2023年江蘇中考數(shù)學一輪復習 訓練第14講 四邊形(解析版)

第14講四邊形2023年中考數(shù)學一輪復習專題訓練（江蘇專用）

一、單選題

L（2022?南通）如圖，在回4BCD中，對角線AC,BD相交于點O,AC1BC,BC=4,AABC=60°,

若EF過點O且與邊ZB,CD分別相交于點E,F,設BE=x,OE2=y,則y關于x的函數(shù)圖象大致為

（）

2.（2022?無錫）如圖，在團ABCD中，AD=BD,^ADC=105°，點E在AD上，^EBA=60°,

則罌的值是（）

2

3,T

3.（2022?無錫）下列命題中，是真命題的有（）

①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形②對角線互相垂直的四邊形是菱形③四邊相等的四邊形是

正方形④四邊相等的四邊形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

4.（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A,B.D恰好都

落在點。處，且點G、。、C在同一條直線上，同時點E、。、F在另一條直線上.小煒同

學得出以下結(jié)論：

①GFIIEC；@AB=^-AD；③GE=;④。C=2&OF;?△COFCEG.

其中正確的是（）

A.①②③B,①③④C.①④⑤D.②③④

5.（2022?海門模擬）如圖，菱形ABCD的邊長為4,41=60。，E是邊AD的中點，F(xiàn)是邊AB上

的一個動點，將線段EF繞著E逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到EG,連接EG、CG，則BG+CG的最小

值為（）

A*---------F----------------飛

A.3V3B.2夕C.4V3D.2+2百

6.（2021?無錫）如圖，D、E、F分別是4ABC各邊中點，則以下說法錯誤的是（）

tiDC

A.ABDE和SDCF的面積相等

B.四邊形AEDF是平行四邊形

C.若AB=BC,則四邊形AEDF是菱形

D.若乙4=90。,則四邊形AEDF是矩形

7.（2021?蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，將4ABC沿著AC所在的直線翻折得到AAB，C,

B'C交AD于點E，連接B'D，若乙B=60°,乙4cB=45。，AC=遍，則BD的長是（）

A.1B.V2C.V3D.坐

8.（2021?秦淮模擬）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長

所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形.關于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：

①zBCD=zA+ZB+；②若力B=2D,BC=CD，則AC1BD；③若zBCD=2",則

BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①③④

9.（2021?儀征模擬）將一個邊長為4cn的正方形與一個長，寬分別為8cm,2cm的矩形重疊放在一起,

在下列四個圖形中，重疊部分的面積最大的是（）

10.（2021?天寧模擬）下列命題中，真命題是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.有一個角是直角的平行四邊形是矩形

D.一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形

二'填空題

1L（2021?徐州）如圖，四邊形ABCD與AEGF均為矩形，點、E,F分別在線段AB,AD上.若BE=

FD=2cm,矩形AEGF的周長為20cm,則圖中陰影部分的面積為cm.

12.（2021?常州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，其中點A在x軸

正半軸上.若BC=3,則點A的坐標是.

哪

13.（2021?南京）如圖，將回ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到^AB'C'D'的位置，使點B落在BC上,

BC與CD交于點E,若=3,BC=4,BB'=1,貝I」CE的長為.

小廠-c

14.（2021?揚州）如圖，在EL4BCD中，點E在40上，且EC平分心BED,若乙EBC=30°,BE=

10,則M4BCD的面積為

15.（2021?連云港）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,0E14。，垂足為E,4C=8,

BD=6,貝0E的長為.

16.（2022?徐州）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處.若點E在邊

AB±,AB=3,BC=5,則AE=.

AD

.KXJ

J3'........

17.（2022?無錫）如圖，正方形ABCD的邊長為8,點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE、

BC于點H、G,則BG=.

18.（2022?泗洪模擬）如圖，從一個大正方形中截去面積為3czn2和12cm2的兩個小正方形，若隨機向大

正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為.

19.（2022?蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB1AC,AB=3,AC=4,分別以A,C為

圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,過M,N兩點作直線，與BC交于點E,與

AD交于點F,連接AE,CF,則四邊形AECF的周長為.

20.（2022?宿遷）如圖，在矩形4BC。中，4B=6,BC=8,點M、N分別是邊4。、BC的中點，某一時刻，

動點E從點M出發(fā)，沿M4方向以每秒2個單位長度的速度向點4勻速運動；同時，動點F從點N出發(fā)，

沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運

動，連接EF,過點B作EF的垂線，垂足為H.在這一運動過程中，點”所經(jīng)過的路徑長是.

