重難點7 比較大小六大方法匯總（解析版）-2024年高考數(shù)學重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題07比較大小六大方法匯總

0-

題型1臨界值法比較大小.............................................................1

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小.........................................................4

題型3構(gòu)造差與商比較大小...........................................................7

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小............................................................11

題型5放縮法比較大小..............................................................16

題型6導數(shù)法.......................................................................20

題型1臨界值法比較大小

、I，語

齊塾重點

結(jié)構(gòu)不相同的比較大小題目，可以尋找“中間橋梁"，通常是與0,1比較

通過找中間值比較大小，要比較的兩個或者三個數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個時候我們就可

以通過引入一個常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到它們之間

的大小關(guān)系.

【例題11（2023?全國?高三專題練習）已知a=log22.8,b=log0.82.8,c=228試比較a,

b,c的大小為（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】?'Q=log22.8>log22=1,

b=logo.82.8<log。81=。t

0<c=2-°-8<2°=1,

.'.b<c<a.

故選：B.

【變式1-1]1.（2021?全國?高三專題練習）已知a=log0,53,b=OS',c=3”5試比較

a,b,c的大小為（）

A.a<b<cB.a<c<6

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、b、c與0、1相比較,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：'-'a=log053=-log23<0,

3

b=0.5-3=2>2°=1,

5

0<c=3-°=（iy<g）°=l,

.*.a<c<b,

故選：B.

_3

【變式1-1]2.（2022?全國?高三專題練習）已知a=log0,33,b=（|尸,c=L,則下列

大小比較正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a,b,c的范圍，進而比較出它們的大小關(guān)

系.

【詳解】因為a=10go.33<log03l=0,即a<0,

C=4-1=i€(0,1),

八館=4>似=]，即M

所以可得：a<c<b,

故選：C.

ln

【變式1-1]3,(2022?山西太原統(tǒng)考一模)匕瞰大?。篴=log3V2,b=e。1,c=e5()

/K.a<c<bB.c<a<bC,c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a=log3V2<i,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求岀b>1,c=1,

進而可判斷三者的大小關(guān)系.

01ln-ln2-1

【詳解】解:因為企<V3，所以a=log3V2<1,6=e>e°=1,c=e5=e=2=

i

2'

則b>c>a,

故選:A.

【點睛】本題考查了指數(shù)、對數(shù)式的大小比較.若兩式的底數(shù)相同，常結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性比較大小，若兩式的指數(shù)相等，則常結(jié)合圖像比較大??；有時也進行整理通過中間值比較

大小.

【變式1-114.(2021?福建泉州?福建省德化第一中學?？既?比較下列幾個數(shù)的大?。?/p>

030001

a=(1)-,b=log21,c=5,則有()

A..a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先讓a,b,c和0或1比較大小，然后再判斷a,b,c的大小.

/I\0.31

0001

【詳解】a=6)G(0,1),b=log2-<0,c=5>1

--c>a>b.

故選D

【點睛】本題考查指對數(shù)比較大小，意在考查轉(zhuǎn)化與計算，屬于簡單題型.

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小

電劃重點

比較指對鬲形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=a"當a>1時，函數(shù)遞增；當0<a<1時，函數(shù)遞減；

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=logax，當a>1時，函數(shù)遞增；當0<a<1時，函數(shù)遞

減；

【例題2】(2022?重慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測)下列各式比較大小正確的是()

A.1.72-5>1.73B.0.6T>0.62C.O.801>1.201D.1.703<0.931

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB,再由幕函數(shù)單調(diào)性判斷C,借助1判斷D.

【詳解】A中，?.函數(shù)y=1.7、在R上是增函數(shù)，2.5<3,.-.1.72-5<1.73,故錯誤；

B中,-：y=0.6、在R上是減函數(shù)，-1<2,，0.6T>0.62,故正確；

C中,；y=”丄在(0,+8)上是增函數(shù),O.801<1.2。土故錯誤；

D中，?.,1.763>1,0<0.931<1,/.I.70-3>0.931,故錯誤.

故選：B

【變式2-1]1.已知2021a=2022,2022b=2021,c=ln2,則()

A.logac>logbcB.logca>logcb

C.ac<bcD.ca<cb

【答案】D

【分析】比較a、b、c的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷各選項的正誤.

