,若不等式根e〃">lnx恒成立，則用的取值范圍為()

A.心,+°)B.g+e)C.(|TD.

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)0<xW1時，不等式merK>InX顯然成立，當(dāng)了>1時，轉(zhuǎn)化為em'.lnenK>x\nx

Inx

恒成立，利用函數(shù)f(x)=Xlnx(x>l)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為根〉——在(1,啓)上恒成立，構(gòu)

x

Inx

造函數(shù)g(x)=—(X>1),利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，可求出的取值范圍.

X

【詳解】由Inx有意義，知x>0,

因為m>0,所以當(dāng)0<xWl時，〃対">0，InxWO,不等式顯然成立，

當(dāng)x>l時，不等式〃ze"">Inx恒成立，等價于〉xlnx恒成立，

等價于e"'Jlne"">xlnx恒成立，

設(shè)/(x)=xlnx(x>1),因為/'(x)=lnx+x?丄=lnx+l>0，

所以,"X)在(1,48)上單調(diào)遞增，

因m>Q,x>l,所以e'">l，

所以e""」ne""〉xlnx恒成立，等價于/C")>/(x),

又〃x)在(I,一)上單調(diào)遞增，所以不等式/(entt)>/(x)等價于e'網(wǎng)>x在(1,”)上恒成立,

Inx

等價于3:>In%在(1,+°。)上恒成立，等價于m>---在(1,+8)上恒成立,

x

1f

人/、Inxz1、EI--x-lnx1-lnx

令g(x)=——O>1),則g，(x)=4^

x

X

當(dāng)l<x<e時，gfM>0,當(dāng)X〉e時，g'(x)〈O,

所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，在(e,行)上單調(diào)遞減,

所以g(X)max=g(e)=丄，

e

所以〃z>也在(1,+8)上恒成立等價于m>~.

xe

綜上所述：團的取值范圍為

故選：B

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相

應(yīng)位置.

x+3y-5<0

13.設(shè)x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為.

x-y-1<0

【答案】5

【解析】

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合求解，

【詳解】作出可行域如圖所示，由z=2x+y得y=-2x+z,

z表示斜率為-2的直線與y軸的截距，

數(shù)形結(jié)合得，當(dāng)直線過點(2,1)時z取最大值5,

故答案：5

14.已知/(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe10,+8)時，/(x)=2*-----,則不等式

x+1

/(3x-l)</(1-%)的解集為.

【答案】(-℃,2)

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解，

【詳解】由函數(shù)y=2,與y=--1一均在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

x+1

故/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

而“X)為R上奇函數(shù)，故/(X)在R上單調(diào)遞增，

/(3x-1)</(1—x)等價于3x—1<1—x,得x<L

2

故答案為：(—00,—)

2

15.如圖，在梯形A5CD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,ZABC=60°,將ACD

沿邊AC翻折，使點。翻折到P點，且PB=2日則三棱錐尸-ABC外接球的表面積是

【答案】20K

【解析】

【分析】先證明出工面PAC,作出4c的外心。'，過。作O'O//8C,判斷出三

棱錐P-A8C外接球的球心。必在直線O'O上，設(shè)外接球的半徑為「，利用球的性質(zhì)列方

程

求出，即可求岀三棱錐P-ABC外接球的表面積.

【詳解】在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,NABC=60°,

所以梯形ABC。為等腰梯形，ZADC=ZBCD=nO°.

因為A￡>=。。，ZA￡)C=120°.所以ND4C=NACD=30°,所以

ZACS=/BCD-ZACD=120°-30°=90°,即AC1BC.

Be

所以AC=BCtan60°=2G，AB=——=4.

cos600

因為PC=BC=2,PB=2啦，所以PC?+BC?=PB?，所以尸。丄3C.

又厶。匚面24。，尸。<=面上4。，厶。PC=C,

所以8C丄面24c.

在△B4C中，NQ4C=ZACP=30°,ZAPC=120。,作出其外心。如圖所示：

所以04=OP=(7C=2,NPO'A=NPO'C=60°.

過。'作0'0//3C,由球性質(zhì)可知，三棱錐P—ABC外接球的球心。必在直線0'0上.

設(shè)外接球的半徑為「，由球的性質(zhì)可得：2,產(chǎn)_因2=閘,即W7萬=2,解得:

r2=5-

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4兀產(chǎn)=20兀.

