河南省2023-2024 學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測試卷（一）數(shù)學(xué)含答案

河南省2023—2024學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底

測試卷（一）數(shù)學(xué)

2023-2024學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測試卷

數(shù)學(xué)（一）

本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集合乂={了|與=五<2},N=3E<5卜則MCN=

A.(-1區(qū)B-(3?y_

/7r7

C.(-l,0)U,3,yD.(―1,o]U3,歹

2.若復(fù)數(shù)Z滿足（1—i）￡=（2—i）2,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限_g.警象限_D.第四象限

3.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足訪=4前，壓=入京+〃就a/6R），則入〃=

AYB--fC楡D.l

4.光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，

在《中國名樓》站臺(tái)票紀(jì)念冊中，光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳

陽樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同

組成中國十大名樓.其墩臺(tái)為磚石砌成的正四棱臺(tái)，如圖所

示，光岳樓的墩臺(tái)上底面正方形的邊長約為32m,下底面正

方形的邊長約為34.5m,高的4倍比上底面的邊長長4m,

則光岳樓墩臺(tái)的體積約為

A.9872.75m3B.9954.75m3C.9988.45m3D.9998.25m3

5.如圖,A,B,C三個(gè)開關(guān)控制著1,2,3,4號(hào)四盞燈，其中開關(guān)A控制著2,3,4號(hào)燈，開

關(guān)B控制著1,3,4號(hào)燈，開關(guān)C控制著1,2,4號(hào)燈.開始時(shí)，四盞燈都亮著.現(xiàn)先后

按動(dòng)A,B,C這三個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)不同的開關(guān),則其中1號(hào)燈或2號(hào)燈亮的概率為

A.5

0面向

B4

C.-y向向

u

mmrci

D-

,3

數(shù)學(xué)（一）第1頁（共4頁）

6已知函數(shù)/（比）=疝（2支+9）（|夕|V劫滿足/仔）

恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)I的取值范圍為

~37x49口

-西，西丿D,

廣、nIn4.4—In4Je.

7.設(shè)&=丁，6=—最一“、=￡，則

A.a<b<ZcB.b<ic<ZaC.c<b<aD,c<Za<Zb

S.已知正三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為2的球面上，則垓正三棱錐體積

的最大值為

A.2GB.4C.普樂D.噲^

厶，y

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體E-ABCD-F,呆

且該八面體的各棱長均相等，則//VX

A.異面直線AE與BC所成的角為60°//\、

B.BD±CE中二十"c

C.平面ABF〃平面CDE4、~方/

D.直線AE與平面BDE所成的角為60°\\/Z

10.若函數(shù)/（］）=*+/⑴/+卷,則F

A./（D=lB./（%）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線）=/（幻的切線的斜率可以為-2D.點(diǎn)（1,1）是曲線、=f（2）的對稱中心

11.用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì):一束平行于拋物線對稱軸的

光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中

于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面

直角坐標(biāo)系中，對稱軸與z軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：J=44的焦點(diǎn)為

F,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于2軸的光線L從點(diǎn)M射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)

反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)3（亞，北）反射后，沿直線厶射出，則水壺、/上

A.C的準(zhǔn)線方程為x=~l

B.*=-2

C.若點(diǎn)M（2,l）,則|AB|=￥反射鏡學(xué)經(jīng)乙

D.設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N,則點(diǎn)N在直線12上二一'

12.已知非常數(shù)函數(shù)/（z）及其導(dǎo)函數(shù)，（了）的定義域均為R,若f（2一了）為奇函數(shù),

/'（22+4）為偶函數(shù)，則

A./（2）=1B./（2024）=-/（2020）

C./（-D=/（7）D./（-2021）=/（2025）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知伊一第卜一日）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4亠則實(shí)數(shù)a的值為.

14.寫出與圓C：（z+1）2+*=1和圓D：/+（y+乃/=1都相切的一條直線的

方程:____.