三、綜合題

21.（2022?徐州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE=DF.求證:

（1）AABE^ACDF；

（2）四邊形AECF是平行四邊形.

22.（2022?鎮(zhèn)江）已知，點E、八G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上.

(1)如圖1,當四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知=CF=CG,當4E、C尸的大小有關系時，四邊形EFGH是矩形;

(3)如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點。，OE：OF=4：5，已知正方形4BC0的邊長為16,FH長

為20,當AOEH的面積取最大值時，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

23.(2022?南通)如圖，矩形4BCD中，AB=4,AD=3，點E在折線BCD上運動，將4E繞點A順時

針旋轉(zhuǎn)得到4尸，旋轉(zhuǎn)角等于4BAC,連接CF.

(1)當點E在BC上時，作FM1AC,垂足為M,求證AM=ZB；

(2)當月E=3魚時，求CF的長；

(3)連接DF,點E從點B運動到點D的過程中，試探究DF的最小值.

24.(2022?無錫)如圖，在口ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB、DC于點

E、F,連接DE、BF.

求證：

(1)ADOF^ABOE；

(2)DE=BF.

25.（2022?無錫）如圖，已知四邊形ABCD為矩形AB=2魚，BC=4,點E在BC上，CE=AE,

將AABC沿AC翻折到ZiAFC,連接EF.

（1）求EF的長;

(2)求sin/CEF的值.

26.（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻

的長度為10m）,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的

總長度為24m,設較小矩形的寬為xm（如圖）.

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2,求此時x的值;

（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

27.（2022?海陵模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD=10,點E是AD上一點，且AE=m（m是常數(shù)）,

作4BAE關于直線BE的對稱圖形ABFE,延長EF交直線BC于點G.

D

H

爸用圖

（1）求證：EG=BG；

（2）若m—2.

①當AB=6時，問點G是否與點C重合，并說明理由;

②當直線BF經(jīng)過點D時，直接寫出AB的長；

(3)隨著AB的變化，是否存在常數(shù)m,使等式BG-aAE=AB2總成立？若存在，求出m的值；若

不存在，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：過0點作OM_LAB于M,

VAC1BC,

.?.ZACB=90°,

,.,ZABC=60°,

.?.NBAC=90°-60°=30°,

...AB=2BC=8,

AC=y/AB2-BC2=V82-42=4V3,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

.,.AO=1AC=2V3-

-'-OM=^AO=V3>

.'.AM=>JAO2-OM2=3;

設BE=x,0E2=y,貝ijEM=AB-AM-BE=8-3-x=5-x,

VOE2=OM2+EM2,

.?.y=(x-5)2+3,

V0<x<8,當x=8時y=12,

符合解析式的圖象為C.

故答案為：C.

【分析】過。點作OM1.AB于M,利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AB的長，利用

勾股定理求出AC的長；利用平行四邊形的性質(zhì)可求出AO的長，從而可得到OM的長，利用勾股定

理求出AM的長；設BE=x,OE2=y,可表示出EM的長；然后利用勾股定理可得到OE2=OM2+EM2,

可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式及x的取值范圍，即可得到符合題意的函數(shù)圖象.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，過點B作BFLAD于F,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，CD=AB,CD//AB,

AZADC+ZBAD=180°,

;乙4DC=105°

AZA=75°,

VZABE=60°,

???ZAEB=1800-ZA-ZABE=45°,

VBF±AD,

.\ZBFD=90o,

.\ZEBF=ZAEB=45°,

ABF=FE,

VAD=BD,

AZABD=ZA=75°,

AZADB=30°,

設BF=EF=x,則BD=2x,由勾股定理，得DF=V3x，

ADE=DF-EF=(遍-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-b)x,

由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=(2-V3)2x2+x2=(8-4痘)x2,

2.一2Q

-DE^_(V3-1)%21

./―(8-4加2

?DEV2

??而=T'

VAB=CD,

?DE42

，'CD=~2-

故答案為：D.

