行列式的性質(zhì)與計(jì)算

關(guān)于行列式的性質(zhì)與計(jì)算一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.第2頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2行列式可以按行（列）提取公因子.推論如果行列式某一行（列）元素全為0，則行列式為0.

行列式的某行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，記ri×k(ci

×

k)，等于數(shù)k乘此行列式.第3頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天例推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質(zhì)3

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).第4頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第5頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4

按行(按列)展開則D

等于兩個(gè)行列式之和.例如若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和,第6頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4

按行(按列)展開（2）該性質(zhì)可以理解為兩個(gè)行列式的加法，它與矩陣的加法有著本質(zhì)的區(qū)別.注（1）該性質(zhì)可以推廣到行列式的某一行（列）為多組元素的和的情形.第7頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第8頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)6

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.證第9頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天同理相同第10頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第11頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解例已知4階行列式求第12頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解例已知4階行列式求第13頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天例二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角行列式，從而算得行列式的值．第14頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天解第15頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第17頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第18頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第19頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得第20頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第21頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解例求行列式的值第22頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

證明第23頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明第24頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解例求行列式的值第26頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

證用數(shù)學(xué)歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第27頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第28頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天n-1階范德蒙德行列式第29頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解D5

是5

階范德蒙行列式例求五階行列式的值第30頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個(gè)性質(zhì)第31頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題第32頁(yè),