【詳解】丁Q=log20212022>log20212°21=1,0=log20221<b=Iog20222021<

'Og202z2022=1,

0=Ini<c=ln2<Ine=1,即0<cV1,

所以，logac<logal=0,logbc>log^l=0,則log/Vlog》c,即A錯誤；

???a>b,0<c<l,所以,logca<logcb,a。>〃，c。VcJ即BC都錯誤，D正確.

故選：D.

【變式2-1]2.(2022春?天津北辰?高三天津市第四十七中學?？奸_學考試)定義在R上的

函數(shù)f(x)=sinx+2x,若a=/0，b=/(In-^I),c=f儂),則比較a,b,c的大小關(guān)系

為()

/\.a>b>cR.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得(lna,最的大小，由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由單調(diào)性比

較大小.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知ln&<InVe=1,eS>1,

所以In近〈片《，

尸(x)=cosx+2>0恒成立，/(x)在R上是增函數(shù),所以b<a<c.

故選：C.

【變式2-l]3.(2023?全國?高三專題練習)若函數(shù)y=是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)

為偶函數(shù)，且一1<%!<x2<1時，[/(%2)-/(%1)](x2-xj>0，比較”2017))(2018),

/(2019)的大小為()

A"(2017)</(2018)<f(2019)B.f(2018)</(2017)</(2019)

C./(2018)</(2019)</(2017)D./(2019)</(2018)</(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數(shù)y=f(x)的周期7=4,再由當-1W巧<小W1時，

[/(次)-/(%i)](x2-xj>0可知函數(shù)y=f(x)在[-1,1]上為增函數(shù)，然后計算比較即可.

【詳解】???函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù),又y=f(x+1)為偶函數(shù)，

???f(-x)=-f(x),/(-x+1)=f(x+1),

/(X)=f(x+4),即函數(shù)y=f(x)的周期T=4,

"-14/<外41時，打一旳>0,[/(次)-f(Xi)](x2-Xi)>0,

???f?2)-f(Xi)>0BP/(X2)>,函數(shù)y=f(x)在上為增函數(shù),

???/(2017)=/(I+4x504)=/(I),/(2018)=/(2+4x504)=/(2)=/(0),

/(2019)=/(-l+4x505)=/(-I),

f(2019)<f(2018)</(2017).

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.

【變式2-1】4.(2023?安徽亳州?高三?？茧A段練習戲們匕廠熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有"yyds"、

"內(nèi)卷"、"躺平"等，定義方程"%)=/⑺的實數(shù)根x叫做函數(shù)f⑺的"躺平點”.若

函數(shù)g(x)=ex-x,/i(x)=Inx,w(x)=2023x+2023的"躺平點"分另(J為a,b,c,則

a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根據(jù)“躺平點"新定義，可解得a=l,c=0,利用零點存在定理可得bG(l,e),BP

可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)“躺平點"定義可得g(a)=g'(a),又g'(x)=1-i;

所以e。-a=ea-1,解得a=1；

同理〃(x)=-,即Inb=；；

xb

令m(x)=Inx-p則硏%)=g+妥>0,即m。)為(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù),

又m(l)=-1<0,m(e)=1一(>0,所以m(x)在(l,e)有唯一零點，即bG(l,e);

易知"(%)=2023,即w(c)=2023c+2023=(p'3=2023,解得c=0；

因此可得b>a>c.

故選：B

題型3構(gòu)造差與商比較大小

屮痢t點

(1)作差法：作差與0作匕瞰;

(2)作商法：作商與1作比較(注意正負)；

【例題3】(2022?全國?高三專題練習)若x,y,z是正實數(shù)，滿足2x=3y=5z,試比較3x,

4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令尹=3、=5z=t,則t>1,%=瞿，y=瞿，z=瞿，利用作差法能求岀結(jié)果.

lg2'丿lg3'lg5

【詳解】???X、V、Z均為正數(shù)，且2、=3,=5Z,

令2#=3、=5z=t,則t>1,

故x=log2t=詈，y=log3t=魯，z=log5t=魯，

』-6Z=3(凱謂)=墻譯>。，颯>6z；

62十=2器譚)=噺/>。，即62內(nèi)，

即3x>6z>4y成立,

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

(1)將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

(2)利用作差法比較大小.