【分析】過點B作BFLAD于F,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD=AB,CD//AB,由平行線的性質(zhì)可

得/ADC+NBAD=180。，結(jié)合/ADC的度數(shù)可得NA的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理可得NAEB=45。，進而

推出BF=FE,由等腰三角形的性質(zhì)可得NABD=NA=75。，則/ADB=30。，設BF=EF=x,則BD=2x,

由勾股定理，得DF=V5x,DE=DF-EF=(g-l)x,AF=(2-同x,由勾股定理可得AB?,據(jù)此可得空的

值，然后結(jié)合AB=CD進行求解.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，正確，故該命題是真命題；

②對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題；

③四邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題；

④四邊相等的四邊形是菱形，正確，故該命題是真命題.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的判定定理可判斷①；根據(jù)菱形的判定定理可判斷②④；根據(jù)正方形的判定定理

可判斷③.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：???矩形ABCD沿著GE、EC、GF折疊，使得點A、B、D恰好落在點O處，

，DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,ZAGE=ZOGE,NAEG=NOEG,

ZOEC=ZBEC,

NFGE=NFGO+NOGE=90。，NGEC=NOEG+NOEC=90。，

.?.ZFGE+ZGEC=180°,

，GF〃CE,

???①符合題意；

設AD=2a,AB=2b,則DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

???CG=OG+OC=3a,

在RtZkAGE中，由勾股定理得GE?=AG2+AE2,即GE2=a2+b?,

在RSEBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2,即CE2=b2+(2a)2,

在Rt/kCGE中，由勾股定理得CG2=GE2+CE2,

(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,

整理，解得：b=V2a,

/.AB=V2AD,

..?②不符合題意；

設OF=DF=x,則CF=2b-x=2V2a-x,

在RSCOF中，由勾股定理得OF2+OC?=CF2,

x2+(2a)2=(2a-x)2,

解得：x=2^a,

，OF=DF=0a,

?，.V6DF=遍x孝a=V3a,

XVGE^+b2,

:.GE=V3a,

AGE=V6DF,

...③符合題意；

2V2OF=2g￥a=2a,

.,.0C=2及OF,

???④符合題意；

??,無法證明/FCO=NGCE,

...無法判斷△COFs/^CEG,

二⑤不符合題意；

...正確的有①③④.

故答案為：B.

【分析】由矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,

NAGE=NOGE,NAEG=NOEG,NOEC=NBEC,從而可得NFGE=NFGO+NOGE=90。，ZGEC

=ZOEG+ZOEC=90°,得/FGE+/GEC=180。，可判定GF〃CE；設AD=2a,AB=2b,則DG=

OG=AG=a,AE=OE=BE=b,得CG=OG+OC=3a,由勾股定理得GE2=a?+b2,CE2=b2+(2a)2,

CG2=GE2+CE2,即得(3a)2=a2+b2+b?+(2a)2,解得b=&a,從而得AB=V^AD；設OF=DF=x,

則CF=2b-x=2企a-x,由勾股定理得OF2+OC2=CF2,gpx2+(2a)2=(2a-x)2,解得x=爭，從而

得OF=DF=￥a,進而求得GE=V5DF；又2魚OF=2內(nèi)孕1=2a,從而可得.?.OCMZ痘OF；因條件不

足，無法證明/FCO=/GCE,因而無法判斷△COFs^CEG.據(jù)此逐項分析即可得出正確答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：取AB與CD的中點M,N,連接MN,作點B關于MN的對稱點E，，連接EC,

E'B

此時CE的長就是GB+GC的最小值;

VMN/7AD,

，HM=|AE,

VHB1HM,AB=4,ZA=60°,

；.MB=2,ZHMB=60°,

，HM=1,

.\AE'=2,

.??E點與E，點重合，

VZAEB=ZMHB=90°,

，/CBE=90。，

在RtZiEBC中，EB=2V3，BCM,

，EC=2V7,

故答案為：B.

【分析】取AB與CD的中點M,N,連接MN,作點B關于MN的對稱點E，，連接EC,E'B,此時

CE的長就是GB+GC的最小值；利用三角形的中位線定理可得到HM=JAE,可求出HM的長；利用

30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AE的長，利用勾股定理求出BE的長；然后利用勾股定

理求出EC的長.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：???點D、E、F分別是^ABC三邊的中點，

ADE.DF為AABC得中位線，

，ED〃AC,且ED=1AC=AF；同理DF〃AB,且DF=1AB=AE,

???四邊形AEDF一定是平行四邊形，故B正確；

△BDEBCA,△CDFCBA

.11

??S^BDE=4sABCA'S〉CDF=4s△8C4，

:.ABDE和ADCF的面積相等，故A正確；

VAB=BC,

，DF=|AB=AE,

四邊形AEDF不一定是菱形，故C錯誤；

VZA=90°,則四邊形AEDF是矩形，故D正確；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得ED〃AC,且ED=1AC=AF,DF〃AB,且DF=1AB=AE,

可證四邊形AEDF一定是平行四邊形，由/A=90。,可證四邊形AEDF是矩形;根據(jù)平行線可證4BDE?

