簡諧振動的速度和加速度

關(guān)于簡諧振動的速度和加速度§10-1諧振動簡諧振動（simpleharmonicmotion,SHM）：一、諧振動的特征及其表達式受力特點：線性回復(fù)力

動力學(xué)特征

物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。第2頁,共67頁，2024年2月25日，星期天其解為令簡諧振動的特征方程簡諧振動表達式第3頁,共67頁，2024年2月25日，星期天vm=A

稱為速度幅值

；am=

2A

稱為加速度幅值

。簡諧振動的速度和加速度：第4頁,共67頁，2024年2月25日，星期天簡諧振動的運動學(xué)特征方程

第5頁,共67頁，2024年2月25日，星期天由初始條件(x0，

v0)求解振幅和初相位：設(shè)t=0時，振動位移：x=x0振動速度：v=v0第6頁,共67頁，2024年2月25日，星期天二、描述諧振動的特征量

2.

周期(period)

T:完成一次完全振動所經(jīng)歷的時間。1.振幅(amplitude):A

（即最大位移，x=±A

）角頻率（或稱圓頻率）

：頻率(frequency)

:單位時間內(nèi)完成完全振動的次數(shù)。

=1/TAxtOT第7頁,共67頁，2024年2月25日，星期天相位差：

=(

2

t+

20

)-(

1t+

10)對兩同頻率的諧振動

=

20-

10初相差

當(dāng)

=

2k

，(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相同，稱同相。初相位（initialphase）

：

0

（

t+

0

）——描述振動狀態(tài)3.相位（phase）：

當(dāng)

=

(2k+1)

，

(k=0,1,2,…)，兩振動步調(diào)相反，稱反相。

若0<

20-

10<

，則x2比x1較早達到正最大，稱x2比x1超前

(或x1比x2落后)。第8頁,共67頁，2024年2月25日，星期天x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1第9頁,共67頁，2024年2月25日，星期天速度相位比位移相位超前/2。加速度與位移反相位。第10頁,共67頁，2024年2月25日，星期天三、諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

投影點P

的運動為簡諧振動。xP

旋轉(zhuǎn)矢量的端點在x軸上的投影點P的位移：O逆時針轉(zhuǎn)動第11頁,共67頁，2024年2月25日，星期天周期：

旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡諧振動的振幅。

旋轉(zhuǎn)矢量的角速度

即為振動的角頻率。

旋轉(zhuǎn)矢量與

x軸的夾角(

t+

0

)，為簡諧振動的相位。

t=0時，與x軸的夾角

0即為簡諧振動的初相位。

旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周，P點完成一次完全振動xP

O第12頁,共67頁，2024年2月25日，星期天Oxva第13頁,共67頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例10-1

一物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時,物體的位移x=0.06m,且向x

軸正向運動。求：(1)簡諧振動表達式;(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向x軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解：(1)設(shè)簡諧振動表達式為由初始條件：第15頁,共67頁，2024年2月25日，星期天簡諧振動表達式：(2)或第16頁,共67頁，2024年2月25日，星期天設(shè)在某一時刻t1，x=-0.06m(3)且向x軸負方向運動。第17頁,共67頁，2024年2月25日，星期天設(shè)t2時刻第一次回到平衡位置第18頁,共67頁，2024年2月25日，星期天四、幾種常見的諧振動1.單擺重物所受合外力矩：由轉(zhuǎn)動定律令(q很小時)第19頁,共67頁，2024年2月25日，星期天振動表達式為角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期T與角振幅的關(guān)系為

T0為很小時單擺的周期。當(dāng)q不是很小時：第20頁,共67頁，2024年2月25日，星期天2.復(fù)擺q很小時一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺。第21頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例10-2

一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。船靜止時浮力與重力平衡，

船在任一位置時，以水面為坐標原點，豎直向下的坐標軸為y

軸，船的位移用y

表示。解：第22頁,共67頁，2024年2月25日，星期天船的位移為y

時船所受合力為船在豎直方向做簡諧振動，其角頻率和周期為第23頁,共67頁，2024年2月25日，星期天五、諧振動的能量

勢能

機械能簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒!以水平彈簧振子為例動能第24頁,共67頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共67頁，2024年2月25日，星期天六、用能量法解諧振動問題以水平彈簧振子為例系統(tǒng)機械能守恒：第26頁,共67頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例10-3

勁度系數(shù)為k，原長為L，質(zhì)量為

的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m(>)的物體，在光滑水平面內(nèi)做直線運動。求解其運動。解：彈簧、物體的動能分別為當(dāng)物體處于位移x

速度為v時，彈簧元dl的質(zhì)量為位移為速度為第28頁,共67頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)彈性勢能為系統(tǒng)機械能守恒，有對時間求導(dǎo)，常量常量仍為簡諧振動第29頁,共67頁，2024年2月25日，星期天§10-2阻尼振動

振動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所做的振動，稱為無阻尼自由振動。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對在流體(液體、氣體)中運動的物體，當(dāng)物體速度較小時，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)第30頁,共67頁，2024年2月25日，星期天阻尼振動方程：引入阻尼因子

