第五章誤差理論與數(shù)據(jù)處理解析_第1頁
第五章誤差理論與數(shù)據(jù)處理解析_第2頁
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文檔簡介

數(shù)字測圖原理及方法PrincipleandMethodsofDigitalMapping第五章誤差理論與數(shù)據(jù)處理5.1誤差理論5.2誤差傳播定律及應(yīng)用5.3權(quán)及權(quán)倒數(shù)傳播定律5.4數(shù)據(jù)處理理論基礎(chǔ)5.1誤差理論

前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集,要用到各種儀器(經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、測距儀),要由人進(jìn)行操作,要在某種環(huán)境中工作,這些因素都會使采集到的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確,即數(shù)據(jù)中有誤差。

例如:1)、距離測量誤差

2)、角度測量誤差

3)、高差測量誤差

5.1誤差理論ABD往D返理論上:

D往=

D返

實測中:D往≠

D返1)距離測量誤差測量上一般要求:D往-

D返/D<=1/K(K=2000,4000,…..),測量成果才合格.ABC理論上:∠A+∠B+∠C=180

實測中:A+∠B+∠C≠180理論上:∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360

實測中:∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12)角度測量誤差理論上:hAB+hBA=0

實測中:hAB+hBA

≠0P1P4P3P2h1Ah3h23)高差測量誤差Bh4理論上:h1+h2+h3+h4=0

實測中:h1+h2+h3+h4≠0一、觀測誤差產(chǎn)生的原因觀測條件二、觀測誤差的種類①系統(tǒng)誤差②偶然誤差③粗差三、偶然誤差的特性四、衡量精度的指標(biāo)

1、觀測誤差:指被觀測值(或其函數(shù))與未知量的真實值(或函數(shù)的理論值)間的差值。

觀測誤差=觀測值-真值一般用符號△表示。即:△=L觀–L理

=L-X一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因真值:代表觀測值L真正大小的數(shù)值,用X表示。真誤差:觀測值L與真值X之間的差值,用△表示。

=L–X一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因測量上真值如何得到:△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0(1)測量儀器:儀器構(gòu)造上無法達(dá)到理論上的要求;例如水準(zhǔn)測量時,水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不水平,會對水準(zhǔn)測量結(jié)果影響等.(2)觀測者:人的感官上的局限性、操作技能、工作態(tài)度;

儀器的安置\瞄準(zhǔn)\讀數(shù)(3)外界條件:觀測時所處的外界環(huán)境,如風(fēng)力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。

儀器、人和環(huán)境,總稱為觀測條件。

一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因2、產(chǎn)生的原因-----觀測條件一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因2、產(chǎn)生的原因-----觀測條件觀測成果的精確度稱為“精度”。如果使用的儀器是同一個精密等級,操作人員有相同的工作經(jīng)驗和技能,工作環(huán)境的自然條件(氣溫、風(fēng)力、濕度等等)基本一致,則稱為相同的觀測條件。在相同的觀測條件下,由于測量時產(chǎn)生偶然誤差的因素大體相同,因此測量所得結(jié)果的精度也是相等的,故稱此時的測量為同精度觀測或等精度觀測。

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。

1.系統(tǒng)誤差:在相同觀測條件下,對某一觀測量進(jìn)行多次觀測,若各觀測誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性,或者具有一定的規(guī)律性,或為一常數(shù),這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如:1)、鋼尺量距,鋼尺的名義長度為30m,而鑒定后的實際長度為30.006m,測量時,每量一個整尺,就比實際長度小0.006m,這種誤差的大小與所量的直線長度成正比,而且正負(fù)號始終一致.系統(tǒng)誤差二、誤差的種類測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。

1.系統(tǒng)誤差:在相同觀測條件下,對某一觀測量進(jìn)行多次觀測,若各觀測誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性,或者具有一定的規(guī)律性,或為一常數(shù),這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如:2)、定線誤差:

傳統(tǒng)的距離測量中,距離較長,需要進(jìn)行分段丈量.必須進(jìn)行直線定線.LAB-SAB>0

系統(tǒng)誤差二、誤差的種類即當(dāng)直線距離超過一個尺段時,需進(jìn)行直線定線.LAB

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。1.系統(tǒng)誤差:在相同觀測條件下,對某一觀測量進(jìn)行多次觀測,若各觀測誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性,或者具有一定的規(guī)律性,或為一常數(shù),這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如:3)、水準(zhǔn)儀I角對測量高差的影響

二、誤差的種類iABSASB水準(zhǔn)管軸視準(zhǔn)軸b1bi水準(zhǔn)儀I角對測量高差的影響---系統(tǒng)誤差SA=SB時,△hAB=0aa1

總結(jié):系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對觀測值進(jìn)行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱.

