高中數(shù)學(xué)30個知識點匯總（表格制）

集合與常用邏輯用語

崎一組對象的全體.xeA,xeA元素特點：互異性、無序性、確定性

子集XEA^>X&BOAQB0QA

關(guān)系真子集xeA=>XG5,3x0eB,x0wN。月u3

集相等A=B、B=AoA=B〃個元素集合子集數(shù)2”

合

交集NCl3={x|xe4且xeB]CMNU3)=(C/)n(Q8)

后算并集A\<}B=[x\x&A,^x&B]qx4n3)=(CL，4)U(C*)

集

CA且A]G/W)="

合補集V={x|.vet7x￡

能夠判斷真假的語句

與

原命題與逆命題，否命題與逆否命題互逆；原

常原命題：若p,則《

命題與否命題、逆命題與逆否命題互否；原命

用命題四種逆命題：若，，則p

邏命題否命題：若―\P,則「q題與逆否命題、否命題與逆命題互為逆否?；?/p>

常為逆否的命題等價

輯逆否命題：若「q,則」夕

用

用充分條件p=>G，p是q的充分條件若命題p對應(yīng)集合A,命題q對應(yīng)集合B,

邏充要

語必要條件pnq,q是p的必要條件則?二>0等價于4=3,2等價于

輯條件

充要條件pOq,〃,夕互為充要條件A=B。

用

類比集合的并

語或命題p^q,有一為真即為真，夕,g均為假時才為假

邏輯

且命題p^q,p,q均為真時才為真，夕,g有一為假即為假類比集合的交

連接詞

非命題-W和p為一真一假兩個互為對立的命題類比集合的補

全稱量詞V,含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定為特稱命題

量詞

存在量詞3,含存在量詞的命題叫特稱命題，其否定為全稱命題

復(fù)數(shù)

規(guī)定：z2=-1；實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，并且運算時原有的加、乘運算律仍成

虛數(shù)單位

立。*=4k+14k+2=一產(chǎn)

l,i=i,i1,+3=_j（kGZ）o

形如a+加（，力eR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a叫做復(fù)數(shù)的實部，辦叫做復(fù)數(shù)的虛部。

瞬艘

b手G時叫虛數(shù)、a=0,6w0時叫純虛數(shù)。

復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di{a,b,c,deR)Oa=c,Z>=d

共匏復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)。即二二。+加，則三=a—加。

復(fù)數(shù)

加減法(4+6。土(c+di)=(a土c)+(6±d)i,(a,b,c,deR)。

、一忖Z乘法(a+bi)(c+cii)=(ac-bd)+(be+ad}i,(a,b,c,deR)

后算

/7.、/i.\ac+bdbe-da,[.C六、

除法(a+bz)+(c+di)=「----------------yzz(c+dzW0,a,b,c,dTcR)

c+dc+d

幾何復(fù)數(shù)二=a+歷＜一"^應(yīng)＞復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,Z＞）＜一~^應(yīng)＞向量OZ

意義向量歷的模叫做復(fù)數(shù)的模，|1=Jl2+/

平面向量

向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長度口撇該向量的模。

重0向量長度為o,方向任意的向量?！?與蹲向量共線】

要平行向量方向相同或者相反的兩個m曙向量叫做平行向量，也口哄線向量。

概

向量夾角起點放—點的兩向量所解角，范圍是［。,司?！辏┑膴A角記為＜￡$＞。

念

蛭<a,b>=G,bcos9叫做不在［方向上的投影?！咀⒁猓和队笆菙?shù)量】

重盛工2不增，存在唯一BSJ實數(shù)對（2,//），使2=忘1+4工2。若工1,工2為X,y軸上的單位

基本定理

要

正交向量，（4//）就是向量）的坐標(biāo)。

法

_^表示坐標(biāo)表示（向量坐標(biāo)上下文理解）

則

共穌件aib（1共線u＞存在唯一實數(shù)義，Z=41（看,凹）=旗?為）0再必=*2弘

垂直條件

理aA-ba*b=0x,v,+x2v2=0

法則Z+辦的平行四邊形法則、三角形法則

加法a+b=(xl+x2,yl+y2)

X-人A

平運算算律a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)與力士去否有同樣的坐標(biāo)表示

面

法則Z一1的三角形法則a-b=(x-x,y-y)

