數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂教學策略研究

-PAGEII-摘要數(shù)學作為一種文化存在，是人類文明的火車頭，具有深厚的文化底蘊。在當代，數(shù)學從幕后走到了臺前，對現(xiàn)代社會的發(fā)展有著不可估量的巨大貢獻。數(shù)學史中蘊含了豐富的教育價值，展現(xiàn)了古人在追求真理的道路上堅持不懈的精神，展現(xiàn)了不同國家的學者對于數(shù)學的一致見解，展現(xiàn)了人類在解決現(xiàn)實問題時的思維歷程……數(shù)學史是一座巨大的文化寶藏，有待于我們深入、細致地挖掘。 本研究在查閱了大量有關文獻后，進行理論分析，總結(jié)數(shù)學史在數(shù)學教育中的巨大作用。筆者在理論分析的基礎之上，對人教版小學數(shù)學教材（2022年版）中呈現(xiàn)的數(shù)學史料進行了整理分析，為一線教師進行數(shù)學史教學提供教材分析上的支持。筆者又從“一師一優(yōu)課”網(wǎng)站中選擇了九節(jié)小學數(shù)學優(yōu)質(zhì)課進行案例分析，根據(jù)結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)目前融入了數(shù)學史的數(shù)學課堂方式較為單一，多為“附加式”和“復制式”，對數(shù)學史料的內(nèi)在價值挖掘不夠深入。同時，對于暗含于數(shù)學史中的人文價值，也缺乏一定的關注。基于現(xiàn)存的問題以及已有的研究，筆者從教師、教學和教材三個方面闡述了數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂的有效策略，以便更好地發(fā)揮數(shù)學史應有的教育價值。關鍵詞：數(shù)學史；小學數(shù)學教學；有效教學策略

AbstractMathematics,asakindofculture,isthelocomotiveofhumancivilizationandhasprofoundculturaldeposits.Incontemporarytimes,mathematicsfromthebackgroundtothestage,thedevelopmentofmodernsocietyhasanimmeasurablecontribution.Thehistoryofmathematicscontainsawealthofeducationalvalue,showstheancientsinthepursuitoftruthontheroadofperseverancespirit,showsthescholarsofdifferentcountriesonmathematicsconsensus,showsthehumanthinkingprocessinsolvingpracticalproblemsThehistoryofmathematicsisahugeculturaltreasure,waitingforustodigdeeplyandcarefully.Afterconsultingalargenumberofrelevantliterature,thisstudymakestheoreticalanalysisandsummarizesthegreatroleofthehistoryofmathematicsinmathematicseducation.Onthebasisoftheoreticalanalysis,theauthorcollatesandanalyzesthemathematicalhistoricalmaterialsinthehuman-educationeditionofprimaryschoolmathematicstextbook(2022edition),providingtextbookanalysissupportforfront-lineteachersinthehistoryofmathematicsteaching.Theauthoralsoselectedninehigh-qualityprimaryschoolmathematicslessonsfromthewebsite"Oneteacher,OneExcellentCourse"forcaseanalysis.Accordingtotheresults,theauthorfoundthatthecurrentmathematicsclassroommethodsintegratedintothehistoryofmathematicsarerelativelysimple,mostly"additive"and"duplicative",andtheintrinsicvalueofmathematicalhistoricalmaterialsisnotdeeplyexplored.Atthesametime,thereisalackofattentiontothehumanisticvalueimpliedinthehistoryofmathematics.Basedontheexistingproblemsandexistingresearch,theauthorexpoundstheeffectivestrategiesofintegratingthehistoryofmathematicsintoprimaryschoolmathematicsclassroomfromthreeaspectsofteachers,teachingandtextbooks,soastogivefullplaytotheeducationalvalueofthehistoryofmathematics.Keywords:Historyofmathematics;Primaryschoolmathematicsteaching;Effectiveteachingstrategy這里頁碼從1開始，就是4變成了1這里頁碼從1開始，就是4變成了1目錄摘要 IAbstract II目錄 1一、緒論 1（一）研究緣起 11.傳統(tǒng)教學中對數(shù)學史的忽略 12.數(shù)學史在數(shù)學教育中發(fā)揮的作用 1（1）數(shù)學史有助于激發(fā)學生的數(shù)學學習的興趣 1（2）數(shù)學史有助于加深學生對數(shù)學思想的理解 13.各國對數(shù)學史的重視 2（二）研究目的和價值 21.研究目的 22.研究價值 2（三）理論基礎 21.建構(gòu)主義理論 22.歷史發(fā)生原理 33.弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論 3（四）文獻綜述 41.數(shù)學史的教育價值研究 42.數(shù)學史融入數(shù)學教學的現(xiàn)狀及方式研究 4（五）研究思路和研究方法 51.研究思路 52.研究方法 5二、數(shù)學史相關概念、價值及融入方式 5（一）概念界定 51.數(shù)學文化 52.數(shù)學史 63.數(shù)學史融入數(shù)學教學 6（二）價值 61.豐富學生的知識儲備，開拓視野 62.激發(fā)學生對于數(shù)學學習的興趣 63.增強學生的文化自信 74.加深學生對于所學數(shù)學知識的理解 75.有利于發(fā)揮數(shù)學學科育人的整體性作用 7（三）常見方式 8三、人教版小學數(shù)學教材中有關數(shù)學史內(nèi)容的整理分析 8（一）數(shù)學史的數(shù)量與分布 8（二）數(shù)學史內(nèi)容的特點分析 111.以“你知道嗎？”為主要欄目 112.以“數(shù)與代數(shù)”為主要領域 113.以介紹數(shù)學知識的由來為主要內(nèi)容 124.以文字陳述為主要呈現(xiàn)方式 13四、數(shù)學史融入小學數(shù)學教學現(xiàn)狀的調(diào)查分析 13（一）調(diào)查目的 14（二）調(diào)查方法 14（三）結(jié)果分析 141.數(shù)學史呈現(xiàn)方式 152.數(shù)學史內(nèi)容選取 163.數(shù)學史融入環(huán)節(jié) 174.數(shù)學史人文價值 18五、數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的有效策略 19（一）教師方面 191.改變傳統(tǒng)的教學觀，深刻認識數(shù)學史的教育價值 192.儲備大量數(shù)學史知識，提高自身數(shù)學素養(yǎng) 193.積極參加有關的集體教研活動，有意識地在課堂中傳授數(shù)學史知識 20（二）教學方面 201.以學生能夠接受的方式深入淺出，聯(lián)系學生實際 202.因“地”制宜，實施多元化的融入方式 203.注重挖掘數(shù)學史中蘊含的人文價值，培養(yǎng)學生正確的人生觀 214.滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)理性思維 21（三）教材方面 211.數(shù)學史呈現(xiàn)的多樣化 212.數(shù)學史內(nèi)容的多元化 223.