△BCA,4CDFFCBA,利用相似三角形的性質(zhì)可得.據(jù)此判

=SACDF=|SABC?I

斷A、B、D；由4B=BC,可得DF=|AB=AE,從而得出四邊形AEDF不一定是菱形，據(jù)此判斷

C.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形

；.AB=CD/B=NADC=60。，ZACB=ZCAD

由翻折可知：BA=AB,=DC,NACB=NACB，=45。，

/.△AEC為等腰直角三角形

，AE=CE

ARtAAEB名RtACDE

，EB，=DE

:在等腰RtAAEC中，AC=尿＞

ACF=V3

?.,在RtaDEC中，CE=V5，NADC=60°

:.ZDCE=30°

.?.DE=1

在等腰RtADEB，中，EB，=DE=1

：-BD=V2

故答案為：B

【分析】由折疊的性質(zhì)可得AAEC為等腰直角三角形,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證Rt^AEB^RtACDE,

由全等三角形的性質(zhì)可得EB，=DE,在等腰RtAAEC中，用勾股定理可求得CE的值，解RtADEC可求

得DE的值，在等腰RMDEB，中，用勾股定理可求解.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：①如圖1,連接AC并延長到點E.

???乙BCE=Z.BAC+乙B,

(DCE=Z-DAC+乙D,

???Z-BCE+乙DCE=ABAC++Z-DAC+乙D.

即乙BCD=/LBAD+ZB+ZD.

所以結(jié)論①正確；

②如圖2,連接BD,作直線AC.

vAB=AD,

...點A在線段BD的垂直平分線上.

CB=CD,

...點C在線段BD的垂直平分線上.

.?.點A和點C都在線段BD的垂直平分線上.

???直線AC是線段BD的垂直平分線.

ACLBD.

所以結(jié)論②正確;

③如圖③，

由①可知，/.BCD=ZJ1+ZB+ZD,

當乙BCD=2/.A時，有2NA=NA+NB+Z.D,

Z71=Zfi4-ZD.

因再無其它已知條件證得BC=CD,所以結(jié)論③錯誤；

④如圖④，假設存在凹四邊形ABCD,連接AC.

1

當AB=CD,AD=BC時，

??AC=CA,

△ABC=△C*D4(SSS).

:.z.1=44,z3=z2.

，AB〃CD,BC〃DA.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

??,平行四邊形是凸四邊形，

這與“四邊形ABCD是凹四邊形”的假設相矛盾.

.?.不存在凹四邊形ABCD,使得AB=CD,AD=BC.

所以結(jié)論④錯誤.

故答案為：A.

【分析】①如圖1，連接AC并延長到點E,利用三角形外角和定理可得NBCD=NBAD+NB+ND；

②如圖2,連接BD,作直線AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，可得ACJ_BD；

③由①得/BCD=NBAD+/B+/D,結(jié)合4BCD=244,可得/A=/B+/D,無法證明BC=CD；

④如圖④，假設存在凹四邊形ABCD,連接AC.證明四邊形ABCD是平行四邊形，由于平行四邊形

是凸四邊形，據(jù)此判斷即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：A、重疊部分為矩形，長是4寬是2,所以面積為4x2=8：

B、重疊部分是平行四邊形，與正方形邊重合部分的長大于2,高是4,所以面積大于8；

C、圖C與圖B對比，因為圖C的傾斜度比圖B的傾斜度小，所以，圖C的底比圖B的底小，兩圖為

等高不等底，所以圖C陰影部分的面積小于圖B陰影部分的面積；

D、如圖，BD=742+42=4V2，GE=DE=2,HF=BF=2,

，GH=4A/2-4,

AS2x(472+4/2-4)=8＞/2_4，小于8；

故答案為：B.

【分析】A、陰影部分是長方形，根據(jù)長方形的面積公式即可求出陰影部分的面積=8；

B、重疊部分是平行四邊形，與正方形邊重合部分的長大于2,高是4,根據(jù)平行四邊形的面積公式即

可求出陰影部分的面積＞8；

C、圖C陰影部分的傾斜度比圖B陰影部分的傾斜度小，得出圖C中平行四邊形的底比圖B中平行四

邊形的底小，高是4,從而得出圖C陰影部分的面積小于圖B陰影部分的面積；

D、先求出BD的長，從而求出GH的長，利用梯形的面積公式求出陰影部分的面積＜8,即可得出重

疊部分的面積最大的是圖B.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：A、一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形，本選項

說法是假命題；

B、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，本選項說法是假命題；

C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，本選項說法是真命題；

D、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形，本選項說法是假命題；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理可判斷A；根據(jù)菱形的判定定理可判斷B；根據(jù)矩形的判定定理

可判斷C；根據(jù)正方形的判定定理可判斷D.

