第五章誤差理論與數(shù)據(jù)處理解析

數(shù)字測圖原理及方法PrincipleandMethodsofDigitalMapping第五章誤差理論與數(shù)據(jù)處理5.1誤差理論5.2誤差傳播定律及應(yīng)用5.3權(quán)及權(quán)倒數(shù)傳播定律5.4數(shù)據(jù)處理理論基礎(chǔ)5.1誤差理論

前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集，要用到各種儀器(經(jīng)緯儀、水準(zhǔn)儀、測距儀），要由人進(jìn)行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會(huì)使采集到的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，即數(shù)據(jù)中有誤差。

例如：1）、距離測量誤差

2）、角度測量誤差

3）、高差測量誤差

5.1誤差理論ABD往D返理論上：

D往=

D返

實(shí)測中：D往≠

D返1）距離測量誤差測量上一般要求:D往-

D返/D<=1/K(K=2000,4000,…..),測量成果才合格.ABC理論上：∠A+∠B+∠C=180

實(shí)測中：A+∠B+∠C≠180理論上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4=360

實(shí)測中：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4≠360L2L3L4ABCDL12）角度測量誤差理論上：hAB+hBA=0

實(shí)測中：hAB+hBA

≠0P1P4P3P2h1Ah3h23）高差測量誤差Bh4理論上：h1+h2+h3+h4=0

實(shí)測中：h1+h2+h3+h4≠0一、觀測誤差產(chǎn)生的原因觀測條件二、觀測誤差的種類①系統(tǒng)誤差②偶然誤差③粗差三、偶然誤差的特性四、衡量精度的指標(biāo)

1、觀測誤差：指被觀測值(或其函數(shù))與未知量的真實(shí)值(或函數(shù)的理論值)間的差值。

觀測誤差=觀測值-真值一般用符號(hào)△表示。即：△=L觀–L理

=L-X一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因真值：代表觀測值L真正大小的數(shù)值，用X表示。真誤差:觀測值L與真值X之間的差值，用△表示。

△

=L–X一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因測量上真值如何得到:△=(D往-

D返)–0

△=(A+B+C)–180△=(L1+L2+L3+L4)–360

△=(hAB+hBA)–0△=(h1+h2+

h1+h2)–0（1）測量儀器：儀器構(gòu)造上無法達(dá)到理論上的要求；例如水準(zhǔn)測量時(shí),水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不水平,會(huì)對(duì)水準(zhǔn)測量結(jié)果影響等.（2）觀測者：人的感官上的局限性、操作技能、工作態(tài)度；

儀器的安置\瞄準(zhǔn)\讀數(shù)（3）外界條件：觀測時(shí)所處的外界環(huán)境，如風(fēng)力、溫度、日照、濕度、氣壓、大氣折光等。

儀器、人和環(huán)境，總稱為觀測條件。

一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因2、產(chǎn)生的原因-----觀測條件一、觀測誤差及其產(chǎn)生的原因2、產(chǎn)生的原因-----觀測條件觀測成果的精確度稱為“精度”。如果使用的儀器是同一個(gè)精密等級(jí)，操作人員有相同的工作經(jīng)驗(yàn)和技能，工作環(huán)境的自然條件（氣溫、風(fēng)力、濕度等等）基本一致，則稱為相同的觀測條件。在相同的觀測條件下，由于測量時(shí)產(chǎn)生偶然誤差的因素大體相同，因此測量所得結(jié)果的精度也是相等的，故稱此時(shí)的測量為同精度觀測或等精度觀測。

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。

1.系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，對(duì)某一觀測量進(jìn)行多次觀測，若各觀測誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者具有一定的規(guī)律性，或?yàn)橐怀?shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如：1）、鋼尺量距，鋼尺的名義長度為30m，而鑒定后的實(shí)際長度為30.006m,測量時(shí),每量一個(gè)整尺,就比實(shí)際長度小0.006m,這種誤差的大小與所量的直線長度成正比,而且正負(fù)號(hào)始終一致.系統(tǒng)誤差二、誤差的種類測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。

1.系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，對(duì)某一觀測量進(jìn)行多次觀測，若各觀測誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者具有一定的規(guī)律性，或?yàn)橐怀?shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如：2）、定線誤差:

傳統(tǒng)的距離測量中,距離較長,需要進(jìn)行分段丈量.必須進(jìn)行直線定線.LAB-SAB>0

系統(tǒng)誤差二、誤差的種類即當(dāng)直線距離超過一個(gè)尺段時(shí)，需進(jìn)行直線定線.LAB

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。1.系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，對(duì)某一觀測量進(jìn)行多次觀測，若各觀測誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者具有一定的規(guī)律性，或?yàn)橐怀?shù)，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如：3）、水準(zhǔn)儀I角對(duì)測量高差的影響

二、誤差的種類iABSASB水準(zhǔn)管軸視準(zhǔn)軸b1bi水準(zhǔn)儀I角對(duì)測量高差的影響---系統(tǒng)誤差SA=SB時(shí)，△hAB=0aa1

總結(jié):系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對(duì)觀測值進(jìn)行改正或者采用一定的測量方法加以抵消或消弱.