數(shù)學史編排的合理化 22結(jié)語 23參考文獻 24致謝 27-PAGE5-一、緒論（一）研究緣起1.傳統(tǒng)教學中對數(shù)學史的忽略長久以來，數(shù)學史的價值被淹沒在“題海戰(zhàn)術(shù)”之中，數(shù)學課堂上沒有歷史的身影。美國學者Bidwell曾把數(shù)學學習比作孤島上的學習，學生在孤島上學習數(shù)學覺得封閉呆板[1]。這樣的數(shù)學教學顯然不能體現(xiàn)數(shù)學本身的魅力。隨著人們不斷地反思傳統(tǒng)數(shù)學課堂中存在的問題，數(shù)學史的重要性日益突出。數(shù)學史與數(shù)學教育（簡稱HPM）成為了國際學術(shù)研究的領域之一。我國于1981年在全國第一次數(shù)學史學術(shù)討論會上成立了數(shù)學史分會，自此，我國的學者對數(shù)學史的研究愈來愈多，愈來愈認識到數(shù)學教學與歷史的不可分割。格萊舍確信，任何企圖將一種科目和它的歷史割裂開來，數(shù)學的損失更大。[2]2.數(shù)學史在數(shù)學教育中發(fā)揮的作用（1）數(shù)學史有助于激發(fā)學生的數(shù)學學習的興趣對大部分學生來說，數(shù)學是他們避之不及的存在。在課堂上，數(shù)學是枯燥無聊的；在作業(yè)中，數(shù)學是困難無解的；在考試中，數(shù)學是拖人后腿的。大家談“數(shù)學”而色變。造成這種現(xiàn)象的原因，除了數(shù)學本身抽象的特點之外，與數(shù)學教師在課堂中平鋪直敘地講解知識點也有很大的關系。而數(shù)學發(fā)展中發(fā)生的種種歷史故事，對學生而言是真實的、有趣的、彼此相連的。在數(shù)學教學中適當引入數(shù)學史，可以為枯燥的課堂增添更多的趣味。例如莫比烏斯發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶的故事、歐拉與哥尼斯堡的故事、“數(shù)學王子”高斯的故事等。這些有趣的數(shù)學史帶給學生新鮮感，讓學生體會到數(shù)學不是虛無縹緲的，數(shù)學就在我們身邊，與我們息息相關。（2）數(shù)學史有助于加深學生對數(shù)學思想的理解數(shù)學相比于其他的學科，很顯著的特點之一就是抽象。數(shù)學的抽象導致學生理解起來更加困難，尤其是過去數(shù)學的過度形式化，讓數(shù)學成為高高在上不可攀登的存在。然而，一切的數(shù)學都是來自于生活，只有將數(shù)學知識產(chǎn)生的過程展開在學生的面前，他們才能將數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系起來，才能逐漸放下心中對數(shù)學的恐懼。數(shù)學史融入數(shù)學教學，可以短暫的將學生帶回到歷史中，站在無數(shù)數(shù)學家們的視角，體會數(shù)學內(nèi)在的邏輯與美。教師在教學中有意識地貫穿數(shù)學史于其中，培養(yǎng)學生用原始問題的特色分析解決問題的能力。[3]3.各國對數(shù)學史的重視西方對數(shù)學史的研究要早于我國。法國哲學家孔德的觀點是：孩子從胚胎期經(jīng)由出生、成熟、衰老一直到死亡的整個生命過程中的認知發(fā)展順序與前人的發(fā)展順序相同。英國數(shù)學家德摩根強調(diào)數(shù)學知識的講授順序應與數(shù)學知識的產(chǎn)生順序相一致。龐加萊認為，如果我們想要預測數(shù)學的未來，必須研究數(shù)學的歷史與現(xiàn)在。[4]弗賴登塔爾表示，數(shù)學教師需掌握數(shù)學史的基本要素，這是必備條件。俄羅斯高中數(shù)學的目的之一是了解數(shù)學和數(shù)學思想的歷史。 1981年我國成立的數(shù)學史分會，打開了數(shù)學史研究的大門。自此，教育部編制的數(shù)學課程標準中也體現(xiàn)了我國對數(shù)學史的重視。第一屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育會議，標志著我國數(shù)學史與數(shù)學教育關系的研究走向高潮。[5]如今，我國對數(shù)學史的重視程度不言而喻。數(shù)學史已出現(xiàn)在我國小學數(shù)學課程標準和教科書中，但“高評價、低應用”的現(xiàn)象卻普遍存在。因此，如何最大程度的發(fā)揮數(shù)學史的教育價值，成為廣大數(shù)學教育研究者普遍關注的問題。（二）研究目的和價值1.研究目的在理論分析以及真實課堂分析的基礎上，總結(jié)出數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的有效策略，以期真正發(fā)揮數(shù)學史應有的教育價值，為廣大一線數(shù)學教師的數(shù)學史教學提供方法論參考。2.研究價值近些年，我國對數(shù)學史與數(shù)學教育的關系的研究越來越多，相關的成果也較為豐富。但對于小學數(shù)學教育的關注程度仍然較低，大多數(shù)研究集中于初高中階段，導致小學數(shù)學教師在課堂中忽視數(shù)學史的教學，數(shù)學史在基礎教育階段沒能更好的發(fā)揮作用。因此，本研究有助于豐富這兩方面的研究。本文通過對相關文獻資料的查閱與分析，提煉數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂的有效策略，或許能夠為引起小學數(shù)學教師們對數(shù)學史的重視出一份力，為一線教師提供學習研究的思路。（三）理論基礎1.建構(gòu)主義理論根據(jù)建構(gòu)主義的學習觀，學習是學生主動建構(gòu)自己知識的過程。建構(gòu)主義理論為數(shù)學史融入數(shù)學教學提供支撐。首先，學生建構(gòu)新知識是在已有的知識背景之上進行建構(gòu)的，而數(shù)學史是歷史上的數(shù)學家為推動數(shù)學發(fā)展而做出的努力，是真實存在的、與生活密切相關的。在數(shù)學教學過程中融入數(shù)學史，學生獲得了最初的知識背景，從而為學生建構(gòu)起自己的知識意義搭建了橋梁。第二，數(shù)學知識的建構(gòu)并不是一蹴而就的，而是需要逐步提高梯度，從而達到較高層次的水平。數(shù)學史將數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程展現(xiàn)在學生面前，使學生能順著數(shù)學家們的思路逐步達到更高水平的意義建構(gòu)，為學生的數(shù)學學習提供合適的梯度。第三，數(shù)學史中蘊含了大量的數(shù)學思想方法，是數(shù)學家們智慧的結(jié)晶。融入數(shù)學史，學生更清楚的了解到數(shù)學知識背后蘊藏的數(shù)學思維，更容易挖掘數(shù)學知識的本質(zhì)，對于學生建構(gòu)數(shù)學學科的知識體系有著較大的幫助，為學生完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu)提供腳手架。隨著建構(gòu)主義在教育領域的影響越來越大，發(fā)現(xiàn)學習被人們所推崇。胡典順教授在《數(shù)學教學論》中總結(jié)促進數(shù)學發(fā)現(xiàn)學習的方法有：選擇恰當?shù)膬?nèi)容、設置合適的情景和鼓勵深刻的反思。其中情境創(chuàng)設的重要來源之一就是數(shù)學史，在數(shù)學課上，用現(xiàn)實生活中的例子來說明數(shù)學知識的發(fā)展，學生更容易發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程，處于創(chuàng)造的地位，有利于學生了解知識的來龍去脈，形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。2.歷史發(fā)生原理歷史發(fā)生原理與生物學中的重現(xiàn)法則類似，重現(xiàn)法則強調(diào)個體的發(fā)育史與種族的發(fā)展史相重合，將重現(xiàn)法則運用于教育中，便得到了歷史發(fā)生原理。[11]英國社會學家斯賓塞曾說知識在個人身上的出現(xiàn)，必須遵循知識在整個種族中出現(xiàn)的相同過程。龐加萊、波利亞等著名數(shù)學家也曾重述過這一觀點，這一觀點也常常稱作漢克爾定律：“個體發(fā)育是種族發(fā)育的重演。”歷史發(fā)生原理作為數(shù)學史融入數(shù)學教學的理論基礎之一受到廣泛關注，龐加萊曾說，動物學家認為，動物胚胎在發(fā)育的短期內(nèi)，經(jīng)歷了祖先發(fā)展的所有主要階段，人類的思維發(fā)展也是如此。[24]在此理論的支撐下，人們得出“知識的歷史發(fā)展順序符合個體認知學習的心理順序。”[25]歷史發(fā)生原理認為：個體理解數(shù)學的過程與人類歷史上學習數(shù)學的經(jīng)驗基本相同。數(shù)學家波利亞曾在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中闡述他的觀點：只有了解人們?nèi)绾潍@得某些事實或概念的知識，我們才能更好地判斷兒童應該如何獲得這些知識。