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。2.偶然誤差:在相同觀測條件下,對一觀測量進(jìn)行多次觀測,若各觀測誤差在大小和符號上表現(xiàn)出偶然性,即單個誤差而言,該誤差的大小和符號沒有規(guī)律性,但就大量的誤差而言,具有一定的統(tǒng)計規(guī)律,這種誤差就稱為偶然誤差。例如:1)、距離測量二、誤差的種類D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No1.71.61.5

1591中絲讀數(shù):15921593例如:2)、讀數(shù)誤差(水準(zhǔn)測量)總結(jié):

偶然誤差不可避免,通過多余觀測,利用數(shù)理統(tǒng)計理論處理,可以求得參數(shù)的最佳估值.例如:3)、照準(zhǔn)誤差例如:4)、整平誤差

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。3.粗差(錯誤):由于觀測條件的不好,使得觀測值中含有的誤差較大或超過了規(guī)定的數(shù)值,這種誤差就稱為粗差。例如:已知點有誤,往返高差相差懸殊。二、誤差的種類

通常,測量中需要進(jìn)行多余觀測。應(yīng)當(dāng)剔除觀測值中的粗差,利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差消除或減弱到可以忽略不計,使觀測值主要含有偶然誤差,從而利用數(shù)理統(tǒng)計方法求得觀測值的最可靠值。

總結(jié):在測量工作中,一般需要進(jìn)行多余觀測,發(fā)現(xiàn)粗差,將其剔除或重測。

通過對大量的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析后,特別是當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時,可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性:1、在一定的觀測條件下,偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值-----超限數(shù)為零;有限性2、絕對值較小的偶然誤差比絕對值大的出現(xiàn)的可能性要大

-----小誤差大概率:集中性

3、絕對值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等

-----正負(fù)相等;對稱性

4、當(dāng)觀測次數(shù)無窮增多時,偶然誤差的算術(shù)平均值為零

----平均理論。抵償性三、偶然誤差的特性其中【例】在相同的觀測條件下,觀測了217個三角形的全部內(nèi)角。AiBiCi三角形內(nèi)角和真誤差:△i=∠Ai+∠Bi+∠Ci-180i=1,2,3…..217

-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△(vi/n)/3△每一誤差區(qū)間上方的長方形面積,代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)直方圖誤差分布曲線正態(tài)分布曲線的特性:1、是偶函數(shù)。這就是偶然誤差的第三特性。對稱性2、愈小,愈大。有最大值

△當(dāng)△=0時橫軸是曲線的漸近線,這就是偶然誤差的第一、二特性曲線有兩個拐點,橫坐標(biāo)為:當(dāng)愈小時,曲線愈陡峭,誤差分布比較集中當(dāng)愈大時,曲線愈平緩,誤差分布比較分散參數(shù)的大小反映了一組觀測值誤差分布的密集和離散程度。稱為方差稱為標(biāo)準(zhǔn)差(方根差或均方根差)四、衡量精度的指標(biāo)精度指的是一組觀測值誤差分布的密集或分散的程度。1、標(biāo)準(zhǔn)差和中誤差1)標(biāo)準(zhǔn)差四、衡量精度的指標(biāo)2)、中誤差:

標(biāo)準(zhǔn)差的一個估值。

在相同觀測條件下進(jìn)行一組觀測,得出的每個觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個觀測值的真差不同,但中誤差是相同的。例:2002級的某班的3個小組,在相同觀測條件下進(jìn)行四等水準(zhǔn)測量。第1個小組測得閉合差為+2mm,第2個小組測得閉合差為-6mm,第三個小組測得閉合差為0。試判斷哪一組觀測精度高?精度相同

小,精度高

大,精度低觀測條件誤差分布觀測值精度四、衡量精度的指標(biāo)中誤差四、衡量精度的指標(biāo)2、容許誤差(限差)通常取標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍(或三倍)作為觀測值的容許誤差。實際中常用中誤差代替標(biāo)準(zhǔn)差。即即大于2倍中誤差的真誤差,出現(xiàn)的可能性為5%即大于3倍中誤差的真誤差,出現(xiàn)的可能性為0.3%四、衡量精度的指標(biāo)精度不相同3、相對誤差通常是用來衡量和距離有關(guān)的觀測量的精度的好壞。例:測量兩條直線,一條100m,另一條50m,其中誤差均為

10mm試問兩條直線的觀測精度相同嗎?哪條直線的觀測精度高?100m的直線的觀測精度高相對中誤差,相對真誤差和相對極限誤差。5.2誤差傳播定律及應(yīng)用一、誤差傳播定律問題的提出:在上節(jié)討論了如何根據(jù)同精度的觀測值的真誤差來評定觀測值精度的問題。許多未知量是不能直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數(shù),那么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中誤差呢?

