化工工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)

化工工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)

OA

行列式B”等于()。［2010年

［單選題］1.設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣,

真題］

AB

A.—

AB

B.

C.(-1)m+nIAIIBI

D.(-1)mn|AIIBI

正確答案：D

OO

參考解析：行列式8°經(jīng)過mXn次列變換得到行列式OB即:

°A=(-irA0=(-Y)nr,\A\\B\

BOOB1111

［單選題］2.設(shè)A、B均為三階方陣，且行列式|A|=1,|B|=-2,AT為A的轉(zhuǎn)置

矩陣，則行列式I—2ATB—1|=()。［2018年真題］

A.—1

B.1

C.-4

D.4

正確答案：D

參考解析：因?yàn)锳、B均為三階方陣，計(jì)算得|—2ATB—1|=(-2)3X|AT|X

|B-1|=(-2)3X1X(-1/2)=40

［單選題］3.若n階方陣A滿足|A1=b(bWO,n22),而A*是A的伴隨矩陣，

則行列式IA*|等于()。［2019年真題］

A.bn

B.bn-1

C.bn—2

D.bn-3

正確答案：B

參考解析：伴隨矩陣A*=|A|A—1,則:A*|=|A|n?|A—11=|A|n?|A|-1=

|A|n—lo又|A|=b,則|A*|=|A|n—l=bn—1。

<00-2?

J=030

［單選題］4.矩陣1°"’的逆矩陣A—1是()。［2017年真題］

00

0

3

A.10。U

B.I］。。＞,

r00P

0-0

3

—00

C.\2J

r006、

020

D.J。0,

正確答案：c

參考解析：用矩陣的基本變換求矩陣的逆矩陣，計(jì)算如下

(\

100001

’00-2100、

030010.0100-a0

100001,1

001--00

則有矩陣A的逆矩陣為

oor

［單選題］5.設(shè)

r101、

J=012

，'則A—1=()。［2011年真題］

「30P

412

A.vz2U01V

「301、

412

B.「一、u0-1

，-30

412

一、

C.一0-1

「301、

-4-1-2

D.U。L

正確答案：B

參考解析：由A?A*=|A|?E,得A—1=A*由A|,其中|A|=-1；

r-30-P

4=-4-1-2

7nU1故可得：

(301、

,114、

A=1a1

［單選題］6.設(shè)3階矩陣011已知A的伴隨矩陣的秩為1,則a=()。

［2011年真題］

A.12

B.-1

C.1

D.2

正確答案：A

參考解析：由矩陣與伴隨矩陣秩的關(guān)系式：

*

n,r(A)=n

r(/")=<1,r(A)=w-1

°、?可知，r(A)=2。故|A|=0,得：a=—2

或a=l。當(dāng)a=l時(shí);r(A)=1。故a=-2。

［單選題］7.若使向量組a1=(6,t,7)T,a2=(4,2,2)T,a3=(4,

1,0)T線性相關(guān),則t等于()。［2016年真題］

A.-5

B.5

C.-2

D.2

正確答案：B

參考解析：al、a2、a3三個(gè)列向量線性相關(guān)，則由三個(gè)向量組成的行列式對(duì)

應(yīng)的值為零，即：

644

t21=8"40=0

720

一解得：t=5。

［單選題］8.設(shè)al,a2,a3,B是n維向量組，已知al,a2,B線性相關(guān)，

a2,a3,B線性無關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是()。［2012年真題］

A.B必可用al,a2線性表示

B.al必可用a2,a3,B線性表示

C.a1,a2,a3必線性無關(guān)

D.a1,a2,a3必線性相關(guān)

正確答案：B

參考解析：由al,a2,B線性相關(guān)知，a1,a2,a3,B線性相關(guān)。再由a

2,a3,B線性無關(guān)，al必可用a2,a3,B線性表示。

［單選題］9.已知向量組a1=(3,2,-5)T,a2=(3,-1,3)T,a3=

(1,-1/3,1)T,a4=(6,-2,6)T,則該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組

是()。［2013年真題］

A.a2,a4

B.a3,a4

C.a1,a2

D.a2,a3

正確答案：C

3316Ir<

000]

[%a,/a5,a4,J]=9-1———2—>0316

000]

