2023年高考立體幾何知識點總結(jié)詳細

高考立體幾何知識點總結(jié)

一、空間幾何體

（一）空間幾何體的類型

1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的

面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。

2旋轉(zhuǎn)體：把一種平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其

中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

（二）幾種空間幾何體口勺構(gòu)造特性

1、棱柱的構(gòu)造特性

1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其他各面都是四邊

形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些

面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2棱柱日勺分類

斜棱柱

①棱柱?底面足正多龍，正棱柱

梭垂直山氐血?直棱柱4

其他棱柱…

底而曷四動形底而曷平行四邊形

---------------?---------------?

棱柱四棱柱平行六面體

側(cè)捺垂育干廟面底面杲矩形

---------?

直平行六面體長方體

底面曷正方形捺長都相等

---------?

正四棱柱正方體

性質(zhì):

I、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等;

II、兩底面是全等多邊形且互相平行;

III、平行于底面的截面和底面全等；

側(cè)棱

底面

1.3棱柱口勺面積和體積公式

S直棱柱側(cè)=M（c是底周長，/i是圖）

S直棱柱表面=c?h+2s底

V棱柱=S底?h

2、棱錐的構(gòu)造特性

2.1棱錐的定義

（1）棱錐：有一種面是多邊形，其他各面是有一種公共頂點日勺三角形，由這

些面所圍成的幾何體叫做棱錐。

（2）正棱錐：假如有一種棱錐日勺底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底

面的中心，這樣日勺棱錐叫做正棱錐。

2.2正棱錐日勺構(gòu)造特性

I、平行于底面日勺截面是與底面相似日勺正多邊形，相似比等于頂點到截面的距

離與頂點究竟面日勺距離之比；它們面積日勺比等于截得日勺棱錐日勺高與原棱錐的高日勺

平方比；截得的棱錐日勺體積與原棱錐日勺體積日勺比等于截得的棱錐日勺高與原棱錐的

高的立方比;

II、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；

正四面體:

對于棱長為a正四面體日勺問題可將它補成一種邊長為-a日勺正方體問題。

對棱間日勺距離為手a（正方體日勺邊長）

正四面體日勺（=§/正方體體對角線）

正四面體的體積為今a3（V正方體-4匕、三棱錐=；V正方體）

JLND

正四面體的中心究竟面與頂點皿離之比為三（=/方體體對角線。正方體體對角線）

3、棱臺的構(gòu)造特性

3.1棱臺的定義：用一種平行于底面日勺平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的

部分稱為棱臺。

3.2正棱臺日勺構(gòu)造特性

（1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等日勺等腰梯形；

（2）正棱臺日勺兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；

（3）正棱臺日勺對角面也是等腰梯形；

（4）各側(cè)棱的延長線交于一點。

4、圓柱的構(gòu)造特性

4.1圓柱日勺定義：以矩形的一邊所在日勺直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成日勺曲

面所圍成的幾何體叫圓柱。

4.2圓柱的I性質(zhì)

（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；

（2）過軸的截面（軸截面）是全等日勺矩形。

4.3圓柱日勺側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊日勺矩

形。

4.4圓柱的I面積和體積公式

S圓柱側(cè)面=271?r?h（r為底面半徑，h為圓柱的;高）

2

S圓柱至=2兀rh+2兀r

2

V圓柱=S底卜=7irh

5、圓錐的構(gòu)造特性

5.1圓錐日勺定義：以直角三角形的一直角邊所在的直

線為旋轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾

何體叫做圓錐。

5.2圓錐日勺構(gòu)造特性

*B

（）平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面

1‘底面

直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點究竟面日勺距

離之比;

（2）軸截面是等腰三角形;

圖1-5圓錐

（3）母線的平方等于底面半徑與高日勺平方和：

I2=r2+h2

5.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐日勺側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑

日勺扇形。

6、圓臺的構(gòu)造特性

6.1圓臺日勺定義：用一種平行于底面日勺平面去截圓錐，我們把截面和底面之間

的部分稱為圓臺。

6.2圓臺日勺構(gòu)造特性

⑴圓臺日勺上下底面和平行于底面的截面都是圓；

⑵圓臺日勺截面是等腰梯形；

⑶圓臺常常補成圓錐，然后運用相似三角形進行研究。

6.3圓臺日勺面積和體積公式

S圓合惻=兀?（R+r）?1（r>R為上下底面半徑）

S圓臺全=兀?F+兀?R2+兀?（R+。?1

V圓臺=1/3（兀F+兀R?+兀rR）h（h為圓

臺的I高）一一球面

球7/箍\\

7球的構(gòu)造特性\半徑

7.1球日勺定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)

體叫做球體?？臻g中，與定點距離等于定長的點日勺集合叫做球面，球面所圍成的

幾何體稱為球體。

7-2球日勺構(gòu)造特性

（1）球心與截面圓心的連線垂直于截面；

⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離日勺平方差：F=R2-（I?

