遼寧省六校協(xié)作體2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

遼寧省六校協(xié)作體2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某校開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出ABC。,瓦廠共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6

名的名次（沒(méi)有并列名次），A和3去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)A說(shuō)“很遺墉，你和B都末拿到冠軍；對(duì)B說(shuō)“你當(dāng)然不是

最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）

A.720種B.600種

C.480種D.384種

2.如果在一實(shí)驗(yàn)中,測(cè)得（無(wú)，V）的四組數(shù)值分別是A（2,6）,5（4,7.6）,C（6,10.4）,￡＞（8,12）,則y與x之間的回歸直

線方程是（）

A.9=2%+1.8B.y-1.04%+3.8

C.y=1.04x+2.8D.y-2x-1.8

3.在空間四邊形0A3C中，OA=a＞OB=b，=點(diǎn)M在線段。4上，且QM=2MA,N為BC中點(diǎn),

則等于（）

121

A.一Q——7b+—cB.——a+—b+—c

232322

irn2r2r2：lr

C.-d—b—cD.—a+—b——c

223332

TT

4.如圖，已知二面角。-萬(wàn)平面角的大小為彳，其棱/上有A、B兩點(diǎn),AC,8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半

平面內(nèi)，且都與AB垂直.已知AB=1,AC=BD=2＞則CD=（）

D

A.5B.13

C.y[5D.V13

5.平面a的法向量為五=(2,-2,2),平面￡的法向量為3=(1,2,1),則下列命題正確的是()

Za,B平行B.a,0垂直

C.a,0重合D.a,P相交不垂直

6.已知長(zhǎng)方體ABC?！?，AB=BC^2,A&=1,則直線4。與SR所成角的余弦值是()

7.已知一組數(shù)據(jù)為：2,4,6,8,這4個(gè)數(shù)的方差為。

A.4B.5

C.6D.7

22

8.雙曲線------J=1的焦距是()

m-+124一〃/

A.4B.2拒

C.80.472

9.已知關(guān)于X的不等式V—公一人＜0的解集是(-2,3),則a+b的值是()

A.-5B.5

C.-7D.7

10.已知函數(shù)Ax)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為/'(%)，則典/國(guó)+黑-〃迎)=()

A.2/MO)B.-2r(%0)

C.g尸(%)D.一；r(Xo)

11.在直角坐標(biāo)系中，直線x+百y-3=0的傾斜角是

A.30°B.6O0

C.120°D.1500

12.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，分別帶著A、B、C、。、E五個(gè)不同的禮物參加“抽盲盒”學(xué)游戲，先將五個(gè)

禮物分別放入五個(gè)相同的盒子里，每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為()

A.-

5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知不等式2x+l-有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)”的范圍為

14.設(shè)拋物線C：9=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為尸是C上一點(diǎn)，若|P尸|=5,則

15.已知數(shù)列的前｛4｝的前A項(xiàng)和為S,=2"+i也=log2(a；2"”)，數(shù)列的也｝的前〃項(xiàng)和為4,則滿足北〉1024

的最小n的值為

16.已知命題“VxeR,2%+加＞。”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓C：^^^^(^^/^(^的左右焦為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)P(x,y)是該橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)

53

軸時(shí)，|p周=5,|p閶=5

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記=求實(shí)數(shù)機(jī)的最大值

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=r+奴2+6x+2在％=-1處取得極值7

(1)求。力的值；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值

19.(12分)如圖，在四棱柱A3CD-A4G。中，44，平面ABC。，底面ABC。滿足AO〃BC,且

AB=AD=A4j=2,BD=DC=2&

(I)求證:AB，平面AD2A;

（II）求直線AB與平面4。，所成角的正弦值.

20.（12分）給出以下三個(gè)條件：①Ss=15；②%,%，生成等比數(shù)列；③。6=3出.請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成作答.若選擇多個(gè)條件分別作答，以第一個(gè)作答計(jì)分

已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Sn,1=1,

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若2=3",令g=anbn,求數(shù)列｛c,｝的前〃項(xiàng)和Tn

21.（12分）某保險(xiǎn)公司根據(jù)官方公布的歷年?duì)I業(yè)收入，制成表格如下：

表1

年份2011201220132014201520162017201820192020

年份序號(hào)X12345678910

營(yíng)業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135

根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型y=6/+。"和a是待定參數(shù)）來(lái)擬合y和x的關(guān)系.這時(shí)，可以對(duì)

年份序號(hào)做變換，即令/=/，得丁=初+。，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.