【變式3-1]1.已知正數(shù)x,y,z滿足xlny=yez=zx,則久,y,z的大小關(guān)系為()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

【答案】A

【分析】將z看成常數(shù)，然后根據(jù)題意表示出x,y,再作差比較出大小即可

【詳解】解:由xlny=yez=zx,得xlny=zx,則z=Iny，得y=ez,

z

所以ez-e=zx,所以x=—z,

令/(z)=ez-z(z>0),則/(z)=ez-1>0,

所以函數(shù)/(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(z)>f(0)=e。-0=1,

所以”>z,即y>z

cr-rie?/e2z-zezez(ez-z)

所以zn

x-y=--z---e=-----z----=-----z---->0,

所以x>y,

綜上x>y>z,

故選：A

【變式3-1]2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知a=2e'后,b=ee,c=^-,試比較a,b,c

In2

的大小關(guān)系為()

/\.b>c>aR.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用Inx常見的不等式，估計岀ln2的范圍，精確估計出1.73<行<1.8,然后利

用作商法匕匕較大小.

【詳解】先證明兩個不等式：

(1)21nx<%—^(x>1),設(shè)/(%)=21nx—%+：(x>1),則

2

r(為=L=_(子_1)<o(x>i),即/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減,故

/(x)</(I)=0,即21nx<x-i(x>1)成立

(2)Inx>卓三(x>1),設(shè)g(x)=Inx-(x>1),則

g'(x)=：帰=爲號>°(x>1)，即9(乃在(L+8)上單調(diào)遞增，故

g(x)>5(1)=0,即Inx>號三。>。成立

再說明一個基本事實，顯然3<n<3.24,于是1.73<V3<Vn<1.8.

由(1)可得，取x=2,可得21n2<1.5oln2<0.75Qe075>2；

由(2)可得，取x=2，可得ln2>；，再取x=；，可得In：>；>0.27,gpe027<：oe-027>

333734

bee?e-標ee-18e0-75.口百八十日,

~=瓦赤=>—>1，顯然。>0，于疋人>。；

2=歯給=Wv—<e2-^-0,27=e，73-后<e°=1,顯然Q>0,于是c<a.故匕>

a>c.

故選：B

【變式3-1]3.若0<bVaV-,x=a4-beb,y=b+aea,z=b+aeJ則（）

A.x<z<yB.z<%<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】=Q+beJy=b+aea,z=b+aeb,

「.y-z=a(ea—eb)

又a>b>0,e>1,:.ea>eb

?'?y>z

z—%=(b—a)+(Q—b)eb=(a—b)(e。-1),

又a>%>0,武>1

.,.z>x

綜上：%<z<y

故選：A

【變式3-1]4.(2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模)已知正實數(shù)a,b,c分別滿足M=￡8=広2,

C=哈，其中e是自然常數(shù)，則a4c的大小關(guān)系為()

.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比較出a,c大小關(guān)系；可構(gòu)造函數(shù)f(x)=詈，將a,b和b,c大小關(guān)系的

比較轉(zhuǎn)化為"2)J(e)和f(e2),/(8)大小的比較，利用導數(shù)可求得f(x)單調(diào)性，從而比較出大

小關(guān)系.

【詳解】由a2=絹：。=*吟=會是=乎，

???e>蜀=費，.?.旄>:?./=竽>1,又c>0,二a>c；

令f(x)=筈，則/(久)=彩金=需,

.??當XG(0,e2)時，/(X)>0;當Xe(e2,+8)時，/⑺<0;

f(x)在(0,e2)上單調(diào)遞增,在(e2,+8)上單調(diào)遞減；

??.f(e)>/(2),艮嗤=1>除即a>b；

且/@)>“8),即號=：>體=舞，.?.ln2(禁，即b<c；

綜上所述:a>c>b.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題，?解題關(guān)鍵是能

夠根據(jù)所給數(shù)字的特征，將問題轉(zhuǎn)化為/(x)=詈的不同函數(shù)值的比較問題，從而利用導數(shù)

求得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到大小關(guān)系.

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小

C，*

屮痢t點

結(jié)構(gòu)相同的比較大小題目，可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【例題4】(2023?全國?高三專題練習)下列大小比較中,錯誤的是()

A.3e<e3<zreB.e3<7re<e71C.?re<<371D.zr3<<3^

【答案】D

【分析】對于選項D,構(gòu)造函數(shù)f(x)=9，得到f(幻</(e)='令％=，得到/>e"，所

以選項D錯誤；

對于選項A,在/(x)W(中，令x=?,得到；re>e3.所以選項A正確；

對于選項B,在/(x)W沖，令％=TT,則/<即，所以選項B正確；

對于選項C,e“<3",所以兀e〈慶<3"，所以選項C正確.

