《指數(shù)與指數(shù)冪的運算(第1課時)》教學(xué)設(shè)計

2.1指數(shù)函數(shù)2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算（第一課時）（胡文娟）一、教學(xué)目標（一）核心素養(yǎng)通過指數(shù)運算符號的使用與運算法則的總結(jié)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)，為指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)．（二）學(xué)習(xí)目標1．理解根式的概念并掌握運用根式的性質(zhì)進行化簡．2．理解分數(shù)指數(shù)冪的概念．3．掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的互化．（三）學(xué)習(xí)重點1．根式與分數(shù)指數(shù)冪概念的理解．2．分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)．（四）學(xué)習(xí)難點根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第49頁至第51頁，填空：一般地，如果■=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN*.式子G叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).式子/叫做根式.這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).（2）計算下列各式……；1 … ①％—64:②/ ；?5（a+b）5（a>0,b>0）弋（-6）4 '觀察上面的計算結(jié)果，你得到的結(jié)論是：（用^母表達）觀察上面的計算結(jié)果，你得到的結(jié)論是：（用^母表達）.詳解：①3-64=v(-4)x(-4)x(-4)=-4；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1 1 1' x X X =—；\o"CurrentDocument"：(-6) (-6)(-6)(-6) 6③(a十b)5"5(a十b+b)?』十b十b+b):a+b結(jié)論：n為奇數(shù)，njan=a，aeR；n為偶數(shù)，nan=尸，“一°I-a,a<0?2.預(yù)習(xí)自測(1)若x表示實數(shù)，則下列說法正確的是()A.或一定是根式 B,二一定不是根式C5短一定是根式 D,3。只有當x>0才是根式【知識點】根式的定義.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】根據(jù)根式定義可得正確.【思路點撥】根據(jù)根式的定義直接判斷.【答案】C.(-2)5=( )A.4B,2 C,-4 D,-2【知識點】根式的化簡.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】(-2)5=5-(-2)C2).(-2)C2).(-2)=-2.【思路點撥】根據(jù)根式的運算性質(zhì)直接進行計算.【答案】D.3(3)將52寫為根式，則正確的是()A,3,反B,呈C,5：'| D,、工【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.【數(shù)學(xué)思想】3 【解題過程】52=v53【思路點撥】運用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系．【答案】D.(4)將抵寫為分數(shù)指數(shù)冪的形式，則正確的是()5 3A.63 B.65C615D.62【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】5而=63【思路點撥】運用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系．【答案】B.(二)課堂設(shè)計1．知識回顧(1)平方根一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根(squareroot)或二次方根．(2)立方根一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根(cuberoot)或三次方根．(3)正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)，其中正的平方根稱為算術(shù)平方根；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，并且這個立方根的符號與原數(shù)相同．2.問題探究探究一根式的概念與根式的化簡?活動①回顧理解方根與根式的概念在初中，我們學(xué)習(xí)過二次方根概念:一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根(squareroot)或二次方根.其中，a叫做被開方數(shù).當a>0時，aa表示a的算術(shù)平方根.我們也學(xué)習(xí)過三次方根的概念：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根(cube“。力或三次方根.提問：如果一個數(shù)的4次方等于〃，那么這時候這個數(shù)叫做什么呢？這個數(shù)叫做〃的四次方根.追問：如果一個數(shù)的n次方等于〃，那么這時候這個數(shù)又叫做什么呢？(搶答)一般地，如果逝=〃，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN*.式子儲叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).【設(shè)計意圖】通過回顧已學(xué)知識，從特殊到一般，讓學(xué)生自己總結(jié)歸納，加深學(xué)生對根式的理解．?活動②根式的性質(zhì)nan(neN*,n>1)表示an的n次方根，等式\：an=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nna等于什么？(分小組討論)若a—0,n0=0n為奇數(shù)時，nan―afa,a20n為偶數(shù)時，Man—a-《[一a,a<0也就是說，當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)；當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).追問：(n[a)n=a一定成立嗎？很明顯，當根式有意義的情況下(R)n=a一定成立.綜上，根式的性質(zhì)有：⑴n0=0,(2)(R)n=a,⑶菽=a(n為大于1的奇數(shù))，(4)M=a=[a(a-0) (n為大于1的偶數(shù)).[一a(a<0)【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自主討論探究歸納總結(jié),得出根式的化簡方法,加深印象．探究二分數(shù)指數(shù)冪的概念★?活動①探究分數(shù)指數(shù)冪的概念當生物死亡后,它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”，根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系P=（2）京,考古學(xué)家根據(jù)這個式子可以知道，生物死亡t年后，體內(nèi)碳14含量P的值.例如：當生物死亡了5730,2X5730,3X5730,……年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為2,（2）2,（2）3,……當生物死亡了6000年,10000年,100000年后,根據(jù)上式,它體內(nèi)碳14的16000 110000 1100000含量P分別為（2）5730,（2）5730,弓）5730.問題：以上三個數(shù)的含義到底是什么呢？考古學(xué)家正式利用有理數(shù)指數(shù)冪的知識,計算出生物死亡6000年,10000年,100000年后體內(nèi)碳14含量P的值．例如,當t=6000時,16000 11 ―乙一? ?一一、 ，一…p=（2）5730=5730：（2）6000穴0.484（精確到0.001）,即生物死亡6000年后，其體內(nèi)碳14的含量約為原來的48.4%．歸納：分數(shù)指數(shù)冪是一個數(shù)的指數(shù)為分數(shù)．【設(shè)計意圖】從生活中的實際例子到數(shù)學(xué)語言,從特殊到一般,體會概念的提煉,抽象過程．探究三根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化?活動①根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化 - 10 : - 125a10=5；（a2）5=a2=a5 4a12=4（a3）4=a3=a4問題：（1）從上兩個例子你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？被開方數(shù)的指數(shù)結(jié)論：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成a根指數(shù)的形式(2)3a2,xb,4：c5(c>0)如何表示?

