直擊2024年高考-高三數(shù)學(xué)函數(shù)題型（全國版）

函數(shù)題型專練

【函數(shù)的定義域】

【例1】函數(shù)加0=[/[「+產(chǎn)彳的定義域為()

1111?LI1)

A.[-2,0)U(0,2]B.(―1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【答案】B

【解析】要使函數(shù)有意義，

'x+1>0,

則需<x+lWl,

解得-1<XW2且xWO,

所以xG(-l,0)U(0,2].

所以函數(shù)的定義域為(-1,0)U(0,2].

【復(fù)合函數(shù)的定義域】

1

【例2】函數(shù)兀r)=卜ln(3x-l)的定義域為()

A.&￡

「111

I4)D1-5,2

【答案】B

［解析］要使函數(shù)段)=J-+ln(3x-1)有意義,

yjl-4f

1-4/>0,11

則J=^T<x<y.

3x-1>0'乙

.?.函數(shù).?的定義域為&I)

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【函數(shù)的解析式】

【例3】已知y（1+i）=igx,則於）的解析式為

2

【答案】於）=lg』（x>l）

2

【解析】乞+1=（A1）,

2

貝卜二一-

t-1

2

所以7W=ig―：（?D,

%-1

2

所以y（x）=ig—"（x>i）.

X-1

【分段函數(shù)】

[cos71X,?。?、

【例4】已知外）=入_]）+1,Q1,則冒的值為（）

A.；B.-2C.—1D.1

2兀1

二COS-J-=-

.?姆+（3=1亭L

【求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【例5】（多選）下列函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=ex—e~xB.y=\x2-2x\

C.y=x+cosxD.y=y/x2+x—2

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【答案】AC

【解析】??》=e'與j，=-e-工為R上的增函數(shù)，

.\y=e^-e-x為R上的增函數(shù)，故A正確；

由y=|尤2-2H的圖象知，故B不正確；

對于選項C,y'-1-sinxNO,

，y=x+cosx在R上為增函數(shù)，故C正確；

y=yjx2+x-2的定義域為(-8,-2]U[1,+8),故D不正確.

【判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性】

【例6]試討論函數(shù)本)=詈(。/0)在(一1,1)上的單調(diào)性.

【解析】方法一設(shè)-

x-1+1)(1、

+士[-a]1+六)

Q(X2~%1)

(X1-1)(X2-1),

由于-1<%1<%2<1/

所以％271>0,XI-1<0,X2-1<0,

故當(dāng)。>0時，曲)-加2)>0,即兀n)>/(X2),函數(shù)負(fù)X)在(-1,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a<0時，flx\)-flx￡)<0,

即>1)</(X2),函數(shù);(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.

(ax)1(x-1)-ax(x-l)z

方法二f(x)=-------------；--------

(x-I)2

a(x-1)-axa

(X-1)2(X-I)2,

當(dāng)心0時，f(x)<0,函數(shù)/)在(-1,1)上單調(diào)遞減;

第3頁(共19頁)

當(dāng)。<0時，/（x）>0,函數(shù)於）在（-1,1）上單調(diào)遞增.

【比較函數(shù)值的大小】

【例7］已知函數(shù)段）為區(qū)上的偶函數(shù)，對任意XI,也以一8,0）,均有（XI—刈）師1）一加2）卜0成立,

11

若a="n止），。=穴”），則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】..,對任意XI,X2E（-OO（0）,

均有（xi-X2）［/（X1）-於2）］<0成立，

...此時函數(shù)在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞減，

???加）是偶函數(shù),

.。?當(dāng)Xe（0,+8）時，加）單調(diào)遞增，

1

又加）='在xe（0,+8）上單調(diào)遞增,

Al<e3<33,

又0<lny［2<l,

￡1

：.\nyf2<^<V,

???/”次ln@,

V）k）

即a<c<b.

【求函數(shù)的最值】

2

匕,/Y石+-4的最大值為.

［例8］函數(shù)y=

【答案】f2

【解析】令《2+4二乙貝h22,

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設(shè)//?)=/+1,

則以。在[2,+8)上為增函數(shù)，

??h(t)min=〃(2)=2,

=,(x=0時取等號).

2

2

即y的最大值為1

【解不等式】

【例9】已知函數(shù)式log2(x+2),若加-2)>3,則a的取值范圍是

【答案】(0,1)

【解析】由/(x)=(；)-log2(x+2)知，

/(X)在定義域(-2,+8)上是減函數(shù)，

且人-1)=3,

由於-2)>3,得如「2)次-1),

a-2<-1,

a-2>-2,

解得0<a<l.