【詳解】解：對于選項D,構(gòu)造函數(shù)“%)=號,所以/⑺=歲,

所以當0<x<e時,f'(x)>0,函數(shù)/(久)單調(diào)遞増；當x>e時,f'[x)<0,函數(shù)/'(x)單調(diào)

遞減.

所以/(x)</(e)=i(當且僅當x=e時取等)

e2

則令％=上，則七1"<：，化簡得1門兀>2--,故3ln?r>6——>6—e>/r,

n￡_eJrn

n

故In->7r,故7r3>e-,所以選項D錯誤；

對于選項A,3e<7re,f(3)</(e),.-.苧<哈3e<e3,

e2

在/(x)W沖，令x=/則讐<；，化簡得ln?r>2-、故eln/r>e(2-*>2.7x(2-

n

書)>2.7x(2-0.88)=3.024>3,

所以elriTi>3,ln7re>Ine3,ne>e3.所以3。<e3<7re,所以選項A正確；

對于選項B,在f(x)W沖，令x=兀，則?<吸二褶<釬，所以e3<ne<en,所以選項

B正確；

對于選項C,e11<3”,所以/<屋<34，所以選項C正確.

故選：D

【變式4-1]1.(2022?全國?高三專題練習)比較a=|eb=巖c=/湍(e為自然對

數(shù)的底數(shù))的大小為()

/\.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據(jù)這三個數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)y=久e2-x,再用導數(shù)法判斷其單調(diào)性，然后利用

單調(diào)性判斷.

【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)y=xe2-x,

所以y'=(1-X)e2-x,

當0<x<1時yz=(1—x)e2~x>0

所以y=xe2T在(0.1)上遞增，

因為2>A表

所以a>b>c

故選A.

【點睛】本題主要考查了比較數(shù)的大小，構(gòu)造函數(shù)，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等問題，還考查了

運算求解的能力，屬于中檔題.

1ln2

【變式4-1】2.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知a=&)*/=(聲)三,c=

In3

(陰虧，試比較a,b,c的大小關(guān)系()

A.a<b<cB./?<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】根據(jù)三個指數(shù)的底數(shù)的形式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根

據(jù)三個數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過取對數(shù)法，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)

性判斷即可.

【詳解】設(shè)/(x)=9(x>0)=尸(制=等，

當x>e時，/(x)<0,f⑺單調(diào)遞減,

所以有f(e)>/(3)>/(4),

mM1_Ineln2_21n2_ln4

一,"e-e，2-4一4，

所％瀉〉*

設(shè)g(X)=xx[x>0)=>ln5(x)=xlnx,

設(shè)y=xlnx=y'=Inx+1,

當0v%〈，時，/v0,函數(shù)y=xlnx單調(diào)遞減，

因為:＞竽＞竽＞0，

所以味（撲叩皚］＜噸（噺，

因為函數(shù)y=Inx是正實數(shù)集上的增函數(shù)，

故圈］4噺＜［?）］，

1In3!n4ln2

即（?。迹ǜ∈迹═）-=（T）"，所以。＜c＜b，

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【變式4-1】3.（2023?全國?長郡中學校聯(lián)考二模）1殳實數(shù)a/滿足1001。+1010b=2023a,

1014。+1016s=2024》，則a,b的大小關(guān)系為（）

A.a＞bB.a=bC.a＜bD.無法比較

【答案】C

【分析】先假設(shè)a＞b,再推理導出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.

【詳解】假設(shè)a>b,則1010。>1010〃,1014a>1014J

由1001。+10106=2023a得1001。+1010a＞2023a=（瑞）°+（翳）°21，

因函數(shù)/（x）=（紀尸+（黑尸在R上單調(diào)遞減，又/（I）=鴉+窺=親＜1，則/S）＞

1>/(l),所以a<1；

由1014a+1016b=202#得1014b+1016、＜2024b=（瑞）匕+（翳）〃＜1,

因函數(shù)g（x）=（親尸+（瑞尸在R上單調(diào)遞減，又。⑴=黑+照=就＞1，貝！bS）?