向減法l2l2

運算

量分解^ON-OM河=（小-￡2“一加）

小）為向量，N＞0與￡方向相同，

雌花=(Ar,Ay)

2＜0與0方向相反，,《=阿忖

娥

各

、"XCi?r

運算

種Mild)=(A//)t7,(A+")a=Aa+pa,

算律與姚旗有同樣的坐標(biāo)表示

運A(a+bi)=Aa+M)

算

喻^?b=

a-bcos<a,b>a*b-xxx2+yxy2

同二百+9，

數(shù)量主要

a?a=7,a?b<d'Z)

積運蜩|甲2+弘必|K舊+才7K+狀

算

—*—?—?—?—?—?—?-?

a?b=b?a,(a+b)?c=t?c+b?c,與上面曦量積、數(shù)痔具有同樣的坐標(biāo)

算律

表示方法。

(布)i=4?(篇)=Z(6F*6)0

不等式與線性規(guī)劃

(1)a>b,b>c=>a>c;兩個實數(shù)的順序關(guān)系：

(2)a>b,c>0nac>be；a>b,c<Q=>ac<be;a>b=a-b>0

(3)a>b^>a+c>b+c;a=boa-b=0

a<b<^>a-b<Q

質(zhì)(4)a>b,c>dna+c>b+d;

a>b<=>-<-的充要條件是

(5)a>b>0,c>d>G=>ac>bd;ab

(6)a>b>0,neN\〃>1=>a">b"；&i>^Jbab>0Q

解一元二次不豺;實際上就是求出對應(yīng)的一元二財程的實數(shù)根(如果有實數(shù)根)，再結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)的圖

-7LZJ!^F

象艇其大于零或者小于零的區(qū)間，在含有字母參數(shù)的不等式中還要根據(jù)第的不同取值確定方幫g的大小

等式

以及函數(shù)圖象的開口方向，從而確定不等式的解集.

a+b>2y[ab(a3>0);ab<(f/^)2(abwR);<Jab

鼻2a+b2

(。力22

(a>0,b>0)-V~26>0);a+b>lab0

二元一如二元一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐標(biāo)系中表示Ax+By+C=O某T廝有點組成

等式組的平面區(qū)域。_兀一次不幸C組的解集是指各個不等式解集所表不的平面區(qū)域的公共部分。

約束條件對變量x,.y的制約條件。如果是的一次式，則^^性約束條件

目標(biāo)函數(shù)求解的最優(yōu)問題的表達(dá)式。如果是x,y的一次式，則稱線性目標(biāo)獻(xiàn)。

可行解滿足線性約束條件的解(x,j)叫可行解.

可行域所有可行解組成的集合叫域

使目標(biāo)級取得最大值或者最〃值的可行解叫最優(yōu)解。

簡單的

在線性約束條件下求線性目標(biāo)蠲的最大值或者最大值的問題，

第一步畫出可行域。注意區(qū)域

不含

第二步根據(jù)目標(biāo)理數(shù)幾何意義確定最優(yōu)解。邊界的虛實。

問題實際背景

第三步求出目標(biāo)函數(shù)的最直

解法

含第一步設(shè)會個變量，建立約束條件和目標(biāo)球。注意實際問題對變

實際背景第邙同不含實際背景的解法步黑量的限制。

算法、推理與證明

順序結(jié)構(gòu)依次執(zhí)行程序框圖，是一種用程序框、流

邏輯

條件結(jié)構(gòu)根據(jù)條件是否成立有不同的流向程線及文字說明來表示算法的

結(jié)構(gòu)

算法循環(huán)結(jié)構(gòu)按照一定條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟圖形。

睇

輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句。

語句

歸納推理由部分具有某種特征推斷整體具有某種特征的推理。

合情推理

類比推理由一類對象具有的特征推斷與之相似對象的某種特征的推理。

演繹推理根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.

推理綜合法由已知導(dǎo)向結(jié)論的證明方法。

數(shù)學(xué)直接證明

與分析法由結(jié)論反推已知的證明方法。

證明

證明間接證明主要是反證法，反設(shè)結(jié)論、導(dǎo)出矛盾的證明方法。

數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法是以自然數(shù)的歸納公理做為它的理論基礎(chǔ)的，因此，數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自

歸納然數(shù)有關(guān)的命題。分兩步：首先證明當(dāng)n取第一個值n。（例如n0=1）時結(jié)論正確；然后假設(shè)當(dāng)

法n=k（左eM,左2%）時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確.