【求參數(shù)的取值范圍】

/，xNl,

且滿足對任意的實數(shù)XIWX2都有野詈>。成立,則

[例10]函數(shù)於)=<ra\

(4-]Jx+2,x<\,

實數(shù)。的取值范圍是()

A.[4,8)B.(4,8)C.(1,8]D.(1,8)

【答案】A

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爐，工21,

函數(shù)倜京3+2,XV滿足對任意的實數(shù)X1WX2都有歿二㈣>0,

【解析】

X\-X2

ax,x21,

所以函數(shù)以）=,嫡是R上的增函數(shù),

（4-+2,x<\

^>1,

則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性可知應(yīng)滿足｛4■2>0^

-5+2,

解得4《a<8,

所以實數(shù)。的取值范圍為48）.

【判斷函數(shù)的奇偶性】

【例11】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1y（x）=^/3—X2+yjx2—3；

[x2+x,x<0,

Q阿…>°；

（3匹）=log2（x+yjx2+1）.

f3一/NO,「

解（1）由。>八得,=3,解得x=,

\x-3d）,

即函數(shù)9x）的定義域為｛—小，小｝,

從而7（x）=^/3—x2+^/x2—3=0.

因此八一X）=一加）且八一x）=/（x），

所以函數(shù)人對既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

（2）顯然函數(shù)次尤）的定義域為（-8,0）U（0,+8）,關(guān)于原點對稱.

,當(dāng)x<0時，-x>0,

則火一X）=一（―X）2—X

=—/一

當(dāng)x>0時，一x<0,

則y（—x）=（-x）2—X=/_JC=-y（x）；

綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意無，總有八一x）=一/）成立，

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函數(shù)次X)為奇函數(shù).

(3)顯然函數(shù)於)的定義域為R,

=10g2("\/x2+l—X)

=iog2(q?n+x)—1

=—logzC^+l+x)=-fix),

故人x)為奇函數(shù).

【函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

［例12］函數(shù)於)=x(e，+er)+l在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值分別為初，N,則7+N的值為

()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【解析】依題意，令g(x)=xe+e-，,

顯然函數(shù)g(x)的定義域為R,

貝(lg「X)=-X(Q-X+^=-g(X),

即函數(shù)g(X)是奇函數(shù)，

因此，函數(shù)g(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值的和為0,而人x)=g(x)+1,

則有M=g(X)max+1,N=g(X)min+1,

于導(dǎo)M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2,

所以"+N的值為2.

【函數(shù)的周期性】

【例13］已知函數(shù)/)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實數(shù)x,2)=%+2),當(dāng)xG(0,2)時,

加0=?,則/(學(xué))等于()

9119

A.一不B.-4C，4D.4

【答案】A

【解析】由人x-2)=/(x+2),知尸治)的周期7=4,

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又./（X）是定義在R上的奇函數(shù),

【函數(shù)的對稱性】

【例14］已知函數(shù)段）的定義域為R,對任意x都有人2+x）=/（2—尤），且｛一x）=〃），則下列結(jié)論

正確的是（）

A.-）的圖象關(guān)于直線x=2對稱

B.火x）的圖象關(guān)于點（2,0）對稱

C./）的周期為4

D.y=/（x+4）為偶函數(shù)

【答案】ACD

【解析】??7（2+x）=;（2-X）,則上）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故A正確，B錯誤；

???函數(shù)加）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

貝徵-X）=/（x+4）,又人-x）=加）,

：.flx+^=flx）,：.T=4,故C正確;

：7=4且加）為偶函數(shù)，故了=加+4）為偶函數(shù)，故D正確.

【函數(shù)周期性與奇偶性結(jié)合】

【例15］已知函數(shù)/”的定義域為R.當(dāng)/，時，/-/1；當(dāng)1'1時,

/"）;當(dāng)J-）時，則/（）.

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D;

【解析】因為當(dāng)上＞；時，/（r--/I,

所以!''''f：r'1

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所以當(dāng)J?時，周期為I,

故有/“，，，：，

因為當(dāng)一1.一|時，/|,rl-f，一,

所以當(dāng)-I?，?1時，/”是奇函數(shù)，

故而，m/111-/(1),

因為當(dāng)時，/(,ri_.r'1,

所以/'1-11->

則有/，山?22.

故選I).

【函數(shù)對稱性與奇偶性綜合】

【例16】已知f,是定義域為IV.\的奇函數(shù)，滿足/1，/'1'r.若fI2,則

/illi/i211?/150=().