[26]因此，將數(shù)學教育與數(shù)學史聯(lián)系起來，展示數(shù)學家在歷史上如何發(fā)展數(shù)學，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。尤其對于小學生而言，從小開始接觸數(shù)學史的內(nèi)容，更加符合人類知識發(fā)生的過程。3.弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論弗賴登塔爾的再創(chuàng)造理論的框架是：通過數(shù)學活動引導學生學習，在數(shù)學現(xiàn)實的基礎上對學習材料進行數(shù)學化處理。[27]再創(chuàng)造理論概括起來包含了三個核心概念，即：數(shù)學現(xiàn)實、數(shù)學化以及再創(chuàng)造。數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并應用于現(xiàn)實。每個學生由于不同的經(jīng)歷而有不同的數(shù)學現(xiàn)實。數(shù)學化指人們應用數(shù)學分析、研究、組織和改造客觀世界的現(xiàn)象，以觀察、認識和改造它們的過程。可以說，數(shù)學史就是古代數(shù)學家數(shù)學化過程的簡縮。在數(shù)學教育中融入數(shù)學史教學，學生分析數(shù)學家們數(shù)學化的過程，逐漸學會數(shù)學化，從而深化數(shù)學知識。“再創(chuàng)造”的過程強調(diào)學習者是主體，強調(diào)學習者在學習中的主動性，核心是數(shù)學過程的重復。數(shù)學史在課堂上的呈現(xiàn)，有利于學生進行數(shù)學的再創(chuàng)造。（四）文獻綜述1.數(shù)學史的教育價值研究19世紀初，國外開始關注數(shù)學史與數(shù)學教育的關系，并探討數(shù)學史的教育價值。瓊斯認為，數(shù)學史中著名的數(shù)學家們的精彩有趣的故事都可以呈現(xiàn)在數(shù)學教學之中。一個解法的發(fā)現(xiàn)發(fā)展過程能激發(fā)學生的好奇心和求知欲。[4]在20世紀50年代，我國開始嘗試數(shù)學史教育。在全國性的數(shù)學史會議中，數(shù)學史的教育價值都曾多次被闡述。吳文俊院士強調(diào)，數(shù)學教育與數(shù)學史不可分割，并呼吁全國高校普及數(shù)學史教學。[12]宋乃慶教授認為小學數(shù)學教學中的數(shù)學史可以培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極情感，提高學生對數(shù)學的全面學習和理解，培養(yǎng)實踐和創(chuàng)新能力。[5]張奠宙教授多次提議在教育實踐的基礎上開發(fā)HPM教學案例。[13]進一步指出，如果數(shù)學教育在廣泛的文化知識、優(yōu)雅的文化氛圍和優(yōu)秀的文化傳統(tǒng)的推動下，可以說數(shù)學教育已經(jīng)達到了最高水平。[14]華東師范大學的汪曉勤教授認為HPM的研究應做到立足于教育現(xiàn)實，任何一位一線教師都不可能僅為文化而文化，為歷史而歷史。[14]2.數(shù)學史融入數(shù)學教學的現(xiàn)狀及方式研究數(shù)學史與數(shù)學教育這一研究領域方興未艾，越來越多的研究者踏足這一領域。隨著數(shù)學史的教育價值越來越被人們肯定，課程標準中也強調(diào)了要將數(shù)學史編入數(shù)學教材。大多數(shù)教材都有豐富的材料和插圖，但其中存在的問題是：它們多從小學低段開始出現(xiàn)，且分布不均，排版單一。[15]同時，在數(shù)學教學的過程中，“高評價、低應用”的現(xiàn)象普遍存在，小學數(shù)學教育教學尤為突出。[5]在對數(shù)學教育中融入數(shù)學史的案例進行深刻分析后，汪曉勤教授提出數(shù)學教育中融入數(shù)學史的四種方式：附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式。[16]朱哲和張維忠教授認為數(shù)學史可以通過四種不同的方式在課堂中呈現(xiàn)：數(shù)學課本、數(shù)學讀本、選修課程以及專題研究。[17]（五）研究思路和研究方法1.研究思路本研究在了解相關領域的研究成果的基礎上確定研究內(nèi)容為調(diào)查數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的有效策略。在這之后，筆者閱讀了大量相關文獻并進行整理分析，確定了研究的大致方向的具體內(nèi)容。并且，筆者還仔細選取出了人教版小學數(shù)學教材中涉及數(shù)學史的內(nèi)容，對此進行分析。最后通過觀看一師一優(yōu)課中與數(shù)學史有關的部優(yōu)級課堂實錄，從中學習、提煉出能夠為一線教師在教學過程中更好滲透數(shù)學史的有效教學策略。2.研究方法文獻法：筆者搜集、閱讀、整理了有關數(shù)學史、數(shù)學文化、HPM、數(shù)學史與數(shù)學教學等方面的文獻，查閱了相關的著作，同時也參考了學位論文庫中具有代表性的文獻。在此基礎上，筆者對數(shù)學史與數(shù)學教學的關系有了更加深入的了解，為本文的寫作奠定了基礎。個案研究法：本文選取小學數(shù)學六年級下冊《5.數(shù)學廣角—鴿巢問題》、四年級下冊《9.數(shù)學廣角—雞兔同籠》、四年級上冊《*神奇的莫比烏斯帶》這三個課題，每個課題各選取“一師一優(yōu)課”網(wǎng)站中三位教師的部優(yōu)級優(yōu)質(zhì)課，共9節(jié)，挑選出其中融入了數(shù)學史的教學片段進行研究分析，了解教師數(shù)學史的真實教學情況和學生的反應，從中探究出數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的有效策略。二、數(shù)學史相關概念、價值及融入方式（一）概念界定1.數(shù)學文化對于數(shù)學文化的內(nèi)涵，學術(shù)上有過多種觀點。顧沛認為，狹義的數(shù)學文化指數(shù)學思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展[6]；廣義的除上述外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育等。[6]代欽進一步提出：數(shù)學文化是數(shù)學知識、思想方法及其在人類活動的應用，以及與數(shù)學有關的民俗習慣和信仰的總和。[7]隨后，楊豫暉、宋乃慶等學者對數(shù)學文化的內(nèi)涵進行了評述，提煉出新的“數(shù)學文化”的概念界定，即一群人，在數(shù)學活動中遵循共同的數(shù)學規(guī)則，通過長期的、歷史的積累，形成了共同的數(shù)學知識、精神和思維方式的約定，并指出數(shù)學文化對于思維、道德和美育具有重要意義。[8]2.數(shù)學史李文林認為：數(shù)學史是研究數(shù)學概念、方法和思想的起源和發(fā)展，并研究其背景對社會政治、經(jīng)濟和文化的影響的科學。[9]陳奧運認為“數(shù)學史是數(shù)學歷史研究，即研究數(shù)學發(fā)展規(guī)律的科學?！盵10]向慧將數(shù)學史分為廣義和狹義，廣義以數(shù)學科學的發(fā)生發(fā)展為主要研究對象并探索其內(nèi)在規(guī)律；狹義特指數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展及其系統(tǒng)化整體化的過程。[4]雖然對于數(shù)學史不同的學者有不同的看法，但他們大多認同一個觀點，即數(shù)學史不僅研究數(shù)學知識和數(shù)學思維方法的發(fā)生過程，還涉及數(shù)學、教育、政治學、歷史學、社會學、經(jīng)濟學等。3.數(shù)學史融入數(shù)學教學張俊忠認為“融入”就是在數(shù)學教學中，結(jié)合學生的認知特點和內(nèi)在發(fā)展需要，從發(fā)展、聯(lián)系和辯證的角度，理解和探討數(shù)學史與數(shù)學教育不同組成部分之間的關系，將數(shù)學史和相關內(nèi)容重新整合，從歷史產(chǎn)生和發(fā)展的角度來講授數(shù)學內(nèi)容，提高數(shù)學教學的有效性。[11]中國HPM的研究內(nèi)容之一就是數(shù)學史融入教學。（二）價值1.豐富學生的知識儲備，開拓視野數(shù)學史是一座豐富的文化寶庫，其中蘊含了大量的數(shù)學知識，在數(shù)學教學中滲透數(shù)學史的內(nèi)容，顯然可以豐富學生的知識儲備，讓學生的頭腦中除了呆板沉悶的公式定理，還有多姿多彩的人文情懷，各種各樣的數(shù)學趣聞，日積月累，便逐漸能博古通今。同時，由于不同的民族有著不同的文化，他們對數(shù)學的看法各有千秋。有的重視嚴密的邏輯，有的重視實際的應用等，所以對于某一數(shù)學概念、定理、性質(zhì)等，往往有多種角度的不同見解。學生深入了解知識發(fā)展的過程，親身領略不同國家之間數(shù)學思維的異同。