計數(shù)原理與二項式定理

完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有叫種不同的方法，在第2類方案中有I火種不

分知□法

同的方法.....在第〃類方案中有7%種不同的方法.那么完成這件事共有

計數(shù)原理

有N=叫+m2+---+mn種不同的方法.

完成一件事情，需要分成〃個步驟，做第1步有"4種不同的方法，做第2步有種不同的方

分步乘法

法……做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有N=叫X"&X---X%種不同的

計數(shù)原理

方法.

從n個不同元素中取出iii(in<〃)個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從從n個不同元

排

定義素中取出個元素的一個排列，所有不同排列的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出

列

排列7〃(〃，<〃)個元素的排列數(shù)，用符號47表示。

組

合排列數(shù)

4：=〃(〃一1)(〃一2)…(”-7〃+1)=————(7A77/GN,777K〃)，規(guī)定0!=1.

公式(〃-〃/)!

從n個不同元素中，任意取出〃/?！?lt;?)個元素并成一組叫做從n個不同元素中取出

項

式定義7〃(W<77)個元素的組合，所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出<77)個

定元素的組合數(shù)，用符號C：表示。

組合

理組合數(shù)m_W(W-1)--(w-w+l)m_4"

Vr?一.Vr?一.

公式"〃，！"4：

蜩C；=C：-m(111,7?GN,且7〃V〃)；C21=C,7+C；"T(m,〃eM且7〃4〃).

定理(a+b)n=C：a"+Cy~lb+-+C^an-rbr+-+(C：叫做二項式系數(shù))

一項

通項公式T—i=X(其中04左左wN,weN*)

式ZE

C>C；C；-c；=c：1；c：+c：+c；+…+c；+…+c=2";

理系數(shù)和+1+2++1

公式C：+C；+C；+-=C；+C；+C：+-2"T；e+2C；+3C；+-.+〃C=〃2i

函數(shù)、基本初等函數(shù)I的圖像與性質(zhì)

本質(zhì)：定義域內(nèi)任何Y自變分寸應(yīng)毛的函數(shù)直兩函數(shù)相等只要定義域和對應(yīng)法^相同即可。

解析式法、表格法、圖象法。分段函數(shù)是T理數(shù)，其定義域是各段定義域的并集、值域是各段值

表示方法

域的并縝

對定義域司/,玉,與

函數(shù)e1,%<x2,,偶蠲在定義聯(lián)于

單調(diào)性是增函數(shù)。/(再)<

/(x)/(x2),坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間

。上具有相反的單調(diào)性、

RM/(-V)是減函數(shù)Q/(Xj)>f(x2)

表ZF疇對豉摩的K,/(X)是本教O/(.V)=f(-x),奇蔽在定義域關(guān)于

坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間

奇偶性f(x)是奇函數(shù)o/(-X)=-f(x)。偶函數(shù)圖象關(guān)于

上具有相同的單調(diào)性

y軸對稱、奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.

周期性對成加gx,舌瞳常數(shù)T,f(x+T)=f(x)

指數(shù)函數(shù)0<<7<1(-00,+00)單調(diào)遞減，工<0時1，<1,.》>0時0<1，<1函數(shù)圖象過定

班y=cf<7>1(-00,+℃)單^^增，工<0時0<>?<1,%>0時9>1點(0.1)

初等對數(shù)函數(shù)0<?<1在(0,內(nèi))單調(diào)遞減，0<x<l時y>0,x>l時y<0函數(shù)圖象過定

函數(shù)

y=iogflxa>l在(0,+ao)單調(diào)遞增，0cx<1時y<0,x〉l時y>0點(L0)

I

尋函數(shù)a>0在在(0,內(nèi))單調(diào)遞增，圖象過坐標(biāo)原點函數(shù)圖象過定

y=xaa<0在在(0,內(nèi))單調(diào)遞減點(1,1)

函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用

方程/(x)=0的實數(shù)根。方程/(x)=0有實數(shù)根。函數(shù)y=/(.r)的圖象與x軸有交點。函

函數(shù)3

數(shù)V=/(x)有零點?