11.【答案】24

【解析】【解答】???矩形AEGF的周長為20cm,

：.AE+AF=10,

設4E=%，貝I］力尸=10—%,AB=x+2,AD=12-x,

S陰影=SABCD一SAEGF=4BxAD-AExAF

=(x+2)(12—x)—x(10—x)

=12%4-24—%2—2%—10%+x2

=24,

故答案為24.

【分析】由矩形的性質(zhì)及周長，可求出4E+AF=10,設AE=x，則AF=10-x,AB=x+2,

AD—12—X,—^^,^ABCD~^^p.J^AEGF'利用矩形的面積公式代入計算即得結(jié)論.

12.【答案】(3,0)

【解析】【解答】解：?.?四邊形OZBC是平行四邊形，

，OA=BC=3,

...點A的坐標是(3,0),

故答案是：(3,0).

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OA=BC=3,據(jù)此不難得到點A的坐標.

13.【答案】|

【解析】【解答】解：過點C作CM〃CD交BC于點M,

4

Alr\

A\

l\

???平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形AB'C'D'

：.AB=AB',AD=AD',Z.B=Z.AB'C=ZD=ZDZ,乙BAD=^B'AD'

=/LDAD',乙B=KD'

：.AABB'-AADD'

.BB,_AB_AB_3

''~^=AD=BC=^'

':BB'=1

??.DD，=[

.'.CD=CD'-DD

=CD-DD'

=AB—DD'

4

=3--

3

5

=-

3

vZ-AB'C=々AB'C'+乙CB'M=乙ABC+NBAB'

/.ZCB'M=^BAB

，.*5，C=BC-FF=4-1=3

：-BC=AB

'：AB=AB'

AZABB'=z.AB'B=^.AB'C

"：AB'//C'D',CD//CM

：.AB'//CM

/.ZAB'C=乙B'MC

AZAB'B=乙B'MC

在AABB'和AB'MC中，

LBAB=/.CBM

/.ABB=/.BMC

AB=BC

：.AABB'=AB'CM

：.BB'=CM=1

"：CM//C'D

/.△CME-ADC'E

CM_CE_1_3

-■-77=DE=T=5

DC3

.CE_3

,,CD=8

2229

:?CE=*CD=^AB=§x3

oooo

故答案為：I.

o

【分析】過點C作CM〃CD交BC于點M,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB',AD=AD\同時可證

得兩平行四邊形的對角相等，由此可推出NBAB，=NDAD',NB=/DL可推出AABB'^△ADD,,

利用相似三角形的對應邊成比例，可得出對應邊的比；從而可求出DD'的值，即可求出CD，，B'C；

再證明△CMES/XDC'E,利用相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長.

14.【答案】50

【解析】【解答】解：過點E作EFLBC,垂足為F,

VZEBC=30°,BE=10,

.\EF=1BE=5,

：四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,

.,.ZDEC=ZBCE,

又EC平分NBED,即/BEC=NDEC,

.\ZBCE=ZBEC,

，BE=BC=10,

，四邊形ABCD的面積=BCxEF=10x5=50,

故答案為：50.

【分析】過點E作EF_LBC,垂足為F,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得出EF=稱BE=5,根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義得出/BCE=NBEC,從而可得BE=BC=10,由平行四邊形ABCD的面

積=BCxEF,據(jù)此計算即可.

15.【答案】導

【解析】【解答】解：???菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC=8,DB=6,

.\AO=4,DO=3,ZAOD=9()°,

；.AD=5,

在RtUDO中，由等面積法得：^AO-DO=^AD-OE,

.八廣AO-DO3x412

故答案為：號.

【分析】由菱形的性質(zhì)得出A0=4,D0=3,ZAOD=90°,利用勾股定理求出AB=5,由^ADO的面積

~AODO=^AD-OE,據(jù)此求出OE的長.

