備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)綜合練

專題4.9導(dǎo)數(shù)綜合練

題號(hào)一二三四總分

得分

練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=d^+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

X

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+8）D.（l,+oo）

2.（2023春?北京昌平?高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？计谥校┖瘮?shù)/（x）=任的導(dǎo)數(shù)/''（》）=（）

X

xsmx—cosx-%sinx-cosx

A.---------z-------

Xx2

xsinx+cosx—xsinx+cosx

D-Y

.X2

3.（2023春?吉林?高三校聯(lián)考期中）曲線y=e'g在點(diǎn)（0,1）處的切線垂直于直線2x-y=0,貝lja=（）

A.1B.-1C.-D.

44

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知/（x）的定義域?yàn)椋?,+勸，尸⑺為的導(dǎo)函數(shù)，且滿足〃尤）＜-獷'（力，則

不等式/（6+1）＞（?T）〃XT）的解集是（）

A.（0,4）B.（1,4）C.（L+8）D.（4,+w）

5.（2023春?遼寧?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)〃彳）=依-|山乂+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

A.（0,e）B.（。，nC.［。，下］D,^0,—

6.（2023春?廣東茂名?高三廣東高州中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)/（x-Inx+G：—］無，若x=l是函數(shù)/⑴的極大值點(diǎn)，

則函數(shù)"X）的極小值為（）

A.ln2+2B.In2-1C.ln2-3D.ln2-2

7.（2023春?云南玉溪?高三云南省重點(diǎn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)〃x）=e2x,g（尤）=lnx+g分別與直線V=a交

于點(diǎn)A,B,則的最小值為（）

A.1--ln2B.1+—ln2

22

C.2--ln2D.2+-ln2

22

8.（2023春?廣東珠海?高三珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)為八x）,且/⑶=/_2礦⑴，則

-⑴=（）

A.-§B.-C.-2D.2

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.（2023春?吉林通化?高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)Ax）的定義域?yàn)椋?,+8）,導(dǎo)函數(shù)為7'（x）,

滿足礦（x）-/（x）=（x-l）e',（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且/（1）=0,則（）

A.3/⑵<2/⑶B./(l)>/(2)>/(e)

C.7⑺在x=2處取得極小值D.7（x）無最大值

10.（2023春?甘肅金昌?高三永昌縣第一高級中學(xué)校考期中）下列結(jié)論中，正確的是（）

B.(sin2x)=2cos2x

cos%)xsmx-cosx/、，1

D.（l°g5X）=而

x

11.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線/與曲線/（x）=ln無+尤2相切，則下列直線中可能與/垂直的是（）

A.x+4y=0B.>/2.x+5y=0

C.0x+3y=OD.-J2x-y=0

12.（2023春?湖北?高三宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/（X）=X3-X+2,則（）

A.函數(shù)/（元）在R上單調(diào)遞增B.無）有三個(gè)零點(diǎn)

c.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)D.直線y=2尤是曲線y=/(x)的切線

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.(2023春?廣東江門?高三新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(幻=。111(》+1)+/,在區(qū)間(2,3)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)

數(shù)外且玉片%，若不等式/區(qū))［"X?)>1恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

14.(2023春?上海楊浦?高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谥?函數(shù)y=/(力的導(dǎo)函數(shù)y=廣⑴的圖像如圖所示,

以下結(jié)論正確的序號(hào)是.

(1)-3是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)；

(2)-1是函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)

(3)y=/(x)在區(qū)間(-3,1)上嚴(yán)格增；

(4)y=/(x)在x=0處切線的斜率大于零;

15.(2023春?上海普陀?高三上海市晉元高級中學(xué)?？计谥?函數(shù)y=/(x),其中/(x)=2/,函數(shù)〃X)在區(qū)間

［毛③+Ax］上的平均變化率為勺,在&-Ax,%］上的平均變化率為履，貝與七的大小關(guān)系是

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))曲線/Xx)=ln(元-D+x+l上的點(diǎn)到直線y=2x+4的距離的最小值為

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(1)/(x)=-2x3+4x2

(2)f(x)——x^~+ctx+1

(3)/(x)=X+COS(0,1)

(4)f(x)=-x2+3x-Inx

(5)y=sinx

心x+1

⑹1石

18.（2022?天津?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（力=山工-犬+公（其中無理數(shù)e=2.71828…，acR）.