參考解析:一可

見a1,a2是該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

［單選題］10.要使齊次線性方程組

fatj+x2+x3=0

《演+亦、+0=0

二°有非零解，則a應(yīng)滿足()。［2018年真題］

A.-2<a<l

B.a=l或a=-2

C.aW—1且aW—2

D.a>l

正確答案：B

參考解析：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等變換如下

a1r<11°、<1

1a1—>1a1—>0a-\1-a

11uN1—a1—,

1a、

a-11-a

°+2)(°-1)J要使齊次線性方

程組有非零解，則矩陣的秩rV3,因此得a—1=0或一(a+2)(a-1)=0,

計(jì)算得a=l或a=-2。

【說明】n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是r(A)<n0

［單選題HL設(shè)A為mXn矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要

條件是()。［2017年真題］

A.矩陣A的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān)

B.矩陣A的任意兩個(gè)列向量線性無關(guān)

C.矩陣A的任一列向量是其余列向量的線性組合

D.矩陣A必有一個(gè)列向量是其余列向量的線性組合

正確答案：D

參考解析：線性方程組Ax=0有非零解=|A|=0=r(A)<n,矩陣A的列向量

線性相關(guān)，所以矩陣A必有一個(gè)列向量是其余列向量的線性組合。

［單選題］12.已知n元非齊次線性方程組Ax=B，秩r(A)=n—2,a1,a2,

a3為其線性無關(guān)的解向量，kl,k2為任意常數(shù)，則人*=13的通解為()。［2014

年真題］

A.x=kl(a1—a2)+k2(a1+a3)+a1

B.x=kl(a1—a3)+k2(a2+a3)+a1

C.x=kl(a2—al)+k2(a2—a3)+a1

D.x=kl(a2-a3)+k2(a1+a2)+a1

正確答案：C

參考解析：n元非齊次線性方程組Ax=B的通解為Ax=0的通解加上Ax=B的一

個(gè)特解。因?yàn)閞(A)=n—2,Ax=0的解由兩個(gè)線性無關(guān)的向量組成，所以a2

-al,a2—a3是Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)解。所以Ax=B的通解為：x=kl

(a2—al)+k2(a2—a3)+a1o

［單選題］13.若非齊次線性方程組Ax=b中，方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，則

下列結(jié)論中正確的是()°［2013年真題］

A.Ax=0僅有零解

B.Ax=0必有非零解

C.Ax—0一定無解

D.Ax=b必有無窮多解

正確答案：B

參考解析：因非齊次線性方程組未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，可知系數(shù)矩陣各列

向量必線性相關(guān)，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組必有非零解。

I-X2+X4=0

［單選題］14.齊次線性方程組［5-F=°的基礎(chǔ)解系為()。［2011年真

題］

A.a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,-1,1,0)T

B.a1=(2,1,0,1)T,a2=(-1,-1,1,0)T

C.a1=(1,1,1,0)T,a2=(-1,0,0,1)T

D.a1=(2,1,0,1)T,a2=(-2,-1,0,1)T

正確答案：C

參考解析：簡(jiǎn)化齊次線性方程組為:

演-x,+x4=0

X3=1

IY=0

「貝Ija1=(1,1,1,0)To

令

,3=0

-1貝Ja2=(-1,0,0,1)To故基礎(chǔ)解系為:a1=(1,1,1,0)

T,a2=(-1,0,0,1)To

［單選題］15.設(shè)入1=6,入2=入3=3為三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值，屬于入2=

入3=3的特征向量為&2=(-1,0,1)T,&3=(1,2,1)T,則屬于入1=

6的特征向量是()。［2017年真題］

A.(1,-1,1)T

B.(b1,1)T

C.(0,2,2)T

D.(2,2,0)T

正確答案：A

參考解析：矩陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣，由實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：不同特征值對(duì)應(yīng)的特