2.激發(fā)學生對于數(shù)學學習的興趣 對于現(xiàn)在的學生而言，數(shù)學猶如洪水猛獸，很多學生談數(shù)學而色變。一方面，是由于數(shù)學學科本身的高度抽象性和形式化；另一方面，是由于數(shù)學教師在課堂中對于數(shù)學知識點枯燥的講解，使得學生上課昏昏欲睡，缺乏對數(shù)學學習的熱情。學生一味地記憶知識點，反復機械的做題，參加各種考試，使得數(shù)學儼然成為了脫離學生生活的神圣存在。于是如何激發(fā)學生對于數(shù)學學習的熱情，已經(jīng)成為數(shù)學教育中亟待攻克的難題。數(shù)學史融入數(shù)學教學，是攻克這一難題行之有效的方法。很多數(shù)學家發(fā)現(xiàn)發(fā)明的過程都是為了解決生活中遇到的難題，這些概念、定理、定理、性質(zhì)等的產(chǎn)生與生活息息相關。如果數(shù)學教師能合理的從浩瀚的數(shù)學史寶庫中選擇有趣生動的數(shù)學史材料，并對其進行加工使之適合于數(shù)學課堂，那么這樣融入了數(shù)學史的數(shù)學課堂必將激發(fā)學生對于數(shù)學學習的興趣，使課堂變得生動有趣，學生對于數(shù)學的畏懼心理也將得到一定的緩解。3.增強學生的文化自信 數(shù)學是人類文化的重要組成部分。在古代，我國的數(shù)學家為數(shù)學的發(fā)展做出過巨大的貢獻，編寫了許多例如《孫子算經(jīng)》《九章算術(shù)》等巨作。學生在了解我國古代數(shù)學家在數(shù)學領域做出的努力，明白中國傳統(tǒng)數(shù)學是世界數(shù)學發(fā)展史中非常重要、不可分割的一部分，真切感受到我國古人的智慧，從而從心底油然而生出對本民族文化的自信與驕傲。同時，數(shù)學教師在講述數(shù)學史知識時，不能夸大中國在數(shù)學領域做出的貢獻從而忽視其他國家做出的努力，應中肯、公正、尊重歷史事實，辯證的看待我國數(shù)學家的貢獻。長久以來，學生對于本民族文化的自信也會激勵學生在數(shù)學領域繼續(xù)攀登，攻堅克難，將祖先們流傳下來的文化發(fā)揚光大，將祖先們身上鍥而不舍的精神繼承并弘揚，堅守文化自信，立志再創(chuàng)輝煌。4.加深學生對于所學數(shù)學知識的理解 數(shù)學最突出的特點是抽象。例如笛卡爾坐標系、點、線、面等，雖然在數(shù)學史中可以找到它們形成時的背景，但是在現(xiàn)實世界中并不存在它們的物質(zhì)實體。同時，數(shù)學還是形式化的，人們只能看到數(shù)學材料的外在形式，而其內(nèi)在的實質(zhì)是抽象的思想，它深藏于數(shù)學形式之下。例如對于三角函數(shù)中的“sinx”，對于沒有接觸過數(shù)學的人來說這僅僅只是幾個英文字母的組合，然而其在初中數(shù)學及高中數(shù)學中卻有著深層次的含義。這就要求學生在學習數(shù)學時，要盡可能的拋開形式的阻攔，去理解數(shù)學的本質(zhì)。而數(shù)學史展現(xiàn)給學生的是一個從無到有、從有到優(yōu)的一個過程，是一個創(chuàng)造和完善的過程。在這個過程中，學生親身體驗了數(shù)學的本質(zhì)逐漸披上形式的外衣的過程，從而對數(shù)學知識有更深入的理解。數(shù)學史家丹皮爾還曾說道：數(shù)學史是研究和學習數(shù)學思想和數(shù)學方法的最好材料。在了解數(shù)學史的過程中，也就體驗了數(shù)學思想方法的產(chǎn)生過程，才能對數(shù)學知識有真正的體會。5.有利于發(fā)揮數(shù)學學科育人的整體性作用 數(shù)學史的育人價值不僅體現(xiàn)在知識方面。在歷史中，有許許多多的數(shù)學家為了數(shù)學奉獻了自己的一生。他們認為數(shù)學是世界上最為美麗和高貴的，他們不知疲倦地沉迷于其中，忘卻時間。數(shù)學家們的奇聞軼事，在激發(fā)學生興趣的同時，也將學生帶入到他們當時的心境中，讓學生感受到數(shù)學家們勇于追求真理、堅持不懈的科學精神，感受到他們勤于思考、敢于質(zhì)疑權(quán)威的批判精神，感受到他們孜孜不倦、不斷探索的進取精神等。學生在數(shù)學家們的身上學到了積極樂觀的生活態(tài)度，求真求實的科學態(tài)度……在數(shù)學教學中融入數(shù)學史，可以更好地發(fā)揮數(shù)學學科育人的整體性作用。（三）常見方式在教材編寫時融入數(shù)學史內(nèi)容是數(shù)學史融入數(shù)學教學的第一步，能否更大程度的發(fā)揮數(shù)學史的教育價值更大一部分是看數(shù)學教師在課堂之中對于數(shù)學史是如何呈現(xiàn)的。教材中融入數(shù)學史服務于數(shù)學自身和數(shù)學教學，素材應以一手文獻為主，以附加式、復制式、順應式和重構(gòu)式四種方式融入教材。[28]本文借鑒汪曉勤對數(shù)學史呈現(xiàn)方式的分類標準，描述如表3-1所示：表3-1數(shù)學史的呈現(xiàn)方式類型描述附加式附加于教學內(nèi)容之中，去除后對教學沒有影響。例如展示有關數(shù)學家的肖像、講述奇聞軼事等復制式將歷史中的數(shù)學問題、解題技巧與方法直接運用于課堂中順應式以歷史中的數(shù)學事件等為原型，編制數(shù)學問題重構(gòu)式借鑒或重構(gòu)數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的歷史三、人教版小學數(shù)學教材中有關數(shù)學史內(nèi)容的整理分析本研究選取人教版小學數(shù)學教材（2022年版）為分析對象。在仔細研讀了課程標準和每一冊教材后不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史作為一種數(shù)學教學資源已經(jīng)受到教材編寫者的重視。教材是教師上課的主要依據(jù)，在教材中編入數(shù)學史知識，一方面有利于教師轉(zhuǎn)變教學觀念，轉(zhuǎn)變對數(shù)學史知識的看法；另一方面可以豐富教師的數(shù)學史料儲備，同時激勵教師在課余時間多積累。（一）數(shù)學史的數(shù)量與分布本研究選取一年級到六年級共12冊數(shù)學教材進行分析，將教材中涉及數(shù)學史的內(nèi)容單獨整理，并進行統(tǒng)計分析，結(jié)果如表2-1、2-2所示：表2-1人教版小學數(shù)學教材數(shù)學史內(nèi)容整理教科書數(shù)學史內(nèi)容頁碼一年級數(shù)學上冊6-10的認識和加減法（你知道嗎？）：我國古代用算籌來表示數(shù)P606-10的認識和加減法（你知道嗎？）：古埃及象形數(shù)字P72認識鐘表（你知道嗎？）：我國古代計時工具日晷和銅漏壺P85一年級數(shù)學下冊認識圖形（二）（你知道嗎？）：“七巧板”是我國古代的一種拼板玩具P4二年級數(shù)學上冊長度單位（正文）：很久以前，人們用1庹、1拃等作為測量長度的單位P1表內(nèi)乘法（一）（你知道嗎？）：乘號的由來，英國數(shù)學家奧特雷德P51表內(nèi)乘法（二）（你知道嗎？）：我國兩千多年前竹簡上的乘法口訣表，也叫做“九九歌”P86二年級數(shù)學下冊表內(nèi)除法（一）（你知道嗎？）：瑞士數(shù)學家拉恩首次使用“”P17萬以內(nèi)數(shù)的認識（正文）：算盤P76三年級數(shù)學上冊分數(shù)的初步認識（你知道嗎？）：分數(shù)的演變：我國-印度-阿拉伯人P99三年級數(shù)學下冊位置與方向（一）（你知道嗎？）：我國古代四大發(fā)明之一—指南針P6面積（你知道嗎？）：我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》“方田”章P63小數(shù)的初步認識（你知道嗎？）：我國古代及西方小數(shù)的表示方法P96四年級數(shù)學上冊大數(shù)的認識（正文）：數(shù)的產(chǎn)生：實物、結(jié)繩、刻道、古國的數(shù)字P16大數(shù)的認識（你知道嗎？）：阿拉伯數(shù)字的產(chǎn)生P17大數(shù)的認識（你知道嗎？）：算籌記數(shù)方法P21大數(shù)的認識（正文）：人們發(fā)明了各種各樣的計算工具：算籌、算盤、計算尺、機械計算器、電子計算機、電子計算器。其中算盤特別介紹P23-24公頃和平方千米（你知道嗎？）：我國計算土地面積方法“畝”P35三位數(shù)乘兩位數(shù)（你知道嗎？）：意大利“格子算法”P48平行四邊形和梯形（數(shù)學游戲）：神奇的莫比烏斯帶P70四年級數(shù)學下冊小數(shù)的意義和性質(zhì)（你知道嗎？）：小數(shù)是我國最早提出和使用的P33數(shù)學廣角—雞兔同籠（正文、閱讀資料）：我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中雞兔同籠問題P99-100數(shù)學廣角—雞兔同籠（練習二十四）：我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》P102五年級數(shù)學上冊簡易方程（你知道嗎？）