3a2=a3,bb=b2,4c5=c4、m: 規(guī)定an=nam(a>0,m,neN*,n>1)mmamman—(an)-1=(a>0,m,neN*,n>1)nam正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式．思考：負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪呢能不能用根式表示？不能，例如問題（2）中4c，若c為負數(shù)，則在實數(shù)范圍內(nèi)是不存在的.0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．【設(shè)計意圖】從給出的例子讓學(xué)生總結(jié)出正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪，檢查反饋學(xué)生對正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪概念的理解，加深對正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的認識．?活動②鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1化簡V-27的值是（）.A.3 B.-3C±3 D.-9【知識點】根式的化簡求值．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】3；-27—3（-3）3—-3.【思路點撥】根據(jù)根式的運算法則直接進行計算．【答案】B.同類訓(xùn)練、:口干+￥+）5的值是（）.A.0 B.2（a-b） C.0或2（a-b） D.a-b【知識點】根式的化簡求值．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想a-b+a-b+(a-b)金>b

b-3.4-1-13=0J(a-b)+ )■=|a-b|+(a-b)=【思路點撥】根據(jù)根式的運算性質(zhì)直接進行計算．【答案】C.【設(shè)計意圖】檢查反饋學(xué)生對根式的定義以及根式的性質(zhì)的理解，進一步掌握根式的化簡.例2當有意義時，化簡."2—4x+4―、x2—6x+9的結(jié)果為（ ）A.2x-5 b.-2x-1 C.-1 D.5-2x【知識點】根式的化簡求值.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】qE有意義即是說2-x>0,則x<2,這v'x2-4x+4=((x-2)2=2-x,同理\.:x2-6x+9=((x-3)2=3-x,所以原式【思路點撥】根搠為偶數(shù)時，M【思路點撥】根搠為偶數(shù)時，M〃=0對根式進行化簡求值.【答案】C同類訓(xùn)練若a<1,則化簡f'Ga-1｝的結(jié)果是（ ）C. C. 1—2a D.—V1—2aA.y2a—1 B.—%：2a—1【知識點】根式的化簡.4：：(4：：(2a-1}=(2a-1)；=?,1-2a., Ia,a>0ns=H=1 口對根式進行化簡求值.—a,a<01【解題過程】a<1,則U2a-1<02【思路點撥】根據(jù)n為偶數(shù)時【答案】C.?活動③強化提升、靈活應(yīng)用例3下列互化中正確的是（— 1A.-7x=（—x）2（x豐0）