15.已知直線j/=Az+6龍GR,6盧0）是曲線/（x）=er-l與g（x）=l+lnx的公切線,

貝I」k+b=.

數(shù)學(xué)（一）第2頁（共4頁）囚

16.某休閑廣場呈橢圓形，在該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及中心處分別安裝有三盞景觀燈A,B,

C,其中燈B位于燈A的正東400m處.小王沿著該休閑廣場的邊沿散步，在散步的

過程中，他與燈B的最短距離為50m.當(dāng)小王行走到點(diǎn)M處時(shí)，他與燈A,B的距離

之比為3：2,則此時(shí)他與燈C的距離為m.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.叩1=1,且a2，為Mi,成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列《冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)數(shù)列｛%｝的公差不為0時(shí)，記數(shù)列［於一:1的前n項(xiàng)和為求證:

丁”<2。

18.(本小題滿分12分)

在中，角AiB,C的對邊分別為a,6,c,且ccosCcos(A—B)+c=csin2C+

bsinAsinC.

⑴求C;

(2)若c=4,CD丄AB于點(diǎn)。，求線段CD長度的最大值.

19.(本小題滿分12分)

如圖，已知正方形ABCD是圓柱OOi的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截

面)，點(diǎn)E在底面圓周上,AB=5,AE=4,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B到平面ACE的距離；

(2)求二面角A-BF-E的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(z)=2(z+2)—e，.

(1)求/(z)的極值；

(2)當(dāng)時(shí)，證明：/(2)Vz—sin2+4.

數(shù)學(xué)(一)第3頁(共4頁)

21.（本小題滿分12分）

網(wǎng)絡(luò)直播帶貨作為一種新型的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.湖北某地

盛產(chǎn)夏橙，為幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民銷售以橙，當(dāng)?shù)卣埩思?、乙兩名網(wǎng)紅在某天通過直播

帶貨銷售夏橙.現(xiàn)對某時(shí)間段100名觀看直播后選擇在甲、乙兩名網(wǎng)紅的直播間（以下

簡稱甲直播間、乙直播間）購買夏橙的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一個(gè)直播間購買夏

橙），得到如下數(shù)據(jù)：

在直播間購買夏橙的情況

網(wǎng)民類型合計(jì)

在甲直播間購買在乙直播間購買

男網(wǎng)民50555

女網(wǎng)民301545

合計(jì)8020100

（1）依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買

夏橙與性別有關(guān)聯(lián)？

（2）網(wǎng)民黃蓉上午、下午均從甲、乙兩個(gè)直播間中選擇其中一個(gè)購買夏橙，且上午在

甲直播間購買夏橙的概率為若上午選擇在甲直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播

間購買夏橙的概率為彥;若上午選擇在乙直播間購買夏橙,則下午選擇在甲直播間購買

0

夏橙的概率為擊7，求黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率；

（3）用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率,若共有50008名網(wǎng)民在甲、乙直播間

購買夏橙，且網(wǎng)民選擇在甲、乙哪個(gè)直播間購買夏橙互不影響，記其中在甲直播間購買

夏橙的網(wǎng)民人數(shù)為X,求使事件“X=/的概率取最大值的k的值.

附：人于=，=小「十￡。父）（7a十'?c；）（,62十■d小），其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.005

xa2.7063.8416.6357.879

22.（本小題滿分12分）

，v2

已知雙曲線C：%一%=1做>°，6>0）的右焦點(diǎn)為F（2,0）,且C的一條漸近線恰

好與直線力一6+1=0垂直.

（1）求C的方程；

（2）直線厶）=a3/+1與C的右支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)D在C上，且AD丄3軸.求

證:直線BD過點(diǎn)F.