：埃及、我國古代《九章算術(shù)》、法國的方程P63多邊形的面積（你知道嗎？）：我國數(shù)學名著《九章算術(shù)》“方田章”P90多邊形的面積（你知道嗎？）：我國古代數(shù)學家劉徽“出入相補”原理P94五年級數(shù)學下冊因數(shù)與倍數(shù)（你知道嗎？）：哥德巴赫猜想P17長方體和正方體（你知道嗎？）：幾何學和歐幾里得P22長方體和正方體（你知道嗎？）：我國《九章算術(shù)》立體圖形體積計算公式P35分數(shù)的意義和性質(zhì)（你知道嗎？）：我國《九章算術(shù)》“約分術(shù)”P67六年級數(shù)學上冊分數(shù)乘法（你知道嗎？）：《莊子》“一尺之棰”P14分數(shù)除法（你知道嗎？）：我國《九章算術(shù)》“經(jīng)分”P43圓（你知道嗎？）：我國《周髀算經(jīng)》“周三徑一”、祖沖之世界上第一個把圓周率的值精確到小數(shù)點后7位P61圓（你知道嗎？）：我國劉徽在《九章算術(shù)》中提出“割圓術(shù)”P66百分數(shù)（一）（你知道嗎？）：恩格爾系數(shù)P81數(shù)學廣角—數(shù)與形（練習二十二）：我國宋代楊輝撰寫的《詳解九章算法》中的“楊輝三角”P109六年級數(shù)學下冊負數(shù)（你知道嗎？）：中國很早就開始使用負數(shù)，古代數(shù)學家劉徽給出了用算籌區(qū)分正負數(shù)的方法P5圓柱與圓錐（你知道嗎？）：阿基米德“圓柱容球”P29數(shù)學廣角—鴿巢問題（你知道嗎？）：抽屜原理P69整理與復習（你知道嗎？）：七橋問題P103表2-2人教版小學數(shù)學教材數(shù)學史分布統(tǒng)計分析頻數(shù)百分比有效百分比累計百分比一年級4101010二年級512.512.522.5三年級4101032.5四年級10252557.5五年級717.517.575六年級102525100總計40100100 從統(tǒng)計結(jié)果可知，數(shù)學史較多出現(xiàn)在小學高段，小學低段雖有呈現(xiàn)但數(shù)量較少。筆者認為，一方面，數(shù)學史在編寫過程中要注意符合學生的思維發(fā)展規(guī)律；另一方面，應在小學低段更多的融入數(shù)學史知識，不應忽視數(shù)學史對于小學低段學生的巨大教育價值。（二）數(shù)學史內(nèi)容的特點分析1.以“你知道嗎？”為主要欄目 借鑒劉蘭等學者的研究，將教材的欄目分為課題導入、正文等。[18]統(tǒng)計結(jié)果如表2-3：表2-3數(shù)學史料所屬欄目頻數(shù)百分比（保留兩位小數(shù)）有效百分比累計百分比數(shù)字游戲12.332.332.33閱讀資料12.332.334.66練習24.654.659.31正文511.6211.6220.93你知道嗎3479.0779.07100總計43100100《課程標準》是教材編寫的重要依據(jù)，無論是2011年版還是2022年版的課程標準都強調(diào)了數(shù)學文化、數(shù)學史在教材中的重要性。為了體現(xiàn)數(shù)學文化，人教版教材專門設置了“你知道嗎？”這一欄目。[19]而“你知道嗎？”欄目包含了滲透德育教育功能、提高學生學習興趣功能、提供拓展導學功能、提高師生數(shù)學素養(yǎng)功能等。[20]這恰恰為數(shù)學史編入數(shù)學教材提供了安身之地。張貝貝的研究發(fā)現(xiàn)，人教版小學數(shù)學教材中“你知道嗎？”欄目是特殊欄目中數(shù)量最多的。[19]而經(jīng)過分析，本研究發(fā)現(xiàn)在涉及數(shù)學史的欄目中，“你知道嗎？”達34次，占數(shù)學史所在欄目總數(shù)的百分之七十九，由此可見，數(shù)學史融入小學數(shù)學教材中，多以“你知道嗎？”欄目為載體，用以補充知識和延伸數(shù)學知識，增強學生對于數(shù)學的了解，是在正文內(nèi)容基礎之上的深化和拓展。2.以“數(shù)與代數(shù)”為主要領域數(shù)學知識被劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐四類。因此，本研究以此為依據(jù)，分類結(jié)果如表2-4所示：表2-4人教版小學數(shù)學教材數(shù)學史所屬知識領域知識領域數(shù)學史內(nèi)容百分比數(shù)與代數(shù)算籌；象形數(shù)字；日冕和銅漏壺；拃；乘號；乘法口訣表；除號；分數(shù)演變；記數(shù)方法；小數(shù)表示方法；數(shù)的產(chǎn)生；阿拉伯數(shù)字；技術(shù)工具；畝；“格子算法”；小數(shù)的產(chǎn)生；雞兔同籠；方程的產(chǎn)生；哥德巴赫猜想；“約分術(shù)”；極限思想；“經(jīng)分”；恩格爾系數(shù)；楊輝三角；負數(shù)產(chǎn)生；抽屜原理71.05%圖形與幾何七巧板；指南針；方天章求面積方法；莫比烏斯帶；“出入相補”原理；幾何學和歐幾里得；《九章算術(shù)》立體圖形體積計算；圓周率；割圓術(shù)；圓柱容球；七橋問題28.95% 經(jīng)統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史在小學數(shù)學教材中集中于數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何這兩個領域。其中數(shù)與代數(shù)領域達到了71.05%，圖形與幾何領域為29.95%。從數(shù)據(jù)中不難看出在人教版小學數(shù)學教材中數(shù)學史主要滲透于數(shù)與代數(shù)領域，造成這種現(xiàn)象的主要原因是，小學數(shù)學內(nèi)容中數(shù)與代數(shù)這一領域相比于其它三個領域而言占比更大，因此其中蘊含的數(shù)學史料相應更多。也從一個側(cè)面反映出在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何這兩個領域中滲透數(shù)學史知識是比較合適的，教師應抓住這兩個領域的特點，合理滲透數(shù)學史知識。3.以介紹數(shù)學知識的由來為主要內(nèi)容將教材中的數(shù)學史料進行分類，統(tǒng)計分析結(jié)果如2-5、2-6所示：表2-5人教版小學數(shù)學教材中數(shù)學史分類類別內(nèi)容數(shù)學知識的由來與發(fā)展算籌；數(shù)字的產(chǎn)生；計時工具；測量單位；乘號；除號；乘法口訣表；分數(shù)的產(chǎn)生；指南針；小數(shù)的發(fā)展；阿拉伯數(shù)字的產(chǎn)生；計算工具；畝；“格子算法”；方程的發(fā)展；負數(shù)的產(chǎn)生數(shù)學家的故事劉徽；楊輝；歐幾里得；祖沖之；恩格爾；阿基米德經(jīng)典數(shù)學著作《九章算術(shù)》；《孫子算經(jīng)》；《算法統(tǒng)宗》；《周髀算經(jīng)》；《詳解九章算法》經(jīng)典數(shù)學問題七巧板；莫比烏斯帶；雞兔同籠；抽屜原理；七橋問題數(shù)學猜想哥德巴赫猜想數(shù)學思想方法“一尺之棰”表2-6人教版小學數(shù)學教材中數(shù)學史分類統(tǒng)計分析頻數(shù)百分比有效百分比累計百分比數(shù)學知識的由來與發(fā)展2145.6545.6545.65經(jīng)典數(shù)學著作1123.9223.9269.57數(shù)學家的故事715.2215.2284.79經(jīng)典數(shù)學問題510.8710.8795.66數(shù)學猜想12.172.1797.83數(shù)學思想方法12.172.17100.00總計46100100 統(tǒng)計結(jié)果顯示，教材中有關數(shù)學史的內(nèi)容較多地分布在“數(shù)學知識的由來與發(fā)展”和“經(jīng)典數(shù)學著作”這兩中類型，因為大多數(shù)數(shù)學知識的由來與發(fā)展都在數(shù)學著作中記載，因此這兩者往往同時出現(xiàn)。另外，由于數(shù)學著作中記載的是數(shù)學家們的思想，因此數(shù)學著作與數(shù)學家的故事也往往同時出現(xiàn)。對于明顯的數(shù)學猜想和數(shù)學思想方法，在教材中呈現(xiàn)較少。4.以文字陳述為主要呈現(xiàn)方式小學數(shù)學教材中數(shù)學史有4種粗略的呈現(xiàn)方式：文字、文字為主、圖片為主和連環(huán)畫。