表2

T149162536496481100

Y0.529.3633.6132352571912120716822135

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于，的回歸方程（系數(shù)精確到個(gè)位數(shù)）;

（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計(jì)2021年的營(yíng)業(yè)收入，以及營(yíng)業(yè)收入首次超過(guò)4000億元的年份.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（4#I）,（〃2#2），?，（4#"），其回歸直線丫=6"+應(yīng)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

-M)(匕一V)

B--i=\-------,a=v-.

U；~U

45

參考數(shù)據(jù)：i=38.5,亍x703.45,工1.051xl0,^(?;-F)(y;-y)?2.327xlO.

i=\i=l

22.(10分)某學(xué)校為了調(diào)查本校學(xué)生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為〃的樣本，分成四組[20,30),

[30,40),[40,50),[50,60],其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在[50,60]元的學(xué)生有180人.

頻率

0v2030405060支出金額/元

(1)請(qǐng)求出〃的值；

(2)如果采用分層抽樣的方法從[30,40),[40,50)內(nèi)共抽取5人,然后從中選取2人參加學(xué)校的座談會(huì),求在[30,40),

[40,50)內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】A3不是第一名且3不是最后一名，3的限制最多，先排3有4種情況，再排A,也有4種情況，余下的問(wèn)

題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可

【詳解】由題意，A,3不是第一名且3不是最后一名，8的限制最多，故先排3,有4種情況,

再排A,也有4種情況，余下4人有禺=4x3x2x1=24種情況，

利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有4x4x24=384種情況

故選：D.

2、B

【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn)，由樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，將其代入各選項(xiàng)的回歸方程驗(yàn)證即可.

【詳解】由題設(shè)，亍=；x(2+4+6+8)=5,y=1x(6+7.6+10.4+12)=9

因?yàn)榛貧w直線方程過(guò)樣本點(diǎn)中心(月7),

A：>-=2x5+1.8=11.8^9,排除；

B：亍=1.04x5+3.8=9,滿足；

C：9=1.04X5+2.8=8H9,排除；

D：f=2x5—1.8=8.229,排除.

故選：B

3、B

【解析】由題意結(jié)合圖形，直接利用MN=QN+MO,求出ON,然后即可解答.

【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OA5C如圖，OA=a>OB=b，OC=c，

點(diǎn)M在線段04上，且2MA,N為3c的中點(diǎn)，

所以。N='c+'b.

22

所以W=ON+MO=—+

322

故選：B.

4、C

【解析】以A3、為鄰邊作平行四邊形連接CE,計(jì)算出CE、。石的長(zhǎng)，證明出DE_LCE,利用勾

股定理可求得CD的長(zhǎng).

【詳解】如下圖所示，以AB、為鄰邊作平行四邊形A5DE,連接CE,

因?yàn)锳EHBD,則

JT

又因?yàn)锳CLAB,AC^a,AEuf3,故二面角?！?—，的平面角為NC4E=§,

因?yàn)樗倪呅蜛BD石為平行四邊形，則AE=3￡>=2,DE=AB=1,

因?yàn)锳C=2,故ACE為等邊三角形，則C￡=2,

DE//AB,則DEA.AC,ACAE=A,故DE_L平面ACE,

因?yàn)镃Eu平面ACE,則￡)E_LCE,故CD=JCE?+D/=舊.

故選：C.

5、B

【解析】根據(jù)〉；=0可判斷兩平面垂直.

【詳解】因?yàn)椤溃?2xl+(—2)x2+2xl=0,所以I,；,所以a,￡垂直.

故選:B.

6、C

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線4。與所成角為。，由cose=/~^^求解.

【詳解】?.?長(zhǎng)方體ABC?！?6G〃中，AB=BC=2,44,=1,

，分別以DA,DC,DR為x,y,2軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

A.