闡述觀測值中誤差和觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。

1、倍數(shù)的函數(shù)

設(shè)有函數(shù)z=kxz:觀測值的函數(shù),x為觀測值,k為常數(shù)(1)真誤差的關(guān)系式為:若對x觀測了n次則:(2)將上式平方得:(3)求和,并除以n(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式觀測值與常數(shù)乘積的中誤差,等于觀測值中誤差乘以常數(shù)2、和或差的函數(shù)

設(shè)有函數(shù)z=x

yz:觀測值的函數(shù),x、y為獨立觀測值(1)真誤差的關(guān)系式為:若對x、y觀測了n次則:(2)將上式平方得:(3)求和,并除以n(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式兩觀測值代數(shù)和的中誤差,等于兩觀測值中誤差的平方和。由于x,y為獨立觀測值,因此n趨近無窮時,[ΔxΔy]/n=02、和或差的函數(shù)

n個觀測值代數(shù)和的中誤差,等于n個觀測值中誤差的平方和。n個同精度觀測值代數(shù)和的中誤差,與觀測值個數(shù)n的平方根成正比。2、和或差的函數(shù)

水準(zhǔn)測量中觀測高差的中誤差,與距離S的平方根成正比。水準(zhǔn)測量中觀測高差的中誤差,與測站數(shù)n的平方根成正比。3、線性函數(shù)

應(yīng)用倍數(shù)函數(shù)、和差函數(shù)的誤差傳播定律可得4、一般函數(shù)(非線性函數(shù))

設(shè)有函數(shù)z=f()為獨立觀測值(1)求偏導(dǎo)真誤差的關(guān)系式為:(2)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式:4、一般函數(shù)(非線性函數(shù))

例一:設(shè)有函數(shù)z=S?sin

解:注意單位的統(tǒng)一4、一般函數(shù)(非線性函數(shù))

例二:設(shè)有函數(shù):Z=X+Y,Y=3X解:注:由于X和Y不是獨立觀測值總結(jié)

應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的中誤差時,可歸納以下幾步:1、列出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分,得出函數(shù)的真誤差和觀測值真誤差的關(guān)系式4、寫出函數(shù)的中誤差觀測值中誤差之間的的關(guān)系式3、獨立性的判斷注意單位的統(tǒng)一誤差傳播定的幾個主要公式:函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)返回設(shè)未知量的真值為X,觀測值的真誤差為將上式相加稱為算術(shù)平均值,是未知量的最或然值算術(shù)平均值的中誤差為觀測值的中誤差的倍二、誤差傳播定律及應(yīng)用=n

L1

x因為n

L2

n

Ln

…1、算術(shù)平均值及其中誤差

二、誤差傳播定律及應(yīng)用1、算術(shù)平均值及其中誤差例:對某段距離同精度測量了4次試求該段距離的最或然值及其中誤差解:二、誤差傳播定律及應(yīng)用1、算術(shù)平均值及其中誤差二、誤差傳播定律及應(yīng)用2、雙觀測值及其中誤差

對同一個量所進(jìn)行的兩次觀測稱為雙觀測對。有一組量x1,x2,。。。。Xn,對該量各觀測兩次,L1‘,L2’,。。。。Ln‘L1’’,L2’’,。。。。Ln’’

di=0-(Li‘-Li”)二、誤差傳播定律及應(yīng)用2、雙觀測值及其中誤差5.3權(quán)及權(quán)倒數(shù)傳播定律一廣義算術(shù)平均值如果對某個未知量進(jìn)行n次同精度觀測,則其最或然值即為n次觀測量的算術(shù)平均值:一廣義算術(shù)平均值在相同條件下對某段長度進(jìn)行兩組丈量:第一組第二組