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。2.偶然誤差：在相同觀測條件下，對(duì)一觀測量進(jìn)行多次觀測，若各觀測誤差在大小和符號(hào)上表現(xiàn)出偶然性，即單個(gè)誤差而言，該誤差的大小和符號(hào)沒有規(guī)律性，但就大量的誤差而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差就稱為偶然誤差。例如：1)、距離測量二、誤差的種類D9.59.49.79.59.69.39.29.6

0.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567Δ

No1.71.61.5

1591中絲讀數(shù)：15921593例如:2）、讀數(shù)誤差(水準(zhǔn)測量)總結(jié):

偶然誤差不可避免，通過多余觀測，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論處理，可以求得參數(shù)的最佳估值.例如:3）、照準(zhǔn)誤差例如:4）、整平誤差

測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同,可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差、粗差。3.粗差（錯(cuò)誤）：由于觀測條件的不好，使得觀測值中含有的誤差較大或超過了規(guī)定的數(shù)值，這種誤差就稱為粗差。例如：已知點(diǎn)有誤，往返高差相差懸殊。二、誤差的種類

通常，測量中需要進(jìn)行多余觀測。應(yīng)當(dāng)剔除觀測值中的粗差，利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差消除或減弱到可以忽略不計(jì)，使觀測值主要含有偶然誤差，從而利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法求得觀測值的最可靠值。

總結(jié)：在測量工作中，一般需要進(jìn)行多余觀測，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測。

通過對(duì)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，特別是當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時(shí)，可以得出偶然誤差具有以下的規(guī)律性：1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值-----超限數(shù)為零；有限性2、絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值大的出現(xiàn)的可能性要大

-----小誤差大概率：集中性

3、絕對(duì)值相等的正負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的可能性相等

-----正負(fù)相等；對(duì)稱性

4、當(dāng)觀測次數(shù)無窮增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值為零

----平均理論。抵償性三、偶然誤差的特性其中【例】在相同的觀測條件下，觀測了217個(gè)三角形的全部內(nèi)角。ＡｉＢｉＣｉ三角形內(nèi)角和真誤差:△ｉ＝∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180i=1,2,3…..217

-27-24-21-18-15-12-9-6-30369121518212427(vi/n)△(vi/n)/3△每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)直方圖誤差分布曲線正態(tài)分布曲線的特性：1、是偶函數(shù)。這就是偶然誤差的第三特性。對(duì)稱性2、愈小，愈大。有最大值

△當(dāng)△=0時(shí)橫軸是曲線的漸近線，這就是偶然誤差的第一、二特性曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，橫坐標(biāo)為：當(dāng)愈小時(shí)，曲線愈陡峭，誤差分布比較集中當(dāng)愈大時(shí)，曲線愈平緩，誤差分布比較分散參數(shù)的大小反映了一組觀測值誤差分布的密集和離散程度。稱為方差稱為標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）四、衡量精度的指標(biāo)精度指的是一組觀測值誤差分布的密集或分散的程度。1、標(biāo)準(zhǔn)差和中誤差1）標(biāo)準(zhǔn)差四、衡量精度的指標(biāo)2）、中誤差:

標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估值。

在相同觀測條件下進(jìn)行一組觀測，得出的每個(gè)觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個(gè)觀測值的真差不同，但中誤差是相同的。例：2002級(jí)的某班的3個(gè)小組，在相同觀測條件下進(jìn)行四等水準(zhǔn)測量。第1個(gè)小組測得閉合差為+2mm,第2個(gè)小組測得閉合差為-6mm,第三個(gè)小組測得閉合差為0。試判斷哪一組觀測精度高？精度相同

小，精度高

大，精度低觀測條件誤差分布觀測值精度四、衡量精度的指標(biāo)中誤差四、衡量精度的指標(biāo)2、容許誤差（限差）通常取標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍（或三倍）作為觀測值的容許誤差。實(shí)際中常用中誤差代替標(biāo)準(zhǔn)差。即即大于2倍中誤差的真誤差，出現(xiàn)的可能性為5%即大于3倍中誤差的真誤差，出現(xiàn)的可能性為0.3%四、衡量精度的指標(biāo)精度不相同3、相對(duì)誤差通常是用來衡量和距離有關(guān)的觀測量的精度的好壞。例:測量兩條直線，一條100m，另一條50m，其中誤差均為

