2023年新高考一輪復(fù)習(xí)講義第35講 等差數(shù)列及其前n項和含解析

2023年新高考一輪復(fù)習(xí)講義第35講等差數(shù)列及其前n項和

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?浙江?杭師大附中模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛/｝的前〃項和為S,,,%=7,a,T=29,S,,=198,則”=

（）

A.10B.11C.12D.13

2.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，。4=2%,則^

（）

75

A.-B.-1C.1D.一

44

3.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開

艙.據(jù)科學(xué)計算，運載“神十三”的"長征二號”F遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，

以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需

要的時間大約是（）

A.10秒B.13秒C.15秒D.19秒

4.（2022?福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前〃項和為S,,,若$7=28,則/+%+%的值

為（）

A.8B.10C.12D.14

5.（2022?海南?？?二模）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，已知S9=3（《+G+4“），貝U

加=（）

A.9B.8C.7D.6

6.（2022?全國?高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離

稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。A，CG，8%的是舉,

OD、,DC,,Cq,AA,是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為*=05*=K,瞿=網(wǎng),普=%.己知

UL/[￡/C|Co,D/y

占,&2,收成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則6=（)

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

7.（2022?重慶?二模）等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前幾項和為S“，若%=5,則鼠的最大值為（）

A.3B.6C.9D.12

8.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛〃〃｝與等差數(shù)列｛"｝的前〃項和分別為S〃和T”，且

S?n4

^=—7,那么胃的值為（）

T?〃+1瓦

13n14-15r16

A.—B.—C.—D.—

12131415

9.（2022?廣東?華南師大附中三模）已知數(shù)列｛4｝滿足4+2+（-1）"q=3,《=1,%=2,數(shù)列｛q,｝的前”

項和為S“，則53。=（）

A.351B.353C.531D.533

10.（多選）（2022?河北滄州?二模）已知數(shù)列｛可｝滿足4=l,q,+2=（-1嚴（4-〃）+〃，記和,｝的前〃項和為

%則（）

4

A.360=1。。B.?5（）-?46=

C.=600D.$49=601

11.（多選）（2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測）記數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是

()

A.若。1+。2>°，貝1」。2+。3>。

B.若4+。3<。，則。2<0

C.若6</，貝!J。2>

D.若％<0,則（/一4）（出一々3）>。

12.（2022?北京?101中學(xué)三模）已知等差數(shù)歹lj｛%｝中。2=7,2%+4=5,則生叱一生3二.

13.（2022?山東青島?二模）將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第〃行共有2〃T個數(shù)，若4=2,

且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42,則4=.

ai

。2C13

C14。5。6。7

14.（2022?遼寧?撫順一中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若兀=3知，則％=,

§9=--------------

15.（2022?江蘇?南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國

人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所

示，相鄰兩個節(jié)氣的日辱長變化量相同，冬至日號長最長，夏至日號長最短，周而復(fù)始.已知冬至日號長為

13.5尺，芒種日唇長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日辱長的和為尺

畀長逐漸變小

目長逐漸變大

16.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛4｝中，%+%+2%）=8,則數(shù)列｛%｝的前13項和為.

17.（2022?廣東?模擬預(yù)測）已知｛%｝和也｝均為等差數(shù)列，若％=仇=6嗎+4=9,則%+4的值是

18.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和是5,,,兒>。，519<0,則數(shù)列｛|%|｝中值

最小的項為第一項.

19.（2022?湖北?大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前”項和為S”，?,=-U,4=-9,且

S,用+S,i=2S“+2（〃N2）.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

（2）已知b“=」一，求數(shù)列出｝的前”項和7”.

anan+\

20.（2022?山東?濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）在“①->4，4%）=44,%+%=15；②—=5%,

%=3；③25“=〃（〃+3）”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答.

己知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S,，且__________.