（1）若函數(shù)/（x）在（0,e］上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

（2）證明：設(shè)函數(shù)的圖象在x=處的切線為/,證明：f（x）的圖象上不存在位于直線/上方的點(diǎn).

19.（2023,全國?周二專題練習(xí)）/（尤）=+ln尤—（。+l）x.

⑴當(dāng)。=T時(shí)，求/⑴的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)。＞0時(shí)，設(shè)g（?=/@,若g（x）既有極大值又有極小值，求a的取值范圍.

X

20.（2023春?高三課時(shí)練習(xí)）已知aeR,函數(shù)”到=9+歷尤-1.求〃x）在區(qū)間（0,e］上的最小值.

21.（2022.高三課時(shí)練習(xí)）如圖①是一個(gè)仿古的首飾盒，其橫截面是由一個(gè)半徑為r分米的半圓，及矩形ABC。組

成，其中的長為。分米，如圖②所示.為了美觀，要求小好2r.已知該首飾盒的長為4r分米，容積為4立方分

米（不計(jì)厚度），假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分（箱體）的制作費(fèi)用為每平方分米1百元，上半

部分（箱蓋）制作費(fèi)用為每平方分米2百元，設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用為y百元.

（1）寫出y關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

（2）當(dāng)廠為何值時(shí)，該首飾盒的制作費(fèi)用最低？

22.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃了）=以在±0-2,已知曲線^=/（同在點(diǎn)4（0,2）處的切線斜率為-：.

x+2x+12

（1）求〃，b的值;

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=(x+2)/(x),求g(x)的最小值.

專題4.9導(dǎo)數(shù)綜合練

題號(hào)一二三四總分

得分

練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（

X

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+oo)D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，求出不等式y(tǒng)＞。的解集即可.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋ā?+8）.

X2+227ix2+X—2(x+2)(x-l)

y=-+--l-n--x--=x+—+lnx,貝！Jy，=]—z-+—=

Xxxx

y>o

令，解得%￡（l,+8）.

X>0

故選：D

2.（2023春.北京昌平?高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校校考期中）函數(shù)/（町=母/的導(dǎo)數(shù)1f（x）=（）

xsinx—cosx-xsinx-cosx

A.B.

X2X2

xsinx+cosx-xsinx+cosx

C.D.

x2x2

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可得.

..7xcosx,

【詳解】由〃x)=]一知

\，

cosx)x—xrcosx-xsinx-cosx

故選：B

3.（2023春?吉林?高三校聯(lián)考期中）曲線y=e*在點(diǎn)（0,1）處的切線垂直于直線2x-y=0,貝|a=（）

A.1B.—1C.—D.—

44

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求切線的斜率，從而可得關(guān)于。的方程，解出。后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】y=2ae2（K,所以y'r=2a,

因?yàn)樵邳c(diǎn)（0,1）處的切線垂直于直線2x-y=0,故切線的斜率為,

故^2a=—即ci=—,

24

故選：D.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知/（X）的定義域?yàn)椋?,+動(dòng)，尸（x）為〃x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足/（X）〈-礦（力，則

不等式/（?+1）>（五-1）〃1）的解集是（）

A.（0,4）B.（1,4）C.（1,+<?）D.（4,-H?）

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=V（x）,結(jié)合題意可得g'（x）<。，進(jìn)而得到尤>0時(shí)，函數(shù)g（無）單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化

+-為+結(jié)合單調(diào)性即可求解.

