專題08利用導數研究函數的性質

專題08利用導數研究函數的性質專題08利用導數研究函數的性質一、導數與函數的單調性在內可導函數，在任意子區(qū)間內都不恒等于0.在上為增函數．在上為減函數．二、利用導數研究函數的單調性的方法步驟：①確定函數f(x)的定義域；②求導數f'③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相應的x的取值范圍，當f'(x)>0時，特別提醒：討論函數的單調性或求函數的單調區(qū)間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則．三、導數與函數的極值1．函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．2．函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．3.特別提醒：(1)函數f(x)在處有極值的必要不充分條件是f′()＝0，極值點是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是極值點(例如，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點)．(2)極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質．極值點是函數在區(qū)間內部的點，不會是端點．四、導數與函數的最值1．函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2.若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．3．求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值．(2)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．五、常用結論1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．2.可導函數y＝f(x)的導數為f′(x)，若f′(x)為增函數，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數，則f(x)的圖象是上凸的．3．在某區(qū)間內f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數的充分不必要條件．4．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內都不恒為零．5．若函數f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．6．若函數f(x)在[a，b]上是單調函數，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值．7．若函數f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個極值點，則相應的極值點一定是函數的最值點．題型一判斷或證明函數的單調性【典例1】【多選題】（2023下·高二課時練習）如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在區(qū)間上是減函數B．在區(qū)間上是減函數C．在區(qū)間上是增函數D．在區(qū)間上是增函數【答案】AC【分析】根據函數的導函數圖象，即可逐項判斷.【詳解】對A：由導函數的圖象知在區(qū)間上，，故在區(qū)間上單調遞減，故A項正確；對B、D：在區(qū)間，上分別有大于零和小于零的部分，故在區(qū)間，上不單調，故B、D項錯誤；對C：在區(qū)間上，，所以函數在區(qū)間上單調遞增，故D項正確.故選:AC.【典例2】（2021·全國·高考真題（文））已知函數．（1）討論的單調性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【解析】【分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論導函數的符號即可確定原函數的單調性；(2)首先求得導數過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數的解析式可得：，導函數的判別式，當時，在R上單調遞增，當時，的解為：，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增；綜上可得：當時，在R上單調遞增，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【規(guī)律方法】1.利用導數證明或判斷函數單調性的思路求函數f(x)的導數f′(x)：(1)若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞增；(2)若f′(x)<0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞減；(3)若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數函數，不具有單調性．2.解決含參數的函數的單調性問題應注意兩點(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數的單調區(qū)間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為0的點和函數的間斷點．3.當f(x)含參數時，需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．討論的標準有以下幾種可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定義域內；(3)若在定義域內有兩個根，比較兩個根的大小．4.特別提醒：易錯點是忽視函數的定義域.題型二：求函數的單調區(qū)間【典例3】（2023上·遼寧·高三?？计谥校┮阎瘮档亩x域為，導函數為，且，則的單調遞增區(qū)間為．【答案】【分析】另，則，根據已知條件求出的解析式，進而求出結果.【詳解】因為函數的定義域為，另，則，所以，即，又，則，則，當取等號，所以在單調遞增.故答案為：【點睛】方法點睛：利用構造函數的常見方法得出，則，根據已知條件求出的解析式，進而求出結果.【典例4】（2023上·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學?？茧A段練習）已知函數，且.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的單調區(qū)間.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）對函數求導，根據已知求得，再由導數幾何意義求切線方程；（2）由（1）有，令求增區(qū)間即可.