算術(shù)平均值分別為一廣義算術(shù)平均值其中誤差分別為:一廣義算術(shù)平均值全部同精度觀測值的最或然值為:一廣義算術(shù)平均值在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小,稱為的權(quán)。令一廣義算術(shù)平均值若有不同精度觀測值其權(quán)分別為該量的最或然值可擴充為:稱之為廣義算術(shù)平均值。當(dāng)各觀測值精度相同時二、權(quán)定權(quán)的基本公式:稱為中誤差,為單位權(quán)觀測值,當(dāng)觀測值稱為單位權(quán),單位權(quán)中誤差??梢?,用中誤差衡量精度是絕對的,而用權(quán)衡量精度是相對的,即權(quán)是衡量精度的相對標(biāo)準(zhǔn)。二、權(quán)權(quán)的特性1反映了觀測值的相互精度關(guān)系。

3

不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小,而在于相互的比例關(guān)系。值的大小,對X值毫無影響。2二、權(quán)4若同類量的觀測值,此時,權(quán)無單位。若是不同類量的觀測值,權(quán)是否有單位不能一概而論,而視具體情況而定。二、權(quán)例:已知L1,L2,L3,的中誤差分別為:設(shè)2516

,1

,916321=¢=¢=¢

p

pP設(shè)二、權(quán)1水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)例:常用定權(quán)公式當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時,水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)路線分別觀測了3,4,6,5測站:二、權(quán)令c=3,令c=4,二、權(quán)

水準(zhǔn)路線的長分別為設(shè)每公里水準(zhǔn)測量觀測的中誤差為二、權(quán)當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時,水準(zhǔn)路線觀測的權(quán)與路線長度成反比。二、權(quán)二、權(quán)當(dāng)S=C=10公里的水準(zhǔn)路線的觀測高差為單位權(quán)觀測。每測站觀測高差精度相同時:每公里觀測高差精度相同時:二、權(quán)例對某角作三組同精度觀測:第一組測4測回,算術(shù)平均值為

第二組測6測回,算術(shù)平均值為第三組測8測回,算術(shù)平均值為2不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。二、權(quán)由不同個數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值,其權(quán)與觀測值個數(shù)成正比。二、權(quán)令二、權(quán)

水準(zhǔn)測量中,當(dāng)每測站高差中誤差相同時,則各條水準(zhǔn)路線高差觀測值的權(quán)與測站成反比

水準(zhǔn)測量中,當(dāng)每公里高差中誤差相同時,則各條水準(zhǔn)路線高差觀測值的權(quán)與路線長度成反比總結(jié)二、權(quán)角度測量中,當(dāng)每測回角度觀測中誤差相同時,各角度觀測值的權(quán)與其測回數(shù)成正比

距離測量中,當(dāng)單位距離測量的中誤差相同時,各段距離觀測值的權(quán)與其長度成反比。二、權(quán)三權(quán)倒數(shù)傳播定律內(nèi)容總結(jié)廣義算術(shù)平均值:

定權(quán)的基本公式:

權(quán)

權(quán)的特點

常用定權(quán)公式:5.4數(shù)據(jù)處理理論基礎(chǔ)一、數(shù)據(jù)處理的任務(wù)和原則1、數(shù)據(jù)處理的任務(wù)任何一種測量,其觀測結(jié)果都會存在誤差(主要考慮偶然誤差)的影響,由于這種誤差的影響,使得對同一量進(jìn)行多次觀測所得的結(jié)果都不會相同,也不等于理論數(shù)值。測量數(shù)據(jù)處理的任務(wù):——“消除差異”,求出觀測量的最或然值(平差值)——評定精度一、數(shù)據(jù)處理的任務(wù)和原則2、數(shù)據(jù)處理的原則存在矛盾如何消除,采用什么樣的原則消除才是合理的,這就是數(shù)據(jù)處理的原則,即最小二乘原理。[VV]=V12+V22+V32+……

+Vn2=min[PVV]=P1V12+P2V22+P3V32+……

+PnVn2=minL=L+V平差值觀測值改正數(shù)二、直接平差根據(jù)對同一個量的多次觀測結(jié)果,確定最或然值并評定精度的過程,稱為直接平差。1.算術(shù)平均值設(shè)L1,L2,…

Ln

為一組獨立觀測值,根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則,其最或然值x必須滿足:

[vv]=(x-L1)2+(x-L2)2+…+(x-Ln)2=min

求[vv]對x的一階和二階導(dǎo)數(shù):

二、直接平差

這說明,在等精度觀測條件下,未知量的最或然值就是算術(shù)平均值?;蛘哒f,算術(shù)平均值是滿足最小二乘準(zhǔn)則條件下,等精度觀測值的最或然值。二、直接平差用改正數(shù)計算觀測值中誤差的公式,稱為白塞爾公式二、直接平差2、加權(quán)平均值

一列觀測值L1,L2,…,Ln,,其精度值分別為m1,m2,…mn,選定一個精度值m,并

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