【詳解】設(shè)g（x）=4（x）,則短==獷（x）+/（x）<0,

即當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g（無）單調(diào)遞減，

由/（?+1）>（4一1）/（%-1）,

所以（百+1）/（4+1）>（彳-1）〃尤T，

即g（?+i）>g（龍一1）,

\/~X+1<X—1

所以，x-l>0,解得x>4,

A/X+1>0

則不等式的解集為（4,a）.

故選：D.

5.（2023春?遼寧?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)/（司=依-|山刀|+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

A.（0,e）B.（0，e?）C.^0,—D.（0,?。?/p>

【答案】C

【分析】由外力=依-|111才+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得ar+2=|lnx|有三個(gè)不同的零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)y=|lnx|和y=ax+2,

畫出函數(shù)圖像，利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，進(jìn)而可得切線斜率，結(jié)合圖像關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖，由/（*=◎-|也乂+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得依+2=|問有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

畫出函數(shù)y=|lnx|的圖像，直線>=6+2過定點(diǎn)（0,2）,

當(dāng)x>l時(shí)，設(shè)過（。,2）的直線與y=lnx的切點(diǎn)為（無o，lnx。）,

由y=lnx,得y，=L所以故切線方程為>-皿=1（”飛）,

X/X。

把定點(diǎn)（0,2）代入得:2-lnx0=-l,即九0戶

所以即直線>=依+2的斜率為。=：,

由圖知，當(dāng)0<。<二時(shí),y=依+2與y=|hw|有三個(gè)交點(diǎn),

所以使Ax）=k|Inx|+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)的。的取值范圍是

3

6.（2023春?廣東茂名?高三廣東高州中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)〃x）=lnx+依②-己無，若x=l是函數(shù)/⑺的極大值點(diǎn),

則函數(shù)/（X）的極小值為（）

A.In2+2B.In2-1C.ln2-3D.ln2-2

【答案】D

【分析】由題意可得/⑴=0,求出。的值，即可求出了（1），再對/（%）求導(dǎo)，得到了（九）單調(diào)性，即可求出答案.

313

【詳解】由/(%)=1口%+加-萬工,得/'(%)=—+2雙-],

又光=1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，Aff（l）=2a-^=0,「?〃=；，

r23

則fM=lnx+--—x,(x>0),

2x

令r（%）=。，得％=i或%=2,

令［（x）〉0,解得了>2或Ovxvl；令1（%）<0,解得I<xv2,

所以在（0,1）,（2,+^）上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減，

則當(dāng)％=2時(shí)，/⑴的極小值為ln2—2.

故選：D.

7.（2023春?云南玉溪?高三云南重點(diǎn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/⑺=e2=g（x）=lnx+；分別與直線V=。

于點(diǎn)A,B,則目的最小值為（）

A.l--ln2B.l+-ln2

22

C.2--ln2D.2+-ln2

22

【答案】B

【分析】依題意，表示出A2兩點(diǎn)坐標(biāo)和IAM,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間和最值.

由題意，2,aj,其中e"W>；lna,且a>0,

11_1_1

所以|A3|=e2_—\na,令/z(%)=e__inx,(x>0),

J11

則/(x)=e2——=。時(shí)，解得工=

2%2

所以0<x<；時(shí)，”(x)<0；時(shí)，”(x)>0；

則h(x)在(of上單調(diào)遞減，在g，+8J上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=g時(shí)，I嘰?=可=1+*

故選：B.

8.(2023春?廣東珠海?高三珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)為八x),且/。)=--2礦⑴，則

(⑴=()

22

A.--B.-C.-2D.2

【答案】B

【分析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令x=l求出(⑴即可.