【詳解】（1）由題設，則，所以且，則，，所以點處的切線方程為，即.（2）由（1），當，即或，故在區(qū)間，上遞增，所以的增區(qū)間為，.【總結提升】1．利用導數求函數f(x)的單調區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根據(3)的結果確定函數f(x)的單調區(qū)間．2．若y＝f(x)在(a，b)內可導，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)內導數為0的點僅有有限個，則y＝f(x)在(a，b)內仍是單調函數，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上單調遞增．3.溫馨提醒：所求函數的單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．題型三利用函數的單調性解不等式【典例5】（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中學校考期末）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判定是偶函數，再判定在上單調遞增，在上單調遞減，從而將不等式轉化為，再解不等式可得答案.【詳解】因為，且函數的定義域為，所以是偶函數.當時，因為函數，所以.令，則.因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.因為，所以，即在上單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增.因為函數是偶函數，所以在上單調遞減.所以不等式等價于，兩邊平方得，化為，即，解得.所以不等式的解集為.故選：A【典例6】（2023·河南·統考模擬預測）已知定義在上的函數滿足為的導函數，當時，，則不等式的解集為.【答案】【分析】構造函數，由已知條件得在上是偶函數，然后根據其單調性從而可求解.【詳解】令，所以，因為，所以，化簡得，所以在上是偶函數，因為，因為當，，所以，在區(qū)間上單調遞增，又因為為偶函數，所有在上單調遞減，由，得，又因為，所以，所以，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：.【總結提升】1.比較大小或解不等式的思路方法(1)根據導數計算公式和已知的不等式構造函數，利用不等關系得出函數的單調性，即可確定函數值的大小關系，關鍵是觀察已知條件構造出恰當的函數．(2)含有兩個變元的不等式，可以把兩個變元看作兩個不同的自變量，構造函數后利用單調性確定其不等關系．2.構造函數解不等式或比較大小一般地，在不等式中若同時含有f(x)與f′(x)，常需要通過構造含f(x)與另一函數的和、差、積、商的新函數，再借助導數探索新函數的性質，進而求出結果．常見構造的輔助函數形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→.題型四比較函數值大小【典例7】（2022·全國·高考真題（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由結合三角函數的性質可得；構造函數，利用導數可得，即可得解.【詳解】因為,因為當所以,即,所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A【典例8】（2023上·湖南長沙·高二長郡中學校考階段練習）定義在上的可導函數，滿足，且，若，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合條件求導可得在上為減函數，由其單調性即可判斷的大小關系.【詳解】由已知可得：，令，則，且，再令，則，當時，為增函數；當時，為減函數；，在上恒成立；在上為減函數；又因為故令，當時，為增函數；故選：C題型五根據函數的單調性求參數范圍【典例9】（2023上·福建三明·高三校聯考期中）已知函數，則在上不單調的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，令，根據在上不單調，由在上有變號零點求解.【詳解】，令，因為在上不單調，在上有變號零點，即在上有變號零點，當時，，不成立；當時，只需，即，解得或，所以在上不單調的充要條件是或，所以在上不單調的一個充分不必要條件是，故選：B【典例10】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習）知函數在上存在遞增區(qū)間，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】求出函數的導數，然后導數在區(qū)間上有解即可.【詳解】由題意得的定義域為，所以，因為函數在區(qū)間上存在遞增區(qū)間，即在區(qū)間上能成立，即，設，開口向上，對稱軸為，所以當時，單調遞增，所以，所以，則，即.故答案為：.【規(guī)律方法】1.兩個基本思路(1)將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“＝”時是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“＝”時f(x)是否滿足題意．2．恒成立問題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．題型六根據函數的單調區(qū)間求參數范圍【典例11】（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據在上恒成立，再根據分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．【典例12】（2023上·河南·高三校聯考階段練習）若函數的圖象在區(qū)間上單調遞增，則實數的最小值為．【答案】【分析】利用函數的單調性轉化為在區(qū)間上恒成立，構造函數，利用導數求最小值即可求得即.【詳解】因為，所以．由的圖象在區(qū)間上單調遞增，可知不等式即在區(qū)間上恒成立．令，則，當時，，所以在上單調遞減，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故實數a的取值范圍為，則a的最小值為．故答案為：【總結提升】由函數的單調性求參數的取值范圍的方法(1)可導函數在區(qū)間(a，b)上單調，實際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關于參數的不等式，從而轉化為求函數的最值問題，求出參數的取值范圍．(2)可導函數在區(qū)間(a，b)上存在單調區(qū)間，實際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉化為不等式問題，求出參數的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I上含有參數時，可先求出f(x)的單調區(qū)間，令I是其單調區(qū)間的子集，從而求出參數的取值范圍．