（1）求｛q｝的通項公式；

,1,、1

（2）若包=----,求也｝的前〃項和為】，求證：Tn<-.

anan+\2

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）已知sinx,siny,sinz依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論簿送

的是（）

A.tanx,tany,tanz依次可組成等差數(shù)列B.cosx,cosy,cosz依次可組成等差數(shù)列

C.cosx,cosz,cosy依次可組成等差數(shù)列D.cosz,cosx,cosy依次可組成等差數(shù)列

2.（2022?遼寧?渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前w項和為S“，且滿足

2sin（%+2）-3%-5=0,2sin+2）--7=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.52022=2022,且“5>“2018B.52（122=-2022,且“5<”2018

=

C.^2022-4044,且為>“2018D.$2022=4044,且“5<“2018

3.（多選）（2022?江蘇?南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知兩個等差數(shù)列｛%｝和但,｝,其公差分別為4和

4，其前〃項和分別為S“和T”，則下列說法正確的是（）

A.若｛瘋｝為等差數(shù)列，貝3=2“B.若母+1｝為等差數(shù)列，則4+4=。

C.若｛《也,｝為等差數(shù)列，則4=%=°D.若b“wN*,則｛4｝也為等差數(shù)列，且公差為44

4.（多選）（2022?福建南平?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點AG/,）,其中

i=l,2,3,……且x；,y”Z.記a”=x“+y”,如A(1,0)記為q=1,4(1,一1)記為々=0,A(0,T)記為

4=7,…，以此類推；設(shè)數(shù)列｛4｝的前八項和為S”.則（）

5.（2022?湖北?荊門市中學(xué)一模）在數(shù)列｛%｝中，4=1,1+（-1）%,,=",〃eN*,貝

｛4｝的前2022項和為

6.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛為｝的前〃項和$,,=/（a為常數(shù)），則%必-。謝=

；設(shè)函數(shù)g(x)=8x+sin(萬x)-cos(萬x)且g(aj+g(%)++g(%)=18,則%=.

第35講等差數(shù)列及其前n項和

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?浙江?杭師大附中模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛/｝的前〃項和為S,,,%=7,a,T=29,S,,=198,則”=

（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項的性質(zhì)和前"項和公式求解.

【詳解】因為5“=〃（4+""）="（%+。一）,

22

又“5=7,4,7=29,5“=198,

所以18〃=198,

所以〃=11,

故選:B.

2.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為5“，%=2%,則3=

（）

75

A.-B.-1C.1D.-

44

【答案】C

【分析】利用等差中項2%=%+〃6，2%=%+%及等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：在等差數(shù)列｛4｝中，2%=4+。6，%=24，故〃6=。，

又2%=%+。，故的=-%，

則與=54+%+4+a7=54，故時"=1.

故選：C.

3.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開

艙.據(jù)科學(xué)計算，運載“神十三'’的“長征二號”產(chǎn)遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，

以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需

要的時間大約是（）

A.10秒B.13秒C.15秒D.19秒

【答案】D

【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的定義可知每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列｛%｝,結(jié)合等差數(shù)列的前〃項求和公

式計算即可.

【詳解】設(shè)每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列｛《,｝,

則｛〃“｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，

由求和公式有2〃+“（〃-1）=〃2+〃=380,

解得〃=19.

故選：D.

4.（2022?福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛七｝的前”項和為S,,,若邑=28,則4+%+%的值

為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得%=4,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡得到4+%+%=3%,即可

求解.

【詳解】因為邑=28,由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得邑=現(xiàn)詈=7%=28,即/=4,

貝lj4++%=3al+9d=3（q+3d）=3%=12.

故選：C.

5.（2022?海南?？?二模）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛4,,｝的前〃項和為S,,,已知品=3（%+6+金），貝I」

（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式化簡可得.

【詳解】因為59=33+%+%）,又$9=9%,

所以9%=3（4+%+q“）,

所以4+%+4”=3%,即4+4=2%，

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

則4+2d+q+（/?-l）rf=2（q+4d）,

所以（m+l）d=8d,又dwO,

所以1+m=8,

所以團=7.

故選：C.

6.（2022?全國?高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離

稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。。（?！?用,44,是舉，

ODVDCVCBVBA,是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為景=0.5,—^=配崇=&黃=%.己知

CzzJ|￡/C|C￡J|￡）/11

K，網(wǎng)，&成公差為0」的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則勺=（）

華

y

A

cZ小\

1/a一

0D\X

圖1圖2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設(shè)OR=r)G=。g=3=1,則可得關(guān)于右的方程，求出其解后可得正確的選項.