16.【答案】1

【解析】【解答】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,

VZD=90o,

:.DF=VCF2-CD2=4,

所以AF=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=x,貝ijAE=AB-BE=3-x,在RtZiAEF中：

AE2+AF2=EF2,

**?(3—X)+I2=x2>

解得x=

??AE=3—

故答案為：I

【分析】由折疊的性質(zhì)可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性質(zhì)可得CD=AB=3,BC=AD=5,利用勾股定

理可得DF,由AF=AD-DF可得AF,設BE=EF=x,則AE=3-x,利用勾股定理可得x,進而可得AE.

17.【答案】1

【解析】【解答】解：連接AG,EG,如圖，

：HG垂直平分AE,

，AG=EG,

???正方形ABCD的邊長為8,

...NB=NC=90°,AB=BC=CD=8,

?.?點E是CD的中點，

...CE=4,

設BG=x,則CG=8-x,

由勾股定理，得

EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+X2,

(8-x)2+42=82+x2,

解得：x=l.

故答案為：1.

【分析】連接AG,EG,根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AG=EG,根據(jù)正方形的

性質(zhì)可得NB=NC=90。,AB=BC=CD=8,由中點的概念可得CE=4,設BG=x,則CG=8-x,然后在RsCEG、

RbABG中，利用勾股定理計算即可.

4

-

189

【解析】【解答】解：??,兩個空白正方形的面積分別為12和3,

???邊長分別為28和存

，大正方形的邊長為2遮4-V3=36，

...大正方形的面積為（36，=27.

，陰影部分的面積為27-12-3=12,

.?.米粒落在圖中陰影部分的概率==|

故答案為：!

【分析】根據(jù)空白正方形的面積可得邊長分別為2百和百，則大正方形的邊長為3百，求出大正方形的

面積，然后求出陰影部分的面積，接下來根據(jù)幾何概率公式進行計算即可.

19.【答案】10

【解析】【解答】解：如圖，設AC與MN的交點為O,

根據(jù)作圖可得MNJ_AC,且平分AC,

:.AO—OC,

v四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD||BC,

:.Z-FAO=Z-OCE,

又???^AOF=乙COE,AO=CO,

??.△AOF=△COE,

/.AF=EC,

???AF||CE,

???四邊形AECF是平行四邊形，

〈MN垂直平分AC,

???EA=EC,

???四邊形AECF是菱形，

??,ABLAC,MN1AC,

???EF||AB,

BEOC1

-'-EC^AO=1'

，E為BC的中點，

Rt4ABC中，AB=3,AC=4,

BC=>JAB2+AC2=5，

15

AE=*BC=］，

四邊形AECF的周長為4AE=10.

故答案為：10.

【分析】設AC與MN的交點為O,根據(jù)作圖可得MN1AC且平分AC,則AO=OC,根據(jù)平行四邊形

以及平行線的性質(zhì)可得NFAO=NOCE,證明△AOFgACOE,得至AF=EC,推出四邊形AECF是平行

四邊形，結(jié)合EA=EC可得四邊形AECF為菱形，易得EF〃AB,根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得

E為BC的中點，根據(jù)勾股定理可得BC,由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得AE=*BC,據(jù)此求解.

20.【答案】卓兀

【解析】【解答】解：：點M、N分別是邊AD、BC的中點，

連接MN,則四邊形ABNM是矩形，

，MN=AB=6,AM=BN=1AD==4,

根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q,如圖，

?.?四邊形ABCD是矩形，

.,.AD//BC,

.".AAQM?AFQN,

.NF_NQ_1

,,西=麗=2

1

:.NQ=3MN=2

當點E與點A重合時，則NF=：AM=2,

???BF=BN+NF=4+2=6,

/.AB=BF=6

.."ABF是等腰直角三角形，

■,-Z.AFB=45°,

VBH1AF,

:.乙HBF=45°

由題意得，點H在以BQ為直徑的面上運動，運動路徑長為加長，取BQ中點0,連接HO,N0,

.\ZHON=90°,

又乙BNQ=90°,

；.BQ=y/BN2+NQ2=V42+22=2遮，

；.0N=0H=0Q=^BQ=V5.

...而的長為駕禁哮兀

louL

故答案為：梟

【分析】連接MN,則四邊形ABNM是矩形，MN=AB=6,AM=BN=4,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD//BC,

證明AAQMsaFQN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得NQ,當點E與點A重合時，則NF=2,BF=BN+NF=6,

推出AABF是等腰直角三角形，得到/AFB=/HBF=45。，由題意得：點H在以BQ為直徑的加上運

動，運動路徑長為而長，取BQ中點O,連接HO,NO,利用勾股定理求出BQ,有ON=OH=OQ可

得ON的值，然后根據(jù)弧長公式進行計算.

