2023年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)高考一模擬考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2023年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上,

并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若全集。=R,集合.={x|f<9卜JV={x|2x>l},則(2N)=()

A.—3<x<；:—C.D.

2.若i(2—z)=l,則z+亍=()

A.lB.2C.3D.4

3.已知6e(0,〃)，若sin26=cos(e+彳],則tan[2。+/]=()

A.1B.C.s/3D.—y/3

3

4.趙州橋是世界上現(xiàn)存年代最久遠(yuǎn)，跨度最大，保存最完整的單孔坦弧敞肩石拱橋.趙州橋的

設(shè)計(jì)應(yīng)用到平擺線：當(dāng)一個(gè)圓沿著一條直線作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，圓周上的定點(diǎn)P的軌跡為

平擺線.趙州橋的拱可以近似看作平擺線，設(shè)拱與水面交于M,N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè)),

MN=37m,若拱左半部分的一點(diǎn)K到水面的距離為6m,則線段"K長(zhǎng)度的近似值為

()

MN

A.5mB.7mC.9mD.lIm

5.某人連續(xù)兩次對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為

0.7,若第一次末擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為0.5,已知第一次擊中目標(biāo)的概率

為0.8,則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為()

14142825

A.——B.—C.—D.—

25333339

6.已知向量5，B的夾角為60。，卜―B=2石，則同+2可的最大值為()

A.3幣B.4V7C.5V7D.6s

7.已知函數(shù)/(x)=(4q2—i)e''+(4a+2)x,若/(x)<0,則a的取值范圍是()

j_e-2￡J_￡J_2-e

B.C.

2,22e5'工T

8.已知函數(shù)/(x)=/sin(°x+°),記/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),/(x)在區(qū)間[o,5J上單

調(diào)，且/1—==記g(x)=/⑺―/[￡|/⑺―/']'則8⑺在

區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.OB.0或1C.0或2D.1或2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列四個(gè)條件中，是a〉廠的一個(gè)充分不必要條件的是()

A.a1>代B.—<—<0C.aC2>/3C2D.ln(z2>ln^2

’ap

10.已知函數(shù)=2x+l,則()

A.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱

B./(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,—1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

D.曲線y=/(x)與y=—/+6/—10x+5關(guān)于直線x=1對(duì)稱

11.已知a>0,函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且滿足當(dāng)xe(0,a]時(shí)，/(x)=s[xeTx,

當(dāng)x>a時(shí)，f(x)=af(x-a),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若/(x)存在極值點(diǎn)，則a〉：

B.若〃6N,x0^[na.na+a

V

71?

C.若方程=在區(qū)間(0,2]上恰好有三個(gè)解，則ae-,1

D.若則ae(0,l]

12.在平面直角坐標(biāo)系xQP中，拋物線=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)M(a,0)(a>0)的直

線/交E于/,8兩點(diǎn)，其中/的斜率左>0,Z在第一象限，將△30沿x軸折疊，得

到△4M0,且平面4Mo與平面瓦欣9互相垂直，下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)左=正時(shí)，若48,08,則a=g

B.當(dāng)a=l時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為4+2正

2/Z

C.當(dāng)a=2時(shí)，若S““B=2遍△ZljlKf，Z?則點(diǎn)。1到平面4人金的距離為工

D.當(dāng)左=1時(shí)，設(shè)三棱錐0—的外接球半徑為r,則re1理,+8

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（x-1）（1-2/7的展開(kāi)式中/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

14.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝中，若知+為+。8=12，則巴+%的最小值為

15.已知橢圓C：；+[=l,斜率為-g的直線/分別交x軸負(fù)半軸、了軸負(fù)半軸于/,

B兩點(diǎn),交。于T,尸兩點(diǎn)，點(diǎn)T在x軸上方，過(guò)點(diǎn)5作x軸的平行線交。于Z,J兩點(diǎn)，

則面積的最大值為.

16.已知正方體4BCD-4用。12的棱長(zhǎng)為1,以點(diǎn)/為球心作一個(gè)半徑為廠的球，若球面

Sh

與正方體表面相交所得到的交線長(zhǎng)為則這樣的球有________個(gè)，并寫出一個(gè)滿足

6

條件的r的值：.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）在數(shù)列｛%｝中，=—,4%+[=3%—不

（I）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛㈤｝的前〃項(xiàng)和S".

