電磁場鏡像法

關(guān)于電磁場鏡像法

根據(jù)前面的討論知道：在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布時，可用Laplace'sequation求解場分布；在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時，用Poisson'sequation

求解場分布。如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個或者幾個點電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問題又如何求解？這就是本節(jié)主要研究的：解決這類問題的一種特殊方法—稱為鏡象法。第2頁,共48頁，2024年2月25日，星期天1、鏡象法的基本問題

在點電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時，空間的靜電場是由點電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。

在所求的場空間中，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點而言能否用場空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個或幾個假想的電荷來代替呢？光學(xué)成像理論給我們的啟發(fā)：當(dāng)我們把點電荷作為物，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷就可作為我們所說的象，然后把物和象在場點處的貢獻迭加起來，就是我們討論的結(jié)果。第3頁,共48頁，2024年2月25日，星期天2、鏡象法的理論基礎(chǔ)

鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實質(zhì)是在所研究的場域外的適當(dāng)?shù)胤剑脤嶋H上不存在的“象電荷”來代替真實的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點的作用。在代替的時候，必須保證原有的場方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation

和邊界條件決定。這里要注意幾點：

a)

唯一性定理要求所求電勢必須滿足原有電荷分布所滿足的Poisson‘sequationorLaplace’sequation，即所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由點電荷位置、大小不能變）。因此，做替代時，假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。第4頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

b)由于象電荷代替了真實的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認為原來的真實的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個空間看成是無界的均勻空間。并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場域的介電常數(shù)。（實際是通過邊界條件來確定假想電荷的大小和位置）。

c)一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。

d)象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場方面與真實的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實的感應(yīng)電荷或真實的極化電荷相等，不過在某些問題中，它們卻恰好相等。

e)鏡象法所適應(yīng)的范圍是：①所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點電荷代替；②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。第5頁,共48頁，2024年2月25日，星期天3、鏡象法的具體應(yīng)用

用鏡象法解題大致可按以下步驟進行：a)正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；（坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定）b)根據(jù)給定的邊界條件計算象電荷的電量和所在位置；c)由已知電荷及象電荷寫出勢的解析形式；d)根據(jù)需要要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。鏡像法往往比分離變量法簡單，但它只能用于一些特殊的邊界情況。第6頁,共48頁，2024年2月25日，星期天點電荷與平面導(dǎo)體(a)Q(b)Q(c)Q點電荷與球形導(dǎo)體Qo(d)(e)oQ點電荷的鏡像第7頁,共48頁，2024年2月25日，星期天各種簡單邊界的組合作為邊界(c)Q(a)Q(b)Q第8頁,共48頁，2024年2月25日，星期天線電荷與平面導(dǎo)體(a)λ(b)λ(c)λ線電荷與圓柱形導(dǎo)體λo(a)(b)oλ線電荷的鏡像第9頁,共48頁，2024年2月25日，星期天導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為：（1）鏡像電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷不一定相等。（2）由鏡像法求出電勢分布以后，由上式可求感應(yīng)平面與圓柱形邊界的組合作為邊界電荷(a)λ(b)λ(c)λ第10頁,共48頁，2024年2月25日，星期天電偶極子的鏡像(b)(a)p(c)pp(d)po(e)p(f)op注意：鏡像電荷的位置由邊界形狀決定，與電量及界面性質(zhì)無關(guān)。第11頁,共48頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)用舉例接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷，求空間電勢。解：根據(jù)唯一性定理左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點，電勢滿足泊松方程。邊界上設(shè)電量為，位置為（0，0，）

從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，設(shè)想在導(dǎo)體板左與電荷Q對稱的位置上放一個假想電荷Q’，然后把板抽去。這樣，沒有改變所考慮空間的電荷分布（即沒有改變電勢服從的泊松方程）QQ/zPrr′a第12頁,共48頁，2024年2月25日，星期天由邊界條件確定和、唯一解是

因為象電荷在左半空間，所以舍去正號解討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布第13頁,共48頁，2024年2月25日，星期天（b）電荷Q產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導(dǎo)體面上它與無導(dǎo)體時，兩個等量異號電荷產(chǎn)生的電場在右半空間完全相同。

