數(shù)學(xué)基本概念 修正版

數(shù)學(xué)基本概念作者：張易第一修正版復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù)a+bi,這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開根）。

若兩個復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算與實數(shù)的運(yùn)算基本上沒有區(qū)別，最主要的是在運(yùn)算中將i^2=－1結(jié)合到實際運(yùn)算過程中去。（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）減法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；b)復(fù)數(shù)的除法：復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算，由于兩個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù)，因此復(fù)數(shù)的除法可以通過將分母實化得到，即.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)（4）四則運(yùn)算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。（5）特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：①

(n為整數(shù))的周期性運(yùn)算；②(1±i)^2=±2i；復(fù)數(shù)z=a+bi的模，|a|=,且=a^2+b^2.

共軛復(fù)數(shù)定義：對于復(fù)數(shù)z=a+bi，稱復(fù)數(shù)=a-bi為z的共軛復(fù)數(shù)。即兩個實部相等，虛部（虛部不等于0）互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)(conjugatecomplexnumber）。復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作ˊ

。表示方法為在字母z上方加一橫線即共軛符號。

復(fù)數(shù)根據(jù)定義，若z=a+bi(a，b∈R），則

ˊ=a－bi（a,b∈R）。共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實軸對稱.在復(fù)平面上。表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于X軸對稱.而這一點(diǎn)正是"共軛"一詞的來源。兩頭牛平行地拉一部犁，它們的肩膀上要共架一個橫梁，這橫梁就叫做"軛".共軛復(fù)數(shù)有些有趣的性質(zhì)：(1)︱a+bi︱=︱a-bi︱(2)(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2(3)若z=a+bi，則

，

=2a為實數(shù)，

=2bi為純虛數(shù)(b≠0).參數(shù)方程

參數(shù)方程

直線與橢圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？d>rd<rd=r?>0?<0?=0幾何法：代數(shù)法：判斷它們之間的位置關(guān)系？能用幾何法嗎？

不能！因為他們不像圓一樣有統(tǒng)一的半徑。所以只能用代數(shù)法----求解直線與二次曲線有關(guān)問題的通法。直線與二次曲線相交弦長的求法

1、直線與圓相交的弦長A（x1,y1）dr2、直線與其它二次曲線相交的弦長（1）聯(lián)立方程組（2）消去y（3）利用弦長公式:（記得前面代工式）|AB|=k表示直線(弦)的斜率，x1、x2表示弦的兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)，一般由韋達(dá)定理求得x1+x2與x1·x2通法B（x2,y2）設(shè)而不求例題已知點(diǎn)F是橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)

(1)作傾斜角為300的直線，則弦長|AB|=_______,(2)過F且垂直于x軸的直線所截得的弦長是_______

2通徑:最短的焦點(diǎn)弦3、弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法：（1）代入法---聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；（2）點(diǎn)差法---設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。1、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價條件；2、弦長的計算方法：（1）垂徑定理：|AB|=（只適用于圓）（2）弦長公式：

|AB|=（適用于任何曲線）

（3）焦點(diǎn)弦公式：(左焦點(diǎn))|AB|=2a+e(x1+x2)；(右焦點(diǎn))|AB|=2a-e(x1+x2)(適用于橢圓中過焦點(diǎn)的弦)立體幾何一、平行與垂直關(guān)系的論證由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應(yīng)用中：低一級位置關(guān)系判定高一級位置關(guān)系；高一級位置關(guān)系推出低一級位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。四個判定定理：①若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。②如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。③如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。四個性質(zhì)定理：①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。③垂直于同一平面的兩條直線平行。④兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?/p>

唯一性結(jié)論：

三類角1.三類角的定義：（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°

二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有關(guān)的角；（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角；（4）計算大小。

異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：一、線線角：直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：二、線面角：l將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角的大小為，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范圍：ll三、面面角：二面角的范圍：②法向量法注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角小結(jié)：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

lDCBA3.二面角：ll一進(jìn)一出，二面角等于法向量的夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角。推理這種由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡稱;歸納)⑴對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑶檢驗猜想。歸納推理的一般步驟：

歸納推理的幾個特點(diǎn);1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上.歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.需證明在兩類不同事物之間進(jìn)行對比,找出若干相同或相似點(diǎn)之后,推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式,稱為類比推理.(簡稱;類比)類比推理的幾個特點(diǎn);1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠,單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.合情推理-類比推理演繹推理．從一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，稱為演繹推理．注：１．演繹推理是由一般到特殊的推理；２．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情況；⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.2.三段論是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情況;(3)結(jié)論根據(jù)一般原理,對殊情況做出的判斷.特M是P，S是M，所以，S是P。☆用集合論的觀點(diǎn)看,三段論的依據(jù)是:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.MSa演繹推理錯誤的主要原因（1）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的條件反證法綜合法分析法特點(diǎn)由因索果由果索因條件充分條件不要條件格式P→Q1→Q2→...→Qn→QQ←P1←P2←...←Pn←P關(guān)系解答個一般方式解法的探討實際證題過程，分析與綜合是統(tǒng)一運(yùn)用的P→Q1→Q2→...→Qn→

Q←Pn←...←P2←P1←P1.定義：從命題的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。2、反證法的基本思路：只要證明所求證的結(jié)論不成立是錯誤的，從而肯定求證的結(jié)論是成立的。

3.反證法證題的基本步驟假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立；從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

歸謬矛盾：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）可能與臨時假設(shè)矛盾；（4）自相矛盾。反證法的一般適用情形：（1）結(jié)論為否定性命題；（2）結(jié)論為“至少”、“至多”類命題；（3）結(jié)論為“唯一”類命題；（4）結(jié)論為“有無窮多個”類命題。數(shù)學(xué)歸納法3．用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟：①驗證命題對第一個正整數(shù)n＝n0時成立．②假設(shè)命題當(dāng)n＝k(k≥n0)時成立，證明n＝k＋1時命題成立．則由①②可知對一切n≥n0的正整數(shù)命題成立．整個證題過程可簡記為：一驗、二設(shè)、三證、四總結(jié)．由k到k＋1這一步，要善于分析題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，常用分析、添項、拆項、作差等方法．排列組合排列定義

從n個不同的元素中，取r個不重復(fù)的元素，按次序排列，稱為從n個中取r個的無重排列。排列的全體組成的集合用P(n,r)表示。排列的個數(shù)用P(n,r)表示。當(dāng)r=n時稱為全排列。一般不說可重即無重?？芍嘏帕械南鄳?yīng)記號為P(n,r),P(n,r)。注：P=A組合定義從n個不同元素中取r個不重復(fù)的元素組成一個子集，而不考慮其元素的順序，稱為從n個中取r個的無重組合。組合的全體組成的集合用C(n,r)表示，組合的個數(shù)用C(n,r)表示，對應(yīng)于可重組合有記號C(n,r),C(n,r)。1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)1．乘法原理2．合理分步的要求

任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同僅僅有條件概率一、條件概率 定義：

由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。例如：二項式這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做