數(shù)學(xué)（一）第4頁（共4頁）0

摸底卷A數(shù)學(xué)（一）

2023—2024學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測試卷

摸底卷A?數(shù)學(xué)（一）

［命題要奏一覽表

注：

1.能力要求：

I.抽象概括能力11.推理論證能力III.運(yùn)算求解能力N.空間想象能力V.數(shù)據(jù)處理能力

W.應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)

2.核心素養(yǎng)：

①數(shù)學(xué)抽象②邏輯推理③數(shù)學(xué)建模④宜觀想象⑤數(shù)學(xué)運(yùn)算⑥數(shù)據(jù)分析

分知識(shí)點(diǎn)fl自力要力核心素養(yǎng)預(yù)估難度

題號(hào)題型

值（主題內(nèi)容）I11NVVI②③④⑤⑥檔次系數(shù)

交集運(yùn)算,其中一個(gè)集合涉及

1選擇題5易0.82

解一元二次不等式VVVV

復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算，確定復(fù)數(shù)在

2選擇題5復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的VVVV易0.80

象限

3選擇題5平面向量基本定理的應(yīng)用7J易0.75

4選擇題5實(shí)際生活中的空間幾何體VV7JV7VVV中0.70

5選擇題5古典概型7VVv"V中0.68

6選擇題5三角函數(shù)圖象與性質(zhì)VVJVVV中0.65

7選擇題5構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)比較大小VVVJVJV中0.55

8選擇題5球與幾何體的相接問題V7VJVJVV難0.25

9選擇題5空間立體幾何（涉及空間角）VVVVJV易0.72

10選擇題5利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)性質(zhì)VVV中0.65

11選擇題5拋物線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用V7V7JV中0.55

12選擇題5抽象函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合VVVVVJ難0.25

13填空題5二項(xiàng)式定理的應(yīng)用7JV易0.80

14填空題5圓與圓的位置關(guān)系（開放題）VVVV易0.75

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲

15填空題5中0.65

線的公切線VVVVVVJV

16填空題5橢圓定義與性質(zhì)的綜合VVVVVVV中0.40

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，

17解答題1077中0.70

裂項(xiàng)相消求和VVJV

解三角形，利用基本不等式求

18解答題12N/中0.65

最侑VVVVVJ

?1?

摸底卷A數(shù)學(xué)（一）

以柱體為載體，求點(diǎn)到面的距

19解答題12VVVV中0.55

離，求二面角的余弦值

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，證

20解答題12、/VVVV中0.45

明不等式

獨(dú)立性檢驗(yàn)、全概率公式、二

21解答題12VVV77VyV中0.40

項(xiàng)分布

直線與雙曲線的位置關(guān)系，定

22解答題12V7VV難0.25

點(diǎn)問題

?2?

摸底卷A數(shù)學(xué)(一)

數(shù)學(xué)(一)

一、選擇題

1n2VeInTe、兒廣/、Inx、八

2

1.D【解析】由題得集合M={^|0<x-3x<4}=——,e=3一=—，設(shè)/(①)=——，7>0.則

(-1,OJU[3,4),又N={3#^彳}?所以MQN=2

—1)=:手工，故當(dāng),r€(0,€)時(shí)，/'(了)>0,八^)

(-1,O]U故選D.

單調(diào)遞增；當(dāng)(e,+8)時(shí)，/'(了)<0,/(工)單調(diào)

2.A【解析】由(l—i)z=(2-i)。得==丄4二？-=

1—1遞減,又a=/(4)=/(2),Z)=/(*),<■="&■),所以

(3—4i)(1+i)_71.疋_7?1-m

(1—=2一?所以2=總+三"故Z

a=/⑵>//)=<■,a=/(4)</(^>)=4,所以￡<

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(看,十)位于第一象限.故

aV6.故選D.

選A.8.C【解析】易知當(dāng)正三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球

3.A【解析】由斑=4應(yīng).得E-f書=4(連一第)，的球心在正三棱錐內(nèi)部.如圖，

整理得莊=4"苗+4■神=《威一卷■衣，所以

4444

"—X(_,)=一條故選A.