A.-X)B.(IC.2D.r,0

【答案】C;

【解析】因為/一?是定義域為I'八?的奇函數(shù)，且'.''<1'?，

所以"1+/)=-/(zT),

所以/，3一：/Ir■1：］「1

所以/—I,

因此：r|/(3)+...+/(^)=12711'；I/H)：?/⑴+/(2),

因為，3i/11),/I4I/1：2,

所以/(1J./(2I⑶+/⑷=0,

因為〃2)=/(-2)=-〃2),

所以/2i。，

從而fI，f」"7/12,

第9頁(共19頁)

故選

【函數(shù)對稱性與單調(diào)性綜合】

【例17］已知函數(shù)對定義域內(nèi)任意.，都滿足。一；出「，且,八在口.IX)上單調(diào)遞減,

則,，,"7,,|,，二f"，的大小關(guān)系是().

A.“>b>cB.b>c>C.c>b>(1D.b>ac

【答案】D;

【解析】根據(jù)題意：/(r)=/(6r),

；.「，)關(guān)于直線；對稱，

又，，在■、?上單調(diào)遞減，

故,『在(宣3)上單調(diào)遞增.

V33".D.31-II-

/(3^s)>/{0.3'1)>/(())，

即5>a>r,

故答案選11.

【函數(shù)對稱性與周期性綜合】

【例18］己知定義在K上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(；儲］對稱，且滿足

/(-1)=|./(0)=-2,貝U卜ld/(2)+/(3什----/I2小內(nèi)的值為().

A.-2B.—1C.()D.|

【答案】D;

【解析】由函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于點(-：.o)對稱可知，“「」—/(一”》.

又fm=-f［)，則/(?>?：；)=/(八?

??3、3\(3\

故/J彳-?1I1,?,1=1-

所以，/1是以1為周期的偶函數(shù).

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從而，11=1,/i2l=/l1|3I=/(11=1,/(3>=/l0>=2.

故/可，-"，、/1T，；，/；?；「，/』而,，/I11.

【幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

【例19］若幕函數(shù)>=式1,>=苫加與卜=苫"在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為

()

A.—1<m<O<n<1B.-1<n<0<m<2

C.—l<m<0<n<2D.—l<?<O<m<l

【答案】D

【解析】幕函數(shù)y=x。，當(dāng)a>0時，尸x"在(0,+8)上單調(diào)遞增，且0<加1時，圖象上凸,

0<m<l.

當(dāng)a<0時，?=下在(0,+8)上單調(diào)遞減.

不妨令x=2,由圖象得2」<2",則

綜上可知，-l<n<0<m<l.

【二次函數(shù)的解析式】

【例20］若函數(shù)/(x)=(x+a)(6x+2a)(a,6GR)滿足條件八一x)=/(x),定義域為R,值域為(一8,

4］,則函數(shù)解析式八勸=.

【答案】一2f+4

［解析］｛x)=(x+a)(bx+2d)

-bx2+(2a+ab)x+2a2.

'■"A-x)=/(x),

2a+ab=0,

第11頁(共19頁)

'?fix）-bx2+2a2.

VXx）的定義域為R值域為（-8,4],

：.b<0,且2a2=4,

.\b=-2,?-fix）=-2x2+4.

【二次函數(shù)的單調(diào)性與最值】

【例21】已知函數(shù)｛x）=x2—ft—1.

（1）若｛x）在區(qū)間（一1,2）上不單調(diào)，求實數(shù)t的取值范圍;

（2）若后一1,2］,求正）的最小值g（f）.

［解析］段）=X2—/L1=Q—J?—1

⑴依題意，-1<2<2，

解得-2<t<4,

二實數(shù)/的取值范圍是（-2,4）.

（2）①當(dāng)紅2,即停4時，於）在［-1,2］上單調(diào)遞減，

=A2）=3-2/.

②當(dāng)-14<2,即-2?<4時，

火X）min=-1-不

③當(dāng)欠-1,即怎-2時,/）在［-1,2］上單調(diào)遞增，

—fk-1）二△

t,-2,

綜上有g(shù)。）=5-1-4,2</<4,

、3-It,fN4.

【指數(shù)幕的運算】

第12頁（共19頁）

門。］(4向丫

［例22］)———U---------------r(a>0,b>0)=________.

⑷(0.1尸W.A"

【答案】|

33_3

2?42a2b2a

【解析】原式==3

10a5b5

【指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】

【例23］已知實數(shù)a,6滿足等式2021"=2022&,下列等式可以成立的是（）

A.a=b=0B.a<b<0

C.0<a<bD.0<b<a

【答案】ABD

【解析】如圖，觀察易知，。<6<0或0<6<?；?。=6=0,故選ABD.