故答案為：20Tl.

16.已知橢圓G和雙曲線G有共同的左、右焦點6，工，M是它們的一個交點，且

/耳吟=W，記G和的離心率分別為4*2,則e。的最小值是.

【答案】也

2

【解析】

【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為外,雙曲線的實半軸長為的，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可解

出1M周，結(jié)合由用=2c,/用明=：,根據(jù)余弦定理列式，可得方程

2-V|+2+V|=4>最后根據(jù)基本不等式答案.

e\

【詳解】不妨設(shè)M為第一象限的點.

如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為％,雙曲線的實半軸長為的，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義知閭=24,財周一四周=羽,

所以制=4+4，=

設(shè)怩冃=2c在△M/記中，N耳姐=?,

由余弦定理得，4c~=（4+。,）+（4—4）"-2（。［+a,）（q—4>

化簡得（2-血）4+修+虛）*=4,2,

2—V22+\[2zn]

即一2—+——；—=4(0<耳<1,e2>1),

e\e2

所以e?2孝，當(dāng)且僅當(dāng)今也=第2時，即42=2￡2,J=笥叵等號成立，

所以0缶2的最小值為先.

2

故答案為：

2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知的內(nèi)角AB,C所對的邊分別為a,b,c,且

a(sinA-sinC)+csinC=￡>sinB.

（1）求角B

（2）若匕=5,求一ABC周長的最大值.

It

【答案】(1)

3

(2)15

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得cosb,由此求得B.

（2）利用正弦定理將.4BC的周長用角來表示，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得周長的最大值.

【小問1詳解】

〃2+2_厶21

由正弦定理得儲一=〃，由余弦定理得“SB=巴士~~—

2ac2

由于Be（0,兀），所以8=].

【小問2詳解】

b_c

由正弦定理得

sinAsinBsinC

a_c_5_10

sinAsinC百百,

2

”畢sinA,c=學(xué)sinC,

V3V3

一ABC的周長為

=5Gsirt4+5cosA+5=10sin[A+^)+5,

由于4G（°號）'4+3修斎'

所以"厶+江\,1,10sin（A+江（5,10],儂皿（厶+斎+5€（10,15]

當(dāng)A+'=2,即厶=二時，lOsin（A+0+5=15

623I6丿

所以周長的最大值為15.

18.甲、乙兩家公司生產(chǎn)同一種零件，其員工的日工資方案如下：甲公司，底薪140元，另

外每生產(chǎn)一個零件的工資為2元；乙公司，無底薪，生產(chǎn)42個零件以內(nèi)（含42個）的員工

每個零件4元，超出42個的部分每個5元.假設(shè)同一公司的員工一天生產(chǎn)的零件個數(shù)相同，

現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名員工，并分別記錄其30天生產(chǎn)的零件個數(shù)，得到如下頻數(shù)

表：

甲公司一名員工生產(chǎn)零件個數(shù)頻數(shù)表

生產(chǎn)零件個數(shù)3839404142

天數(shù)59565

乙公司一名員工生產(chǎn)零件個數(shù)頻數(shù)表

生產(chǎn)零件個數(shù)4041424344

天數(shù)39693

若將頻率視為概率，回答以下問題：

（1）現(xiàn)從記錄甲公司某員工30天生產(chǎn)的零件個數(shù)中隨機抽取3天的個數(shù)，求這3天生產(chǎn)的

零件個數(shù)都不高于39的概率；

（2）小明打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘生產(chǎn)零件的工作，如果僅從日工資的角度考

慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小明做出選擇，并說明理由.

13

【答案】（1）—

145

（2）小明應(yīng)該選擇到甲公司應(yīng)聘，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)甲公司員工生產(chǎn)零件個數(shù)頻數(shù)表以及古典概型概率公式計算可得結(jié)果；

（2）設(shè)甲公司員工的日工資為X，則X的所有可能取值為：216,218,220,222,224,求

出X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；設(shè)乙公司員工的日工資為丫，則丫的所有可能取值為：

160,164,168,173,178,求出y的分布列以及數(shù)學(xué)期望，比較兩個數(shù)學(xué)期望的大小可作出選

擇.

【小問1詳解】

記“這3天生產(chǎn)的零件個數(shù)都不高于39”為事件",

則p（"）=導(dǎo)=黒.