4.B【解析】設(shè)光岳樓墩臺(tái)的高為厶則/?=9x(32+

4)=9m,所以光岳樓墩臺(tái)的體積約為V=4x(322

+34.52+32X34.5)X9=9954.75m3.故選B.

5.D【解析】先后按動(dòng)八，5,。中的兩個(gè)不同的開關(guān)，

在正三棱錐P-ABC中，設(shè)AB=a,Z\ABC外接圓的

有A1=6種方法，若要1號(hào)燈亮，則按第一個(gè)開關(guān)時(shí)，圓心為Q,半徑為小正三棱錐外接球的球心為。，半

1號(hào)燈火?按第二個(gè)開關(guān)時(shí)，1號(hào)燈亮，此時(shí)對應(yīng)的方

徑R=2,則r=?x哮。=紙.連接PD,則PD丄平

法有2種：(氏C').(C,B)；若要2號(hào)燈亮，同理可得

有以下2種方法：(A,C),(C,A),故所求的概率為

而ABC,且點(diǎn)O在線段PD上，連接OA.則PD=R

=故選D.2

b6+/J-戸=2+^4-ya,所以正三棱錐

6.C【解析】由題意可知,/(丁)的最小正周期T=^

P-ABC的體積亨X(2+

一因?yàn)楦嬉话?靑<弓,所以尸、L=袋為74-T02)=経(2+^4-ya2)?令t=

/(#)的一條對稱軸.則/(了)在L/之后的零點(diǎn)依

^4-ya2(0</<2)，則/=12—3/,所以V=號(hào)(4一

仍由7式丄T13」77rl3T257t77rl5T37」

次為五+彳=0■,五+7=0■,五+丁=五’產(chǎn))(2+力=4(---2戶+4，+8).設(shè)f(,t')=-t3-

用+早=費(fèi)?…，若”工)在區(qū)間(冷〃]上恰有3

2/+4r+8(0<f<2),則/'(7)=-3/-4r+4,令

個(gè)零點(diǎn)?則等<￡<翳.故選C./a)=0,得/=《■或￡=一2(舍去).則當(dāng)0<Y等

7.D【解析】由題意得。=畢=惇"=匕總工=時(shí)./'(，)>0,/(，)單調(diào)遞増；當(dāng)?shù)?lt;，<2時(shí)，

42e"

數(shù)學(xué)(一)參考答案及解析

O11.AD【解析】由題意可得F(1.0),準(zhǔn)線方程為I=

ra)vo單調(diào)遞減，所以當(dāng)，=守時(shí)，八。取

一1.A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,直線A3經(jīng)

極大值.即最大值，則此時(shí)V最大，VM=4X過焦點(diǎn)F，且斜率不為0,設(shè)直線人團(tuán)才=,”+1,聯(lián)

立「一7十1,消去彳得力一4扌-4=0,厶>0,所

(一農(nóng)—告+++8)=警.故選C.3=4彳

以yg=-4,B錯(cuò)誤；若點(diǎn)則y=1,所以

二、選擇題

32=—4,所以力=+，]2=4,所以|AB|=為+

9.ABC【解析】因?yàn)锽C〃AD,所以/EAD(或其補(bǔ)

角)即為異面直線AE與BC所成的角，又AD=DE+2=；+4+2=?C錯(cuò)誤；易知直線。人丿=

=AE,所以/EAD=60°,即異面直線AE與3c所成44

的角為60°,A正確；連接AC交3D于點(diǎn)O,則點(diǎn)()(_2L

—X,聯(lián)立卜,，解得y、=_3_=_岑=

為正方形ABCD的中心，連接EF,根據(jù)正棱錐的性

IlT了

質(zhì)可知EF必過點(diǎn)O,且OE丄平面ABCD,所以O(shè)E

丄BD,又BD丄AGOEClAC=O,OE,ACU平面4—4

，由gg=-4,得y=---，所以,'=山，所以

ACE,所以3。丄平面ACE,又CEU平面ACE?所以>1----------------------------2-V

3D丄CE.B正確；由對稱性可知OE=OF?(M=OC,點(diǎn)N在直線Z2上，D正確.故選AD.