18.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體N8CD—481GA中，E,F,G,X分別為4口，DDX,

CD,4月的中點(diǎn)，且48=224=240=2.

（I）證明：直線/G,EH,GA交于一點(diǎn)；

（II）設(shè)直線廠G,EH,CQ]交于點(diǎn)記M關(guān)于平面44QQ的對(duì)稱點(diǎn)為,求

二面角G—EF—M］的正弦值.

19.(12分)記銳角△48C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

(sitk4-2sin2S)tart4=2-2cos28.

2

(I)求幺;

be

,u、t，sinB+sinC

(II)求-----------的取值范圍.

sirU

20.(12分)2022年卡塔爾世界杯采用的“半自動(dòng)越位定位技術(shù)”成為本屆比賽的一大技術(shù)亮

點(diǎn)，該項(xiàng)技術(shù)的工作原理是將若干個(gè)傳感器芯片內(nèi)置于足球中，每個(gè)傳感芯片都可以高頻率

定位持球球員，以此判斷該球員是否越位.為了研究該技術(shù)的可靠性，現(xiàn)從生產(chǎn)的傳感芯片

中隨機(jī)抽取100個(gè)，將抽取到的傳感芯片的最高頻率(單位：Hz)統(tǒng)計(jì)后，得到的頻率分

布直方圖如下圖所示：

(I)求這批芯片的最高頻率的平均值亍(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

和方差$2;

(II)根據(jù)頻率分布直方圖，可以近似認(rèn)為這批傳感芯片的最高頻率7；服從正態(tài)分布

CT2，用樣本平均數(shù)X作為〃的估計(jì)值a,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為b的估計(jì)值3，試估

計(jì)，從這批傳感芯片中任取一個(gè)，其最高頻率大于80Hz的概率；

(III)若傳感芯片的最高頻率大于80Hz,則該傳感志片是可精確定位的，現(xiàn)給每個(gè)足球內(nèi)

置左優(yōu)=1,2,3,4)個(gè)傳感芯片，若每個(gè)足球中可精確定位的芯片數(shù)不少于一半，則該足球可

以滿足賽事要求，能夠精確判定球員是否越位，否則就需要增加裁判數(shù)量，通過(guò)助理裁判指

證、慢動(dòng)作回放等方式進(jìn)行裁定.已知每個(gè)傳感芯片的生產(chǎn)和維護(hù)費(fèi)用約為1萬(wàn)元/場(chǎng)，因足

球不可精確定位而產(chǎn)生的一次性人力成本為12萬(wàn)元/場(chǎng)，從單場(chǎng)比賽的成本考慮，每個(gè)足球

內(nèi)置多少個(gè)芯片，可以讓比賽的總成本最低？

219

附：尸(〃一。<x?〃+o_)e-2CT<x?//+2a)?—,

399

尸(〃一3cr<x?4+3a)?---.

400

22

21.(12分)已知橢圓。：亍+己-=1的左頂點(diǎn)為Z,右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)7(4,0)的直線/交

。于N兩點(diǎn)，其中/在第二象限.

(I)若/過(guò)點(diǎn)(0,1),求A/AW的面積；

(II)設(shè)線段“F交半徑為1的圓/于點(diǎn)G,直線TG與2/交于點(diǎn)R,若直線NM,NR

的斜率之比為-23,^\MG\.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)="2e「x_In(ox)-1(。>0)有三個(gè)零點(diǎn)X],x2,

x3(X)<x2<x3).

(I)求a的取值范圍；

(II)證明：ae.〉e；

(III)記/(x)較大的極值點(diǎn)為Z，當(dāng)Z>a時(shí)，證明：f)+/(ar2)>0.

“圓夢(mèng)杯”參考答案

一、選擇題

題號(hào)123456789101112

答案ADCBCBACBCBDABDAC

二、填空題

題號(hào)13141516

5

“5百T2G“工洋人、

L立3。

答案404,------或-----(任選一個(gè))

2

293

三、解答題

二數(shù)列1見(jiàn)+1｝時(shí)首項(xiàng)為1,公比為；的等比數(shù)列：%=31-1.

(2)當(dāng)〃一1?6,既〃<7時(shí)，%>0，〃〉7,%〈0；

18.(1)延長(zhǎng)EH交Gg于P，交CQi于S,延長(zhǎng)FH交G。于Q，交GA于M,

可知：”=1￡=至=￡匣，既SM共點(diǎn)，于是交于同一點(diǎn)S(M).