C.(一)-4=4：(—)3(x,y中0) D.x3=—\.：xy飛x【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】A選項—、x=-x2(x豐0),B選項6不=(-y)3(y<0),D選項i■—x3=3：'x.【思路點撥】熟練掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系．【答案】C同類訓(xùn)練下列等式能成立的是()A．B.12(—2)4=3.：—A．D．(I)D．(I)23a/3【知識點】根式的化簡，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】A選項(2)7=n7m-7,B選項窄(一2)4=3；2，C選項顯然不成立.m【思路點撥】熟練掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系．【答案】D.例4求下列各式的值:,、 2 125i7(1)(0.027)3+(萬)3-(2/。.5、L.一L 171 1(2)6.0+%：3?(、.：3-%：2)0-(4記)4-(3)-1【知識點】根式的化簡運算，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】(1)原式=V(0.33)2+3，''(|)3-^'(|)2=0.09

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"⑵原式=0+耳_J(3T-3=a-3-3=邛-9

加2) 2 2【思路點撥】熟練掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系．【答案】(1)0.09.(2)11r—二.; _同類訓(xùn)練求下列各式的值:… 7 101(29)0.5+0.1-1+(227)-3-3兀0(0.0081)-1-3x(7)0"x810.25+(33)-1J-10x0.027；【知識點】根式的化簡運算，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】(1)原式=53【解題過程】(1)原式=53—十—34+7=113~22；(2(2)原式=-.1=-1x73. 34'(—)4410■3■(-)3；2,-10x“(J_)3=W-1x(3+2)-3=-8310 33 3 9-【思路點撥】熟練掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化關(guān)系-【答案】(1)113.(2)-8.12； 9【設(shè)計意圖】通過計算，加強學(xué)生對根式的性質(zhì)的運用以及對根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化過程的熟練掌握-3-課堂總結(jié)知識梳理(1)一般地，如果逝=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN*.式子R叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).(2)正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪(正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式)

m■ m■ an=nam(a>0,m,neN*,n>1)a,mm 1n=(an)-i=(a>0,m,neN*,n>1)nam重難點歸納(1)在進行根式化簡時一定注意當n為奇數(shù)時，nan=a,n為偶數(shù)時，nan=(2)根式化簡過程中常出現(xiàn)乘方與開放并存要，注意兩者的順序何時可以交換，何時不能交換，并且冪指數(shù)不能隨便約分．m- (3)在進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化時an=1am(a>0,m,neN*,n>1)TOC\o"1-5"\h\z-m 1a-n=(a>0,m,neN*,n>1)，其中m，n的位置切勿記反.nam '(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.設(shè)m,neN*,n>1,a是正實數(shù)，則下列各式中正確的有().m _m1①an=nam:②a0=1:③a~n=—:—namA.3個B.2個C.1個D.0個【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，分數(shù)指數(shù)冪．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由分數(shù)指數(shù)冪的概念判斷.【思路點撥】弄清根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的互化關(guān)系.【答案】A.2 ?…2.已知X-3=4則X等于()3：4