21.【答案】(1)證明：二?四邊形力BCD是平行四邊形，

：.AB||CD,AB=CD,

：.Z.ABE=乙CDF,

又BE=DF,

/.AABE=ACDF(SAS)；

(2)證明：?:AABE三ACDF,

=CF,乙AEB=LCFD

Z-AEF=Z-CFE

：.AE||CF,

...四邊形AECF是平行四邊形.

【解析】【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB〃CD,AB=CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得/ABE=/

CDF,結(jié)合BE=DF,然后根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”進行證明；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=CF,ZAEB=ZCFD,結(jié)合鄰補角的性質(zhì)可得NAEF=NCFE,

推出AE〃CF,然后根據(jù)平行四邊形的判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”進行證明.

22.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD為正方形，

：.z.A=ZB=90°,

：.Z.AEH+^AHE=90°.

???四邊形EFGH為正方形，

：.EH=EF,Z.HEF=90°,

：.^AEH+^BEF=90°,

BEF=UHE.

在XAEH和LBFE中，

?;N4=ZB=90°,/.AHE=乙BEF，EH=FE,

：.LAEH=LBFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB；

(2)AE=CF

(3)解：??,四邊形ABCD為正方形,

：.AB||CD.

9CAE=DG,AE||DG,

，四邊形AEGD為平行四邊形.

：.AD||EG.

：.EG||BC.

??麗=而.

^OE：OF=4：5,

設OE=4%,OF=5x,HN=九，則上=

loZU

?\h=4(4—x).

ii

:.s=i-OF-H/V=i-4x-4(4-x)=-8(x-2)2+32.

.?.當久=2時，AOEH的面積最大，

11

■'-0E=4%=8=尹G=0G,OF=5x=10=^HF=OH,

二四邊形EFGH是平行四邊形.

【解析】【解答】解：（2）AE=CF,證明如下：

???四邊形ABCD為正方形，

：.^A=NB=90°,AB=BC=AD=CD,

：AE=AH,CF=CG,AE=CF,

；.AH=CG,

：.&AEH"FCG,

，EH=FG.

VAE=CF,

.\AB-AE=BC-CF,即BE=BF,

...ABEF是等腰直角三角形，

.,.ZBEF=ZBFE=45°,

VAE=AH,CF=CG,

.?.ZAEH=ZCFG=45°,

.?.ZHEF=ZEFG=90°,

；.EH〃FG,

四邊形EFGH是矩形.

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NA=/B=90。，EH=EF,ZHEF=90°,根據(jù)同角的余角相等可得

ZBEF=ZAHE,證明AAEH會4BFE,得至ljAH=BE,據(jù)此證明；

（2）同理證明AAEH@AFCG,得到EH=FG,根據(jù)線段的和差關系可得BE=BF,推出^EBF是等腰直

角三角形，得到NBEF=NBFE=45。，易得NAEH=NCFG=45。，則NHEF=NEFG=90。，推出EH〃FG,

然后根據(jù)矩形的判定定理進行解答；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB〃CD,易得四邊形AEGD為平行四邊形，則AD〃EG,過點H作HM

±BC,垂足為點M,交EG于點N,設OE=4x,OF=5x,HN=h,根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得

h,由三角形的面積公式可得S,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得S的最大值以及對應的x的值，進而求出

OE、OF,然后結(jié)合平行四邊形的判定定理進行解答.

23.【答案】（1）證明：如圖1中，作FMLAC,垂足為M,

丁四邊形ABCD是矩形，

???NB=90。，

VFM1AC,

???NB=NAMF=90。，

;旋轉(zhuǎn)角等于NBAC,

AZBAC=ZEAF,AE=AF

AZBAE=ZMAF,

在AABE和AAMF中,

Z.B=Z.AMF

Z-BAE=/-MAF

AE=AF

.'.△ABE^AAMF(AAS),

AAB=AM；

(2)解：解：當點E在BC上，在Rt/kABE中，

n

AB=4,AE=3也

JBE=^AE2-AB2=J(3偽2-42=a,

VAABE^AAMF,

AAB=AM=4,FM=BE=?