固有頻率在小阻尼條件下，微分方程的解為其中

和為積分常數(shù)，由初始條件決定。第31頁,共67頁，2024年2月25日，星期天阻尼振動的準周期性余弦項表征了在彈性力和阻力作用下的周期運動；——減幅振動反映了阻尼對振幅的影響。阻尼振動的周期：第32頁,共67頁，2024年2月25日，星期天阻尼振動的三種情形：

欠阻尼

過阻尼

臨界阻尼第33頁,共67頁，2024年2月25日，星期天§10-3受迫振動共振一、受迫振動

物體在周期性外力（驅(qū)動力）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動稱為受迫振動（forcedvibration）。驅(qū)動力：運動方程：設(shè)第34頁,共67頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)阻尼較小,

＜

0時,方程的解：暫態(tài)項穩(wěn)定項穩(wěn)定振動狀態(tài)：第35頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

在穩(wěn)定振動狀態(tài)下，受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率。第36頁,共67頁，2024年2月25日，星期天穩(wěn)態(tài)時振動物體速度：

在受迫振動中，周期性的驅(qū)動力對振動系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達到穩(wěn)定振動狀態(tài)。第37頁,共67頁，2024年2月25日，星期天二、共振

當(dāng)驅(qū)動力的角頻率等于某個特定值時，位移振幅達到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振（displacementresonance）。第38頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

受迫振動速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振（velocityresonance）。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認為等同。第39頁,共67頁，2024年2月25日，星期天§10-4電磁振蕩一、LC電路的振蕩

電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。LC振蕩電路

向左合上開關(guān)，使電源給電容器充電，然后將開關(guān)接通LC回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。第40頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

電荷與電流（電場能量與磁場能量）隨時間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，稱為(無阻尼)自由振蕩。CL+Q-Q+Q-QLC回路的振蕩過程II第41頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)t

時刻電容器極板上電荷量為q，電路中電流為i，順時針方向為電流正向，振蕩角頻率（無阻尼）自由振蕩的定量分析CLiQ0是電荷量振幅，

0是振蕩初相。第42頁,共67頁，2024年2月25日，星期天電荷和電流都做簡諧振動，電流的振動超前電荷

/2。第43頁,共67頁，2024年2月25日，星期天電場能量為磁場能量為電磁場總能量守恒第44頁,共67頁，2024年2月25日，星期天二、受迫振蕩電共振

LRC

電路在外加周期性電動勢持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。對受迫振蕩：電動勢：穩(wěn)態(tài)解：第45頁,共67頁，2024年2月25日，星期天其中

當(dāng)電路滿足

時，電流振幅最大，稱為電共振。電流振幅最大值為即第46頁,共67頁，2024年2月25日，星期天三、力電類比機械振動電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度v質(zhì)量m勁度系數(shù)k阻力系數(shù)

驅(qū)動力F彈性勢能kx2/2動能mv2/2電荷q電流

i電感L電容的倒數(shù)1/C電阻R電動勢

電場能量q2/2C磁場能量Li2/2第47頁,共67頁，2024年2月25日，星期天§10-5一維諧振動的合成一、同一直線上兩個同頻率諧振動的合成

某一質(zhì)點同時參與兩個獨立的、同方向、同頻率的簡諧振動，其振動位移分別為合振動：

合振動仍為同方向同頻率的簡諧振動。（由振動的疊加原理）第48頁,共67頁，2024年2月25日，星期天合振動：（1）若則（2）若則第49頁,共67頁，2024年2月25日，星期天求合振動。例10-3解：第50頁,共67頁，2024年2月25日，星期天討論第51頁,共67頁，2024年2月25日，星期天二、同一直線上兩個不同頻率諧振動的合成拍

設(shè)同方向、角頻率分別為和的兩簡諧振動（>），它們所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量分別為和

相對于的轉(zhuǎn)動角速度：第52頁,共67頁，2024年2月25日，星期天振幅：隨時間緩慢變化拍：合振動的振幅時強時弱的現(xiàn)象(|

2-

1|<<

2,

1時)拍的周期：拍的頻率：諧振因子：第53頁,共67頁，2024年2月25日，星期天第54頁,共67頁，2024年2月25日，星期天§10-6二維諧振動的合成

兩相互垂直同頻率簡諧振動的合成,其振動軌跡為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。

同頻率垂直簡諧振動的合成消去t

，得第55頁,共67頁，2024年2月25日，星期天yx討論幾種特殊情形：1.質(zhì)點做線振動s第56頁,共67頁，2024年2月25日，星期天yx質(zhì)點做線振動合振動的振幅：第57頁,共67頁，2024年2月25日，星期天yx質(zhì)點振動軌跡為右旋正橢圓。特別當(dāng)A1=A2時，合成為右旋圓軌跡。2.y方向振動超前于x方向質(zhì)點振動軌跡為左旋正橢圓。第58頁,共67頁，2024年2月25日，星期天兩同頻率垂直簡諧振動在不同相位差時的合成第59頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

不同頻率垂直簡諧振動的合成2.當(dāng)兩振動頻率恰成整數(shù)比時，得封閉穩(wěn)定軌道，稱為李薩如(Lissajous)圖。

看成，但相位差緩慢變化。合運動軌跡將按不同相位差的合成圖形依次緩慢變化。第60頁,共67頁，2024年2月25日，星期天ωx:ωy李薩如圖