【詳解】設(shè)ODT=DCI=CB、=BA=1,則CC\=k、,BB}=k2,AA)=k3,

DD.+CC、+BB、+AA八

依題意,有k「02=p「0.l=k2,且OR+￡+C"=。儂，

0.5+3右一0.3…u山nn

所以-----r----=0.725,故心=0.9,

故選：D

7.（2022?重慶?二模）等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項和為5“，若4=5,則鼠的最大值為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】先利用等差數(shù)列的通項公式得到首項，再利用等差數(shù)列的前"項和公式和一元二次函數(shù)求其最值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項為卬，

因為a,n=5,且4=2,

所以4+2（機-1）=5,

解得4=7-2m,

m(a+a)_z??(12-2m)

貝US.尸}m

22

=-(W-3)2+9<9,

即，w=3時S,“取最大值為9.

故選：C.

8.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛q｝與等差數(shù)列加,）的前〃項和分別為S.和且

2=-那么F的值為（

)

T1t〃+1'

1314r16

A.—B.—D.—

121315

【答案】C

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝、｛2｝的公差分別為4、人,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、公差之

間的關(guān)系，可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝,｛0｝的公差分別為4和4.

SnnS,a.11

片瓦r?.7二r5和《=臥

S,2〃i+42.

:〒=而1方=4,即6=3&-24①

1)"lU-yJ

S33a,4-3d,3,……

,〒不拓="即々=44-34②

由①②解得4=4,&=4?

1」一

..=4+74211J5

b-j瓦+6d24+6414

故選：C

9.（2022?廣東?華南師大附中三模）已知數(shù)列｛%｝滿足4-2+（T）"%=3，4=1，%=2,數(shù)列｛%｝的前"

項和為5“，則$3。=（）

A.351B.353C.531D.533

【答案】B

【分析】根據(jù)題意討論〃的奇偶，當(dāng)“為奇數(shù)時，可得”,+2-?！?3,按等差數(shù)列理解處理，當(dāng)〃為偶數(shù)

時，可得4+2+%=3,按并項求和理解出來，則次按奇偶分組求和分別理解處理.

【詳解】依題意，??+2+（-1）"??=3,

顯然，當(dāng)〃為奇數(shù)時有勺+2-%=3,

即有4-4=3,%一4=3,....=3,

令d=*，故%-包=3,

所以數(shù)列｛〃｝是首項為1,公差為3的等差數(shù)列，

故包=3?-2;

當(dāng)”為偶數(shù)時有4+2+4=3,

口［］。4+。2=3,a6+=3,a2n+2+a2n=3,

于是，S30=（4+Cly++。29）+（W+“4++^30）

=（4+勿++生）+［/+,4+。6）++（。28+4。）］

=■15+^4x315+2+7x3=330+23=353,

2

故選：B.

10.（多選）（2022,河北滄州?二模）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1"岫2=（-1）向（%-九）+明記｛4｝的前〃項和為

S“，則（)

A.?48+?50=100B.%）-?46=4

C.S48=600D.5,9=601

【答案】BCD

【分析】由條件可得當(dāng)“為奇數(shù)時，?！?2=q=4=1；當(dāng)〃為偶數(shù)時，%+。什2=2〃，然后可逐一判斷.

【詳解】因為4=1,%+2=（-1嚴（4—〃）+〃，

所以當(dāng)”為奇數(shù)時，a”+2=%=%=1；當(dāng)”為偶數(shù)時，%+*=2".

所以a4s+%>=96,選項A錯誤；又因為=92,所以%>-％6=4,選項B正確；

548=4+/+/++&7+［（”2+44）+（4+g）++（々46+包8）］

=24x14-2x（2+6++46）=24+2x^——會——=600

故C正確

549=S4g+“49=600+1=601,選項D正確.

故選：BCD

11.（多選）（2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測）記數(shù)列伍“｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是

（）

A.若”|+%>0，則4+“3>0

B.若4+4<0，則出<0

C.若4<%，則>小6。3

D.若4<0,則（%—4）（生一6）>0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等差中項，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列伍“｝的首項為4,公差為d,則

對于A,由數(shù)列｛““｝是等差數(shù)列及4+々>0,所以可取4=1,?2=0,4=T，所以4+%>。不成立，故

A正確；

對于B,由數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，所以2a②=q+6<（）,所以生<0恒成立，故B不正確:

對于C,由數(shù)列伍/是等差數(shù)列，可取4=-3,w=-2,a3=-l,所以4＞用^不成立，故C正

確；

對于D,由數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，得（七—《）（42-生）=一屋40,無論為為何值，均有（％—4）3—0,）40

所以若q＜0,貝1]（%-4）（弓一四）＞0恒不成立，故D正確.