10mm試問兩條直線的觀測精度相同嗎？哪條直線的觀測精度高？100m的直線的觀測精度高相對(duì)中誤差，相對(duì)真誤差和相對(duì)極限誤差。5.2誤差傳播定律及應(yīng)用一、誤差傳播定律問題的提出：在上節(jié)討論了如何根據(jù)同精度的觀測值的真誤差來評(píng)定觀測值精度的問題。許多未知量是不能直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數(shù)，那么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？

闡述觀測值中誤差和觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。

1、倍數(shù)的函數(shù)

設(shè)有函數(shù)z=kxz:觀測值的函數(shù)，x為觀測值，k為常數(shù)(1)真誤差的關(guān)系式為：若對(duì)x觀測了n次則：(2)將上式平方得：(3)求和，并除以n(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘以常數(shù)2、和或差的函數(shù)

設(shè)有函數(shù)z=x

yz:觀測值的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測值(1)真誤差的關(guān)系式為：若對(duì)x、y觀測了n次則：(2)將上式平方得：(3)求和，并除以n(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式兩觀測值代數(shù)和的中誤差，等于兩觀測值中誤差的平方和。由于x,y為獨(dú)立觀測值，因此n趨近無窮時(shí)，[ΔxΔy]/n=02、和或差的函數(shù)

n個(gè)觀測值代數(shù)和的中誤差，等于n個(gè)觀測值中誤差的平方和。n個(gè)同精度觀測值代數(shù)和的中誤差，與觀測值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。2、和或差的函數(shù)

水準(zhǔn)測量中觀測高差的中誤差，與距離S的平方根成正比。水準(zhǔn)測量中觀測高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。3、線性函數(shù)

應(yīng)用倍數(shù)函數(shù)、和差函數(shù)的誤差傳播定律可得4、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）

設(shè)有函數(shù)z=f()為獨(dú)立觀測值(1)求偏導(dǎo)真誤差的關(guān)系式為：(2)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式：4、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）

例一：設(shè)有函數(shù)z=S?sin

解：注意單位的統(tǒng)一4、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）

例二：設(shè)有函數(shù)：Z=X+Y，Y=3X解：注：由于X和Y不是獨(dú)立觀測值總結(jié)

應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的中誤差時(shí)，可歸納以下幾步：1、列出函數(shù)式2、對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差和觀測值真誤差的關(guān)系式4、寫出函數(shù)的中誤差觀測值中誤差之間的的關(guān)系式3、獨(dú)立性的判斷注意單位的統(tǒng)一誤差傳播定的幾個(gè)主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)返回設(shè)未知量的真值為X，觀測值的真誤差為將上式相加稱為算術(shù)平均值，是未知量的最或然值算術(shù)平均值的中誤差為觀測值的中誤差的倍二、誤差傳播定律及應(yīng)用=n

L1

x因?yàn)閚

L2

n

Ln

…1、算術(shù)平均值及其中誤差

二、誤差傳播定律及應(yīng)用1、算術(shù)平均值及其中誤差例：對(duì)某段距離同精度測量了4次試求該段距離的最或然值及其中誤差解：二、誤差傳播定律及應(yīng)用1、算術(shù)平均值及其中誤差二、誤差傳播定律及應(yīng)用2、雙觀測值及其中誤差

對(duì)同一個(gè)量所進(jìn)行的兩次觀測稱為雙觀測對(duì)。有一組量x1，x2，。。。。Xn，對(duì)該量各觀測兩次，L1‘，L2’，。。。。Ln‘L1’’，L2’’，。。。。Ln’’

di=0-（Li‘-Li”）二、誤差傳播定律及應(yīng)用2、雙觀測值及其中誤差5.3權(quán)及權(quán)倒數(shù)傳播定律一廣義算術(shù)平均值如果對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)行n次同精度觀測，則其最或然值即為n次觀測量的算術(shù)平均值：一廣義算術(shù)平均值在相同條件下對(duì)某段長度進(jìn)行兩組丈量：第一組第二組

算術(shù)平均值分別為一廣義算術(shù)平均值其中誤差分別為：一廣義算術(shù)平均值全部同精度觀測值的最或然值為：一廣義算術(shù)平均值在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，稱為的權(quán)。令一廣義算術(shù)平均值若有不同精度觀測值其權(quán)分別為該量的最或然值可擴(kuò)充為：稱之為廣義算術(shù)平均值。當(dāng)各觀測值精度相同時(shí)二、權(quán)定權(quán)的基本公式：稱為中誤差，為單位權(quán)觀測值，當(dāng)觀測值稱為單位權(quán)，單位權(quán)中誤差?？梢?，用中誤差衡量精度是絕對(duì)的，而用權(quán)衡量精度是相對(duì)的，即權(quán)是衡量精度的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。二、權(quán)權(quán)的特性1反映了觀測值的相互精度關(guān)系。