【詳解】由/(x)=d—2^”)nr(x)=2x—2/(1),

令x=l得尸⑴=2x1-2-⑴，

解得/⑴=耳.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.(2023春?吉林通化?高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)AM的定義域?yàn)?0,+8),導(dǎo)函數(shù)為/'(x),

滿足礦(x)-/(無)=。一1q,(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且/(1)=0,則()

A.302)<2八3)B./(l)>/(2)>/(e)

C.7(x)在x=2處取得極小值D.7(x)無最大值

【答案】AD

【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)的單調(diào)性，解得函數(shù)/(X)的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的單

調(diào)性，可得答案.

【詳解】解：設(shè)g(x)=3(x>0),則g8)=礦(X)；〃x)=生羋:=二,

xXxIxJ

可設(shè)g(x)=J+C,則儀1)=匕+°=0,解得c=-e,故且。)=￡__?,gp/(x)=ex-ex,

XX

令/(%)>0,則％>1,故g(x)在(l,y)上單調(diào)遞增，

g(2)<g⑶，即與〈與，則3/(2)<2〃3),A正確；

Vf'{x}=ex-e,令/(x)=e'-e>0,解得x>l,則〃幻在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,E)上單調(diào)遞增，

A/(l)</(2)</(e),/(x)在x=l處取得極小值，無最大值，B、C均錯(cuò)誤，D正確.

故選：AD.

10.(2023春?甘肅金昌?高三永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥?下列結(jié)論中，正確的是()

A.(cos工)=-sin—B.(sin2x)=2cos2x

C.(土]'=加…。sxD.(log^)^—

2

IXJXI-，x1n5

【答案】BD

【分析】利用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的進(jìn)行求導(dǎo)，逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】對于A,常數(shù)cos2的導(dǎo)數(shù)等于0,

故A錯(cuò)誤；

對于B,4y=sin2x,u=2x,貝!]y=sin"，義=乂?〃；=(sina)'.(2x)'=2cos2x,

故B正確；

對于c(cosxY_(cosx)-x-cosx-x'_-xsinx-cosx

(xJx1x2

故C錯(cuò)誤；

對于D,利用公式(log。尤)'=一二一(a〉。,awl),

元Ina

故D正確.

故選：BD.

11.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線/與曲線/'（x）=lnx+/相切，則下列直線中可能與/垂直的是（）

A.x+4y=0B.&x+5y=0

C.s/2x+3y=0D.-J2x—y=0

【答案】AB

【分析】求導(dǎo)，利用基本不等式可得導(dǎo)數(shù)范圍，然后可得垂線斜率范圍，進(jìn)而可得答案.

【詳解】Ax）的定義域?yàn)椋?,+8）,

f'（x）^-+2x>2y/2,即直線/的斜率左22五，

X

設(shè)與/垂直的直線的斜率為機(jī)，則上=-L，

m

所以一工22應(yīng)，.IwmvO.

m4

故選：AB.

12.（2023春?湖北?高三宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/（力=丁-尤+2,則（）

A.函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增B./（X）有三個(gè)零點(diǎn)

c.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)D.直線y=2尤是曲線y=的切線

【答案】CD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，通過極值判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求已知斜率的切線方

程.

【詳解】函數(shù)〃X）=X3-X+2,定義域?yàn)镽,r（x）=3x2-l,

/^x）>o,解得x<_#或x>4；r（x）<0,解得一4

<X<—，

3

在一叫一分卜口］/400上單調(diào)遞增，在一曰,當(dāng)

上單調(diào)遞減,

極大值為《3k+9，極小值可3卜9>

0,

”-2）=T<0,-孚>0,函數(shù)圖像如圖所示

則函數(shù)“X）的圖像與X軸只有一個(gè)交點(diǎn),即〃尤）只有一個(gè)零點(diǎn),

所以AB選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；

曲線y=/（x）切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為&，〃%）），當(dāng)切線斜率為2時(shí)，尸（尤。）=3龍。2-1=2,解得不=±1,

當(dāng)為=1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,切線方程為y-2=2（x-l）,即y=2x,D選項(xiàng)正確.