故選：ACD.

12.（2022?北京?101中學(xué)三模）已知等差數(shù)歹U｛%｝中心=一1,2%+4=5,則a2022f20=.

【答案】4

【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項公式基本量計算得到方程組，求出公差，求出答案.

a,+d=-1

【詳解】設(shè)公差為小則K「八’,,0，

解得：匕'nJ所以.2022-a2。2。=2"=4

[4=2

故答案為：4

13.（2022?山東青島?二模）將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第〃行共有2"T個數(shù)，若q=2,

且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42,則%=.

02a.i

(1445C16a?

【答案】2n

【分析】利用等比數(shù)列前〃項和公式確定42為數(shù)列中的第幾項，可以求出公差，從而確定等差數(shù)列的通項

公式.

【詳解】解：設(shè)公差為d,

因為該數(shù)陣第〃行共有2,T個數(shù)，

則前4行共有巴1二2。=15個數(shù)，

1-2

所以第5行第6列數(shù)為%=42,

則"學(xué)導(dǎo)2,

所以a“=2+(〃-l)x2=2〃..

故答案為：2〃.

14.（2022?遼寧?撫順一中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若兀=3卬，則％=

$9=-------

【答案】00

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，化簡可得d=2q,代入％=3a”即可求出4=-4d,根據(jù)等差數(shù)列的

通項公式和求和公式，即可求出答案.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝中，幾=12q+66d=3%=3q+30d,

所以12q+66d=3q+30d,

即q=-4d,

所以%=4+4d=0,S9=9a5=0

故答案為：①o；②o.

15.（2022?江蘇?南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國

人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所

示，相鄰兩個節(jié)氣的日暑長變化量相同，冬至日暑長最長，夏至日劈長最短，周而復(fù)始.己知冬至日辱長為

13.5尺，芒種日唇長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日導(dǎo)長的和為尺

畀長逐漸變小

目長逐漸變大

【答案】60

【分析】因為相鄰兩個節(jié)氣的日辱長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日唇長構(gòu)成等差數(shù)列，所以夏至到立冬

的日愚長的和可以用等差數(shù)列求和公式得到.

【詳解】因為相鄰兩個節(jié)氣的日唇長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日辱長構(gòu)成等差數(shù)列，

設(shè)冬至日愚長13.5尺為4,則芒種日號長2.5尺為出，所以d=4F?=-l，

所以夏至日號長為1.5尺，

記夏至日署長1.5尺為白，小暑為打，大暑為4............立冬為狐

則a+a++Z>I（）=10-1.5+。（，二01=60.

故答案為：60.

16.（2022?重慶八中模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛4｝中，4+4+2%。=8,則數(shù)列｛4｝的前13項和為.

【答案】26

【分析】由等差數(shù)列的通項公式得4+64=2,再代入求和公式&3=13（4+6d）可求得答案.

【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,因為4+%+2陽=8,

」.（q+d）+（4+5d）+2（4+9d）=8,

q+6d=2,

則S|3=]3q+13X（；3二1）d=13（4+6d）=26,

故答案為：26.

17.（2022?廣東?模擬預(yù)測）已知｛《,｝和也｝均為等差數(shù)列，若巧=4=6,%+么=9,則為+仄的值是

【答案】6

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可得解.

【詳解】解：因為｛4,,｝和也｝均為等差數(shù)列，

所以q+%=24也+4=2々，

所以4+/+b2+4=2（%+么），

即《+&+12=2x9,

所以為+4=6.

故答案為：6.

18.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和是舊,兒>0,S19<0,則數(shù)列｛|/|｝中值

最小的項為第一項.

【答案】10

【分析】根據(jù)題意判斷等差數(shù)列｛4｝的%>。，?10<0,由此可判斷數(shù)列｛|4|｝的項的增減

情況，進而確定答案.