3

不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系。值的大小，對(duì)X值毫無影響。2二、權(quán)4若同類量的觀測值，此時(shí)，權(quán)無單位。若是不同類量的觀測值，權(quán)是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。二、權(quán)例：已知L1,L2,L3,的中誤差分別為：設(shè)2516

,1

,916321=￠=￠=￠

p

pP設(shè)二、權(quán)1水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)例：常用定權(quán)公式當(dāng)各測站觀測高差的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與測站數(shù)成反比。四條水準(zhǔn)路線分別觀測了3,4,6,5測站：二、權(quán)令c=3,令c=4,二、權(quán)

水準(zhǔn)路線的長分別為設(shè)每公里水準(zhǔn)測量觀測的中誤差為二、權(quán)當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測的權(quán)與路線長度成反比。二、權(quán)二、權(quán)當(dāng)S=C=10公里的水準(zhǔn)路線的觀測高差為單位權(quán)觀測。每測站觀測高差精度相同時(shí)：每公里觀測高差精度相同時(shí)：二、權(quán)例對(duì)某角作三組同精度觀測：第一組測4測回，算術(shù)平均值為

第二組測6測回，算術(shù)平均值為第三組測8測回，算術(shù)平均值為2不同個(gè)數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值的權(quán)。二、權(quán)由不同個(gè)數(shù)的同精度觀測值求得的算術(shù)平均值，其權(quán)與觀測值個(gè)數(shù)成正比。二、權(quán)令二、權(quán)

水準(zhǔn)測量中，當(dāng)每測站高差中誤差相同時(shí)，則各條水準(zhǔn)路線高差觀測值的權(quán)與測站成反比

水準(zhǔn)測量中，當(dāng)每公里高差中誤差相同時(shí)，則各條水準(zhǔn)路線高差觀測值的權(quán)與路線長度成反比總結(jié)二、權(quán)角度測量中，當(dāng)每測回角度觀測中誤差相同時(shí)，各角度觀測值的權(quán)與其測回?cái)?shù)成正比

距離測量中，當(dāng)單位距離測量的中誤差相同時(shí)，各段距離觀測值的權(quán)與其長度成反比。二、權(quán)三權(quán)倒數(shù)傳播定律內(nèi)容總結(jié)廣義算術(shù)平均值：

定權(quán)的基本公式：

權(quán)

權(quán)的特點(diǎn)

常用定權(quán)公式：5.4數(shù)據(jù)處理理論基礎(chǔ)一、數(shù)據(jù)處理的任務(wù)和原則1、數(shù)據(jù)處理的任務(wù)任何一種測量,其觀測結(jié)果都會(huì)存在誤差(主要考慮偶然誤差)的影響,由于這種誤差的影響,使得對(duì)同一量進(jìn)行多次觀測所得的結(jié)果都不會(huì)相同,也不等于理論數(shù)值。測量數(shù)據(jù)處理的任務(wù)：——“消除差異”，求出觀測量的最或然值（平差值）——評(píng)定精度一、數(shù)據(jù)處理的任務(wù)和原則2、數(shù)據(jù)處理的原則存在矛盾如何消除，采用什么樣的原則消除才是合理的，這就是數(shù)據(jù)處理的原則，即最小二乘原理。[VV]=V12+V22+V32+……

+Vn2=min[PVV]=P1V12+P2V22+P3V32+……

+PnVn2=minL=L+V平差值觀測值改正數(shù)二、直接平差根據(jù)對(duì)同一個(gè)量的多次觀測結(jié)果，確定最或然值并評(píng)定精度的過程，稱為直接平差。1.算術(shù)平均值設(shè)L1,L2,…

Ln

為一組獨(dú)立觀測值，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，其最或然值x必須滿足：

[vv]=(x-L1)2+(x-L2)2+…+(x-Ln)2=min

求[vv]對(duì)x的一階和二階導(dǎo)數(shù)：

二、直接平差

這說明，在等精度觀測條件下，未知量的最或然值就是算術(shù)平均值?；蛘哒f，算術(shù)平均值是滿足最小二乘準(zhǔn)則條件下，等精度觀測值的最或然值。二、直接平差用改正數(shù)計(jì)算觀測值中誤差的公式，稱為白塞爾公式二、直接平差2、加權(quán)平均值

一列觀測值L1，L2，…，Ln,，其精度值分別為m1,m2,…mn，選定一個(gè)精度值m,并