【比較指數(shù)式的大小】

【例24］若a=0.3°7,b=0.7°-3,c=1.20'3,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.d>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】\?函數(shù)y=0.3'在R上是減函數(shù)，

.,.O<O,3o-7<O.3°-3<O.3o=1,

又：幕函數(shù)y=xO3在(0,+8)上單調(diào)遞增，

0.3<0.7,

.1.0<0,3°-3<0,7°-3,

Q<a<b<\,

第13頁（共19頁）

而函數(shù)y=12'是R上的增函數(shù)，

.,.c=1.203>1.2°=1,.,.c>b>a.

【指數(shù)方程或不等式】

【例25】已知>=4'—32-3的值域為[1,7],則x的取值范圍是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,l）U[2,4]D.（-8,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】：y=4工-32工+3的值域為[1,7],

-32'.+3W7.

或2W2*W4.

.,.無W0或14W2.

【指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例26]已知函數(shù)於）=2白一叫加為常數(shù)），若段）在區(qū)間[2,+8）上單調(diào)遞增，則加的取值范圍是

【答案】（-8,4]

【解析】令t=\2x-m\,則/=|2x-刈在區(qū)間e+8）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-8,日上單調(diào)遞

減.而>=2,是增函數(shù)，所以要使函數(shù)人》）=2k-訓(xùn)在[2,+8）上單調(diào)遞增，則有當(dāng)W2,

即mW4,所以m的取值范圍是（-8,4].

【對數(shù)式的運算】

【例27]設(shè)2“=5』加，且>春=2,則加等于（）

A，V10B.10C.20D.100

【答案】A

【解析】2a-5b=m,

Iog2m=a,logsm=b.

第14頁（共19頁）

-logm2logm5

?,?Z)log2wlog5m-

=log,,,10=2,

nr-10,

m=yib(舍m=--s/10).

【對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】

【例28】已知函數(shù)/（x）=log"（2x+6—且。=1）的圖象如圖所示，則a,6滿足的關(guān)系是（）

A.0<。一1幼<1B.0<6<?-1<1

C.Q<bx<a<\D.0<G<L<]

【答案】A

【解析】由函數(shù)圖象可知，人x）為增函數(shù)，故.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0,log滴），由函

數(shù)圖象可知-l<log^<0,解得.綜上有得<*1.

【比較指數(shù)式、對數(shù)式大小】

【例29】設(shè)a=log3e,QeRc=logj,則()

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

[解析】c-logj—=Iog34>log3e=a.

34

L5

又c二log34<log39=2,b=e>2,

:.a<c<b.

【解對數(shù)方程不等式】

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【例30］若loga(a+l)<log“(2W)<0(a>0,a^l),則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】a1)

［解析1依題意logfl(a+l)<logfl(2^/a)<logfl1,

a>\,0<6z<l,

,J或《

a+1<2^<1a+1>2^>1,

解得.

【對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】

【例31】設(shè)函數(shù)段)=ln|2x+l|Tn|2x-l|,則兀r)()

A.是偶函數(shù)，且在弓，+8)上單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(一；，上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(一8,—2上單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，且在(一8,一§上單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】")=1吟+1|-ln|2x-1|的定義域為,卜。士3

又/(-x)=ln|-2x+11-ln|-2A:-11

=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-J(x),

???40為奇函數(shù)，故排除A,C.

當(dāng)xd(-8,-￡)時，

-2x-1

fix)=ln(-2x-1)-ln(l-2x)=In-----------

1-2x

2x+1?

=In-------=In

lx-1)

?.?=l+=-在(-8,一專上單調(diào)遞減,

2x-1v々

第16頁(共19頁)

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得40在(-8,-0上單調(diào)遞減.

【函數(shù)零點所在區(qū)間的判定】

【例32］(多選涵數(shù)加)=H—x—2在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】AD

【解析】X-2)=^2>0,X-1)=1-1<0,

負(fù)0)=-KO,/l)=e-3<0,

/2)=e2-4>0,

因為八-2)4-1)0,Xi)-X2)<o,

所以八x)在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)存在零點.

【函數(shù)零點個數(shù)的判定】

【例33］若函數(shù)y=/(x)(xeR)滿足於+1)=一/)，且正［—1,1］時，/)=1一居已知函數(shù)g(x)=

f|lgx\,x>0,

,則函數(shù)〃(x)=/(x)—g(x)在區(qū)間［―6,6］內(nèi)的零點個數(shù)為()

［ex,x<0,

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【解析】因為｛x+1)=-於)，

所以函數(shù)y=Xx)(xeR)是周期為2函數(shù)