新教材人教A版8.3.2圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積課件（45張）

圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積

必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式導(dǎo)思1.怎樣求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積?2.怎樣求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積?圖形面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱

底面積:S底=πr2;側(cè)面積:S側(cè)=_____;表面積:S=2πrl+2πr2圓錐

底面積:S底=πr2;側(cè)面積:S側(cè)=____;表面積:S=πrl+πr22πrlπrl圖形面積公式旋轉(zhuǎn)體圓臺(tái)

上底面面積:S上底=πr′2;下底面面積:S下底=πr2;側(cè)面積:S側(cè)=__________;表面積:S=π(r′2+r2+r′l+rl)π(r′+r)l【思考】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系?提示:圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系:S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r′+r)lS圓錐側(cè)=πrl.2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式柱體的體積公式V=___(S為底面面積,h為高);錐體的體積公式V=______(S為底面面積,h為高);臺(tái)體的體積公式V=_______________.Sh【思考】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系?提示:柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系:V=ShV=(S′++S)hV=Sh.3.球的表面積和體積(1)表面積:S=_____.(2)體積:V=_______.4πR2【思考】怎樣解釋V=S表面積R?提示:把球O的表面分成n個(gè)小網(wǎng)格,連接O與每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn),整個(gè)球體就分割成了n個(gè)“小錐體”.當(dāng)n越大,每個(gè)小網(wǎng)格越小,每個(gè)“小錐體”的底面就越平,“小錐體”就越近似于棱錐,其高就越近似于球的半徑R,設(shè)O-ABCD是其中一個(gè)“小錐體”,則SO-ABCD=SABCDR,由于球的體積就是這n個(gè)“小錐體”的體積之和,這n個(gè)“小錐體”底面積的和就是球的表面積,故球的體積V=S表面積R=×4πR2R=πR3.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩球的半徑比為3∶1,則體積比為9∶1. (

)(2)長(zhǎng)方體既有內(nèi)切球又有外接球. (

)(3)球面展開是平面的圓面. (

)提示:(1)×.體積比為27∶1.(2)×.長(zhǎng)方體一定有外接球,但是不一定有內(nèi)切球.(3)×.球面不能展開成平面圖形.2.若將棱長(zhǎng)為4的一塊正方體木料經(jīng)過切割、打磨加工出一個(gè)體積最大的球,則這個(gè)球的體積是 (

)

【解析】選A.欲將正方體打磨成體積最大的球,即求出與該正方體每個(gè)面均相切的內(nèi)切球即可,設(shè)球的半徑為R,則2R=4,R=2,故V=πR3=π·8=.3.(教材二次開發(fā):例題改編)一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于一個(gè)球的直徑,則圓柱的表面積與球的表面積之比為 (

)A.2∶1 B.3∶2 C.4∶3 D.1∶1【解析】選B.設(shè)球的半徑為R,則圓柱的表面積S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,球的表面積S2=4πR2,S1∶S2=3∶2.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為9的正方形,則這個(gè)圓柱的側(cè)面積為(

)

A.9π B.12π C.π D.π2.(2020·南充高一檢測(cè))用與球心距離為1的平面去截球,所得截面圓的面積為π,則球的表面積為 (

)A. B. C.8π D.3.圓臺(tái)的兩個(gè)底面面積之比為4∶9,母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180,則圓臺(tái)的側(cè)面積為

.

【解析】1.選A.由于圓柱的軸截面是面積為9的正方形,則h=2r=3,所以圓柱的側(cè)面積為2πr·h=9π.2.選C.設(shè)球的半徑為R,則截面圓的半徑為所以截面圓的面積為S=(R2-1)π=π,所以R2=2,所以球的表面積S=4πR2=8π.3.圓臺(tái)的兩個(gè)底面面積之比為4∶9,所以設(shè)圓臺(tái)的上底面圓的直徑為4k,下底面圓的直徑為6k,由于母線與底面的夾角是60°,所以母線長(zhǎng)為2k,高為k.由于軸截面的面積為180,所以解得k=6(負(fù)值舍去).所以圓臺(tái)的上底半徑為12,下底半徑為18,母線長(zhǎng)為12.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(12+18)×12=360π.答案:360π【解題策略】1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積的求解步驟解決圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖,借助平面幾何知識(shí),求得所需幾何要素,代入公式求解即可,基本步驟如下:(1)得到空間幾何體的平面展開圖.(2)依次求出各個(gè)平面圖形的面積.(3)將各平面圖形的面積相加.2.球的表面積的求法要求球的表面積,關(guān)鍵是知道半徑R或者通過條件能求出半徑R,然后代入球的表面積公式求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在一個(gè)圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐,圓錐的底面與圓柱的上底面重合,頂點(diǎn)是圓柱下底面中心.若圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形,則圓錐的側(cè)面展開圖的面積為(

)

【解析】選A.根據(jù)題意知,圓錐的高為2,圓錐的底面半徑為1,所以圓錐的底面周長(zhǎng)為2π,圓錐的母線長(zhǎng)為所以圓錐的側(cè)面展開圖的面積為S=×2π×=π.類型二圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為120°,半徑為9的扇形,則這個(gè)圓錐的體積為 (

)

A.18π B.54π C.10π D.30π2.兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球,熔化成一個(gè)球,這個(gè)大球的半徑是

.