【詳解】由題意得：幾=也竽@=19%,<0,

Sl8=9（a10+ez9）>0,：.%>0,a9>-ain>0,

故等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，即公差為負數(shù)，

因此｛1qI）的前9項依次遞減，從第10項開始依次遞增，

由于悶>%|，，｛1?！?｝最小的項是第1。項，

故答案為：10

19.（2022?湖北?大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛%｝的前八項和為S,,a,=-11,?,=-9,且

S,,M+S,I=2S,,+25W2）.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）已知b?=----,求數(shù)列也｝的前〃項和T”.

anan+\

【解】(1)由題意得：

由題意知⑸+-6-5-)=2,則—2(“22)

又％-％=2,所以｛可｝是公差為2的等差數(shù)列，貝iJq=q+(，Ll)d=2〃-13；

(2)由題知bn=(2〃_13)(2〃-11)=5(2〃-13-2〃-1J

n

一⑵-22〃

20.(2022?山東?濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測)在“①“44。=44,4+%=15；②S‘=5%,

4=3；③25“=”5+3)”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答.

已知等差數(shù)列｛叫的前八項和為5“，且.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)若a=」一，求也｝的前〃項和為求證：T.＜：.

anan+\2

【解】(1)若選擇①，因為44。=44,%+%=15,a)+al0=a4+ag,

解得出=4,a,0=11,

設(shè)公差為d，則有的=4+24=4,《0=4+94=11,

解得q=2,d=l,

所以勺=〃+1.

若選擇②，設(shè)公差為d,$=7%=5a6，

即7（4+3d）=5（4+5d）,

結(jié)合4=4+4=3,解得q=2,d=l,

所以%="+1.

若選擇③，當(dāng)〃=1時，q=S|=2；

n(n+3)(〃-1)(〃+2)

當(dāng)〃22時,a“=S“-S“_\=n+\,

22

當(dāng)〃=1時亦滿足上式,

所以%=〃+1.

(2)證明：由(1)得4=--------=7—7^—T-=———)

anan+](〃+1)(〃+2)〃+1,14-2

所以(=-1---1-1---1-------1---F4------1--------------1----=-1-----------1-----,

“2334〃+1〃+22〃+2

因為*（〃eN*）,所以;-為

所以

【素養(yǎng)提升】

I.（2022?浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）已知sinx,siny,sinz依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論《肯考

的是（）

A.tanx,tany,tanz依次可組成等差數(shù)列B.cosx,cosy,cosz依次可組成等差數(shù)列

C.cosx,cosz,cosy依次可組成等差數(shù)列D.cosz,cosx,cosy依次可組成等差數(shù)列

【答案】B

TTTT

【分析】取X=-g,y=0,z=m，即可判斷A；利用反證法，假設(shè)cosx,cosy,cosz依次可組成等差數(shù)列，

66

則有2cosy=cosx+cosz,2siny=sinx+sinz,兩式相加，整理即可判斷B；取

sinx=-2&,si”=0,sinz=?&,從而可判斷CD.

33

【詳解】解：對于A,當(dāng)工=一丁TT,），=0"=丁TT時，

66

此時sinx=-l,siny=O,sinz=l依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，

則tanx=-3,tany=0,tanz=3依次組成等差數(shù)列,故A正確；

對于B,假設(shè)cosx,cosy,cosz依次可組成等差數(shù)列，

則有2cosy=cosx+cosz,

又因2siny=sinx+sinz,

兩式平方相力口得4=2+2(8Sxcosz+sinxsinz),

則cos(x-z)=l,

故x-z=2k兀,所以x=2Z乃+z,k￡Z,

所以sinx=sin(2公r+z)=sinz,與題意矛盾，

所以cosxcosxcosz依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯誤；

對于C,當(dāng)sinx=—2&,siny=0,sinz=?立時,

33

若cosx=一±cosz=Lcosy=l,貝伊或其以^乞工成丁為等差數(shù)列，故c正確；

33

對于D,當(dāng)sinx=—,siny=0,sinz=時,

若cosz=—g,cosx=；,cos)，=l,則cosz,cosx,cosy為等差數(shù)列，故D正確.

故選：B.

2.(2022?遼寧?渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測)己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足

2sin(%+2)-3%-5=0,2sin(^018+2)-3^018-7=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.S2022=2022,且>出。%B.,^2022=—2022,且為<“2(“8

C.$2022=—4044,且“5>“2018D.52022=4044,且“5<“20IB

【答案】C

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)/(x)=2sinx-3x,確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進而根據(jù)

fM+2),/(a20l8+2)的關(guān)系即可確定答案.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=2sinx-3x,則/(x)為奇函數(shù)，且尸(x)=2cosx-3<0,所以/⑶在R上遞減，由已

知可得2sin(%+2)-3(%+2)=-l,Zsin^^+2)-3(a2Olg+2)=1,有/(為+2)=-1,/(/誼+2)=1,所

以/(。5+2)</(。2018+2),且./(%+2)=—/(。2018+2),所以“5+2>%018+2n“5>。2018，且

2022(fl2022)

%+2=-(%38+2),所以見+/。18=-4，^022=y=l0lK?5+a20l8)=-4044.