則。(0,0,0),A(2,0,1),B(2,2,0),R(0,0,1),

所以必=(2,0,1),RB=(2,2,7),

設(shè)直線4。與3。所成角為9,

n1°H-M3非

|阿伊國(guó)V5-35

二直線\D和3鼻夾角余弦值是g.

故選：C.

7、B

【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由平均數(shù)的計(jì)算公式，可得1=2+4+6+8=5,

4

所以這4個(gè)數(shù)的方差為:[(2-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(8-5)2]=5

故選:B.

8、C

【解析】根據(jù)/二4+^,先求半焦距，再求焦距即可.

【詳解】解：由題意可得，=77?+12+4—^2=16，

/.c=4,2c=8,

故選:C

【點(diǎn)睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】由題意可得無(wú)2—公—/,=()的根為-2,3,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(-2,3),

所以方程尤2—公—b=。的根為-2,3,

—2+3=a<2=1

所以，得《

—2x3=—bb=6

所以a+b=7,

故選：D

10、C

【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出

【詳解】?■/?(%+-)-小。)3nl=。，往)

【詳解】…。2Ar_2Ax-o(x0+Ar)-x0-2〃。)

故選:C

11、D

【解析】根據(jù)直線方程得到直線的斜率后可得直線的傾斜角.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為a,則tana=^=-因ae[O,?),故。=半，故選D.

【點(diǎn)睛】直線的斜率與傾斜角a的關(guān)系是：々=tana,aeO,|j當(dāng)a=/時(shí)，直線的斜率不存在，注意

傾斜角的范圍.

12、D

【解析】利用排列組合知識(shí)求出每位同學(xué)再分別隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的情況個(gè)數(shù)，以及五

人抽取五個(gè)禮物的總情況，兩者相除即可.

【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有G種情況，接下來(lái)的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對(duì),

「202

兩個(gè)人都拿到對(duì)方的禮物，有」;六種情況，另一種是四個(gè)人都拿到另外一個(gè)人的禮物，不是兩兩一對(duì)，都拿到對(duì)方

4

的情況，由c；c；種情況，綜上：共有C卜+C\c\=45種情況，而五人抽五個(gè)禮物總數(shù)為6=120種情況,

453

故恰有一位同學(xué)拿到自己禮物的概率為一=-.

1208

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與1相鄰的整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系求出實(shí)數(shù)，的范圍.

【詳解】2x+l—ae=0整理為：?！炊?，即函數(shù)g(x)=一^在丁=。上方及線上存在兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，

ee

g'(x)=[^,故顯然g(x)在[7,上單調(diào)遞增,在，,+s)上單調(diào)遞減,且與;相鄰的整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值為：

35

g(-l)=-e,g(O)=l,g(l)=-,g(2)=2，顯然有g(shù)(—l)<g⑵<g⑼<g⑴，要恰有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則為0

ee

和1,此時(shí)g(2)<aWg(0),解得：^<a<l,如圖

e

故答案為：

14、441

【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)及拋物線方程可求P坐標(biāo)，進(jìn)而得解.

【詳解】由拋物線C：V=4x的方程可得焦點(diǎn)b(1,0),準(zhǔn)線=

由題意可得M(—L0),

設(shè)P(x,y),有拋物線的性質(zhì)可得：|?F|=5=x+l,解得x=4,

代入拋物線的方程可得9=4x4=16,

故答案為：^41?

15、9

n+1nn

【解析】由數(shù)列｛??｝的前幾項(xiàng)和為Sn=2向，則當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-S,i=2-2=2,

所以a=log?(%>2"”)=log2a；+log22°"=2〃+2",

所以數(shù)列出｝的前〃和為Tn="Q+2〃)+2(1-2")=9+1)+2"_2,

21—2

10

當(dāng)〃=9時(shí)，T9=9x10+2-2=1112>1024,

9

當(dāng)〃=8時(shí)，Tg=8X9+2-2=582<1024,

所以滿足Tn>1024的最小〃的值為〃=9.

點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中涉及到數(shù)列的通項(xiàng)4與S“的關(guān)系，推導(dǎo)數(shù)

列的通項(xiàng)公式，以及等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式是解答

的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力.