征向量相互正交，設(shè)屬于入1=6的特征向量為(xl,x2,x3)T,(-1,0,

1)?(xl,x2,x3)=0,(1,2,1)?(xl,x2,x3)=0,解得

［X2=~X3

X=X

令x3=l,解得(xl,x2,x3)T=(1,-1,1)To

［單選題］16.已知矩陣

(1-11、

A=242

1-35)與

00、

B=020

002

一相似，則人等于()。［2013年真題］

A.6

B.5

C.4

D.14

正確答案：A

參考解析：A與B相似，故A與B有相同的特征值，又因?yàn)樘卣髦抵偷扔诰仃?/p>

的跡，故1+4+5=入+2+2,故人=6。

［單選題］17.已知n階可逆矩陣A的特征值為入0,則矩陣(2A)—1的特征值是

()。［2012年真題］

A.2/X0

B.入0/2

C.1/(2X0)

D.2X0

正確答案：C

參考解析：由矩陣特征值的性質(zhì)，2A的特征值為2人0,因此(2A)—1的特征

值為1/(2X0)o

［單選題］18.設(shè)A是3階矩陣，P=(al,a2,a3)是3階可逆矩陣，且

「100、

p7AP=020

°0°若矩陣Q=(a2,a1,a3),則Q—1AQ()。［2011年

真題］

;100]

020

A.1°?！鉐

「200、

010

B.1°0

「010、

200

C.l°0o,

r020]

100

D.1°0V

正確答案：B

參考解析：設(shè)可逆矩陣

010、

B=100

0°L計(jì)算可得：PB=Q,Q—1=B—IP—1,其中,

；010、

B-'=100

ioo

因此

rl00、

QrlAQ^BAP-lAPB^BA02OB

20oj

"010](200、

=BA200=010

000J1000,

[單選題]19.要使得二次型f(xl,x2,x3)=xl2+2txlx2+x22-2xlx3+

2x2x3+2x32為正定的，則t的取值條件是()。［2012年真題］

A.-l<t<l

B.-l<t<0

C.t>0

D.t<-l

正確答案：B

參考解析：該方程對(duì)應(yīng)的二次型的矩陣為：

’1t-P

A=t11

［-I12,

若二次型為正定，其各階順序主子式均大于零，由二階主子式大于零，有1—12

>0,求得一IVtVl。三階主子式也大于零，得一l<tV0。

T-10、

-130

［單選題］20.矩陣?！恪闼鶎?duì)應(yīng)的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是()。［2018年真題］

A.f=yl2-3y22

B.f=yl2-2y22

C.f=yl2+2y22

D.f=yl2-y22

正確答案.c

參考解析：二次型的矩陣

(1一10、

4二一130

。?！?則對(duì)應(yīng)的二次型展開式為：f(xl,x2,x3)=xl2+3x22-

2x1x2=(xl-x2)2+2x22o令

\yl=x1-x2

［J、=V2則上式化簡(jiǎn)得f=yl2+2y22。

［單選題］21.設(shè)A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B,

則下列選項(xiàng)中成立的是()。

A.B的第1行的一2倍加到第2行得A

B.B的第1列的一2倍加到第2列得A

C.B的第2行的一2倍加到第1行得A

D.B的第2列的一2倍加到第1列得A

正確答案：A

參考解析：設(shè)矩陣

%

2勺一小

ananai3

［單選題］22.設(shè)有向量組a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3

=(3,0,7,14),a4=(1,一2,2,0),a5=(2,1,5,10),則該

向量組的極大線性無關(guān)組是()。

A.a1,a2,a3

B.a1,a2,a4

C.a1,a4,a5

D.a1,a2,a4,a5

正確答案：B

參考解析：對(duì)以al,a2,a3,a4,a5為列向量的矩陣施以初等行變換：

qa：生《生

r10312、‘10302、

-130-2101101

->----->

2172500010

,4214010;00000,由于不同階梯上對(duì)應(yīng)向量組

均線性無關(guān)，而含有同一個(gè)階梯上的兩個(gè)及兩個(gè)以上的向量必線性相關(guān)，對(duì)比

四個(gè)選項(xiàng)知，B項(xiàng)成立。

［單選題］23.設(shè)n維行向量a=(1/2,0,???,0,1/2),矩陣A=E—aTa,B

=E+2aTa,其中E為n階單位矩陣，則AB等于()。

A.0

B.-E

C.E

D.E+aTa

正確答案：C

參考解析：注意利用aaT=l/2來簡(jiǎn)化計(jì)算。AB=(E-aTa)(E+2aTa)

