彈性變形能(應(yīng)變能)

彈性變形能（）1J=1N·m——構(gòu)件由于發(fā)生彈性變形而儲存的能量（如同彈簧）,。表示為變形體的功能原理——彈性范圍內(nèi)，構(gòu)件受靜載外力產(chǎn)生變形的過程中，能量守恒，即：外力功=變形能略去動能及能量損耗§3-2應(yīng)變能余能4/3/20241(a)軸向拉（壓）桿Ⅰ應(yīng)變能（1）線彈性體1.基本變形形式【材料力學（Ⅰ）】利用應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力功W，可得4/3/20242

(b)扭轉(zhuǎn)4/3/20243(c)彎曲純彎曲

4/3/20244彎曲應(yīng)變能各種基本變形的應(yīng)變能統(tǒng)一表達式：MM

d

MMdx橫力彎曲對于細長梁來說一般可略去剪切應(yīng)變能4/3/20245也可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn)為廣義力，可以代表一個力,一個力偶,一對力或一對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移,一個角位移,一對線位移或一對角位移等。拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲內(nèi)力FNTM剛度EAGIPEI4/3/202461.構(gòu)件上有一組廣義力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,則（）（）CwCFEIABMel/2l/2qA,4/3/20247

Fi

為廣義力，Di

為Fi的作用點沿Fi方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。

2.組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角小變形時不計FS產(chǎn)生的應(yīng)變能，F(xiàn)N

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角有n個廣義力同時作用時4/3/20248對于dx微段，F(xiàn)N(x),T(x),M(x)均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為4/3/20249(a)由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。小變形時，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。3.應(yīng)變能的特點:EAF2F1ab例F1F2Me4/3/202410應(yīng)變能與內(nèi)力（或載荷）不是線性關(guān)系，故多個載荷作用時，求應(yīng)變能不可隨意用疊加法。注意組合變形分解為各基本變形后（互不偶合），分別計算并求和：變形能與加載次序無關(guān)；相互獨立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加。4/3/202411(b)

應(yīng)變能的大小與加載順序無關(guān)（能量守恒）F和Me

同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡單加載。在線性彈性范圍時，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)4/3/202412先加F,再加Me

(圖b，c)式中，為力F在由Me產(chǎn)生的C點處的撓度上作功，所以無系數(shù)。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),還可以先加Me，再加F，得到的應(yīng)變能和以上的值相同。4/3/202413FSMNMTAAFNBjT例1圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點受鉛垂力P的作用，求A點的垂直位移。解：用能量法（外力功等于應(yīng)變能）①求內(nèi)力AFR4/3/202414③外力功等于應(yīng)變能②變形能：4/3/202415

Ⅱ.余能圖a為非線性體彈性體的受拉桿，其F－D和s－e關(guān)系如圖b,c所示。（1）余功的定義為4/3/202416其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc

和外力功W

具有相同的量綱，且Wc

為矩形OF1aD1

的面積與曲面OaD1

的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc

為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc。FF1WcaWD1Do(d)4/3/202417余能密度為（3－8）(3－7)和（3－8）式，分別以F和s為自變量，D=f(F),e=f(s)。所以Vc=f(F)為受力狀態(tài)的函數(shù)。VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）線彈性體（圖e）Ve和Vc

數(shù)值相等，但概念和計算方法不同，即Ve=f(D),Vc=

f(F)。仿照,余能為（3－7）（2）余能（3－9）余能為4/3/202418

例圖a中兩桿的長度均為l,橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時的s－e關(guān)系如圖b所示。求結(jié)構(gòu)的余能。