題型七利用導數研究函數的圖象【典例13】（2021·浙江·統考高考真題）已知函數，則圖象為如圖的函數可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數的奇偶性可排除A、B，結合導數判斷函數的單調性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除A；對于B，，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.【典例14】（2023下·內蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習）已知是函數的導數．若的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據導數的圖象可知其正負，判斷函數的單調性，結合選項，即可得答案.【詳解】由的圖象可知當和時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，結合選項，可知C中圖象符合題意，故選：C【規(guī)律方法】函數圖象的辨識主要從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.題型八利用導數求函數的極值【典例15】（2023上·河南·高三校聯考期中）已知函數，且曲線在點處的切線l與直線相互垂直．(1)求l的方程；(2)求的極值．【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）根據題意，得到，求得，得到，結合導數的幾何意義，即可求解；（2）由（1）得，求得函數的單調區(qū)間，進而求得函數的極值.【詳解】（1）解：由函數，可得，因為曲線在點處的切線l與直線相互垂直，可得，解得，所以又因為，故所求切線方程為，即．（2）解：由（1）可知，，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以函數在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，故的極大值為，極小值為．【典例16】（2022上·貴州遵義·高二校聯考期末）已知函數(1)當時，求函數的極值；(2)若函數在區(qū)間上是減函數，求實數的取值范圍；【答案】(1)極小值為1，無極大值(2)【分析】（1）求定義域，求導，根據導函數求出單調區(qū)間，從而得到極值情況；（2）由題意得在區(qū)間上，參變分離，構造函數，求出最小值，得到答案.【詳解】（1）時，，定義域為，，令，解得，令，解得，故在處取得極小值，，的極小值為，無極大值.（2）在區(qū)間上為減函數，∴在區(qū)間上，，令，只需，顯然在區(qū)間上為減函數，，【規(guī)律總結】1.求函數f(x)極值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．2.求極值問題主要有兩種類型，一是由圖象求極值，二是求具體函數的極值.題型九求函數極值點【典例17】（2023上·廣東東莞·高三校考階段練習）若函數，則的極大值點為.【答案】2【分析】求導，得到的解，進而得到函數單調性，求出極大值點.【詳解】，令，解得或6，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在取得極大值，故極大值點為2.故答案為：2【典例18】（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習）已知函數，則的極大值點為，極大值為.【答案】2e2ln2【分析】首先求函數的導數，并求，并判斷函數的單調區(qū)間，再求函數的極值點和極值.【詳解】易求，，所以，則，因此，，由得，由得.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．因此的極大值點為，極大值為.故答案為：；題型十求函數極值點的個數【典例19】（2023上·陜西漢中·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)若在處的切線與x軸平行，求實數a的值；(2)是否存在極值點，若存在，求出極值點；若不存在，請說明理由.【答案】(1)1(2)答案見解析【分析】（1）由在處的切線與x軸平行得，解方程得的值；（2）先求導數，再對進行分類，利用導數研究函數的單調性，進而討論是否存在極值點.【詳解】（1）由，得，∵在處的切線與x軸平行，∴，解得.（2）函數的定義域為，.當時，對任意的，都，此時函數在上單調遞增，無極值點；當時，令，可得，由，可得，由，可得.此時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數在處取得極小值，無極大值.綜上所述，當時，函數無極值點；當時，函數的極小值點為，無極大值點.【典例20】（2024·四川遂寧·統考一模）已知函數.(1)若，判斷在上的單調性，并說明理由；(2)當，探究在上的極值點個數.【答案】(1)時，在上單調遞增.理由見解析.(2)當時，在上的極值點個數為0；當時，在上的極值點個數為1.【分析】（1）求的導函數，根據時，導函數的符號，判斷函數的單調性；（2）求的導函數，將探究的極值點個數問題，轉化為探究的變號零點個數，再求的導函數，對a分類討論，得到的極值點個數.【詳解】（1）時，，，，，所以在上單調遞增.（2）由，得，依題意，只要探究在上的變號零點個數即可，令，，則，(Ⅰ)當，即時，，此時在上恒成立，則即單調遞增，，在上無零點，在上的極值點個數為0.(Ⅱ)當，即時，，使得，即，當，；當，，所以即在上單調遞增，在上單調遞減，由于，，若，即時，在上無零點，在上的極值點個數為0.若，即時，在上有1個變號零點，在上的極值點個數為1.綜上所述，當時，在上的極值點個數為0；當時，在上的極值點個數為1.題型十一根據函數極值（點）研究參數【典例21】（2024·全國·模擬預測）已知函數的導函數，若是函數的極大值點，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根據的極值點得到矛盾，有兩個不同的零點，利用三次函數性質判斷單調性，進而求參數范圍.【詳解】由題意，令，若恒成立，易知：當時，當時，所以是的極小值點，不合題意，故有兩個不同零點．設的兩個零點分別為，則，結合三次函數的圖象與性質知：，在、上，單調遞減，在、上，單調遞增，是的極大值點，符合題意，此時需，得，所以實數的取值范圍為．故選：D【點睛】方法點睛：對于三次函數，易知，當時，若，則在上單調遞增，若，則在上單調遞減；當時，若，則的大致圖象如圖1所示，若，則的大致圖象如圖2所示．【典例22】（2023·上海嘉定·統考一模）對于函數，在處取極值，且該函數為奇函數，求ab=【答案】/1.5【分析】由函數在處取極值得，求出a的值并檢驗，再由函數為奇函數，利用奇函數定義求出b的值，即可求出的值.【詳解】由題，因為函數在處取極值，所以，所以.檢驗：當時，的根為或當時，，當時，；當時，，所以函數在處取極值，成立.