零點

存在定理圖象在［a,b］上連續(xù)不斷，若/3)/(方)<0,則y=/(x)在(a,b)內(nèi)存在零點。

崎把實際問表達(dá)的數(shù)量變化規(guī)律用函數(shù)關(guān)系刻畫出來的方法叫作函數(shù)建模。

閱讀審題分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。

函數(shù)

數(shù)學(xué)建模弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式。

建模

解題步驟解答模型利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果。

解釋模型將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出答案。

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

函數(shù)J=/(X)在點x=與處的導(dǎo)數(shù)/'(*)=lim""+個，~"*).

與幾

何意幾何/'(內(nèi))為曲線y=f(x)在點(與J(z))處的切線斜率，切發(fā)方程是

義意義y-/(*)=/'(Z)XX-N)).

C=Q(C為常數(shù))；(/)'=n/i(〃eN?)；

05

(sinx)f=cosH(cos>：y=-sinx；

亞

(/)'=—(")'=aTna(0>(),且〃H1);

紈

Qnx)，=L(loga?=lloga。(a>0,且〃H1).Qn|x|>'=-.

XX

運算[/(X)士g(切，=f(x)士g，(x)；

[/(x)?g(切'=F(??g(x)+/(x)?g'(x)，[Cf(x)y=cf(x)；

運算

[出[=3冬皿假3。?0),11'一g'(x)

頡

-2

]g(x)」g&)Lg(x)_g(x).

復(fù)合國財序觀.】，=[/(g(x))]'=八g(x))g。).

導(dǎo)

單調(diào)性的各個區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間.

數(shù)/'(x)>0/'(^)<o

研允

及極值_/'(%>)=0且/'(X)在飛附近左負(fù)(正)右正(負(fù))的可力極小(大)值點。

函數(shù)

其［qb］上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，最大值和區(qū)間端點值和區(qū)間內(nèi)的極大值中的最大

應(yīng)者，最小值和區(qū)間端點和區(qū)間內(nèi)的極小值中的最“者.

用

在區(qū)間［?6］上是連續(xù)的，用分點。=z)<再<---<Xj_j<Xj<---<x*=6將區(qū)間

口力］等分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間卜口引上任取一點4(z=l,2,

修

L/a她=蚓￡?/")?

如果/(X)星［ad］上的連續(xù)函數(shù)，并且有Fr(x)=/(x),則

否

^f(x)dx=F(b)-F［a}.

定積

分^{x)dx=k^f(x)dx(上為常數(shù))；

百f[/(力士g(x)H=]：/(》只士。(於；

^f[x}dx=j：J；/(x)rfr.

區(qū)間［qb］上的連續(xù)的曲注y=/(x),和直統(tǒng)x=ajc=b(a^b),y=Q所圍成的曲邊悌形

簡單

的面積S=也.

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

y

基任意角a的終邊與單位圓交于點尸(Ky)時，sine=匕cosa=K,tana=」.

X

本

同角三角.yy,sina

問sin'a+cos“a=l,----=tana。

函數(shù)關(guān)系cosa

題

誘導(dǎo)公式360°±a,180°±a,-a,90°±a,270°±a,"奇皆嘉限

值域周期單調(diào)區(qū)間奇偶性對稱中心對稱1由

K=

7T_77C_,

角增一一+2上萬,一+2左牙

v=sinx2k兀22

函E奇函數(shù)(彳乃.0)k7T+—

角(xeR)7T_,3兀_72

數(shù)減一+2后萬,一十

函2ATT

的_22

數(shù)y=cosx

增［一九■+左乃,左乃］TT

性22(^+|,0)x=k兀

的(xeR)

質(zhì)E2k元偶級

圖減［2左萬,2左乃+)］

與

象y=tanx

圖

與但(乃771K俘。)

nRk7V增|—+左乃,一+ATT奇函數(shù)無

象(X。左乃+一)(22)

性2

質(zhì)

上下平移y=/(x)圖象平移可得y=/(x)+A■圖象，左＞0向上，上＜0向下。

平胸奐

左^￥移y=/(.r)圖象平移同得y=f(x+。)圖象，。＞0向左，。＜0向右。

圖

象X軸方向V=/(X)圖象各，融橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉韈o倍得v=f(-.v)的"。

變伸凝換CO

換y軸方向v=/(.V)圖象各，題坐磔為原來的A倍得y="(x)的圖氨

中心對稱V=/(.t)圖象關(guān)于點(ab)對稱圖象的解析式是y=2b-f(2a-x)

對履換

軸對稱y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱圖象的解析式是y=f(2a-x).