（c）

與位置對于導(dǎo)體板鏡象對稱，故這種方法稱為鏡象法（又稱電象法）（d）導(dǎo)體對電荷Q的作用力相當(dāng)兩點電荷間的作用力第14頁,共48頁，2024年2月25日，星期天導(dǎo)體板上部空間的電場可以看作原電荷與鏡象電荷共同激發(fā)的電場。場點P的電勢導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實可以用板下方一個假想電荷Q’代替?？梢钥闯觯胂箅姾扇〈袘?yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡潔方法。第15頁,共48頁，2024年2月25日，星期天鏡像法所解決的問題中最常見的是導(dǎo)體表面作為邊界的情況，但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的場問題。例2設(shè)電容率分別為ε1和ε2的兩種均勻介質(zhì)，以無限大平面為界。在介質(zhì)1中有一點電荷Q，求空間電勢分布。解：先考慮介質(zhì)1

中的電勢，設(shè)想將下半空間換成與上半空間一樣，并在z=-a處有Q的像電荷Q’來代替分界面上極化電荷對上半空間場的影響。則在Z>0的區(qū)域，空間一點的電勢為Q介質(zhì)1介質(zhì)2a-aQ’zx(1)第16頁,共48頁，2024年2月25日，星期天再考慮介質(zhì)ε2中的電勢φ2，這時我們不能用上面的像電荷Q'來計算ε2區(qū)域內(nèi)的電勢。這是因為，按照電像法，像電荷必須在所考慮的區(qū)域之外。所以，我們現(xiàn)在把在ε2區(qū)域外的電荷Q及其引起的極化電荷合起來，用ε2區(qū)域外的一個像電荷Q''來統(tǒng)一考慮。設(shè)z>0上半空間的介質(zhì)ε1全部換為介質(zhì)ε2

，并在z=b處有一電荷Q''，則z<0下半空間里任一點的電勢為(2)第17頁,共48頁，2024年2月25日，星期天下面由邊界條件定Q’,Q”和b，邊界條件為：(3)(4)(5)(6)即將(1)(2)兩式帶入(3)并取x=y=0,可得到將(1)(2)兩式帶入(4)并取x=y=0,可得到(7)第18頁,共48頁，2024年2月25日，星期天將(1)(2)兩式帶入(5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,(8)由以上三式解得a=b所以第19頁,共48頁，2024年2月25日，星期天交界面上極化電荷面密度Q所受的庫侖力等于它的像電荷Q’對它的作用力，即第20頁,共48頁，2024年2月25日，星期天解：（1）分析：因?qū)w球接地故球的電勢為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個點電荷，場應(yīng)具有軸對稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。3.真空中有一半徑R0的接地導(dǎo)體球，距球心a>R0

處有一點電荷Q，求空間各點電勢。球坐標(biāo)系PROZθQQ/r′r第21頁,共48頁，2024年2月25日，星期天（2）由邊界條件確定和設(shè)

PR0OZ因任意的解得①

②第22頁,共48頁，2024年2月25日，星期天①

，Q發(fā)出的電力線一部分會聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無窮遠。（3）討論：第23頁,共48頁，2024年2月25日，星期天②球面感應(yīng)電荷分布導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認為電荷移到地中去了。第24頁,共48頁，2024年2月25日，星期天總感應(yīng)電荷為即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷Q'的大小。也可以這樣證明：根據(jù)Gauss定理，對球作Gauss面，即aQRoQ感bQ'第25頁,共48頁，2024年2月25日，星期天式中的是象電荷Q'和真實電荷Q共同產(chǎn)生的，即故Q感=Q'即感應(yīng)電荷的電量Q感等于象電荷的電量Q'。第26頁,共48頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)上述例子，作如下幾點討論：

a)導(dǎo)體球既不接地又不帶電這種情況與本例的差別僅在于邊界條件，這里導(dǎo)體球不帶電，即要求滿足電中性條件顯然，例3的解不滿足電中性的條件，如果在球內(nèi)再添置一個象電荷