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.（2023春?廣東江門?高三新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）已知函數(shù)/（幻=。111（》+1）+/,在區(qū)間（2,3）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)

數(shù)為三，且可片々，若不等式"*）一/區(qū)）>1恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為_______.

玉-x2

【答案】［-9,+8）

【分析】根據(jù)題意得函數(shù)g（x）="尤）-尤=。ln（x+1）+f-X在區(qū)間（2,3）內(nèi)單調(diào)遞增，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即

可得。2（-2尤+1）（尤+1）恒成立，即可求解.

【詳解】不妨設(shè)%>/，貝I由八%）一:（%）>1,

百一

可得了（不）一/（彳2）>占一%，即/（圖）一3>/（%2）一%，

設(shè)g(x)=/(%)-x=aln(x+1)+x2-x,

則g(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增，

g'(x)=-^—+2x-l,

x+1

則g'(x)==+2龍-12。在區(qū)間(2,3)內(nèi)恒成立,

艮〃2(—2x+l)(x+1),也即a之—2x2—x+1,

因?yàn)槎魏瘮?shù)J=-2/-x+l在(2,3)單調(diào)遞減，

所以y<_2x22_2+l=_9,

所以。2-9,

故答案為：［-9,+co).

14.(2023春.上海楊浦.高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谥?函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖像如圖所示,

以下結(jié)論正確的序號(hào)是.

(2)-1是函數(shù)_y=/(x)的極小值點(diǎn)

(3)y=)(x)在區(qū)間(-3,1)上嚴(yán)格增;

(4)〉=/(%)在x=0處切線的斜率大于零；

【答案】(1)(3)(4)；

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系一一判定即可.

【詳解】由圖象可得x=-3時(shí)，/'(一3)=0,且x<-3時(shí)/(力<。，x>-3時(shí)掰^)>0,即一3是函數(shù)y=/⑺的極

小值點(diǎn)，(1)正確；

而尸-1時(shí)，r(-l)=0,但x<T與X>—1時(shí)，/^)>0,不是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，(2)不正確；

由圖象可知(-3,1)上力^)>。，.?.y=/(尤)在區(qū)間(-3,1)上嚴(yán)格增，(3)正確；

尤=0處/<勾>0,所以該處切線的斜率大于零，(4)正確；

故答案為：(1)(3)(4)；

15.(2023春?上海普陀?高三上海市晉元高級中學(xué)?？计谥?函數(shù)y=/(x),其中〃x)=2/,函數(shù)〃尤)在區(qū)間

［而③+Ax］上的平均變化率為尤，在1Ao-Ax,x0］上的平均變化率為k2,則尤與k2的大小關(guān)系是

【答案】

【分析】根據(jù)平均變化率公式求出《與心，再比較大小即可;

22

2（X0+Z\X）-2XQ_4x0Z\x+2Ax

【詳解】依題意勺==4%+2Ax,

x0+Ax-x0Ax

22

2%g-2（x0-Ax）_4x0z\x-2Ax

k?—=4x-2Ax,

Ax0

所以左一左2=4AX,而AX>0,所以左>人2.

故答案為：勺＞/

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))曲線f(x)=ln(x-l)+x+l上的點(diǎn)到直線y=2x+4的距離的最小值為.

【答案】V5

【分析】求出曲線/(尤)的斜率為2的切線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.

【詳解】"X)的定義域?yàn)?1,”),

求導(dǎo)得((尤)=」7+l，令r(x)=2,解得x=2,則"2)=3,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

X-1

故曲線上的點(diǎn)到直線＞=2x+4的距離的最小值即為切點(diǎn)(2,3)到直線y=2尤+4的距離，即為

|2x2-lx3+4|

=3

6+1

故答案為：出

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(1)f^x)=-2x3*145+4x2

(2)f(x)=§"—"++]

(3)/(x)=COSX,XG(0,1)

(4)f(x)=-x2+3x-Inx

(5)y=sinx

gx+1

⑹

【答案】⑴廣(x)=-6d+8x

(2)—-2x+a

(3)/'G)=-sinx+l

(4)廣⑺=-2—+3

(5)/=cosx

,2

⑹—F

【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算即可求解.