=E+2aTa—aTa—2aTaaTa=E+aTa—2aT(aaT)a=E+aTa

-2?(1/2)aTa=EO

［單選題］24.設(shè)Bl,B2是線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，al、a2是導(dǎo)

出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，kl、k2是任意常數(shù)，則A乂=13的通解是()。

A.(31-32)/2+klal+k2(a1-a2)

B.a1+kl(B1—B2)+k2(a1-a2)

C.(61+B2)/2+klal+k2(a1—a2)

D.(B1+62)/2+klal+k2(B1—B2)

正確答案：C

參考解析：非齊次線性方程組Ax=b的通解由導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系與某一

特解構(gòu)成。A項(xiàng)，(61—62)/2、al—a2都是導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)解，該

選項(xiàng)中不包含特解；B項(xiàng)，B1—B2是導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)解，該選項(xiàng)也不包

含特解；C項(xiàng)，(B1+B2)/2是人*=1)的特解，al—a2與al線性無關(guān)，

可作為導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系；D項(xiàng)，包含特解，但B1—B2與a1未必線性

無關(guān)，不能作為導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系。

［單選題］25.設(shè)A是mXn階矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊

次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()。

A.若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解

B.若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解

C.若人*=13有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解

D.若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解

正確答案：D

參考解析：由解的判定定理知，對(duì)Ax=b,若有r(A)=r()=r,則Ax=b

一定有解。進(jìn)一步，若「=11,則Ax=b有唯一解；若rVn,則人*=13有無窮多

解。而對(duì)Ax=0一定有解，且設(shè)r(A)=r,則若r=n,Ax=0僅有零解；若r

<n,Ax=0有非零解。因此，若Ax=b有無窮多解，則必有r(A)=r(A)=

r<n,Ax=0有非零解，所以D項(xiàng)成立。但反過來，若r(A)=r=n(或V

n),并不能推導(dǎo)出r(A)=r(),所以Ax=b可能無解，更談不上有唯一解

或無窮多解。

［單選題］26.齊次線性方程組

AXj+X)+/IX3=0

<七+AX2+x3=0

的系數(shù)矩陣記為A。若存在三階矩陣BWO使得AB=

0,則()。

A.人=—2且IB|=0

B.入=-2且IBIW0

C.入=1且IB|=0

D.入=1且|BIW0

正確答案：C

參考解析：因?yàn)锳B=O,所以r(A)+r(B)W3,又ANO,BWO,所以iWr

(A)<3,IWr(B)V3,故IAI=0,IBI=0。由IAI=0=(X-1)2

=0n入=1。綜上入=1且IBI=0。

［單選題］27.設(shè)A是n階矩陣，且Ak=O(k為正整數(shù))，貝h)。

A.A一定是零矩陣

B.A有不為0的特征值

C.A的特征值全為0

D.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

正確答案：C

參考解析：設(shè)人是A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為a,則有Aa=、a,Aka=

Xka=0o由aWO,有入k=0,即入=0,故A的特征值全為0。

令

fO1)

A=

0°，則A2=0。若A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化，即

存在可逆矩陣P,使得P—1AP=O,則必有A=0,與題意矛盾。

［單選題］28.已知二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征向量為(2,-5)T,并且|A|V

0,則以下選項(xiàng)中為A的特征向量的是0。

k\］；(攵。0)

A.一、

伏工。)

B.一

(2、⑶

??+「

C.；，klWO,k2W0

「2、⑶

匕+尼；

D.「I2,kl,k2不同時(shí)為零

正確答案：D

參考解析：設(shè)A的特征值為入1,入2,因?yàn)閨A|V0,所以入1?人2V0,即A有

兩個(gè)不同的特征值。又

一'1「"且在D項(xiàng)中，kl與k2不同時(shí)為零。C項(xiàng),

kl與k2都可以等于0,如當(dāng)kl=0,k2#0時(shí)，k2(5,2)T也是A的特征向

量，所以排除。

［單選題］29.已知A為奇數(shù)階實(shí)矩陣，設(shè)階數(shù)為n,且對(duì)于任一n維列向量X,

均有XTAX=O,則有()。

A.IAI>