平面幾何中的圓與圓周角

平面幾何中的圓與圓周角圓的基本性質(zhì)與定義圓周角定理及其推論圓的切線(xiàn)性質(zhì)與判定圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定圓心角、弧、弦之間關(guān)系及應(yīng)用綜合應(yīng)用舉例與解題技巧contents目錄圓的基本性質(zhì)與定義01平面上所有與定點(diǎn)（圓心）距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合。定義圓由圓心、半徑和圓周上的點(diǎn)組成。元素圓的定義及元素圓的中心，通常用字母$O$表示。圓心從圓心到圓周上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段，通常用字母$r$表示。半徑通過(guò)圓心且兩端點(diǎn)都在圓周上的線(xiàn)段，其長(zhǎng)度是半徑的兩倍，用字母$d$表示。直徑圓心、半徑和直徑圓上兩點(diǎn)間的部分。根據(jù)長(zhǎng)度可分為優(yōu)弧、劣弧和半圓?；∠覉A心角連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段。最長(zhǎng)的弦是直徑。頂點(diǎn)在圓心的角，其大小由所截取的弧長(zhǎng)決定。030201弧、弦與圓心角圓關(guān)于其圓心對(duì)稱(chēng)，即對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，都存在一個(gè)關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)也在圓上。圓關(guān)于經(jīng)過(guò)圓心的任意直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即該直線(xiàn)將圓分為兩個(gè)完全相同的部分。圓的對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)性中心對(duì)稱(chēng)性圓周角定理及其推論02圓周角是由兩條弦與它們所夾的弧所構(gòu)成的角。圓周角定理描述的是這種角與圓心角之間的關(guān)系。定義在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。定理內(nèi)容圓周角定理內(nèi)容如果兩個(gè)圓周角是由同一條弧所夾，則這兩個(gè)圓周角相等。應(yīng)用此推論常用于證明兩個(gè)角相等，特別是在涉及圓的幾何問(wèn)題中。推論1：同弧所對(duì)圓周角相等內(nèi)容如果一個(gè)圓周角是由半圓或直徑所夾，那么這個(gè)圓周角是直角。應(yīng)用此推論在解決涉及直角和圓的問(wèn)題時(shí)非常有用，特別是在需要確定某個(gè)角是否為直角時(shí)。推論2：半圓或直徑所對(duì)圓周角為直角內(nèi)容如果一個(gè)圓周角是90°，那么它所對(duì)的弦是圓的直徑。應(yīng)用這個(gè)推論提供了一種確定給定圓中某條弦是否為直徑的方法，即通過(guò)測(cè)量與之相關(guān)的圓周角的度數(shù)。推論3：90°圓周角所對(duì)弦為直徑圓的切線(xiàn)性質(zhì)與判定03切線(xiàn)是與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)。定義切線(xiàn)到圓心的距離等于圓的半徑。性質(zhì)切線(xiàn)的定義及性質(zhì)切線(xiàn)的判定方法距離判定若直線(xiàn)到圓心的距離等于圓的半徑，則該直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。交點(diǎn)判定若直線(xiàn)與圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。切線(xiàn)與半徑垂直關(guān)系圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。垂直關(guān)系若直線(xiàn)垂直于圓的半徑，則該直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。逆定理VS從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，且這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。應(yīng)用該定理可用于解決與切線(xiàn)長(zhǎng)度、切線(xiàn)夾角相關(guān)的問(wèn)題，如計(jì)算切線(xiàn)長(zhǎng)度、證明線(xiàn)段相等或角平分等。切線(xiàn)長(zhǎng)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理及應(yīng)用圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定04四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。包括四個(gè)頂點(diǎn)、四條邊、兩個(gè)對(duì)角線(xiàn)和四個(gè)內(nèi)角。定義元素內(nèi)接四邊形定義及元素性質(zhì)描述圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即兩個(gè)對(duì)角的角度之和等于180度。證明方法可以通過(guò)弦切角定理或圓周角定理進(jìn)行證明。內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)性質(zhì)性質(zhì)描述圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角。要點(diǎn)一要點(diǎn)二證明方法可以通過(guò)圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明。內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角性質(zhì)

內(nèi)接四邊形判定方法方法一如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形。方法二如果一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形。方法三如果一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊的乘積相等，則這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形。這個(gè)判定方法可以通過(guò)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明。圓心角、弧、弦之間關(guān)系及應(yīng)用05在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角也相等。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。圓心角與弧對(duì)應(yīng)關(guān)系在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角也相等。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弦的垂直平分線(xiàn)所夾銳角的二倍。圓心角與弦對(duì)應(yīng)關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等?；〉亩葦?shù)等于它所對(duì)弦的垂直平分線(xiàn)所夾銳角的二倍。在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等。弧與弦對(duì)應(yīng)關(guān)系及應(yīng)用舉例弧與弦對(duì)應(yīng)關(guān)系及應(yīng)用舉例01應(yīng)用舉例021.利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決幾何問(wèn)題，如證明線(xiàn)段相等、角相等、弧相等等問(wèn)題。032.在實(shí)際生活中，可以利用這些關(guān)系計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題，如計(jì)算圓形花壇的周長(zhǎng)和面積、計(jì)算圓形零件的尺寸等。043.在物理、化學(xué)等其他學(xué)科中，也可以利用這些關(guān)系解決一些實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度、向心力等問(wèn)題。綜合應(yīng)用舉例與解題技巧06例題2在圓O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)P，且AP=4cm，PB=3cm，CP=2cm，DP=12cm，求∠APB的度數(shù)。例題1已知圓O的半徑為5cm，弦AB的長(zhǎng)度為8cm，求弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)。例題3已知圓O的直徑AB=10cm，C是AB上一點(diǎn)，且AC=4cm，D是圓O上一點(diǎn)，且CD=5cm，求∠ADC的度數(shù)。典型例題解析利用圓周角定理及其推論求解。在解題過(guò)程中，要注意圓周角定理及其推論的使用條件，以及如何利用已知條件構(gòu)造出所需的圖形。解題思路1利用相似三角形求解。在解題過(guò)程中，要注意觀察圖形中的相似三角形，并利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。解題思路2利用圓的性質(zhì)求解。在解題過(guò)程中，要注意利用圓的性質(zhì)，如弦切角定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理等，進(jìn)行求解。解題思路3解題思路與方法總結(jié)熟練掌握?qǐng)A周角定理及其推論。在解題過(guò)程中，能夠快速準(zhǔn)確地應(yīng)用圓周角定理及其推論，可以大大提高解題效率。技巧1善于觀察圖形中的相似三角形。在解題過(guò)程中，能夠善于觀察