總體離散程度的估計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)年級(jí)：高一學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教Ａ版）問題1

有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：乙：如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)?如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何做出選擇?787954910749578768

6777777771.24甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小，乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定．如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手；如果兩人的成績(jī)都排在后面，希望比賽時(shí)有突出表現(xiàn)，可以選擇甲選手．追問：為什么可以運(yùn)用方差分析兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)?由此估計(jì)甲運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差

，乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差．

方差：每個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，記為

s2.

極差:數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差.

反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍．極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度．極差所含的信息量很少．平均距離:每個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的絕對(duì)值的平均數(shù)

平均距離越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；平均距離越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。骄嚯x計(jì)算公式中含有絕對(duì)值，計(jì)算不方便．問題2

除了方差，你還能想到其他刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量嗎?問題3

問題1中方差的單位是什么?方差(標(biāo)準(zhǔn)差)用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度).在樣本容量相同的情況下,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定.

方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小,越穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根，記為

s.

問題4

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？如果方差和標(biāo)準(zhǔn)差為0，這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？因?yàn)榉讲钍瞧椒胶偷男问?，?biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，所以方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是非負(fù)數(shù).方差（標(biāo)準(zhǔn)差）為0的一組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是這組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)都相等.總體方差的計(jì)算12能獲得總體中所有個(gè)體的觀測(cè)值：直接計(jì)算總體的方差獲得總體中所有個(gè)體的觀測(cè)值困難：

解：

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為

已知

由

可得

同理可得（1）

因此

（2）人數(shù)平均數(shù)方差男生23170.612.59女生27160.638.62總體50追問：比較總樣本方差與男生組及女生組的方差，你能發(fā)現(xiàn)什么?你能解釋在估計(jì)全校學(xué)生平均身高時(shí)，按性別分層隨機(jī)抽樣的理由嗎?總樣本方差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差．相同樣本量的條件下，總樣本方差越小，樣本均值估計(jì)總體均值效果越好．男、女生的均值相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女生的方差均大得越多，分層隨機(jī)抽樣的效果越好．165.251.47追問：三組數(shù)據(jù)匯總后的數(shù)據(jù)方差如何計(jì)算呢？更多組呢？問題6

如果知道兩組數(shù)據(jù)各自的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差，如何計(jì)算全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差呢?

問題7

平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動(dòng)大小，那么將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差綜合在一起，是否能反映數(shù)據(jù)取值的信息．小結(jié)

通過平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，可以得到大部分?jǐn)?shù)據(jù)的取值范圍

．方差越大，則這個(gè)區(qū)間越大；方差越小，則這個(gè)區(qū)間也越?。傮w離散程度的估計(jì)極差一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.方差標(biāo)準(zhǔn)差

或分層隨機(jī)抽樣總體樣本方差的計(jì)算估計(jì)樣本中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)的取值范圍應(yīng)用

2．某學(xué)校有高中學(xué)生500

人，其中男生320

人，女生180

人．有人希望獲得全體高中學(xué)生的身高信息，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本量為50的樣本，并計(jì)算得男生身高的樣本均值為173．