，則滿足電中性條第27頁,共48頁，2024年2月25日，星期天件，為了不破壞導(dǎo)體是等位體的條件，由對稱性知道，Q"必須放在球心處，于是再由第28頁,共48頁，2024年2月25日，星期天得到

b)導(dǎo)體球不帶電其電勢為U0

這種情況與例3的差別仍然在邊界條件，這里U0

是已知常數(shù)，導(dǎo)體球的電勢為U0，相當(dāng)于在球心處放置了電量為的點電荷，顯然，其解為第29頁,共48頁，2024年2月25日，星期天由得到c)若點電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處這時與例3的情況相比，僅是源電荷的位置由球第30頁,共48頁，2024年2月25日，星期天外搬進到球內(nèi)。此時，接地球殼外無場強，場的區(qū)域在球內(nèi)。故可根據(jù)光路可逆性原理來解釋：球內(nèi)的電勢等于源電荷Q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）—象電荷Q'（在球外處）產(chǎn)生的電勢：這里要注意：象電荷的電量Q‘大于源電荷的電量Q，球殼內(nèi)的電勢與導(dǎo)體球殼是否接地、是否帶電無關(guān)。

第31頁,共48頁，2024年2月25日，星期天d)若導(dǎo)體球帶電q但不接地這種情況的物理模型為：則球心有電荷（q-Q')，則P點的電勢為RobQ'aQxrr'Pq-Q'第32頁,共48頁，2024年2月25日，星期天由得到第33頁,共48頁，2024年2月25日，星期天順便計算導(dǎo)體對點電荷Q的作用力：此時，源電荷Q所受到的作用力來自球面上的電荷，即從而得到第34頁,共48頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)a>>R0

，，即近似為兩點電荷作用，作用力為排斥力；當(dāng)Q靠近球面時，，此時不論q與Q是否同號，作用力永遠為引力，這可由在Q附近的感應(yīng)電荷與其反號來解釋。就是Q與Q'及位于球心處的等效電荷q+Q''的作用力之和。第35頁,共48頁，2024年2月25日，星期天4.均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢由于靜電屏蔽，場區(qū)域只能在球外。Solution:

本題的物理圖象是在原有的均勻電場中放置一中性導(dǎo)體球。此時導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場，故使原來的場空間電場發(fā)生了變化，如圖所示。由此可見，球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。R0------++++++第36頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

第一步：用兩個點電荷±Q激發(fā)一均勻場點電荷±Q放在對稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標(biāo)原點附近的區(qū)域內(nèi)。

第二步：將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中+Q-Qzaao第37頁,共48頁，2024年2月25日，星期天這樣一來，±Q相當(dāng)于兩個場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來代替它，即

此時+Q在球面上感應(yīng)的電量為，-Q在球面上感應(yīng)電量為，這仍然保持導(dǎo)體球為電中性（不管導(dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的

+Q-QzaaR0bbo第38頁,共48頁，2024年2月25日，星期天電勢就是這四個點電荷分別在某點產(chǎn)生的電勢的迭加，即因為a>>R，

則選略去和第39頁,共48頁，2024年2月25日，星期天即又因為

皆為小量，應(yīng)用展開式第40頁,共48頁，2024年2月25日，星期天則有第41頁,共48頁，2024年2月25日，星期天

第一項恰好等于原均勻場以o點為參考點電勢。第二項恰好等于位于o點的電偶極矩為的電偶極子的電勢。原點附近像電荷代替感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電偶極矩第42頁,共48頁，2024年2月25日，星期天5.半徑為R0,電容率為ε的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中，求電勢分布。解：設(shè)均勻電場E0方向為Z軸正方向，則E0可看成是由Z軸上兩個等量異號電荷激發(fā)，一是位于z=-∞處的正電荷Q，一是位于z=+∞處的負電荷-Q。這一對正負電荷的鏡像電荷正好組成一個電偶極子位于坐標(biāo)原點，所以，求球外空間的電勢φ1時，可用原點處的電偶極子p代替極化電荷的作用。(1)第43頁,共48頁，2024年2月25日，星期天求球內(nèi)空間的電勢