[22]依據(jù)該分類要求將人教版小學數(shù)學教材中的數(shù)學史呈現(xiàn)方式進行整理、分析，結(jié)果如表2-7、2-8所示：表2-7人教版小學數(shù)學教材數(shù)學史呈現(xiàn)方式類別內(nèi)容文字乘號的由來；除號的由來；分數(shù)的演變；小數(shù)；畝；雞兔同籠；方程；平面圖形面積算法；哥德巴赫猜想；幾何學；立體圖形體積；“約分術(shù)”；一尺之棰；“經(jīng)分”；恩格爾系數(shù)；抽屜原理文字為主七巧板；乘法口訣表；指南針；長方形面積計算方法；格子算法；莫比烏斯帶；出入相補；圓周率；“割圓術(shù)”；楊輝三角；負數(shù)；圓柱容球；七橋問題圖片為主算籌表示數(shù)；象形數(shù)字；計時工具；長度單位；算籌記數(shù)連環(huán)畫算盤；數(shù)的產(chǎn)生；阿拉伯數(shù)字；計算工具表2-8人教版小學數(shù)學教材數(shù)學史呈現(xiàn)方式統(tǒng)計分析頻數(shù)百分比有效百分比累計百分比文字1642.1142.1142.11文字為主1334.2134.2176.32圖片為主513.1613.1689.48連環(huán)畫410.5210.52100.00總計38100.00100.00 統(tǒng)計結(jié)果顯示，人教版小學數(shù)學教材中的數(shù)學史以文字為主要呈現(xiàn)方式，其次是以文字為主的方式，附以數(shù)學家肖像、古物圖片等圖片。以圖片為主和連環(huán)畫的形式較少出現(xiàn)。在小學，學生一方面可以通過圖表獲得感性知識，另一方面可以通過文字獲得理性知識，兩者缺一不可，以獲得理性知識為主。四、數(shù)學史融入小學數(shù)學教學現(xiàn)狀的調(diào)查分析本文研究的重點是對“一師一優(yōu)課”網(wǎng)站中融入了數(shù)學史的小學數(shù)學優(yōu)質(zhì)課進行調(diào)查分析，并據(jù)此得出數(shù)學史的有效教學策略。在前文對數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂進行了理論分析的基礎之上，筆者選取了小學數(shù)學中的三個課題：鴿巢問題、雞兔同籠和神奇的莫比烏斯帶，在“一師一優(yōu)課”中以“全部年度”、“部優(yōu)”為篩選條件，每個課題選取三節(jié)優(yōu)質(zhì)課，共9節(jié)優(yōu)質(zhì)課進行轉(zhuǎn)錄與分析，從分析結(jié)果中概括提煉出數(shù)學史融入小學數(shù)學的有效教學策略。選取結(jié)果如下表4-1所示：表4-1小學數(shù)學優(yōu)質(zhì)課選取情況課題學校執(zhí)教教師數(shù)學廣角—鴿巢問題天津市津南區(qū)咸水沽第五小學張乃順寧夏固原市隆德縣第一小學馬越寧夏中衛(wèi)市第六小學詹玉明數(shù)學廣角—雞兔同籠山東省濟南市歷下區(qū)私立濟南齊魯學校王亞楠遼寧省葫蘆島小學蘇麗杰重慶市大足區(qū)龍水第三小學羅國云神奇的莫比烏斯帶廣東省珠海市香洲區(qū)第十八小學賴金輝天津市萬全小學王麗華河北省滄州市泊頭市紅旗小學李藏然（一）調(diào)查目的 本次調(diào)查目的主要有：1.了解優(yōu)質(zhì)課中教師對數(shù)學史內(nèi)容的處理方式2.了解學生對于課堂中融入數(shù)學史的態(tài)度筆者希望在觀看并記錄優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學史內(nèi)容時能夠明白執(zhí)教教師如何處理數(shù)學史與數(shù)學知識之間的關系，如何在數(shù)學教學中最大限度的發(fā)揮數(shù)學史的教育價值，學生對于課堂中的數(shù)學史內(nèi)容感興趣的程度如何等，以便后續(xù)從優(yōu)質(zhì)課中提煉出將數(shù)學史融入小學數(shù)學的有效教學策略。（二）調(diào)查方法 采用個案研究法，從教育平臺中檢索了9節(jié)含有數(shù)學史內(nèi)容的小學數(shù)學優(yōu)質(zhì)課，根據(jù)分析框架對其中的數(shù)學史內(nèi)容進行了整理與統(tǒng)計，得到優(yōu)質(zhì)課中融入數(shù)學史的共性，并結(jié)合數(shù)據(jù)歸納出數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的有效策略。（三）結(jié)果分析 通過對相關文獻的查閱與梳理，本研究從數(shù)學史呈現(xiàn)方式、內(nèi)容選取和融入時間這三個方面對優(yōu)質(zhì)課進行統(tǒng)計分析，具體內(nèi)容見圖4-1：圖4-1優(yōu)質(zhì)課中的數(shù)學史分析框架1.數(shù)學史呈現(xiàn)方式 筆者在觀看優(yōu)質(zhì)課的同時，撰寫了課堂記錄報告。根據(jù)報告，將選取的優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學史呈現(xiàn)方式進行了分類，其中因為一節(jié)優(yōu)質(zhì)課存在多種數(shù)學史的呈現(xiàn)方式，本文選取最為明顯的一種方式進行討論，結(jié)果如表4-2：表4-2優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學史呈現(xiàn)方式課題執(zhí)教教師內(nèi)容類型鴿巢問題張乃順狄里克雷（1805-1859）抽屜原理是組合數(shù)學中的一個重要原理，它最早是由德國數(shù)學家狄里克雷提出并運用于解決數(shù)論中的問題，所以該原理又稱為“狄里克雷原理”（附肖像）復制式馬越《狄利克雷》原理：鉛筆放進鉛筆里、鴿子飛回鴿巢、書放進抽屜里，其實都是一樣的，鉛筆盒、抽屜數(shù)都相當于鴿巢數(shù)。鉛筆數(shù)、書的本數(shù)都相當于鴿子數(shù)，這種數(shù)學問題就叫做《鴿巢問題》又稱《鴿巢原理》或《抽屜原理》。它最早是由19世紀的德國數(shù)學家狄利克雷提出的，所以又稱《狄利克雷》原理，它是組合數(shù)學中的一個重要原理。（附肖像）復制式詹玉明“鴿巢問題”又稱“抽屜原理”，最先是19世紀的德國數(shù)學家狄里克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理的應用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，它是組合數(shù)學中的一個主要原理。（附肖像）附加式雞兔同籠王亞楠今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？復制式蘇麗杰今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？復制式羅國云今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？某處有鶴龜百頭，只云足數(shù)和為二百七十二，問鶴龜各幾何？順應式神奇的莫比烏斯帶賴金輝早在1858年，德國數(shù)學家莫比烏斯，他在一次偶然的機會發(fā)現(xiàn)玉米的葉子很自然的扭曲成半圓狀，他就順著葉子扭曲的方向把它接成一個圈。回到實驗室，他就把這個神奇的圈做出來了。后來人們就以他的名字，把它命名為莫比烏斯圈，也有人把它叫作莫比烏斯帶，還有人把它叫作怪圈。附加式王麗華公元1858年，德國數(shù)學家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一張紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，將兩端粘連起來的帶子，只有一個面。這個神奇的單面紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。莫比烏斯帶的出現(xiàn)引發(fā)著人們更多的想象和思考。附加式李藏然有一天，莫比烏斯不經(jīng)意的把一張長長的紙條擰了一個圈，然后把兩端對接了起來。這時，正好有一只小螞蟻爬了過來，于是他小心翼翼的把小螞蟻放在紙上，小螞蟻在紙上不停的到處游蕩，莫比烏斯靜靜地注視著小螞蟻。他發(fā)現(xiàn)小螞蟻雖然沒有翻越任何一處紙的邊緣，卻爬過了紙表面的每一個地方。這讓莫比烏斯非常驚訝，本來是兩個面的紙條，經(jīng)他翻轉(zhuǎn)對接就變成只有一個面了。就這樣，一個偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)在不經(jīng)意間產(chǎn)生了。附加式 從分析結(jié)果可以看出，不同的課題類型對應了不同的最佳呈現(xiàn)方式，其中附加式和復制式最為常見，其次是順應式，最后是重構(gòu)式。2.數(shù)學史內(nèi)容選取 數(shù)學史的內(nèi)容可以分為數(shù)學知識的由來與發(fā)展、數(shù)學家的故事、經(jīng)典數(shù)學著作、經(jīng)典數(shù)學問題、數(shù)學猜想、數(shù)學思想方法。本研究選取的三個課題均屬于經(jīng)典數(shù)學問題，但是對于具體資料的選擇，各位老師有各自的特色，分析如表4-3所示：表4-3優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學史料的選取課題執(zhí)教教師內(nèi)容鴿巢原理張乃順狄里克雷肖像；鴿巢原理的別稱馬越狄里克雷肖像；鴿巢問題、抽屜問題、鉛筆問題詹玉明狄里克雷肖像；鴿巢原理別稱雞兔同籠王亞楠《孫子算經(jīng)》；原題蘇麗杰《孫子算經(jīng)》；原題羅國云《孫子算經(jīng)》；《算法統(tǒng)宗》；《算法點竄指南錄》；雞兔同籠問題；鶴龜算問題神奇的莫比烏斯帶賴金輝莫比烏斯肖像；莫比烏斯和玉米葉子的故事王麗華莫比烏斯肖像；莫比烏斯和紙條的故事李藏然莫比烏斯肖像；莫比烏斯和螞蟻的故事 從結(jié)果可以看出，對于同一課題、同一數(shù)學歷史，不同的老師選擇了不同的數(shù)學史料融入課堂教學。