【詳解】(1)/(X)=-2X3+4X2,所以/'(%)=-6/+8北

(2)/(x)=-x3-x2+ox+l,所以=_2%+〃.

(3)f(x)=x+cosx,xG(0,1),所以r(%)=-sin%+l,xe(0,l).

(4)/(x)=-x2+3x-lnx,所以f'(x)=-2x--+3.

x

(5)y=sinx,所以y=cosx.

x+1(x+l)'(D-(x+gT)'2

(6)y=；，所……=

x-1(x-1)2

18.(2022?天津?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx—x2+依(其中無理數(shù)e=2.71828…，aeR).

⑴若函數(shù)〃力在(。目上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)，的取值范圍;

(2)證明：設(shè)函數(shù)/(力的圖象在％=/處的切線為/,證明：/(力的圖象上不存在位于直線/上方的點(diǎn).

【答案】⑴(-叱2e-』

(2)證明見解析

【分析】(1)由單調(diào)性可知廣(x)在(0,e］上必存在變號(hào)零點(diǎn)；分別在僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)和兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)的情況下,

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造不等式組求得結(jié)果；

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，可得/：y=f--2x0+A+^+lnx0-l;令

VoJ

/i(x)=/(x)-^X-2x0+fljx+^+ln%0-l,利用導(dǎo)數(shù)可求得力(x)單調(diào)性，得到//(可少(%)=0,由此可得結(jié)論.

(1)

由題意得：f'(x)=--2x+a=~2x~+ax+1,

XX

/(x)在(0,e］上不是單調(diào)函數(shù)，.?.廣(力在(0,e］上必存在變號(hào)零點(diǎn)；

令g(X)=—2x2+or+1,

2

當(dāng)r(X)在(0,e］有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，g(o).g(e)=-2e+fle+l<o,

解得：a<2e--；

e

A=/+8〉0

0<色v

當(dāng)尸(X)在(0,e］有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，<4<e,不等式組無解；

g(e)<0

g(o)<o

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為1%2e-

⑵

f'(x)=--2x+a(x>0),f'M=---2x0+a,又/(毛)=111升-x；十秩,

XX0、

???切線/方程為：＞-（1口%0-4+依0（尤-尤0），

—~2x0+a

7

即y=1---2%+4?|x+

XQ+Inx-1；

Uo)0

令/z(x)=/(x)—1---2x0+a

x+XQ+InXQ_1f

1

2(無o-尤)

1+2xx、2(%-x)x-\----

r02%

：.h(x]=--2x——+2x0=———+2(%o—(尤0—

xXQXXQl書）Jxx0X

令〃（x）=0,解得：x=x（）或x=_；＜0（舍）；

，當(dāng)工￡（0,毛）時(shí)，/lr（x）＞o；當(dāng)X￡（Xo，+oo）時(shí)，"（x）＜0；

，〃（%）在（0,%上單調(diào)遞增，在（無（）,”）上單調(diào)遞減，「?用（九）＜/z（xo）=O,

即〃尤)4--2x0+ax++InXQ—1,

xo

\/（X）的圖象上不存在位于直線/上方的點(diǎn)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)圖象之間的關(guān)系；本

題證明的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為所構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)力最值的求解問題，通過說明〃（x）V0得到

所求的函數(shù)與直線的位置關(guān)系.

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）/（無）=：辦2+inx_（a+l）x.

（1）當(dāng)。=-4時(shí)，求Ax）的單調(diào)區(qū)間與極值;

⑵當(dāng)。＞o時(shí)，設(shè)go）=A0,若g（x）既有極大值又有極小值，求。的取值范圍.