1<g(l),所以b>1；

即有a<1<b與假設(shè)a>b矛盾，所以a<b,

故選：C

【變式4-1】4.(2023?河南開封?校考模擬預(yù)測)若a=e02,b=VL2,C=In3.2，則a,b,c的

大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)y=e，-t-1,利用導數(shù)證明出e，>t+l,利用單調(diào)性判斷

出a>c；令/'(x)=Inx-給，利用單調(diào)性判斷出c>b,即可得到答案.

【詳解】記'=U-t-1,因為/=U-1,

令y'>0,解得t>0;令/<0,解得t<0;

所以y=et-1-1在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以Ymin=e°-0-1=0,所以e，>t+1,

所以a=e0-2>0.2+1=1.2>V12=b,a>1.2=lne12,c=In3.2,

因為(e12)5=e6>(2.7)6X387.4>(3.2)5?335,5,所以e12>3.2，即a>c；

令/(x)=In%-甯XG(0,+oo),f'M=爲專>o,

所以f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，f(l)=0,

所以當X>1時,fM>0,epinx>空手,

所以In3.2=In2+lnl.6>空二2+2(丄6-1)=1三1三=，

又1<1.2<1.21,1<b=V12<1.1,所以c>1.1>b.

故a>c>b.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查比較大小，解答的關(guān)鍵是結(jié)合式子的特征，合理構(gòu)造函數(shù)，利

用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

題型5放縮法比較大小

中劃t點

通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個數(shù)之間可以看成某個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，我們只

要構(gòu)造岀函數(shù)，然后找到這個函數(shù)的單調(diào)性就可以通過自變量的大小關(guān)系，進而找到要比較

的數(shù)的大小關(guān)系.有些時候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進一步縮小范圍.在本題中，通過構(gòu)

造函數(shù)f(x)=ex-x-l，利用導數(shù)證明得到X>0時，1>X+1，進而放縮得到a=e0-2>

1+0.2=1.2=Ine1-2.

【例題5】(2023?全國?高三專題練習)已知a=sin],b=Ig3,c=比較a,b,c的

大?。?用連接)

【答案】a<b<c

【分析】通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-sinx,利用其單調(diào)性得到a=sin|<1,再通過作差與零

進行比較，得出b與扣勺大小關(guān)系，再通過b,c與1逬行比較，判斷出b<c,進而得到結(jié)果.

【詳解】令以X)=x-sinx,f'(x)=1-cosx>0恒成立，當且僅當x-2fcn(fceZ)取等

號,所/'(%)=%-sinx是增函數(shù)，

當xe(0,+8)時'(x)=x—sinx>/(0)=0,即％>sinx,所以a=sin；<]

X6-i=lg3-l=lg3-IglO]，又因為27>10,所以3>105，故由y=Igx的單調(diào)性知,

Ig3>IglO5,所以b-1>o,從而6>a,

又易知b<1,又由函數(shù)y=2,的單調(diào)性知,c=25>2°=1,所以a<b<c.

故答案為：a<b<c

【變式5-1]1.已知a=e。」，b=詈+1,c=WX則它們的大小關(guān)系正確的是（）

A.6>a>cB.c>Z?>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(%)=Inx+1-不可證b<c,又InVT^+1<VL2<1.1,可得<

0.1f即可證Q>c.

【詳解】由b=等+1=lnVL2+1

令/(x)=Inx+1-x，貝!]/'(久)=：-1，當無e(0,1)>0;當％e(1,+°°)<0;

所以f(x)=Inx+1-x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且/(1)=0

則/(VL2)<0,因此InW2+1-V12<0,所以b<c

又因為c=V12<1.1,所以InVT^+1<VL2<1.1,得<0.1

故<e°a,有a>c

故選：C

【變式5-1]2.(2022?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若a=^es,=Ve,c=ln5,(e=

2.71828…)試比較a,b,c的大小關(guān)系()

A.a>Z?>c

Q.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出e$,進而求出a的范圍，再由1.642v。求出》的范圍，最后構(gòu)造函數(shù)估算

出c即可求解.