故選：C.

3.(多選)(2022?江蘇?南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測)己知兩個等差數(shù)列｛4｝和也,｝,其公差分別為4和

‘2,其前〃項和分別為S”和7”，則下列說法正確的是()

A.若｛向｝為等差數(shù)列，貝IJ4=2《B.若｛，+7;,｝為等差數(shù)列，貝U4+4=0

C.若｛%"｝為等差數(shù)列，則4=W=0D.若b“eN”,則｛%｝也為等差數(shù)列，且公差為4a

【答案】ABD

【分析】對于A,利用2瘋=￡+何化簡可得答案；

對于B,利用2&2+()=E+彳+$3+4化簡可得答案；

對于C,利用2a2瓦=+%&化簡可得答案；

對于D,根據(jù)。%一%,=44可得答案.

【詳解】對于A,因為｛底｝為等差數(shù)列，所以2病=￡+底，

即入/q+%=如+[%+%+/，所以R24+4=如+,3q+34,

化簡得(4-24『=0,所以4=2%,故A正確；

對于B,因為⑸+<｝為等差數(shù)列，所以2(S2+5)=E+7；+S3+7；,

所以2(2q+4+2Z?|+%)=4+4+3〃[+34+3b、+3d、,

所以4+4=。，故B正確；

對于C,因為｛“也｝為等差數(shù)列，所以2a2打=。占+44，

所以2(q+4)(4+&)=3+(4+2d1)(々+24),

化簡得44=0,所以4=0或4=0,故c不正確：

對于D,因為=6+("-1)4,且b,WN*,所以%,=。|+("-1)4=q+[4+(〃-1)4-1]4，

所以%=0+(a-1)4-1)44，

所以%“—%=4+(々一1)4+"44—4-(4―1)4一(〃一1)44=44，

所以｛%｝也為等差數(shù)列，且公差為44,故D正確.

故選：ABD

4.(多選)(2022?福建南平?三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點4(4乃)，其中

，=1,2,3,?、”,一-且知外€2.記4=%+%，如4(1,0)記為q=1,4。,一1)記為出=°，A(0,T)記為

%=-『??，以此類推；設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”.則（)

也0?…4…-熱

…二42

-小---4-4?-3---■

3"("+1)

A.a2n22=42B.$2022=—87C.%,=2〃

【答案】ABD

【分析】由圖觀察可知第〃圈的8”個點對應(yīng)的這8〃項的和為0,則邑r+4“=°，同時第〃圈的最后一個點對

應(yīng)坐標(biāo)為（〃,〃）,設(shè)出022在第％圈,則k圈共有4%（%+1）個數(shù)，可判斷前22圈共有2024個數(shù),%儂所在點

的坐標(biāo)為（22,22）,向前推導(dǎo)，則可判斷A,B選項；當(dāng)〃=2時，/所在點的坐標(biāo)為（一2，-2）,即可判斷

C選項；借助54/用=0與圖可知5435“=%+5.-54“.4“='“3，―++，1、即凡項之和，對應(yīng)點

的坐標(biāo)為（〃+L〃）,即可求解判斷D選項.

【詳解】由題，第一圈從點0,0）到點。,1）共8個點，由對稱性可知$8=4+%++6=0;第二圈從點

（2,1）到點（2,2）共16個點，由對稱性可知%-既="9+4。++%=0,即邑4=。，以此類推，可得第〃

圈的8〃個點對應(yīng)的這8〃項的和為0,即$8,（^=S4“x“=°,

2

設(shè)。2。22在第k圈，則8+16++弘=（8+魯”=4電+1）,由此可知前22圈共有2024個數(shù)，故邑。24=。，

則$022=§2024-（%）24+。2023），“2024所在點的坐標(biāo)為（22,22）,則%）24=22+22=44，。2023所在點的坐標(biāo)為