對于如何選擇合適的數(shù)學史料，首先應遵守科學性的原則。即所選的數(shù)學史必須是正確的、有記載的，要盡可能選用原始資源，至少應該是可靠的二手文獻。[28]其次，還應遵循適切性、有效性等原則，使得數(shù)學史融入教學能給學生提供正確的知識儲備，同時能激發(fā)學生的學習興趣，符合學生認知發(fā)展特點，真正做到促進教學。 例如羅國云老師在講解“雞兔同籠”問題時，除了《孫子算經(jīng)》中的原題，還介紹了日本根據(jù)“雞兔同籠”問題引出的“鶴龜算”，開闊了學生的視野，在國別類型這一維度上體現(xiàn)出數(shù)學史的多元性。而對于莫比烏斯發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶的過程，應追求科學性，教師應有辨別數(shù)學史料真假的能力，不能為了生動有趣而改編數(shù)學史。3.數(shù)學史融入環(huán)節(jié) 數(shù)學史在數(shù)學教學中，可以作為導入激發(fā)學生的學習興趣；也可以作為一個數(shù)學活動讓學生從探究中獲得知識；亦或者在課堂結(jié)束時作為總結(jié)呈現(xiàn)。對樣本優(yōu)質(zhì)課進行分析后結(jié)果如表4-4：表4-4優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學史融入環(huán)節(jié)課題執(zhí)教教師融入環(huán)節(jié)鴿巢原理張乃順課堂結(jié)束馬越課堂結(jié)束詹玉明課堂結(jié)束雞兔同籠王亞楠課堂導入蘇麗杰課堂導入羅國云課堂導入神奇的莫比烏斯環(huán)賴金輝課堂活動王麗華課堂活動李藏然課堂活動 從表中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史料融入數(shù)學課堂的最佳環(huán)節(jié)因史料而異。對于鴿巢原理，上述三位教師都選擇先講述該原理的內(nèi)容，引出“鴿巢原理”，作為一節(jié)課的總結(jié)。對于雞兔同籠，則都選擇了將其作為課堂導入引出問題，接下來進行問題的解決。而神奇的莫比烏斯帶，則在活動中加深對它的認識。4.數(shù)學史人文價值 數(shù)學史的教育價值絕不僅限于知識層面，數(shù)學史還具有獨特的人文價值。因此，將數(shù)學史融入數(shù)學課堂時，總能在不經(jīng)意間激發(fā)學生的愛國熱情、激勵學生留心觀察等。對優(yōu)質(zhì)課樣本中體現(xiàn)人文價值的部分進行整理，如表4-5所示：表4-5優(yōu)質(zhì)課中數(shù)學史人文價值的體現(xiàn)課題執(zhí)教教師內(nèi)容鴿巢問題張乃順無馬越無詹玉明同學們，在經(jīng)濟飛速發(fā)展的今天，還有好多好多的新發(fā)明新創(chuàng)造，只要我們留心觀察，你肯定有所收獲。雞兔同籠王亞楠無蘇麗杰無羅國云剛剛課前交流的這個活動中就涉及到我國著名的一個趣題—雞兔同籠。那雞兔同籠到底有多大的影響呢？我們應該以什么樣的態(tài)度對待它？神奇的莫比烏斯帶賴金輝無王麗華無李藏然孩子們，沒有誰能隨隨便便成功。莫比烏斯之所以有個偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，是因為他平日里留心觀察周圍的事和物，然后苦苦思索。 對于同一課題，有些教師善于引導學生從數(shù)學史料中獲得啟示，有些教師則對于數(shù)學史的人文價值有所忽略。數(shù)學史料中的人文價值史非常寶貴的，學生可以從數(shù)學家們身上學習到科學研究應具有的精神和品質(zhì)，為學生日后的學習做好準備，因此不可忽視。數(shù)學是“人為”的和“為人”的，融入數(shù)學史的數(shù)學教育是一種文化教育，有助于學生數(shù)學觀的形成。[29]五、數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的有效策略（一）教師方面1.改變傳統(tǒng)的教學觀，深刻認識數(shù)學史的教育價值作為數(shù)學教學中的主導者，數(shù)學教師的數(shù)學觀直接影響著數(shù)學教學的效果和學生數(shù)學觀的形成。在數(shù)學教育中，Ernest把教師的數(shù)學觀分成了三類：問題解決的觀點、柏拉圖主義的觀點和工具主義的觀點[30]。隨著時代的變遷，傳統(tǒng)的數(shù)學觀已不適合當下的社會對學生的需求，數(shù)學教師應賦予數(shù)學觀新的內(nèi)涵。教師應擯棄傳統(tǒng)唯分數(shù)論英雄的觀點，認識到學生是學習的主體。尤其在小學教育中，更應該在了解學生的發(fā)展特點的基礎之上，從學生的立場、以學生能接受的語言講述知識。當教師以學生的發(fā)展而不是以分數(shù)為最終的教學目標時，自然而然地就不會認為再課堂中講授有關數(shù)學史的知識會浪費課堂教學時間，就不會認為數(shù)學史只是數(shù)學家們的故事，對于講給學生聽毫無用處。因此，對于數(shù)學教師而言，首先應樹立正確的數(shù)學觀，擺正對于數(shù)學史的看法，接納數(shù)學史，才能更好地發(fā)揮數(shù)學史的教育價值。2.儲備大量數(shù)學史知識，提高自身數(shù)學素養(yǎng) 即使認識到了數(shù)學史的教育價值，但仍有部分教師因自身知識儲備的不足而導致未能將數(shù)學史融入課堂中，多有些“巧婦難為無米之炊”的遺憾。作為數(shù)學教師，在認識到數(shù)學史的價值后，應抓住各種機會，在閑暇時或在培訓時，有意識地積累數(shù)學史材料，并通過觀察優(yōu)秀教師地數(shù)學課堂，學習數(shù)學史融入數(shù)學課堂的成功案例。積累數(shù)學史料的途徑眾多，可以通過閱讀古籍、已有文獻或權(quán)威圖書等收集。但教師在積累數(shù)學史料時要特別注意數(shù)學史料的真實性和科學性，以免在課堂上誤導學生。數(shù)學家洛維特說，數(shù)學的學習者應該去尋找原始文獻，二手的思想就像二手書和二手衣服一樣充滿細菌[31]。學習數(shù)學史及其在教學中的實踐是小學教師數(shù)學素養(yǎng)提升的重要途徑，[32]小學數(shù)學教師應以數(shù)學史為抓手，儲備數(shù)學史料，充分發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值，進而發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。3.積極參加有關的集體教研活動，有意識地在課堂中傳授數(shù)學史知識 數(shù)學史融入數(shù)學教學絕不是簡單的在課堂中出示數(shù)學家們的名字和肖像，絕不是隨意挑選幾段有關的數(shù)學史料放進教學過程中。數(shù)學史教學在史料的選取、呈現(xiàn)的方式和時間、表述的語言等方面都要經(jīng)過精心的設計，才能達到較好的效果。因此，對于數(shù)學教師而言，積極參與有關的集體教研活動、培訓活動等，是提高數(shù)學史教學能力必不可少的途徑。在備課過程中，就應明確本節(jié)課是否可以融入數(shù)學史，用哪些史料效果更好，在什么地方進入，用什么話語講述，這樣才能在課堂上做到有意識地教學，而不是突然冒出了一個數(shù)學家的故事，這不僅不能很好的發(fā)揮數(shù)學史應有的作用，還可能產(chǎn)生相反的效果。教育取向的中國古代數(shù)學史研究及其融入數(shù)學教學的實踐和評價，都將是未來HPM領域的重要課題，也將成為小學數(shù)學教師研修培訓的重要主題之一[33]。（二）教學方面1.以學生能夠接受的方式深入淺出，聯(lián)系學生實際 長期以來，課程總是以一種“作為事實的課程”出現(xiàn)。胡典順教授在《數(shù)學教學論》中指出，“作為事實的課程”忽略了人的意義和交流過程。如今在課程改革的背景下，數(shù)學課程的內(nèi)涵由“作為事實的課程”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鳛閷嵺`的課程”?！白鳛閷嵺`的課程”強調(diào)數(shù)學教學必須以學生為本。“教育是人的靈魂的教育，教育的本質(zhì)是育人，而不是知識的堆積。學生不是接受知識的容器，而是一支有待點燃的火把?！币虼耍跀?shù)學課堂中，要注意回歸主體立場，真正做到以人為本，以學生的發(fā)展為本，用學生能夠理解的方式方法傳授數(shù)學史知識，傳遞數(shù)學精神。只有將學數(shù)學與用數(shù)學結(jié)合在一起，才能達到數(shù)學教育的最終目的。而數(shù)學史料大多數(shù)都是古代數(shù)學家們生活的直接寫照，與現(xiàn)代生活也有著或多或少的聯(lián)系，如果在講述數(shù)學史知識時，能適當聯(lián)系學生的生活實際，對于促進學生對知識的理解、削弱學生將數(shù)學視為高高在上的神壇的畏懼心理有著事半功倍的成效。