★7-3球與其他多面體的I組合體的I問題

球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，處理此類問題日勺基本思緒

是：

⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；

⑵找出多面體與球體連接日勺地方，找出對球日勺合適日勺切割面，然后做出剖面圖;

⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形日勺問題；

（4）注意圓與正方體日勺兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；

球外切正方體，球直徑等于正方體日勺邊長。

7-4球的面積和體積公式

S球面=4兀R2（R為球半徑）

V球=4/371R3

（三）空間幾何體日勺表面積與體積

空間幾何體的表面積

棱柱、棱錐的I表面積：各個面面積之和

圓柱日勺表面積：S=2^rrl+litr1

圓錐的I表面積：s=7irl+nr1

圓臺日勺表面積：s=7irl+7T1T+7lRl+7TR2

球的表面積：S=4TTR2

扇形的面積公式S扇形==工/r=3々|/（其中/表達弧長，廠表達半徑，a表達弧度）

扇形3602211

空間幾何體的體積

柱體日勺體積：V=S底X/z

錐體日勺體積：丫=35底*%

1,---------

臺體的體積：毛=§（5上+,5上3下+S下）x〃

43

球體日勺體積：V=-7tR

（四）空間幾何體口勺三視圖和直觀圖

正視圖：光線從幾何體日勺前面向背面正投影，得到的投影圖。

側(cè)視圖：光線從幾何體日勺左邊向右邊正投影，得到的投影圖。

俯視圖：光線從幾何體日勺上面向右邊正投影，得到日勺投影圖。

★畫三視圖的原則：

正俯長相等、正側(cè)高相似、俯側(cè)寬同樣

注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形

二、點、直線、平面之間的關(guān)系

（一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：

1、線線平行的判斷:

(1)、平行于同一直線日勺兩直線平行。

(3)、假如一條直線和一種平面平行，通過這條直線日勺平面和這個平面相交，那

么這條直線和交線平行。

(6)、假如兩個平行平面同步和第三個平面相交，那么它們?nèi)丈捉痪€平行。

(12)、垂直于同一平面的I兩直線平行。

2、線線垂直的判斷：

(7)、在平面內(nèi)日勺一條直線，假如和這個平面日勺一條斜線日勺射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直。

(8)、在平面內(nèi)日勺一條直線，假如和這個平面日勺一條斜線垂直，那么它和這條斜

線日勺射影垂直。

(10)、若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。

補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中日勺另一條。

3、線面平行的判斷：

(2)、假如平面外日勺一條直線和平面內(nèi)日勺一條直線平行，那么這條直線和這個平

面平行。

(5)、兩個平面平行，其中一種平

面內(nèi)日勺直線a，/b]必平行于另一種平面。

asa\=aHa(線線平行n線面平行)

鑒定定理：bua

性質(zhì)定理：clHa'

au0(線面平行=線線平行)

aC0=b,

★判斷或證明線面平行的措施

⑴運用定義(反證法)：/I?=0,則/〃a(用于判斷);

⑵運用鑒定定理：線線平行=線面平行(用于證明)；

⑶運用平面的平行：面面平行=線面平行（用于證明）；

（4）運用垂直于同一條直線日勺直線和平面平行（用于判斷）。

2線面斜交和線面角：/Ca=A

2.1直線與平面所成日勺角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交,

則平面日勺斜線與該斜線在平面內(nèi)射影日勺夾角Oo

2.2線面角的范圍：0G[0o,90°]

注意：當直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，0=0。；

圖緯面角

當直線垂直于平面時，0=90°

4、線面垂直的判斷:

⑼假如一直線和平面內(nèi)日勺兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。

（11）假如兩條平行線中的一條垂直于一種平面，那么另一條也垂直于這個平面。

（14）一直線垂直于兩個平行平面中的;一種平面，它也垂直于另一種平面。

（16）假如兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線日勺直線必垂直于另一個平

面°,

a,bua

鑒定定理：

l（za（線線垂直n線面垂直）

/la

lib

性質(zhì)定理：（1）若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。

即：（線面垂直=>線線垂直）

（2）垂直于同一平面的I兩直線平行。

即.aA.a,bYa=>a//b

★判斷或證明線面垂直的措施

⑴運用定義，用反證法證明。

⑵運用鑒定定理證明。

⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。

(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一種，則也垂直于另一種。

⑸假如兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于

另一平面。

★1.5三垂線定理及其逆定理

⑴斜線定理：從平面外一點向這個平面所引口勺所有線段中,

斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。

如圖.