(2)℃為X軸，D4為了軸，DD］為Z軸建立坐標(biāo)系G:(1,O,O),尸［o,o,g

M(1,O,1)設(shè)平面GEM的一個(gè)法向量為應(yīng),平面EFM的一個(gè)法向量為拓易知:

m=(1,—2)2),n=(-1,-2,2),cosx=,,=—

\rh\\n\9

,4V2

/.sinx=----.

9

19.(1)(siih4-2sin25)tarU=2-cos25

既(siM-4sinScosS)siiL4=4cosZsinS2

既siiL42=4sin8(sirk4cos5+cosZsinS)=4sinSsin(4+B)=4sinSsinC

由正弦定理：a2=4bc,—=4.

be

cosA

（2）由三角形ABC為銳角三角形，既《cos3均>0.當(dāng)b=c,矛盾，不妨設(shè)b>c.

cosC

b2+c2-a2>0

由余弦定理：!a2+c2-b~>0,同+/并記二=/>1,易知/e

b

a2+b2-c2>0

P(x>80)=P(x>86—6)=p(x>〃一夕)=g

(2)

22(1+12)

(3)(i)k=l,p]=§,成本w(l)=§+^~~---=5

:與218一小、-8小110

2|+。2§§=5,成本w(2)=2.§+(2+12)n

(ii)k=2,P2=

220A.〃、c20755

(iii)k=3,2=——，成本w⑶=3---+(3+12)=—

2727、'279

2

22

iv)k=4P4=I+《?IM成本

w(4)=4--+(4+12)--=—

綜上，k=2,成本最低.

1,

21.（1）N（X2/2）0M=一；，聯(lián)立'y=——x+113,

-4既一——2-8=0

4

3X2+4/=12

3

于是《

L17

V、16

c1873

b=-----

13

丁;坐；2),既3/+4-212+4%+4)-12=0,因?yàn)锳(-2,0),

（2）聯(lián)立

、J

，6-8左212k'4/+1

.-.M,記NMFA=x,Jl+(tanx)2，:.G

、3+4尸'3+4/,4k2-1

寐」*=小+2)…4-16左212人)

\TG-.y=^^(x-A)"[3+84，3+8公

Z-2k2

聯(lián)立<?1+4后2(X—4),既(48左4+40左2+3)/_128/X-192-+160A:-12=0

3X2+4/=12

N區(qū)T2⑵+48」-73,記E

I12k2+1!48r+16A;2+l)

9533

有32/—92/+45=0,t=?或/(舍)，于是k=3,MG=-

4822

ael-x(2x2-x^-l

22.(1)f'(x)=------------------

X

(i)當(dāng)％>2,/(x)<0,/(%)單調(diào)減:

-1

ex-lx(x-l)(x-4)

(ii)當(dāng)X￡(0,2),記g(x)=-g'(x)=W；~g(x)在(0,1)減，(1,2)

2X2-X3x(x—2)

增g(x"g⑴=1

A.當(dāng)ae(O,l],/'(x)<0,/(x)單調(diào)減，至多一個(gè)零點(diǎn)，矛盾!；

B.當(dāng)。>1,記g(x)兩零點(diǎn)冽,n,/(x)在(0,加)減,(冽,〃)增,(〃,+8)減：

法1：因?yàn)?(〃)>/(1)>0,/(加)

法2：記J(x)=￡—ln^^—1,=在(0,2)>0,于是J(x)增，

川)=。

于是且X趨近0,/(X)趨近8,X趨近8,/(X)趨近一8于是

有三零點(diǎn)玉工2%3，占6(。,加)，X2G(m,77),演￡(〃，+8)?

(注意，x趨近0和x趨近。可以直接用極限，但是/(〃)/(加)的正負(fù)必頒說(shuō)明，法1：

找恒正負(fù)區(qū)間，法2：隱零點(diǎn)代換)

(2)/(x)=0,這等價(jià)于絲匚3,這說(shuō)明滿足叫二金”加要證

ex[x3-lnx3=Inca=m

2(玉一1)

國(guó)-InX]-m>x------------

xX]+1

XlX3由對(duì)數(shù)均值不等式，易知

ae>e，等價(jià)于證xrx3