~T~【知識點】根式的化簡運算，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.【數(shù)學(xué)思想】 23 3 1 1【解題過程】X=(X-3)-2=±4-2=±, =土一43 8【思路點撥】掌握根式的化簡運算以及根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的互化關(guān)系．【答案】B.3．下列說法中正確的個數(shù)是()①一2是16的四次方根②正數(shù)的n次方根有兩個③a的n次方根就是蘇④nan=a(a>0)A．0 B．1 C．2 D．3【知識點】n次方根和n次根式的概念.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過程】①是正確的，由(-2)4=16可驗證；②不正確，要對n分奇偶討論;③不正確，a的n次方根可能有一個值，可能有兩個值，而%：an只表示一個確定的值，它叫根式；④正確，根據(jù)根式運算的依據(jù)，當n為奇數(shù)時，方=a是正確的，當n為偶數(shù)時，若a三0,則有nan=a.綜上，當a三0時，無論n為何值均有nan=a成立.【思路點撥】根據(jù)方根與根式的定義直接進行判斷．【答案】C一,一 34、、一.…一……一一4.若式子a-2X)-4有意義，則X的取值范圍是()TOC\o"1-5"\h\z11 1A.xgRB.x手一C.x>— D.X<—2 2 2【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想.\o"CurrentDocument"3 1 3 1【解題過程】(1-2X)-4= ,若(1-2X)-4有意義，貝h-2X>0,即X<.4(1-2X)3 2【思路點撥】化分數(shù)指數(shù)冪為根式，由根式內(nèi)的代數(shù)式大于0求得X的范圍.【答案】D.5.計算下列各式：481x\：42v/3x3；f5x6.?五【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，根式的化簡求值．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】(1)V81xx不=<34xW=3x2=6；(2)2、回x3：T5x6.12=243x3'3xv'3x22=2v3x33xV2x6：342 32111=2x32x33x36=2x3=6.【思路點撥】運用根式的化簡法則進行求解．【答案】(1)6；(2)6．.化簡,5-2屈+%/5+2屈=.【知識點】根式的化簡．【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】<5-2j6+丫5+2<6=(3—,/2)2+(品+<2)2=2%；3.【思路點撥】根號里面的部分用完全平方公式化簡，再根據(jù)根式的化簡得出結(jié)果．【答案】2\；3.能力型師生共研.n莖+(啟)n=2a時，實數(shù)a和正整數(shù)n所應(yīng)滿足的條件.【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想【解題過程】由菽+(n/a)n=2a，若n為奇數(shù)，菽+(a)n=a+a=2a，上式成立；若n為偶數(shù)，則a>0,nZ+(<a)n=a+a=2a，上式成立.【思路點撥】利用指數(shù)的運算法則，對n為奇數(shù)或偶數(shù)進行討論.【答案】agR,n為正奇數(shù)或a>0,n為正偶數(shù)..已知ngN*，化簡

1+1+（：,n+n+1>【知識點】根式的化簡運算.【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化與化歸思想.【解題過程】原式=nn-nn+1（*；n+nn+1）（、,'n-7n+原式=nn-nn+1（*；n+nn+1）（、,'n-7n+1）=%：2—1+J3—v2+?…+nn+1一■vn=、：n+1—1【思路點撥】運用以前所學(xué)過的分母有理化將原式化簡，將復(fù)雜問題簡單化.【答案】g-1.探究型多維突破.已知x=三3,y=2±12，求下列各式的值.2+v：3 2-QX+2；yxx2-xy+y2.【知識點】根式的化簡求值.【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化與化歸思想.【解題過程】(1)X+2二三2+二2二二+金二194；yx(2+<3)2(2-13)27+4y37-4J32--?白、2--<32+,；3(2+.吞、x2-xy+y2=( —)2 =? =+(. —)2=1932+<3 2+<32-<3 2-<3【思路點撥】直接將已知的等式帶入要求的式子中，在運用根式的性質(zhì)將式子化簡.【答案】(1)194；(2)193.10.若x〉0,y〉0且滿足x-2,后=15y，求2x-2可-3y的值.x-%：xy+y【知識點】根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡求值.【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【解題過程】X—【解題過程】X—2國=15y即為（:X—0,因為X>0,y>0,故r—5J二0，所以x=25y 2X+2、+3N=2乂25，+2m2+3，=曳=3.，X—Xyy+y 25y-弋25y2+y21y【思路點撥】運用分數(shù)指數(shù)冪進行根式計算.【答案】3.自助餐.式子aj―-經(jīng)過計算可得到（）\aA.—-a B.aa C.一、:aD.一、；一a【知識點】根式的化簡.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程由原式知a<【解題過程由原式知a<0,因此、=Ia=―a,故a=v—a,于是a―=―%,-a.【思路點撥】負數(shù)的偶次方根等于其相反數(shù).【答案】D..下列說法正確的是（）.64的6次方根是26.64的運算結(jié)果是土2n>1且neN*時，（薪）n=a對于任意實數(shù)a都成立n>1且neN*時，式子菽對于任意實數(shù)a都有意義【知識點】方根與根式的概念，根式的化簡.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想.【解題過程】A選項考察的是正數(shù)的偶次方根有兩個，且互為相反數(shù)，B選項的運算結(jié)果應(yīng)該是2,C選項當a為負數(shù)則不成立.【思路點撥】根據(jù)方根與根式的概念，根式的化簡進行判斷.【答案】D..當8Vx<10時，7(x-8)2+xkx—10)2=.【知識點】根式