【答案】（D/a）的單調(diào)增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)減區(qū)間為（1,y）；極大值為7（1）=1,無極小值;

(2)0<?<e-3.

【分析】（1）由題可得導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值關(guān)系即得;

21nx-2

（2）由題可得g'（x）=0有兩個(gè)不等正根，進(jìn)而可得。=有兩個(gè)不等正根，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的大致圖象利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)=:加+lnx—(Q+l)x,

當(dāng)a=-4時(shí)，f(x)=-2x2+Inx+3x,x>0,

-4/+3)+1-(4x+l)(x-l)

所以f\x)=-4x+-+3=

xX

由r(x)>o,得o<x<i,由r(尤)<0,得x>i,

所以,⑺的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+8)；

所以Ax)在x=l處有極大值，極大值為了⑴=1,無極小值；

(2)因?yàn)間(元)=—―=—at+^^-(a+l),x>0,

x2x

所以g\x)=-a+匕"=-+2=21nx,則gf(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

2x2x

由g'(%)=°,可得ox?+2-21n%=0,

所以。=2皿：-2有兩個(gè)不等正根，

X

、“、21nx-2介制〃(x)-2"2x(21nx-2)_2(3-21nx)

設(shè)/z(x)=——,x>0,貝⑺一(巧2一丁,

由%x)>0,可得0<x<el，函數(shù)九(力單調(diào)遞增，由〃(x)<0,可得x>￡，函數(shù)力⑺單調(diào)遞減，

f3\

所以〃(x)在％=/處有極大值，h”=廠，

I7

又/z(e)=0,0<x<e時(shí)〃(尤)<0；彳>［時(shí)，Mx)>0,

作出函數(shù)Mx)的大致圖象,

由圖象可知要使“二丁有兩個(gè)不等正根,則0<“<e-3,

即a的取值范圍為0<”L.

【點(diǎn)睛】函數(shù)由極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從/⑴中分離

參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等

式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函

數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范

圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

20.（2023春?高三課時(shí)練習(xí)）已知aeR,函數(shù)〃x）=￡+lnx-l.求在區(qū)間（0,e］上的最小值.

【答案】答案見解析.

【分析】先求導(dǎo)，再對。分三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ龋?y+lnx—l,所以尸（%）=呼，xe（O,e］.

XX

令（（尤）=0得AO.

①若處0,則/'（x）>0,〃x）在區(qū)間（0,e］上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)Ax）無最小值.

②若0<a<e,則當(dāng)xG（O,a）時(shí)，/'（尤）<0,函數(shù)〃x）在區(qū)間（0,。）上單調(diào)遞減；

當(dāng)xW（a,e］時(shí),f'（x）>0,函數(shù)/（x）在區(qū)間（a,e］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)/⑴取得最小值Ina.

③若定e,則當(dāng)xe（O,e］時(shí)，/（x）<0,函數(shù)/⑺在區(qū)間（0,e］卜.單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)/⑴取得最小值，

綜上可知，當(dāng)心0時(shí)，函數(shù),⑺在區(qū)間（0,e］上無最小值；

當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,e］上的最小值為Ina；

當(dāng)a>e時(shí)，函數(shù)/⑺在區(qū)間（0,e］上的最小值為

21.（2022?高三課時(shí)練習(xí)）如圖①是一個(gè)仿古的首飾盒，其橫截面是由一個(gè)半徑為廠分米的半圓，及矩形ABC。組

成，其中的長為。分米，如圖②所示.為了美觀，要求心方2r.己知該首飾盒的長為4r分米，容積為4立方分

米（不計(jì)厚度），假設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用只與其表面積有關(guān)，下半部分（箱體）的制作費(fèi)用為每平方分米1百元，上半

部分（箱蓋）制作費(fèi)用為每平方分米2百元，設(shè)該首飾盒的制作費(fèi)用為y百元.

①