故.又該函數為奇函數，所以對定義域內任意都成立，即對任意都成立所以，故.故答案為：.【總結提升】已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，注意以下兩點：(1)根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．(2)因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證充分性．題型十二根據函數極值點個數研究參數【典例23】（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習）若是函數的兩個極值點，且，則實數的取值范圍是【答案】【分析】由題意，對函數進行求導，將轉化為方程的兩個正根，利用韋達定理及判別式得到，，結合對數的運算性質得到的表達式，解出不等式即可.【詳解】因為，所以函數的定義域為，可得，若是函數的兩個極值點，則方程，有兩個不同的正根，易得，且，解得，所以，解得，結合，故實數的取值范圍是，故答案為：.【典例24】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知函數，其中且．若存在兩個極值點，，則實數a的取值范圍為．【答案】【分析】根據函數存在兩個極值點，得出導函數存在兩個不同的變號零點，研究導函數的零點，即，令，，分和兩種情況討論，根據與有兩個交點，求出過原點的切線，比較過原點的切線的斜率與斜率，得出關于兩斜率的不等式求解即可.【詳解】對函數求導得：，因為存在兩個極值點，所以有兩個不同的變號零點．令，有，令，，所以與有兩個交點；當時，，，設過原點的直線與的切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為：，將原點坐標帶入切線方程得．此時切線的斜率為：，現在需要有兩個交點，即，因為，有，所以，所以；同理知當時，，，即，所以．綜上知：的取值范圍為．故答案為：【總結提升】討論極值點有無(個數)問題，轉化為討論f′(x)＝0根的有無(個數)．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數的值或范圍，特別注意：極值點處的導數為0，而導數為0的點不一定是極值點，要檢驗極值點兩側導數是否異號．題型十三利用導數研究函數的最值【典例25】（2021·全國·高考真題）函數的最小值為______.【答案】1【解析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.【典例26】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習）設曲線在點處的切線方程為（其中，a，，是自然對數的底數）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)最大值為，最小值為0【分析】（1）根據切線斜率和切點在切線上列式計算即可；（2）利用導數求出函數的單調區(qū)間，然后比較端點值和極值即可求解最值.【詳解】（1）由得，依題可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，則，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.又，，，，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【規(guī)律方法】1.求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：第一步求函數的定義域；第二步，求函數在(a，b)內的極值；第三步，求函數在區(qū)間端點處的函數值f(a)，f(b)；第四步，將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．2．求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值．3.二次求導！當導函數y＝f′(x)無法判斷正負時，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判斷g(x)＝f′(x)的單調性，再根據單調性確定y＝f′(x)的正負號．題型十四含參數的函數最值問題【典例27】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統考期末）若為函數的極值點，則函數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由為函數的極值點求得a，再利用導數法求解.【詳解】，因為是函數的極值點，所以，則，所以，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以．故選：C【典例28】（2022上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎瘮?，．(1)討論函數的單調性；(2)求函數在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；【分析】（1）求出導函數，分類討論確定和的解，得單調性；（2）結合（1）的單調性分類討論得最小值．【詳解】（1）的定義域是，，時，恒成立，在上是減函數；時，時，，時，，所以在上是減函數，在上是增函數，綜上，時，在上是減函數；時，在上是減函數，在上是增函數．（2）由（1）當時，在上遞減，；時，即時，在上遞減，；，即時，在上是減函數，在上是增函數，．綜上，或時，，時，．【規(guī)律方法】1．由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區(qū)間上的單調性的變化，從而導致最值的變化，故含參數時，需注意是否分類討論．2．已知函數最值求參數，可先求出函數在給定區(qū)間上的極值及函數在區(qū)間端點處的函數值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值，結合已知求出參數，進而使問題得以解決．題型十五根據函數的最值研究參數【典例29】（2023下·廣東江門·高二校考期中）函數（m為常數）在上有最大值，那么．【答案】【分析】利用導數求得函數在區(qū)間上的單調性，得到最大值為，結合題意，即可求解.【詳解】由函數，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，因為函數在區(qū)間上的最大值為，所以.故答案為：.【典例30】（2023上·高二課時練習）已知函數在上的最小值為，求a的值.【答案】1【分析】利用導數求含參函數的最值，結合，分類研究的單調性，由單調性求在上的最值，建立關于的方程求解即可.【詳解】由，，得，當時，當時，，則在上單調遞增，，不合題意；當時，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，，解得，不滿足，故舍去；當時，當時，，則在上單調遞減，，所以，滿足題意.