13

所以這3天生產(chǎn)的零件個數(shù)都不高于39的概率為百

【小問2詳解】

設(shè)甲公司員工的日工資為X，

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為38個時,X=38x2+140=216元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為39個時,X=39x2+140=218元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為40個時,X=40x2+140=220元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為41個時,X=41x2+140=222元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為42個時,X=42x2+140=224元,

93

又P(X=156)=a=丄，P(X=158)=—=—,

3063010

P(X=160)=2=丄，P(X=162)=—=-,

306305

P(X=164)=—=-,

306

所以X的分布列為：

X216218220222224

]_3丄丄

p

6io656

所以E(X)=216x丄+218x2+220x丄+222x丄+224x丄=219.8元.

610656

所以甲公司員工的日工資的平均值為219.8元.

設(shè)乙公司員工的日工資為丫，

則當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為40個時，^=40x4=160元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為41個時,y=41x4=164元，

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為42個時,7=42x4=168

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為43個時,y=42x4+5=173元，

當(dāng)生產(chǎn)零件個數(shù)為44個時,7=42x4+2x5=178it.

3193

又P(y=160)=3=一,p(y=164)=—=—,

30103010

p(y=168)=5=(,P(Y=173)_9__2_

30-W

31

p（y=178）=—=—,

3010

所以y的分布列為:

Y160164168173178

13丄31

P

101051010

13131

所以E（y）=160x—+164x3+168x—+173x」~+178x—=168.5元.

101051010

所以乙公司員工的日工資的平均值為168.5元.

因為168.5<219.8,所以如果僅從日工資的角度考慮的話，小明應(yīng)該選擇到甲公司應(yīng)聘.

19.在四棱錐P—ABCD中，平面卩4。丄底面A5C。，底面A8CD是菱形，E是PO的中

點，PA=PD=3,AB=2,ZABC=60°.

（1）證明：PB〃平面EAC；

（2）求直線EC與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見詳解

⑵歩

35

【解析】

【分析】（1）構(gòu)造中位線，通過線線平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面以8的法向量，再求EC與法向量所成角的余弦值，

再得到結(jié)果.

【小問1詳解】

如圖1,連接30，設(shè)AC與3。交于點F,連接ER.

因為底面ABC。是菱形，所以尸為3。的中點，又E是P。的中點，

所以EF7/PB,又￡/u平面EAC,平面E4C,

所以。3〃平面E4C；

p

【小問2詳解】

圖I

如圖2,取AD的中點0.

在，中，PA=PD=3,AB=AD=2,。為AO的中點，所以P01AQ，

所以PO=dPD?—OD）=舊—1=20.

因為平面B4Z）丄底面A8CZ）,平面P4Z＞c底面4BCD=A￡）,

所以PO1底面ABC。，又OCu底面ABC。，

所以P0丄0C.

在菱形A8CQ中，AB=2,NA5C=60。，所以△ABC與△ACO是等邊三角形,

所以O(shè)C丄AD,AC=2,OC=6

以。為原點，。。為x軸，。。為＞軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,A（0,-l,0）,0（0,1,0）,C（V3,0,0）,5隕,-2,0卜尸（0,0,2閭,

U111（石，-g,-逝），驍=（上,-1,0）

則EC=,%=僅,-1,-2&）.

ABn=Q

設(shè)〃=（x,y,z）為平面的一個法向量，則＜

PAn=0

>j3x-y=0廠迎l

即L，令X=l，則y=G,z=------，則〃=（1,6,一

-y-2v2z=04

導(dǎo)嶼+好L

7224M

costEC公=生\

\1\EC\\n\V21V70-35

---------X----------

24

所以直線EC與平面B4B所成角的正弦值上叵.

35

22

20.已知雙曲線C:二-3?=1（“＞0力＞0）的右焦點為尸（2,0）,且點。（0,省）在雙曲線C

a'b~

上.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點尸的直線與雙曲線C的右支交于A,8兩點，在x軸上是否存在不與尸重合的點