在Rt^ABC中，AB=4,BC=3,

??AC=JAB2

.??CM=AC-AM=5—4=1,

VZCMF=90°,

:.CF=CM2+FM2=2="

當點E在CD上時，過點F作FNJ_AC于點N,

VZBAC=ZEAF,

AZBAE=ZFAN,

TAB//CD,

???ZBAE=ZAED=ZFAN,

在ZkADE和ZkANF中,

乙D=CANF

^AED=乙FAN

AE=AF

/.△ADE^AANF(AAS),

JAD二NF=3,AN=DE

在RtAADE中

DE=AN=y/AE2-AD2=J(3V2)2-32=3,

ACN=AC-AN=5-3=2

在RtACNF中

CF=VF/V2+CN2=V32+22=V13;

ACF的值為g或vn.

(3)解：當點E在BC上時，如圖2中，過點D作DH_LFM于點H,

VAABE^AAMF,

.?.AM=AB=4,

VZAMF=90°,

.?.點F在射線FM上運動，當點F與K重合時，DH的值最小,

：NCMJ=NADC=90。，ZMCJ=ZACD,

...△CMJs/XCDA,

.CM_MJ_CJ

""CD~AD~AC'

?1_MJ_CJ

??廠丁一號，

???MJ=4,CJ=l，

?,D]-CD—C]=4一叔—

44

?.,NCMJ=NDHJ=90°,NCJM=NDJH,

...△CMJS/XDHJ,

秘C

一

一/W

._5

1-4

訓TT

-

T

一

"一11

5-

ADF的最小值為9；

當點E在線段CD上時，如圖3中，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為/BAC,得到線段AR,

連接FR,過點D作DQLAR于點Q,DKLFR于點K,

B

I\

、問E

K、l

VZEAF=ZBAC,ZDAR=ZBAC,

.\ZDAE=ZRAF,

SAADE和^ARF中

AE=AF

Z-DAE=Z-RAF

AD=AR

?二△ADEgZXARF(SAS),

AZADE=ZARF=90°,

???點F在直線RF上運動，當點D與K重合時，DF的值最小,

VDQ±AR,DK±RF,

AZR=ZDQR=NDKR=90。，

???四邊形DKRQ是矩形，

???DK=QR,

41?

，4Q=AD?cos^BAC=3x|=寺,

,.,AR=AD=3,

-^DK=QR=AR-AQ=^

/.DF的最小值為I，

..3JI

,5V丁

.,.DF的最小值為|.

【解析】【分析】(1)作FMJ_AC,垂足為M,利用矩形的性質(zhì)和垂直的定義可證得/B=NAMF=90。，

利用旋轉(zhuǎn)角等于NBAC,可證得NBAE=NMAF,AE=AF,利用AAS證明^ABE絲aAMF,利用全等

三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論.

(2)分情況討論：當點E在BC上，在Rt^ABE中，利用勾股定理求出BE的長，利用全等三角形

的性質(zhì)可得到AB,FM的長；在RtAABC中，利用勾股定理求出AC的長，即可求出CM的長，利用

勾股定理求出CF的長；當點E在CD上時，過點F作FNLAC于點N,易證NBAE=NAED=NFAN,

利用AAS證明AADE絲4ANF,利用全等三角形的性質(zhì)可證得AD=NF=3,AN=DE,利用勾股定理求

出AN的長，即可得到CN的長；然后在RSCNF中，利用勾股定理求出CF的長，綜上所述可得到

CF的值.

（3）分情況討論：當點E在BC上時，如圖2中，過點D作DH±FM于點H,利用全等三角形的性

質(zhì)可得到AM的長，同時可得到點F在射線FM上運動，當點F與K重合時，DH的值最小，利用有

兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得ACMJsacDA,利用相似三角形的對應邊成比例可求出

MJ,CJ的長，由此可求出DJ；再證明△CMJs^DHJ,利用相似三角形的性質(zhì)可求出DH的長；當點

E在線段CD上時，如圖3中，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為NBAC,得到線段AR,連接

FR,過點D作DQLAR于點Q,DKLFR于點K,利用SAS證明aADE絲aARF,可得到NADE=N

ARF=90。，即可證得點F在直線RF上運動，當點D與K重合時，DF的值最?。灰鬃C四邊形DKRQ

是矩形，利用矩形的性質(zhì)可證得DK=QR,利用解直角三角形求出AQ的長，同時可求出DK的長，由

此可得到DF的最小值，比較大小可求出DF的最小值.

24.【答案】（I）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，0是BD的中點，

，AB〃DC,OB=OD,

NOBE=NODF.

20BE=Z.ODF

在Z^BOE^UADOF中，OB=OD,

/BOE=乙DOF

.,.△BOE^ADOF（ASA）

（2）證明：