3.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,其中正視圖和側(cè)視圖都是一個(gè)兩底長(zhǎng)分別為2和4,腰長(zhǎng)為的等腰梯形,則該幾何體的體積是

.

【思路導(dǎo)引】1.求出展開扇形的弧長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng),進(jìn)而求出底面圓的半徑后求體積;2.利用熔化后的大球體積求半徑;3.根據(jù)三視圖確定幾何體類型,求出相關(guān)的量后用公式求體積.【解析】1.選A.依題意,扇形的弧長(zhǎng)為l=×9=6π,因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)為圓錐底面的周長(zhǎng),所以圓錐底面半徑為=3,圓錐的高為故圓錐的體積為×(π×32)×6=18π.2.設(shè)大球的半徑為R,則有πR3=2×π×13,R3=2,所以R=.答案:

3.由三視圖可知此幾何體為一圓臺(tái),上底半徑為2,下底半徑為1,如圖,h=

故體積V=π(22+2×1+12)×1=答案:

【解題策略】解決與球有關(guān)的組合體問題的解題技巧(1)與球有關(guān)的組合體問題:解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)位置,明確有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并且作出合適的截面圖.(2)球與旋轉(zhuǎn)體的組合,通過作它們的軸截面解題.(3)球與多面體的組合,通過多面體的一條側(cè)棱和球心、切點(diǎn)或接點(diǎn)作出截面圖.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD(如圖),若底面圓的弦AB所對(duì)的圓心角為則圓柱被分成的兩部分中較大部分的體積為

.

【解析】由題意可知,圓柱中較大部分的底面面積為×22·π+×2×2×sin所以較大部分的體積為答案:10π+32.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為底面圓半徑的倍,且其側(cè)面積為4π,則該圓錐的體積為

.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,則母線為r,其側(cè)面積為4π,所以×2πr×r=4π,解得r=2,圓錐的高為4,則該圓錐的體積為答案:

類型三表面積、體積公式的應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1與球有關(guān)的切、接問題

【典例】已知一長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在同一球面上.若球的體積為π,則該長(zhǎng)方體的體積為 (

)

【思路導(dǎo)引】球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度等于球的直徑.【解析】選B.長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在同一球面上,所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑,球的體積為π,所以解得R=2,長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度為4,所以長(zhǎng)方體的高為所以長(zhǎng)方體的體積為1×1×【變式探究】本例中,若一個(gè)圓柱的底面半徑為,它的兩個(gè)底面圓周均在球O的球面上,試求圓柱的體積.【解析】如圖,由例題可知OA=R=2,O′A=r=,OO′=1,

則圓柱的高為2,故圓柱的體積V=π×()2×2=6π.角度2組合體的體積

【典例】如圖,某幾何體由兩個(gè)同底面的圓錐組合而成,若底面積為9π,小圓錐與大圓錐的高分別為4和6,則該幾何體的表面積為

.

【思路導(dǎo)引】該幾何體的表面積等于兩個(gè)圓錐的側(cè)面積相加.【解析】因?yàn)榈酌娣e為9π,所以底面圓的半徑為r=3,所以該幾何體的表面積為S=π·3·()=(15+9)π.答案:(15+9)π【解題策略】球的切接問題處理策略及常用結(jié)論(1)在處理與球有關(guān)的相接、相切問題時(shí),一般要通過作一適當(dāng)?shù)慕孛?將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決,而這類截面往往指的是圓錐的軸截面、球的大圓等.(2)幾個(gè)常用結(jié)論①球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;②球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑;③球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱底面圓的直徑;④球與棱錐相切,則可利用V棱錐=S底h=S表R,求球的半徑R.【題組訓(xùn)練】1.(2020·杭州高一檢測(cè))已知各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,4,5,則這個(gè)球的半徑為

,球的表面積為

.

【解析】各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,4,5,則該球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球,設(shè)球的半徑為r,則(2r)2=32+42+52,解得r=故球的表面積為S=4π·r2=50π.答案:

50π2.如圖所示的幾何體是一棱長(zhǎng)為4的正方體,若在其中一個(gè)面的中心位置上,挖一個(gè)直徑為2,深為1的圓柱形的洞,則挖洞后幾何體的表面積是

.

【解析】正方體的表面積為4×4×6=96,圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=2π,則挖洞后幾何體的表面積為96+2π.答案:96+2π【補(bǔ)償訓(xùn)練】三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長(zhǎng)分別為2a,a,a,求其外接球的表面積和體積.【解析】以三棱錐的三條側(cè)棱為長(zhǎng)方體從一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,則該長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球,其球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng),故2R=R=a,所以S球=4πR2=6a2π,V球=圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)求圓錐的表面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，底面圓的周長(zhǎng)是展開圖的弧長(zhǎng)．圓臺(tái)通常還要還原為圓錐．1.數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積；3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積。(1)公式法(2)等積法(3)補(bǔ)體法(4)分割法求幾何體體積的常用方法課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知圓