【詳解】由e=2.71828…得Uv7.5,?(e5<7.5X7,5x2.72=153,又1.64x1.64=

2.6896<e,故系e5<1.6<Ve,

由常用數(shù)據(jù)得ln5x1.609，下面說明In5?1.609,令/(x)=ln(x+1)-嘗!一

4X+OX+l

(2x+6)(4x+6)-4(x2+6x)_-4x3

(4x+6)2(x+l)(4x+6)2'

當xG(-1,0)時,f'M>0,f(x)單增，當xG(0,+8)時,((x)<0,/(x)單減，則f(x)max=

/(0)=0,

則ln(x+l)W號,則In5=21n2+ln￡ln2=In偌x午x||x…x第=In(1+2)+

ln(i+白+.“+ln(l+3，

令9(")=霊'則ln2/&+g㈢+…+g段”0.6932，嶗=岷一機

ln(14-i)+ln(14-i),

In：2g(J+gQ)*0,2232，貝(|ln5=21n2+ln^?2x0.6932+0.2232?1.6096,^±,

b>c>a.

故選：D.

【點睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的大小比較，關(guān)鍵點在于通過構(gòu)造函數(shù)求出In5的范圍，放

縮得到ln(x+l)W菅詈/再由ln2=In(1+卷)+In(1+套)+…+In(1+卷)和In：=

In(1+T)+In(14-J結(jié)合ln5=21n2+In彳即可求解.

【變式5-1]3.已知Q=sin20°,h=(，c=]則它們的大小關(guān)系正確的是()

A.c<a<b&.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由X>0時，sinx<無判斷a,b的大小關(guān)系，作出y=sinx與y=荘的圖象判斷a,

c的大小即可.

【詳解】20°=，故a=sing,

因為無>0時/sinx<xt

所以sin：＜；＜?

因為f(%)=sinx-聲中/'0=0.

作岀y=sinx與y=荘在同一坐標系中的圖象，如圖，

由數(shù)形結(jié)合可知sinx>在(0,￡)恒成立,所以sin]>[,

所以c<a<b,

故選：A

【變式5-1]4.已知實數(shù)a,6滿足a=log23+log86,6。+8。=10J則下列判斷正確的

是()

A.a>2>bB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的單調(diào)性可判斷a>2,b>2；在構(gòu)造函數(shù)/(x)=6"+8"-10",

x>2,再根據(jù)換元法和不等式放縮，可證明當x>2時，/(x)=6、+8'-lox<o,由此

即可判斷a,b的大小.

【詳解】因為a=logz3+log86=log23+|log2(2x3)

+x

=ilog23+1>log22V25=^|+|=1>2,所以a>2；

由6a+8a=10〃且a>2,所以6a+8a>36+64=100,所以b>2,

令fCO=6X+8Z-10x,x>2,

令t=x-2>0,貝！|x=t+2,

則/'(x)=6X+8Z-10z,x>2等價于g(t)=36X6f+64X8f-100X10f,t>0；

又g(t)=36X6,+64X8,-100x10f<100x8,-100x10￡<0,

所以當x>2時，/"(x)=6Z+8X-10x<0,

故6a+8。=10b<10。,所以a>b>2.

故選：C

題型6導數(shù)法

【例題6](2022秋?河北保定?高三?？茧A段練習)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導

函數(shù)為/''(%),且不等式/(%)>/(x)恒成立,則下列比較大小錯誤的是()

A.ef⑴<f(2)B./(0)>e/(-l)C.e/(-2)>/(-l)D.e2f(-l)</(l)

【答案】C

【分析】由已知條件可得/a?⑴>0,所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=寫,求導后可得g'(x)>0,

從而可得g(x)在R上單調(diào)遞增，然后分析判斷

【詳解】由已知尸(x)>/(x),可得右/>0,

設(shè)9。)=詈，則"&)=小產(chǎn)，

?.,g'(x)>0,因此g(x)在R上單調(diào)遞增,

所以g(l)<g(2),g(-l)<g(0),g(-2)<g(-1),g(T)<g⑴，

pn/(D々A2)f(-i)AO)f(-2)f(-i)f(-i)/w

即e、e2'e-i"e°'e-2、e-1,e-1e'

所以ef(l)</(2),ef(-l)</(0),e/(-2)</(-l),e2/(-l)</⑴,

所以ABD正確，C錯誤，

故選：C.