刈dPB=PC0OB=OC；PA>PB^OA>OR

圖9.-7斜線宗理

⑵三垂線定理及其逆定理

已知PO，a,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,a是平面

a內(nèi)日勺一條直線。

①三垂線定理：若a，OA,則a，PA。即垂直射影則

垂直斜線。

②三垂線定理逆定理：若a±PA,則a±OAo即垂直

斜線則垂直射影。

⑶三垂線定理及其逆定理日勺重要應(yīng)用

圖2-8二垂線定理

①證明異面直線垂直；

②作出和證明二面角的平面角；

③作點到線日勺垂線段。

5、面面平行的判斷：

⑷一種平面內(nèi)日勺兩條相交直線分別平行于另一種平面，這兩個平面平行。

?垂直于同一條直線的兩個平面平行。

6、面面垂直的判斷：

?一種平面通過另一種平面的I垂線，這兩個平面互相垂直。

鑒定定理：(線面垂直=>面面垂直)

性質(zhì)定理：

⑴若兩面垂直，則這兩個平面的I二面角的I平面角為

90°al.p

aC\/3=AB

（面面垂直=線面垂直）

aua

aLAB

(2)

(3)

aIB

Aea圖2-10而面垂直性質(zhì)2

=aua

Aea

(4)a"

,=aua或a〃a

al夕

（二）、其他定理:圖?-11而而垂直姓后3

（1）確定平面口勺條件：①不公線日勺三點;②直線和直線外一點;③相交直線;

（2）直線與直線日勺位置關(guān)系：相交；平行；異面；

直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊狀況）；

平面與平面日勺位置關(guān)系：相交；；平行；

（3）等角定理：假如兩個角日勺兩邊分別平行且方向相似，那么這兩個角相等；

假如兩條相交直線和此外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直

線所成日勺銳角（或直角）相等；

（4）射影定理（斜線長、射影長定理）：從平面外一點向這個平面所引日勺垂線段

和斜線段中，射影相等的I兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也

較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長;

垂線段比任何一條斜線段都短O

(5)最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射

影所成日勺角。

(6)異面直線的鑒定：

①反證法；

②過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。

(7)過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內(nèi)。

(8)假如一直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面日勺交線。

(三)、唯一性定理:

(1)過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。

(2)過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。

(3)過兩條異面直線中日勺一條能且只能作一平面與另一條平行。

四、空間角的求法:(所有角日勺問題最終都要轉(zhuǎn)化為解三角形日勺問題，尤其是直

角三角形)

(1)異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相

交直線所成的角。異面直線所成角日勺范圍：交<々w90°；

(2)線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成日勺角為0°；②線面

垂直：線面所成日勺角為90。；

③斜線與平面所成的I角：范圍0“<a<90°；即也就是斜線與它在平面內(nèi)日勺射影

所成的角。

線面所成的角范圍。KaW90"

(3)二面角：關(guān)鍵是找出二面角日勺平面角。措施有：①定義法；②三垂線定理

法；③垂面法；

二面角的平面角的I范圍：0"<(z<180°；

五、距離的求法：

（1）點點、點線、點面距離：點與點之間日勺距離就是兩點之間線段日勺長、點與

線、面間日勺距離是點到線、面垂足間線段時長。求它們首先要找到表達距離日勺線

段，然后再計算。

注意：求點到面日勺距離的措施：

①直接法：直接確定點到平面日勺垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）;

②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點到該平面日勺距離（運用線面平行日勺性質(zhì)）；

③體積法：運用三棱錐體積公式。

（2）線線距離：有關(guān)異面直線日勺距離，常用措施有：

①定義法，關(guān)鍵是確定出。力日勺公垂線段；

②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為。與過匕而平行于。日勺平面之間的距離，關(guān)鍵是找

出或構(gòu)造出這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；

（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點線間距離常常互相

轉(zhuǎn)化；

六、常用日勺結(jié)論：

（1）若直線/在平面&內(nèi)的射影是直線直線加是平面a內(nèi)通過/日勺斜足的一

條直線，/與/'所成日勺