16、m￡1

【解析】根據(jù)命題的否定與原命題真假性相反，即可得到*eR,d—2尤+m40為真命題，則ANO,從而求出參

數(shù)的取值范圍；

【詳解】解：因?yàn)槊}“VxeR,2%+加>?！睘榧倜}，所以命題“土eR,必一2九+加《為真命題，所以

A=（—2）—4m>0,解得〃z￡l；

故答案：〃?￡1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17、(1)—+^-=1

43

(2)不

【解析】（1）利用橢圓的定義及勾股定理可求解；

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為丁=-％+7〃在y軸截距的問(wèn)題，臨界條件為直線與橢圓相切，求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)殁钪?忸&|=4=2a,a=2,

所以但閭=2c=J[gj—[Ji=2,c=1>b1=a2-c2=3

22

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：匕+匕=1

43

【小問(wèn)2詳解】

要求m=x+y的最值，即求直線y=-x+m在y軸截距的最值,

可知當(dāng)直線y=-x+7”與橢圓相切時(shí)，機(jī)取得最值.

X+r-1

聯(lián)立方程：143，整理得7f—8〃a+4機(jī)2—12=0

y——x+m

A=64/n2-28(4m2-12)=48(7-m2)=0,解得加=±?

所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為近

a=—3

18、⑴彳；⑵/(%=7.

b=—9

【解析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；

(2)先由(1)得到/(%)=d—3%2—9%+2,導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，進(jìn)而可求出最值.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=/+b%+2,所以/(%)=3%2+2or+b,

又函數(shù)/(%)=%3+b%+2在％=一1處取得極值7,

\ff'((—-l1))==13+-a2—ab+=b1=0,解得[(a==—-39；'

所以/(%)=3x3-6x-9=3(x-3)(x+l),

由/'(x)>0得％>3或x<-l；由/'。)<0得-l<x<3；滿足題意；

(2)又xe[—2,2],

由(1)得/(幻在xe(—2,-1)上單調(diào)遞增，在xe(-1,2)上單調(diào)遞減，

因此/(X)max=/(—l)=7

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，解題方法如下：

(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處取得極值，導(dǎo)數(shù)為0,函數(shù)值為極值，列出方程組，求得結(jié)果;

(2)將所求參數(shù)代入，得到解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到其最大值.

19、(I)證明見(jiàn)解析；(II)逅

6

【解析】(I)證明懼，A3,根據(jù)4^2+4^2=302得到鈣得到證明.

(II)如圖所示，分別以AB,AD,抽為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面5c〃的法向量〃=(1,1,2),A3=(2,0,0),

計(jì)算向量夾角得到答案.

【詳解】(I)平面ABC。，AB1平面ABCD,故懼,人民

AB=AD=2,BD=272?故+.=9,故至工皿

ADnAA=A,故AB,平面ADDJA.

（n）如圖所示：分別以AB,AD,A4,為羽％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）,5（2,0,0）,4（2,0,2）,C（2,4,0）,〃（0,2,2）.

vc/、?RC=0f4y-2z=0

設(shè)平面3cA的法向量〃=（x,y,z）,則八，即二.八，

\nBxDx=0[-2x+2y=0

取％=1得到〃=（1,1,2）,AB=（2,0,0）,設(shè)直線A5與平面4cA所成角為。

/--\|?,2、后

故sin6=cos（n,AB）_7=—十=——.

'/|H|.|AB|2V66

【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

20、（1）an=n

⑵T=3+（2〃-1）產(chǎn)

"44

【解析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式，結(jié)合H=4=1,求得公差，可得答案；若選②，則根據(jù)苗,

%，“9成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合H=%=1,求得公差，可得答案；若選③，則根據(jù)&=3。2,列出方程，結(jié)合

岳=4=1,求得公差，可得答案；

（2）由（1）可得％=4〃的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d

選擇①，由題意得S5=5ai+10d=15,又'=4=1,則［=1,所以4=1+(〃-1)=〃；

選擇②，由體,的，成成等比數(shù)列，得4%=短，即l+8d=(l+2d『，

解得2=1,或d=0(舍去)，所以為=”；

選擇③，由4=3g，得l+5d=3(l+d),解得d=l,所以4=〃

【小問(wèn)2詳解】

n

由題意知，cn=n-3

AT；=1X3+2X32+3X33++(TI-1)X3"-1+WX3,?0

37；=1X32+2