所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以AF〃CE,又

AF0平面CDE,CEU平面CDE.所以AF〃平面

CDE,同理8尸〃平面CDE,又AFD3F=F,AF,3F

U平面A3F.所以平面A3F〃平面CDEX正確；由

AE=AF,OE=OF,得AO丄EF,在正方形ABCD

中，AO丄BD,又BDAEF=O,所以AO丄平面

BEDF,所以NAEO即為宜線AE與平面BDE所成

的角，設(shè)該八面體的棱長為2,則八0=十八。=

12.BCD【解析】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)/7工〉及其導(dǎo)函數(shù)

2

十豆阡翦=成■，所以EO=y/AE-A(^=72/'(工)的定義域均為R.若/(2—工)為奇函數(shù).則

/■(2+工)=一/(2—力，則/(#)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)

=AO.所以NAEO=45°,D錯(cuò)誤.故選ABC.

對稱，且/(2)=0,故A錯(cuò)誤；因?yàn)榘?才+4)為偶

函數(shù)，所以/(2工+4)=/(—2工+4),即f(x+4)=

/(一1+4).則/(x)=/(8-H),又/(2+才)=

一/(2一了)*所以,/■(>)=一/(4一工)，所以/(8-x)

=一/(4一了)，即/(了+4)=-/(幻，所以/(J-+8)

=『(￡),故一彳)的周期為8,所以/(2024)=/⑹,

/(2020)=f(4),在/(才+4)=—/(了)中，令x=Q,

得〃4)=-/(0),所以-2024)=—八2020),故B

正確；對“r+8)=/(工)兩邊同時(shí)求導(dǎo),得f'(x+

10.BD【解析】由題得/(l)=]2+2/'(l)i,所以

8)=/(才)，所以導(dǎo)函數(shù)/'(工)的周期為8,所以

/(D=1+2/(1),解得/(1)=-1,A錯(cuò)誤；所以

//(一：l)=/'(7),故C正確；由/'(?r)周期T=8,

f(x')=-^-xi-J?2+,//(/)=①2—2]=](1—2).

得/'(一2OZDn/”)，/(2025)=/(1),對

則當(dāng)工<0或i>2時(shí)，/(n)>0；當(dāng)0</<2時(shí)，/(Z)=一/(4一工)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得/(x)=/(4-

一(%)V0,所以八①)在(一8,0)和(2,+8)上單調(diào)工),令工=1,得f(1)=/(3),所以

遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，所以41)有兩個(gè)極值/(-2021)=/(2025).故D正確.故選BCD.

點(diǎn)，B正確；/'(z)=>—2/=(1—1)2-1二一1,所三、填空題

以曲線丁=/(”)的切線的斜率不可能為一2,(?錯(cuò)13.7【解析】令工=1.得(3—。)(-1?=4,解得a

=7.

誤；因?yàn)椤ü?+/(2—1r)=気3—経+q+.(2—

14.工一爲(wèi),一1=0(或用]+?+乃+2=0或々工+夕+

力一(2—/)2+年=2,所以點(diǎn)(1,1)是曲線y=

71-2=0,寫出一個(gè)即可)【解析】由題意得.圓C

/(])的對稱中心，D正確.故選BD.與圓D相外切，且C(一l,0),D(0,一而)，將兩圓的

2

摸底卷A數(shù)學(xué)（一）

方程相減即得兩圓的內(nèi)公切線方程：工一①？一1=則S“=四二|z=!2=〃2,（6分）

0.因?yàn)閳AC與圓D的半徑相等，故外公切線與直線

CD平行,又4。="惡=一遍,所以圓C與圓》的所以，S2“-22”+1_（2〃一]）（2〃+1）—2\2?-1

外公切線的方程可設(shè)為'=一偌工+6,即乃工+yi2^TT）（8分）

=0,則總”（）~丄=1,解得/>=一乃+2或1>=所以T?=-j-[（1-■+（士-----\）+…*

一傷一2,所以兩條外公切線的方程為G\r+?+西

+2=0或修才+y+倍一2=0.綜上所述.圓C與圓

D公切線的方程為a—Qy—1=0或遅，+3,+質(zhì)+=丄（1--L-）=±__」，

2V2〃+1丿24〃-2

2=0或8\+?+&-2=0.又WN"