綜上所述，.題型十六函數極值、最值的圖象信息問題【典例31】（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習）如圖是函數的導函數的圖象，給出下列命題：①是函數的極值點；②是函數的最小值；③在處切線的斜率小于零；④在區(qū)間上單調遞增．則正確命題的序號是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據導數的幾何意義與函數的單調性，極值點的關系結合圖象即可判斷.【詳解】由題知，根據，可以確定函數的增區(qū)間，減區(qū)間以及切線斜率的正負，由導函數的圖象可得，當時，，，3的左邊負右邊正，兩邊互為異號，所以在上為減函數，上為增函數，由此可得：①是函數的極值點；④在區(qū)間上單調遞增，這兩個結論正確.②是函數的最小值；③在處切線的斜率小于零，這兩個結論錯誤.故選：B.【典例32】【多選題】（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習）設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A．有兩個極值點 B．為函數的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值【答案】BC【分析】根據的圖象，得到的單調性和極值情況，得到答案.【詳解】根據的圖象，可得當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，AC選項，在和1處取得極小值，在處取得極大值，共3個極值點，A錯誤，C正確；B選項，為函數的極大值，B正確；D選項，不為函數的極小值，D錯誤.故選：BC【總結提升】有關給出圖象研究函數性質的題目，要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象，若給的是f(x)的圖象，應先找出f(x)的單調區(qū)間及極(最)值點，如果給的是f′(x)的圖象，應先找出f′(x)的正負區(qū)間及由正變負還是由負變正，然后結合題目特點分析求解．題型十七函數極值與最值的綜合問題【典例33】（2021·北京高考真題）已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數的值，然后利用導數分析函數的單調性與極值，由此可得出結果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.【典例34】（2023上·山西呂梁·高三校聯考階段練習）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若函數有兩個極值點，，求當a為何值時，取得最大值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出函數導數，通過對導數中的分類討論，研究函數值的符號，得出函數正負，求出原函數的單調區(qū)間；（2）根據函數的極值點得出，化簡，利用導數求何時取最大值.【詳解】（1）由，得．令，則，，當，即時，恒成立，則，所以在上是減函數．當，即或．（i）當時，恒成立，從而，所以在上是減函數．（ii）當時，函數有兩個零點：，，列表如下：—0+0—減函數極小值增函數極大值減函數綜上，當時，的減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是，．（2）由（1）知，當時，有兩個極值點，，，則，是方程的兩個根，從而，，由韋達定理，得，．又，所以，令，，，則，當時，；當時，，則在上是增函數，在上是減函數，從而，由知，又，解得，所以當時，取得最大值．【總結提升】求解函數極值與最值綜合問題的策略(1)求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數時，要討論參數的大小范圍．(2)求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值．一、選擇題：1．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學校聯考期中）已知函數的導函數是，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析的單調性，即可得到的單調性及變化趨勢，即可判斷.【詳解】由題知且不恒等于，又在上單調遞減，在上單調遞增，在定義域上單調遞增，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即當時，的值由小變大，再由大變小，即函數圖象從左到右是單調遞增，且變化趨勢是先慢后快再變慢.故選：B.2.（2023下·甘肅天水·高二校考期中）設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則下列不是導函數圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABC【分析】利用導函數的正負與函數單調性的關系，即可判斷選項.【詳解】由函數單調遞增，，函數單調遞減，，(不恒為0),由圖可知，當時，函數單調遞增，所以對應的導函數，故AC不是導函數的圖象；當時，圖象是先增，再減，再增，所以導函數的圖象應先正數，零點，再負數，零點，再正數，故B不是導函數的圖象.故選：ABC3．（2023上·山東棗莊·高三棗莊市第三中學?？茧A段練習）若函數在其定義域內的一個子區(qū)間內不是單調函數，則實數k的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數研究函數的極值點，令極值點屬于已知區(qū)間即可.【詳解】所以時遞減，時，遞增，是極值點，因為函數在其定義域內的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內不是單調函數，所以，即，故選：B.4.（2023上·江蘇常州·高二統考期末）函數的單調減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導數，利用導數小于0可得答案.【詳解】函數的定義域為，，由得，所以的單調減區(qū)間為.故選：D.5.（2022·全國·高考真題（理））當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】根據題意可知，即可解得，再根據即可解出．【詳解】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.二、多選題6．（2023·全國·統考高考真題）若函數既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數的導數，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數的定義域為，求導得，因為函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根