（21,22）,則%>23=21+22=43,%儂所在點的坐標(biāo)為（20,22）,則外值=20+22=42,故A正確；

52022=^2024一（%）24+4023）=。一（*+43）=-87,故B正確；

4所在點的坐標(biāo)為（U），則4=1+1=2,”所在點的坐標(biāo)為（一2，-2）,則%=-2-2=-4,故C錯誤；

S4“2+5“=S4『+5“-Sg「a.",+q』++”』,，對應(yīng)點的坐標(biāo)為(〃+1，〃)，(”+1,〃一1),…，

(n+1,1),所以=(〃+1+〃)+(胃+1+〃一1)++(〃+1+1)=(2〃+1)+2〃++(九+2)

(2n+\+n+2)n3n(n+l]山?丁小

----------!-=—^——故D正確.

2------2

故選：ABD

5.(2022?湖北?荊門中學(xué)一模)在數(shù)列｛4｝中，4=1,。向+(-1)"&=〃，"wN*,則％=

｛4｝的前2022項和為.

【答案】31023133

【分析】求出數(shù)列前若干項，根據(jù)其特性，分別求和后再可解即可.

【詳解】由〃”+]+(-1)"勺=〃，得4用=〃一(一1)〃%，又6=1，

所以%=1—(―1)4=2,%=2—(―1)~電二°，。4=3—(―1)3%=3,%=4-(一1)4〃4=1，

a6=5-(-1),心=6,

6?

cij=6—(―l)6r6=0,%=7—(—I)，%=7,%=8—(―I)'%=],a10=9—(-1)6^=10,

1(，

%、=10—(—1)alQ=0,k=]]-(-1)"%=H?

，B

%3=12-(-1)~?12=1,a]4=13-(-1)a｝3=14,…；

因為2022=505x4+2,

所以，明顯可見，規(guī)律如下：

%,%，%，小，，%,成各項為1的常數(shù)數(shù)列，其和為1x506=506,

a2,4Z6,?10,6Z14,,%022,成首項為2,公差為4的等差數(shù)列，其和為

506x2+^^x4=5062x2=512072,

2

”成各項為0的成常數(shù)數(shù)列，其和為0x505=0,

505x504

，%儂，成首項為3,公差為4的等差數(shù)列，其和為505x3+*2*4=510555,

故與<>22=506+512072+0+510555=1023133.

故答案為:①3；②1023133.

6.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和5,,=〃2+。"（°為常數(shù)），則%磔-出⑼=

；設(shè)函數(shù)g(x)=8x+sin(乃x)-cos(;rx)且g(q)+g(4)++g(a9)=18,則氏=.

【答案】2；!

4

【分析】根據(jù)數(shù)列前〃項和與第〃項的關(guān)系、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合輔助角公式、構(gòu)造

函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

22

【詳解】當(dāng)"22,〃eN*時，a?=Sn-S?_l=M+aH-(n-l)-a(n-l)=2n+a-l,

當(dāng)〃=1時，顯然成立，

因為當(dāng)〃之2,”eN-時，an-an_t=2,

數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，且公差"=2,所以生022-4⑼=2.

又因為g(x)=8x+sin7tx-cosTLX=8x+x/2sin兀(x-；)=8(x-；)+四sinit(x-；)+2.

令hQ)=8t+&sinnt,因為fi(-t)=-8f+41sin(-Kf)=—(8?+&sinnt)=-h(t),

所以/?⑺為奇函數(shù)，

因為〃'(f)=8+夜兀cosTtf>0,所以〃⑺在R上單調(diào)遞增.

由題意得[g(4)—2]+[g(%)-2]++[g(%)—2]=0,

因為數(shù)列｛q｝是公差不為0的等差數(shù)列，其中＜%,

則q

"'4>-

因為(4

，所以

h+/?

假設(shè)［q1，同理可得1

4444

1111

綜上，4=0=>4+%=

4

故答案為：2；1

第36講等比數(shù)列及其前n項和

學(xué)校:姓名:班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?山東?濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）在等比數(shù)列｛%｝中，已知4=2,4-〃3+%=26,則％=

（）

A.20B.12C.8D,4

「、1111

2.（2022?山東?模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛4｝滿足：a2+a4+a6+a^=20,a2-a^=2f則一+—+—+—

〃2“4”6”8

的值為（）

A.20B.10C.5