【變式(2022?安徽?六安二中高三階段練習)定義在在的奇函數(shù)/0滿足Z76(0.+D)

時都有不等式貿(mào)0-口伊他>0成立若口=log32Z7（log23）,0=修7俘），口=ln^Z7（ln^）,

則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.Z7<Z7<Z7B.Z7<Z7<Z7C.Z7>Z7>Z7D.Z7>Z7>Z7

【答案】A

【分析】根據(jù)以0-必（。>0構(gòu)造函數(shù)/0=*,可得函數(shù)為減函數(shù)，又由久0為奇函數(shù)

可知外0為偶函數(shù)，據(jù)此可比較。0,次小.

【詳解】?:當口€（0,+口）時不等式00-Z7伊（①>。成立，:.（等）°=筆四<0,

...00=等在（0,+口）上是減函數(shù).則，=|09320啕23）=^^=貝啕23）,0=

&螃）=繆=蟾），口=嗎。（噎）=等=/一》，又?.?函數(shù)27=00是定義在R上

T-2

的奇函數(shù)，

火。=等是定義在R上的偶函數(shù)，則久-》=0》,

log23>1>y>500在（0,+口）上是減函數(shù),

???Zj（log23）<*）<%）,則—，

故選：A.

【變式6-1】2.（2022?山東聊城一中高二期中）定義在（0,。上的函數(shù)/0,?。?是式0的導

函數(shù)，且"（0<—tano成立，0=2/7（0,D=V2Z7（￡）,Z7=Z7（（），則a,b,c的大

小關(guān)系為（）

A.Z7>￡7>Z7B.Z7>D>DC.Z7>0>Z7D,￡7>Z7>￡7

【答案】B

【分析】由條件可得cos。爐（0+sin/7-a0<0,考慮構(gòu)造函數(shù)仄0=解，結(jié)合導數(shù)運

算公式和導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)仄0在（0,f）上的單調(diào)遞減，再根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.

【詳解】因為（。，0時，cosZ7>0,

所以"（0<一tan。/0可化為+翳?/0<0,即cos。"（0+sin27-a0<0,設(shè)

=黑，則爐（。=（鶴）°=興。魯產(chǎn)“，所以當在（0,分時，呢0<0,

所以函數(shù)久。在（0,9上的單調(diào)遞減，因為K<》所以曉）〉〃（?>艱）

所噥〉等事釁砥>內(nèi)肌2破,

所以Z7>Z7,

故選：B.

【變式6-1]3.（2022?四川南充?一模）設(shè)定義R在上的函數(shù)77=/0,滿足任意，6〃，都

有仄〃+4）=/。，且Z7C（0,4]時，口伊⑼>仄。，則/2021）,空箸,空署的大小關(guān)系

是（）

A.貿(mào)2021）<弩<罕B.竿<仄2021）〈罕

C.罕<警<仄2021）D.誓〈後2021）〈警

【答案】A

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)以及函數(shù)的周期性確定正確答案.

【詳解】依題意，任意，eO,都有/Z7+4）=及0）,所以/0是周期為4的周期函數(shù).

所以仇2021）=不）,駕經(jīng)=學，罕=學

構(gòu)造函數(shù)火0=等（0<Z7S4）,"（0=硏產(chǎn)>0,

所以工。在區(qū)間（0,4]上單調(diào)遞增，所以/1）<0（2）<貧3）,

艮卩?<等<苧，也即貿(mào)2021）<<^?3）,

故選：A

【變式6-1]4.（2021?陜西漢中模擬預(yù)測（文））已知定義在R上的函數(shù),其導函數(shù)為

爐（0,當?！怠r，処泮>0,若〃=竿,。=*，=等，則0〃啲大小關(guān)系是（）

A.Z7<Z7<Z7B.c<a<b

C.Z7<Z7<Z7D.Z7<Z7<0

【答案】D

【分析】根據(jù)題意當，>0時，叱8>0,結(jié)合導數(shù)的運算法則可構(gòu)造函數(shù)/0=等，

由此判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷40曲大小.

【詳解】設(shè)=等，則=也泮，由題意知當〃>。時空爺衛(wèi)>0，即"(0>0,

故限0)=等在。>0時單調(diào)遞增，故久2)<貿(mào)口)<g(5),即竿<整<等,Z7<Z7<Z7,

故選：D.