2.因“地”制宜，實施多元化的融入方式 在歷史長河中，數(shù)學史料數(shù)不勝數(shù)，因此，在將數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂的方式多種多樣，教師們需要根據(jù)不同學習內(nèi)容的特點選擇恰當?shù)臄?shù)學史料，并合理選擇融入的方式。在教學中融入數(shù)學史主要分為：導入環(huán)節(jié)融入、新授環(huán)節(jié)融入、鞏固拓展融入。[34]例如小學六年級下冊數(shù)學廣角中的鴿巢問題，有些教師喜歡用筆和筆盒探究出規(guī)律后引入相關的史料，有些教師則更喜歡在課堂導入環(huán)節(jié)用古代的鴿巢問題作為切入點引出課題，另有一些教師希望學生在課后搜集有關鴿巢問題及其衍生的數(shù)學史料。具體的方式教師需要從本身的技能水平、知識內(nèi)容的特點、學生的學習習慣等多個方面綜合考慮后再做出決定，萬不可千篇一律，照搬照套。3.注重挖掘數(shù)學史中蘊含的人文價值，培養(yǎng)學生正確的人生觀 數(shù)學史作為“人文思想教育的主要手段”[35]，對于學生良好數(shù)學觀的形成、學習熱情和數(shù)學思想方法的培養(yǎng)都有著重要的作用。一直以來，數(shù)學課堂中體現(xiàn)數(shù)學史的人文價值時，常常表現(xiàn)為順手拈來，零星滲透，厚古薄今，著重于“民族自豪感”等“外在”教育[36]。盡管近代數(shù)學之所以能發(fā)展到今天，主要是靠中國的數(shù)學，而非希臘的數(shù)學[37]，但是教師向?qū)W生傳授的數(shù)學史不應該是純粹的中國數(shù)學史，而應該是世界數(shù)學史。除了激發(fā)學生的民族自豪感之外，對于其他國家著名數(shù)學家可歌可泣的故事，也應當從中抽取出值得借鑒的精神。例如不怕繁瑣與勞累，將零碎的幾何事實串聯(lián)起來的歐幾里得；力排眾議，創(chuàng)建“集合論”的康托；敢于質(zhì)疑權(quán)威，堅持真理的羅巴切夫斯基……同時，數(shù)學的發(fā)展也并非是一帆風順、一派和諧的。數(shù)學歷史中出現(xiàn)的三次危機、“連續(xù)函數(shù)一定可導”的命題等一系列對數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生沖擊的歷史事實在一次次的證明與反駁中不斷完善，有些被認為是正確的數(shù)學命題也曾誤導了幾個世紀的人們。這些數(shù)學發(fā)展過程中走過的彎路對于學生而言也具有極大的價值，數(shù)學教師應當讓學生知道并非所有的知識都是絕對真理，數(shù)學不是完美的，而是有些許瑕疵的，培養(yǎng)學生敢于質(zhì)疑權(quán)威的意識。4.滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)理性思維 數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂。胡典順教授認為，在宏觀上，數(shù)學思想方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關鍵和動力；在微觀上，只有從知識和思想方法兩個層面上去教和學，學生才能形成良好的認知結(jié)構(gòu)。而數(shù)學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的過程包含在數(shù)學史中，例如解析幾何的創(chuàng)立實現(xiàn)了形和數(shù)的溝通，數(shù)形結(jié)合的思想才有生長的土壤。有了新的思想方法，數(shù)學才會有創(chuàng)新，才能夠繼續(xù)向前發(fā)展。在小學數(shù)學課堂中融入數(shù)學史知識，介紹數(shù)學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的過程，就是向?qū)W生滲透其中蘊含的數(shù)學思想方法的過程。只有把學生放在適當?shù)臍v史和數(shù)學語境下，經(jīng)歷數(shù)學知識的再創(chuàng)造過程，親身體驗教材中數(shù)學知識從不確定的“問題狀態(tài)”向相對確定的“結(jié)果狀態(tài)”轉(zhuǎn)化的過程，他們才能真正理解數(shù)學知識、數(shù)學思想方法[38]。（三）教材方面1.數(shù)學史呈現(xiàn)的多樣化數(shù)學課堂中的數(shù)學史可以以數(shù)學課本、數(shù)學讀本、選修課程和專題研究等形式呈現(xiàn)[39]。隨著時代的進步，同一數(shù)學史料在課堂中呈現(xiàn)的方式多種多樣，教師應擯棄傳統(tǒng)的一成不變的方法，尋找突破與創(chuàng)新。數(shù)學史融入教材不是只能以文字印刷的方式展現(xiàn)給學生，也可以采用現(xiàn)代媒體手段，例如使用教材配套的光盤或相關的網(wǎng)頁鏈接，以故事、情景劇等方式將數(shù)學史活靈活現(xiàn)地呈現(xiàn)在學生面前。[28]打破靜態(tài)、呆板的大段文字的方式，讓數(shù)學史更好地發(fā)揮它本身的魅力。2.數(shù)學史內(nèi)容的多元化 呈現(xiàn)多元文化數(shù)學內(nèi)容，讓學生尊重、分享、欣賞和理解不同文化背景下的數(shù)學成果，這是“數(shù)學史融入數(shù)學課程”和“數(shù)學史融入教科書”的突破點[40]。數(shù)學是人類文化的一部分，數(shù)學史有著相應的文化背景，在多元文化的背景下，數(shù)學史內(nèi)容必然呈現(xiàn)出多元化的趨勢。例如“勾股定理”的證明，其方法眾多，不同的方法代表著不同的文化、不同的民族思維方式。因此將數(shù)學史編入教材中時，應注意呈現(xiàn)多元的數(shù)學史內(nèi)容，使得學生能從不同的方法中體會古希臘人對理性的追求，體會中國古代對實用數(shù)學的重視等。3.數(shù)學史編排的合理化 向慧的調(diào)查結(jié)果顯示，大部分教師認為教材中的數(shù)學史知識分布比較散，于是對于如何組織數(shù)學史教學犯了難[4]。在教材的編排上，應考慮到該年齡段的學生處于何種思維發(fā)展水平，考慮到涉及的數(shù)學史本身有什么樣的特征，遵循量力性等原則，使得數(shù)學史內(nèi)容的抽象程度不高于學生的理解水平，使學生能夠接受并理解的。同時，筆者認為應建設一支由教材編寫者、數(shù)學史學家、一線教師等組成的專業(yè)團隊，共同設計教材中的數(shù)學史，將數(shù)學史料放置于適當?shù)奈恢?，發(fā)揮更大的作用。結(jié)語數(shù)學史與數(shù)學教育作為一個方興未艾的數(shù)學研究領域，其教育價值不斷被人們挖掘，也逐漸掀起了將數(shù)學史融入數(shù)學課堂的熱潮。然而就如張奠宙教授所言，數(shù)學史在教學過程中依然存在著明顯的“高評價，低應用”的情況。究其根本，主要是數(shù)學教師的教育觀念還未及時更新、或是數(shù)學教師沒有足夠的數(shù)學史儲備導致心有余而力不足的窘?jīng)r。因此，如何才能沖破重重桎梏，將數(shù)學史的教育價值充分發(fā)揮出來，是HPM領域亟待解決的難題。尤其是在初等教育階段，數(shù)學史融入數(shù)學教學能起到很好的奠基作用，為學生正確數(shù)學觀、人生觀的形成做好準備，為學生建構(gòu)良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)做好準備，為學生了解數(shù)學思想方法做好準備。因此，筆者專門對小學階段的數(shù)學教育進行了細致的分析，從人教版小學數(shù)學教材入手，整理分析其中的數(shù)學史料，為一線教師數(shù)學史教學提供幫助。繼而在充分分析了數(shù)學史融入小學數(shù)學教學的理論基礎后，對數(shù)學優(yōu)質(zhì)課進行了深入分析，并從三個方面提出了小學數(shù)學教學融入數(shù)學史的策略。 本研究原想調(diào)查數(shù)學史融入小學數(shù)學的現(xiàn)狀，并根據(jù)相關理論設計融入數(shù)學史的教學案例進行實踐對比研究。然而限于條件不足，未能親自設計問卷調(diào)查所在省市的數(shù)學史應用情況，也未能進行實踐研究，這是本研究最為可惜的一點。于是將研究方法改為個案研究法，通過觀看并記錄融入了數(shù)學史的小學數(shù)學優(yōu)質(zhì)課，從中提出促進數(shù)學史教學的有效策略。由于筆者研究水平和能力均十分有限，導致研究或多或少存在一些問題，比如對于有關數(shù)學史與數(shù)學教育的文獻資料收集不夠全面，對于數(shù)學史的教育價值論述太過寬泛，對于數(shù)學史融入教學的理論基礎分析不夠透徹等。幸運的是，在導師的指導下，有所改進，但是離有水平的學術(shù)論文還有著較大的差距。因此，這也堅定了我繼續(xù)學習的決心，在日后的工作或?qū)W習中，不斷從實踐中獲取經(jīng)驗，提高我的研究水平。參考文獻[1]JamesK.Bidwell.HumanizeYou