三角恒等變換與解三角形

和差角公式倍角公式

.r2tana

IBSsin(a±P)sin2a=---------—

sin2a=2sinacosa

=sinacos/?±cosasin(31+tan'a

_l-tan*a

cosla=cos2a-sin2acos2a=---------—

cos(a±/5)1+taiTa

22(

有=cosacosPTsinasin(3=2cosa-l=l-2sin.21-cos2a

sina=------------

2

/.-tana±tany5

tan(a±￡)=--------------—r2tana21+cos2a

正切1千tanatan0tan2a=--------—cosa=------------

1—tan"a2

。二b=c射影定理：

S3

IBSsinAsin5sinC0a=bcosC^ccosB

夕偏圓

瓢a=22?sinJs6=2RsinB,c=2RsinC(Rb=acosC^ccosA

事三角形兩邊和TT?角、三角形兩角與一邊.c=acosB+bcosA

—IB222222222

a=b^-c-2bccosA,b=a+c-2accosB;c=a-kb-labcosC.

栽.b^+c2-^(6+c)2-a21工

研cosA=---------------=-------------------1等，

2bc2bc

翹兩邊及一角（一角為夾角時直接使用、一角為一邊對角時列方程）.三邊.

角

亞。

恒S=^-ahn=^-bhh=-ch.=~sinC=-6csin^1=-drcsin5

面積也

等222222

俎導(dǎo)出

夸S=^￡(太夕Hg圓^S)；S=L(o+b+c>?(，?內(nèi)切園

俎

換4R2

把要求解的量歸入到可解三角形中.在實際問題中，往往涉及到多個三角形，只要根據(jù)已知逐

與三T〒想

次把求解目標(biāo)歸入到一個可解三角形中.

解

仰

視淺在水平淺以上時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視淺與水平線所成的角.

角角

俯

形視愛在水程以下時，在螃所在的垂直平面內(nèi)，視注與水殘即斤成的角.

實際角

方

常用術(shù)語方向角一股是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到

向

目標(biāo)的方向線所成的角（一般是銳角，如北偏西30。）.

角

方

位某點的指北方向線起，依順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.

角

等差數(shù)列、等比數(shù)列

—按照一定的次屏既！1的一列數(shù).分有夯、無窮、增值、遞減、擺動.京朝列等.

T

通項公式數(shù)列｛4｝中的項用an=/（n）

數(shù)列an='

㈤}§"-S…nNZ

前77Sn=al+a2+'"+an

累加去%+1=4+/(”)型

簡單

累乘法%+i=aJ⑺型解決遞推數(shù)列問麓的基

的速

數(shù)本思想是"轉(zhuǎn)化"，即轉(zhuǎn)

轉(zhuǎn)化法%+i-p4+gPtxQLqxO)=智一\+q

列化為兩類基本數(shù)列-一等

列解PP

ca會［列.等比數(shù)列求解.

法麗%+i=n+d(c=0,LdH0)=a+2=c(a?+2).

等n+1

系數(shù)法比較系數(shù)得出2,轉(zhuǎn)化為等行列.

差

滿足a*”一4=d（常數(shù)），d>0遞增、d<0遞減、d=0常數(shù)數(shù)列.

數(shù)

列等差通項。刑+0/1=%+。夕="+〃=「+4。

/=%+(〃-IX=%+(〃—加附

等數(shù)列俎%+q=2ap=?w+〃=2p不為0)

比&｝

前〃項

數(shù)…”丁“丁SM，S%-S?,S^-s*…為等尊翅.

列

海足a〃+i：an=q（q工0的常數(shù)）,單調(diào)性臼q的正負(fù)，q的范圍確定.

通項_一W-1一一界-用4冊=Q/q=加+〃=p+q，

等比an=，q=a?g

俎aman=〃；=?w+〃=2p(公比不為1)

數(shù)列

%(>/)_Z_ag0.i

前〃項1-g1-q…公比和于一1時，

s“=,

S?S2m-s”3m-s*…照例列.

nax,q=\.

注：表格中風(fēng)2P4均為正整數(shù)

數(shù)列求和及其數(shù)列的簡單應(yīng)用