1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中校考階段練習)已知f(x)=2022,-2022^-

ln(Vx2+1—x),當0<x<],a=cosx,b=Incosx,c=ecosx,試比較f(a),/(b),/(c)

的大小關(guān)系()

A./(a)<f(c)<f(b)B./(b)</(c)</(a)

C./(c)</(a)<f(b)D.f(b)<f(a)</(c)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性及利用xG(0,1)時，Inx<x<焼判斷a,4c的大小即可得解.

xx

【詳解】???f(x)=2022-2022T_鳳儀+1一%)=2022-2022T+叭以+1+%)，

f(x)在R上是增函數(shù)，

由xG(0,1)時，Inx<x<e*知,b<a<c,

f@)<f(a)<f?,

故選：D

2.(2023?遼寧沈陽?東北育才學校?？寄M預(yù)測)設(shè)。=鏡，b=卜n2,c=，則a,

6V1546060

b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)/㈤=ln(x+l)-^sinx,求導確定單調(diào)區(qū)間，得到c>b,再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=苧-ln(x+1),求導確定單調(diào)區(qū)間得到a>c,得到答案.

【詳解】設(shè)/'(x)=ln(x+1)-|sinx,0<x<1,則尸(x)=缶-cosx,

O<x<i,2<-1-<1,lcosx</故『(x)>0,/(x)在(0,3上單調(diào)遞增，

故/(x)>/(0)=0,當。<x<［時，ln(x+1)>:sinx恒成立，

令”米(詞-則嗚>為*，即c>b；

設(shè)9(幻=苧-1*+1),0<》<?則9口)=磊一^=謎篝，

又%—6V%4-1=(V%)2—6A/X+1=(Vx—3)2—8,

故％—6>/x+1在aE(0,上單調(diào)遞減,x-6y+1>+1>0,

故“(%)>0,則函數(shù)g(%)在(0*)上單調(diào)遞增,即g(%)>g(0)=0,

故當。V%V/時，弓,ln(x+1)恒成立，

令”=磊(。^，則焉=謳>lnS，即a>C.

綜上所述:b<c<a.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點睛本題考查了利用導數(shù)比較函數(shù)值的大小問題，意在考查學生的計算能力，

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，求導，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關(guān)鍵.

3?(2023?四川成都中學?？寄M預(yù)測)已知/Xx)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

x

且/'⑺+g(x)=e+cosx,a=21n(sin^+cosy,b=logi3,c=log3|很！|g(a)、g(b)、

g(c)大小關(guān)系為()

A.g(c)<g(a)<g(b)B.g(a)<g(b)<g(c)

C.g(a)<g(c)<g(b)D.g(b)<g(d)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義求岀函數(shù)/Xx)、g(x)的解析式，利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)在

(0,+8)上的單調(diào)性，并比較a、|b|、|c|的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性可

得出g(a)、g⑸、g(c)的大小關(guān)系.

【詳解】因為/'0)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/'(x)+gM=ex+cos%,

則/(—x)+g(—x)=e~x+cos(—x),

(/(%)+g(%)=e*+cos%

所以，，所以，

I—/(%)+g(%)=e~x+cosx1g(x)=宅：+COSX

aX_a-X

當x>0時，g'(x)=----------sinx,令h(%)=-----------sinx,其中％>0,

則“(%)=J1-----cosx>Vex-e~x-cosx=1-cosx>0，函數(shù)九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞増,

則h(x)>九(0)=0,因此函數(shù)gCr)在(0,+8)上為增函數(shù),

因為sin￡+cos^=V2sing+=)=V2sin-=旺,

32，

所以，a=21ny=ln|=lnj|<InVe=|,|6|=|logi3=log43>log42=1,

kl=|log3||=log32>log3V3=|,

因為Ibl_Icl=史-處=(In3)7n2.1n4>(ln3)2-(也普?=(ln3)Z-(ln間>°

In4In3In3-In4In31n4In3-ln4'

所以,|i>|>|c|>a>0,所以,g(a)<g(|c|)<g(|b|),

因為函數(shù)g(無)為R上的偶函數(shù)，故g(a)<g(c)<g(b).

故選：C.

4.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習)記。=202V2022,b=202V2023,c=2O2V2023,

則a,b,c的大小關(guān)系是()

/K.a>b>cQ.a>c>bC.b>c>aD,b>a>c

【答案】D

【分析】由函數(shù)=x姦在R上單調(diào)遞增，可判斷a<b,再對a、c兩邊取