P,使得點尸到直線南,P8的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

2

【答案】（I）=1

3

（2）存在，尸（；，0），理由見解析

【解析】

【分析】（1）首先得c=2,再將點。的坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解片,〃，即可

求雙曲線方程；

（2）假設(shè)存在點P（〃,0）,據(jù)題意設(shè)AB:X=照+2（加h0）,聯(lián)立方程得到y(tǒng)+%，,力，

再由點F到直線PA,PB的距離相等可得心A+%加=0,由此代入式子即可求得點p坐標(biāo)，

再考慮斜率不存在的情況即可

【小問1詳解】

由題意得，c=2,

2-丄=1

所以〃，所以標(biāo)=1，庁=3,

a2+b2=4

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為光2-22=1；

3

【小問2詳解】

假設(shè)存尸（〃,0）,設(shè)A（x,,y）,s（x,,y2）,

由題意知，直線斜率不為0,設(shè)直線AB:x=sy+2（m。。）,

x=iny+2

聯(lián)立一2消去x,得（3療一1）9+12収y+9=0,

3

則3加2—1H0，△=(12機一4x9(3機2—1)=36(，〃2+1)>0,

12/n9

且M+%=

3Z/72-13m2

因為使得點F到直線PA,PB的距離相等，所以尸尸是/APB的角平分線,

則統(tǒng)+%=0,即+_'：=0,則y(，硏+2―〃)+%(色1+2)=0,

X]幾X?染

整理得2陽]必+(2—〃)(y+%)=°，故2mx9.-(2二“尸2"’=0'

3m-13m-1

即3加一2加(2—〃)=0,因為〃zwO,所以〃=；,此時

當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)拋物線的對稱性，易得尸(；,0)也能讓點尸到直線出，PB

的距離相等；

綜上所述，故存在滿足題意

21.已知函數(shù)/(1)=6網(wǎng)-3以2-x-1.

(1)當(dāng)“21時，證明：對任意的xNO,都有〃x)2o；

(2)證明：>21n(〃+l)-〃ln2(ZeN",〃eN").

k=lk

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】證明四'"之a(chǎn)(ax+l),所以/'(x)=oe'"一我一1之(4—1)(以+1)20,求函數(shù)

〃力疝之°即可.

根據(jù)21n(〃+l)=2(ln：+lng+lng++In一)原題可以轉(zhuǎn)化證明

〃1〃(1、〃-\(1A2

21nl+v-E,n2-也就是證明〃>-1+-結(jié)合第一問可得.

jt=ikk=\'k)k=\2\k)

【小問1詳解】

設(shè)函數(shù)g(x)=e*-x-l,g'(x)=e'-1,x>0.-.^,(x)=el-l>0

???g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，.?.g(x)2g(O)=e°-O—l=O,即e-X+1

又因為/'(x)=ae'"-ar-l?a(ov+l)-(ax+l)=(a-D(izx+l),因為aNl,x>0

所以(。一1)(儂+1)20,即/'(X)20在［0,+“)恒成立，所以

/(x)>/(O)=e°-O-O-1=O,得證.

【小問2詳解】

=>,21n,"+1,而〃ln2=Zln2,欲證>，丄>21n(〃+2(ZeN",〃eN")

k=\kk=iA=1k

即證>￡21/1〉21n2,也就是證對VkwN7>21n［1+7］—ln2即可.

Hk閣l女丿Mk\k)

1\(1V11/1\2

即證￡>ln-1+-,即證人>丄1+丄,觀察可知與〃司有關(guān)系，

由(1)知a=l時/(x)=e*—gx?—x—120對尤20恒成立

即e"2丄J+x+i〉丄*2+%+丄=丄(%+］)2,故％=丄得/>丄。+丄］證畢.

2222'丿k2(Z丿

(-)選考題：共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做,

則按所做的第一個題目計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

X—y/S+yj3t

22.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線/的參數(shù)方程為〈(/為參數(shù)).以坐標(biāo)原

。=2+，

點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為

夕一』=4sin6

P

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與y軸交于點4,與曲線C交于M,N兩點，求WT+W■丁的值.

【答案】⑴l:x-島C:x2+(y-2)2=9

17

(2)

64

【解析】

艾=DCOS0

【分析】（1）通過直線的參數(shù)方程，通過消參得到直線的普通方程；通過《.八將曲

y=psmO

線C化成直角坐標(biāo)即可.

（2）首先求出點A的坐標(biāo)，再利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將直線/代入曲線C的

直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.

【小問1詳解】

因為直線/的參數(shù)方程為《（f為參數(shù)），

y=2+t

所以直線/的普通方程為x-百y+6=0；

己知曲線C的極坐標(biāo)方程為夕一（=4sin。，化簡整理得：p2-4