（））

15.e-l【解析】設(shè)Z*—1是曲線/O上的一點(diǎn)，所以?。唬际?（10分）

/（*）=｝,所以/（“）在點(diǎn)（/4—1）處的切線方

程為y—d+1=e，（1—1），即y=e\r+（1~/）ez—18.解：（1）因?yàn)閏cosCeos（A—B）+c=csin2C

1,令g'（I）=:=e'?解得］=「'，又且（6’）=1一十〃sinAsinC?

所以由正弦定理得sinCcosCcos（A—B）+sinC=

3

/,所以，-^=3,1—/=（1—f）e'?所以1=0sinC+sinAsinBsinC?

e—/

因?yàn)镃E（O,TT）,所以sinC#0,

或當(dāng)時(shí)，切線方程為.此時(shí)〃不

f=1.f=0v=?=0,所以cosCcos（A—B）4-1=sin2C+sinAsinB,

符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，切線方程為了=口一

f=l1,（3分）

故A=e,〃=—1,所以k+b=e—1.

貝ljsinAsinB=cosCcos（A—3）+（1—sin2C）

16.50/10【解析】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，AB所在直線為彳=cosCcos（A—B）+cos2c

軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為￡+百==cosC[cos（A—B）+cosC]

a-ir

=cosCCcos（A—B）—cos（A+B）]

l（a>4>0）,且c=一亡.由小王與燈B的最短=2cosCsinAsinB,（4分）

距離為50m,得a—c=50,又|AI3\=2c=400,又因?yàn)锳,BE（0,TO,所以sinA,sinB70,

則c=200.a=250.由于點(diǎn)M與燈A,B的距離之比

所以cosC=y.

為3：2,所以可設(shè)點(diǎn)M與燈A.B的距離分別為3k.

2K4>0.由橢圓的定義可知:次+2及=2X250=500,

所以C=y.（6分）

解得4=100,所以|MA|=300,|MB|=200,

|MA|2+|MB|2-|AB|2

所以cosNAMB=J~~力畫燈號(hào)加|一1一=⑵由⑴可知C=y,

22222

3002+2002—40（）2—?1—?—?所以由余弦定理得c=a+6-2a/;cosC=a+6

；.由MC=』（MA+MB）,

-2X3OOX2OO-4Z―ab^2ab-ab—ab

得前2=4-（疏2+読2+2|頂||続|8$//^?）=即abW/=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=，=4時(shí)取等號(hào).（9分）

因?yàn)锳ABC的面積S△板=》&sinC=yc-CD,

25000,所以|流|=50不?即此時(shí)小王與燈C的

距離為50/l0m.所以CD=ahs，nC評=2后

四、解答題

17.解：（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為/所以線段CD長度的最大值為273.（12分）

19.解：（1）???線段AN是圓（）的直徑.

由?2成等比數(shù)歹U,得足=。2即?

：.AE_LBE,

即（1+44）2=（1+4）（1+134）,

即42—24=0,解得4=0或4=2.（3分）???BE=/AB2-AF=3.（1分）

當(dāng)d=0時(shí)，a”=l；???BC丄平面ABE,AE,SEU平面ABE,

當(dāng)d=2時(shí)，a“=々|+（〃-l）d=2〃-1.：.BC±AE.BC±BE,

綜上所述q=1或厶=2〃一1.（5分）：.CE=/BE24-BC2=/34,